精品解析：贵州遵义市第三中学2025-2026学年高二第二学期期中质量监测数学试卷

遵义市第三中学2025-2026学年度第二学期期中质量监测 数学试卷（高二） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，， 则. 2. 设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由概率和为1即可求解. 【详解】由离散型随机变量的分布列知：，解得. 故选：A. 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则的虚部为1. 4. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 则. 5. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 6. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 7. 有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（      ） A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【详解】要求老师不能分开（即相邻），先把2位老师捆绑看作1个整体，两位老师内部不同顺序属于不同排法，内部排列数为 种； 将老师的整体与3名学生进行全排列，全排列数为种； 根据分步乘法计数原理，则不同的排法为  种. 8. 已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与不独立 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可. 【详解】已知，则，而题目中，显然，因此事件A与B不互斥，选项A错误；  ，又，所以，选项B正确；  因为， ，由于，所以事件与独立，选项C错误；  ，则，选项D错误. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的选项中有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ） x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A. m＝5 B. 当x＝13时， C. 变量x和y呈负相关 D. 该经验回归直线必过点（9,5） 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，因为变量x和y满足经验回归方程， 又，，所以，解得m＝5，故A正确； 对于B，因为变量x和y满足经验回归方程，当x＝13时，，故B正确； 对于C，因为变量x和y满足经验回归方程，k＝－0.78＜0，所以变量x和y呈负相关，故C正确； 对于D，由选项A知，，该经验回归直线必过点，不一定过样本点（9，5），故D错误． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，且，则A，B相互独立 C. 若随机变量，则 D. 二项展开式的所有项的系数和为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由组合数性质或即可求得的值，对于B，使用条件概率公式后可得，即A，B相互独立，对于C，由题意得，根据二项分布概率公式即可求解，对于D，令即可求二项展开式所有系数和. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，令则有二项展开式的所有项的系数和为，故D错误. 故选：BC. 11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】AD 【解析】 【详解】若每人都安排一项工作，即每人均有四项工作可以安排，故不同的方法数为，A正确； 若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余工作各1人，先将这5人分成4组，有种方法，再将这4组分配到4项工作，有种方法，故共240种方法，B错误； 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则人数分配可能为或， 先分组，共种方法，再分配，共种方法，故共150种方法，C错误； 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，若司机工作安排1人，有种，剩余4人分配到剩余3项工作，人数分配为，有种，故安排方案的种数共有种； 若司机工作安排2人，有种，剩余3人分配到剩余3项工作，有种，故安排方案的种数共有种； 综上，不同安排方案的种数共有种，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，且，则__________． 【答案】3或6 【解析】 【分析】利用二项分布的期望、方差公式列式求解. 【详解】由随机变量，且，得，解得或， 所以或. 故答案为：3或6 13. 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，令展开式中的指数为1，即可求出的系数. 【详解】在的展开式中， 通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为： . 故答案为：. 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用对立事件的概率公式，以及全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，且， 则，可得， 即，可得. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）认为增收情况与使用，两种不同设备有关 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出，，，，从而可求解； （2）设出零假设，再利用独立性检验即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，， ，， . ， 故经验回归方程为. 【小问2详解】 零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联. 则. 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解，或者利用垂直关系，结合二面角的定义，找到为所求二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 因为平面，又因为平面，所以. 在正方形中，易知， 又因为，平面， 因此平面. 【小问2详解】 解法1、易知两两互相垂直，以为坐标原点，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，  则， 则. 由（1）可知，平面，故是平面的法向量. 设平面的法向量为， 则有，即，令，则，故， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 解法2、， 作，连接， 由（1）知：平面，平面,故, 平面，故平面， 平面，故， 故为所求二面角的平面角， 由于平面，平面,故, ,故， , 在中，, 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 2020年春节期间爆发的新型冠状病毒()，是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒.某社区为了解居民对新型冠状病毒的了解程度，随机抽取100名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下： 得分 男性人数 女性人数 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于70分的概率； （2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取7人，若从这7人中随机抽取3人作为采访对象，用表示被采访对象中女性的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.58；（2）分布列见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表中的数据计算可得结果； （2）根据分层抽样计算出人中男女生人数，得到随机变量的取值的所有可能取值，再求出随机变量的每个取值的概率，可得分布列，根据期望公式可求出数学期望. 【详解】（1）由调查数据得，问卷得分不低于70分的频率为：故从社区随机抽取一名居民其得分不低于70的概率为0.58. （2）由题意可知，分层抽样抽取的7人中，男性为4人，女性为3人，随机变量的取值的所有可能为0，1，2，3， 其中，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P . 【点睛】关键点点睛：掌握利用频率分布表求频率的方法、掌握求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法是解题关键. 19. 已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求C的方程； （2）已知点，若直线l与C交于E，F两点，且，，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或或或． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦距求出椭圆的参数值，即可得方程； （2）设，，讨论直线与轴是否垂直，结合向量垂直的坐标表示及韦达定理求相关参数值，进而确定直线方程. 【小问1详解】 由题知，，，所以，， 所以，则C的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，点，显然直线l与y轴垂直，不合题意， 若直线l与x轴垂直，设，，得，， 若，则，又，则， 所以，解得或，则直线l的方程为或． 若直线l不与x轴垂直，设直线，，， 联立，消去y整理得， 则， 可得，， 则，， 由，得， 所以①， 设中点为D，则， 因为，所以，则，即②， 由①②，得，或， 当时，直线l的方程为，过点B，不合题意， 当时，解得，或，，满足， 所以直线l的方程为或． 综上，直线l的方程为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第三中学2025-2026学年度第二学期期中质量监测 数学试卷（高二） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 4. 若函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 6. 设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.9 7. 有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（      ） A. 48种 B. 12种 C. 36种 D. 24种 8. 已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与不独立 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的选项中有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ） x 5 6 9 12 y 8 7 m 2.4 A. m＝5 B. 当x＝13时， C. 变量x和y呈负相关 D. 该经验回归直线必过点（9,5） 10. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，且，则A，B相互独立 C. 若随机变量，则 D. 二项展开式的所有项的系数和为 11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，且，则__________． 13. 的展开式中x的系数为_________(用数字作答). 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 2020年春节期间爆发的新型冠状病毒()，是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒.某社区为了解居民对新型冠状病毒的了解程度，随机抽取100名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下： 得分 男性人数 女性人数 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于70分的概率； （2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取7人，若从这7人中随机抽取3人作为采访对象，用表示被采访对象中女性的人数，求的分布列和数学期望. 19. 已知椭圆的离心率为，焦距为． （1）求C的方程； （2）已知点，若直线l与C交于E，F两点，且，，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $