精品解析：贵州遵义市南白中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题

遵义市南白中学高二期中测试 数学 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在回答非选择题时，请将答案书写在答题卡上．写在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，进而得，再结合复数的几何意义求解即可； 【详解】因为， 所以，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求其焦点坐标. 【详解】由可得， 所以抛物线开口向上且， 所以，所以焦点坐标为. 故选：C. 3. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用投影向量的定义求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为：. 4. 已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 5. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，如图，在正方体中，记为，为，为， 平面为，则有， 但与平面不垂直，故A错误； 对于B，若，则，又，存在，满足， 因为，则，所以，故B正确； 对于C，如图，在正方体中，记为，平面为， 记为，平面为，则有， 但平面平面，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：B 6. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此​，故选项A、B错误；  由正态分布的对称性：，，C正确；  ，而，所以，因此，D错误 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差的正切公式可得，利用两角和差公式以及倍角公式结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以 . 8. 已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 已知事件，满足，，则（ ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】使用互斥事件概率公式，独立事件概率公式，和事件概率公式求解. 【详解】对于A，根据条件无法确定事件，的关系，不能得出，选项A错误； 对于B，如果，则，所以，选项B正确； 对于C，如果与互斥，那么，选项C正确； 对于D，如果与相互独立，那么与相互独立， 所以，选项D正确. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. 展开式的各项系数和为 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】 选项A：第5项二项式系数为，第8项二项式系数为，由，结合二项式系数性质，得，A错误； 选项B：展开式通项为，令得，则，B正确； 选项C：令，可得展开式各项系数和为，C正确； 选项D：令得，令得，两式作差除以2得，与D选项不符，D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据最小正周期公式分析判断；对于B：利用余弦型函数的单调性判断；对于C：分析可知或，可得，，进而分析最值；对于D：分析可知，且为最大值点，为最小值点，可得，，进而分析最值. 【详解】对于选项A：可知函数的最小正周期为， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于选项C：因为函数的值域为， 若，则或， 可得，，所以当时，取到最小值为，故C正确； 对于选项D：因为函数的值域为， 若，则，且为最大值点，为最小值点， 可得，，所以当时，取到最小值为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校开设6门知识类选修课和5门技能类选修课，学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有__________种． 【答案】155 【解析】 【分析】采用间接法，先计算从所有选修课中选3门的总方案数，再减去3门全为技能类选修课的方案数，即可求解. 【详解】学校共开设选修课门， 从中任选3门的总选法为：  ， 3门均为技能类选修课的选法为：  ， 故至少包含1门知识类选修课的方案数为种. 13. 已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 14. 在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式求出外接球半径，代入体积公式求解即可. 【详解】因为为等边三角形，所以， 又， 所以与是全等三角形，故， 又，所以， 以点为原点，以，为轴，轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则，解得. 所以三棱锥外接球的体积为. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列，是的前项和，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及数列的函数性质求解即可. 【小问1详解】 设公差为 ，则 ，解得， 故 . 【小问2详解】 ，， 当  时，  取得最大值 . 16. 在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． （1）求角的大小； （2）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知等式后结合余弦定理求解角即可； （2）利用正弦定理将边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围求解可得答案. 【小问1详解】 由得， 即，由余弦定理得， 因为为锐角三角形，所以，所以； 【小问2详解】 设周长为，则，只需确定的取值范围， 由正弦定理得， 因此 ， 由得， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以 ， 因为，所以，， 所以， 即，. 17. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 18. 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． （1）求动点的轨迹方程； （2）是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据斜率的计算公式代入求解即可. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，结合圆的性质、韦达定理及向量垂直的坐标表示化简求解即可. 【小问1详解】 由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即， 整理得. 故动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 易知. 当直线斜率存在时，设：. 联立，整理得， 由题意知，， 设，，则，. 以为直径的圆恒过该定点，则，即. 又 ， 则， 即，解得，故 当直线斜率不存在时，此时：，代入双曲线方程解得， 不妨设，，以为直径的圆为， 将代入中，等式成立. 综上，存在满足条件的定点，坐标为. 19. 某装备制造企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位）． （1）现有旧设备生产的零件共个，其中直径大于的有个．现从这个零件中随机抽取个，记表示取出的零件中直径不大于的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率． 参考数据：，，且时，标准正态分布函数表如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0.1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0.2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0.3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0.4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0.5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的概率分布可得的概率分布，再利用期望的计算公式求. （2）利用正态分布的性质，先求，再结合独立事件、对立事件的计算公式求值. 【小问1详解】 现有零件有7个，直径不大于的零件有3个， 所以的可能取值为0,1,2,3， 且，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且数学期望. 【小问2详解】 因为，所以，. 所以. 记事件“至少有一个零件直径大于”，则事件“10个零件直径都不大于”， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学高二期中测试 数学 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在回答非选择题时，请将答案书写在答题卡上．写在本试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得2分或4分，有选错的得0分． 9. 已知事件，满足，，则（ ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. 展开式的各项系数和为 D. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在上单调 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校开设6门知识类选修课和5门技能类选修课，学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有__________种． 13. 已知为数列的前项和，若，则__________． 14. 在三棱锥中，为正三角形，，且，，则三棱锥外接球的体积为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是等差数列，是的前项和，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． （1）求角的大小； （2）求周长的取值范围． 17. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． （1）求动点的轨迹方程； （2）是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 某装备制造企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位）． （1）现有旧设备生产的零件共个，其中直径大于的有个．现从这个零件中随机抽取个，记表示取出的零件中直径不大于的零件的个数，求的分布列及数学期望； （2）技术攻坚突破后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出个，求至少有一个零件直径大于的概率． 参考数据：，，且时，标准正态分布函数表如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 0.1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 0.2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0.3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0.4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0.5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $