第2讲反比例函数的图象与性质（知识点+题型精讲）2026-2027学年苏科版九年级数学上册暑假预习讲义

第2讲反比例函数的图象与性质 目录 知识点1 反比例函数图象基本特征 2 知识点2 k的符号与图象象限、增减性关系（必考） 3 知识点3 比例系数k的几何意义（核心重难点） 3 知识点4 反比例函数解析式求解方法 3 知识点5 反比例函数几何综合基础 3 题型1 判断（画）反比例函数图象 4 题型2 已知双曲线分布的象限，求参数范围 6 题型3 判断反比例函数的增减性 7 题型4 判断反比例函数图象所在象限 7 题型5 已知反比例函数的增减性求参数 8 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 9 题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 9 题型8 求反比例函数解析式 11 题型9 反比例函数与几何综合 12 题型10 根据图形面积求比例系数 14 解答题 16 1. 知识目标：掌握反比例函数双曲线的图象特征、象限分布与增减性规律；熟记比例系数k的几何意义，理解图象对称性。 2. 能力目标：能绘制、判断反比例函数图象，根据图象性质求参数范围、比较函数值大小；熟练掌握待定系数法求解析式，解决k值与几何面积、几何综合题型。 3. 素养目标：建立数形结合思维，掌握“由式看图、由图推性、由性解题”的思路，提升函数与几何综合推理计算能力。 知识点1 反比例函数图象基本特征 反比例函数 的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成；图象无限靠近坐标轴，永远不与坐标轴相交。 对称性：双曲线关于原点中心对称、关于直线 轴对称。 函数形式 k的符号 函数图象 图象象限 增减性 （同一象限内） 图象特征 第一、三象限 y 随 x 增大而减小 双曲线两支分别在一三象限，无限靠近坐标轴，不与坐标轴相交 第二、四象限 y 随 x 增大而增大 双曲线两支分别在二四象限，无限靠近坐标轴，不与坐标轴相交 知识点2 k的符号与图象象限、增减性关系（必考） 1. 当 ：图象分布在第一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小。 2. 当 ：图象分布在第二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大。 重要易错：增减性必须限定在同一象限内，不能跨象限整体判断。 知识点3 比例系数k的几何意义（核心重难点） 若双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、y轴垂线，围成的矩形面积：。 该点、原点、坐标轴垂足围成的直角三角形面积：。 结论：同一反比例函数上任意点对应的矩形、三角形面积恒定不变，只与|k|有关。 知识点4 反比例函数解析式求解方法 通用方法：待定系数法。只需一组(x,y)对应值，代入 求出k，即可确定解析式。 知识点5 反比例函数几何综合基础 常结合矩形、直角三角形、坐标、面积、对称性质解题；利用k的几何意义可快速秒杀面积类题型，无需逐点计算坐标。 题型1 判断（画）反比例函数图象 解题技巧（辨形状、定象限、验特征） 1. 形状判定：反比例图象为双曲线，排除直线、抛物线等其它函数图象； 2. 位置判定：由k的正负锁定象限，匹配图象分布； 3. 作图规范：列表取点（正负对称取值）→描点→平滑曲线连线，两支分开绘制； 4. 核心特征：图象无限趋近坐标轴、永不相交、关于原点对称。 1．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 2．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 3． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 4．小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 题型2 已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题技巧（象限对应符号、列不等式求解） 1. 一三象限分布：直接判定 ，列出参数不等式； 2. 二四象限分布：直接判定 ，列出参数不等式； 3. 必查条件：保证反比例函数成立，，杜绝遗漏限制条件； 4. 规范求解：解不等式，得出参数取值范围，结合题干取舍。 5．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 6．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 8．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 题型3 判断反比例函数的增减性 解题技巧（先定k符号、限定同一象限） 1. 先判k正负： 象限内递减， 象限内递增； 2. 严守前提：增减性只在单象限内成立，跨象限不能比较增减； 3. 文字规范：答题必须写明“在每一象限内”，否则判定错误； 4. 快速排除：所有“全体定义域单调增减”的说法均错误。 9．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 10．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 12．已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 题型4 判断反比例函数图象所在象限 解题技巧（看k正负、一秒锁定象限） 1. 核心口诀：k正一三、k负二四； 2. 化简k值：含参数式子先化简，准确判断k的正负； 3. 特殊判定：含平方、绝对值的式子，可直接判定k恒正或恒负； 4. 避坑：不化简直接判断，容易出现象限判定错误。 13．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 14．已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 15．对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 16．已知反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在第________象限． 题型5 已知反比例函数的增减性求参数 解题技巧（增减对应符号、列不等式+验定义） 1. 递减题型（象限内y随x增大而减小）：列 不等式； 2. 递增题型（象限内y随x增大而增大）：列 不等式； 3. 双重校验：解出参数范围后，默认满足 ，剔除无效值； 4. 收尾规范：写出完整参数取值范围。 17．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 20．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 解题技巧（先分象限、同区用增减、跨区直接判） 1. 分类找点：先判断所有点在同一象限还是不同象限； 2. 同象限点：利用增减性直接比较大小； 3. 跨象限点：一三象限：正数＞负数；二四象限：正数＞负数，直接秒杀； 4. 万能方法：无思路时代入数值计算具体函数值，精准对比。 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 22．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 23．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 24．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 解题技巧（套用k几何意义、直接代值秒杀） 1. 矩形面积：双曲线上一点作坐标轴垂线，矩形面积 ； 2. 直角三角形面积：基础垂轴三角形 ； 3. 组合图形：拆分、补形转化为基础矩形、直角三角形再计算； 4. 核心优势：无需求点坐标，直接用|k|快速算面积。 25．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 26．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 27．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 28．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 题型8 求反比例函数解析式 解题技巧（待定系数法、一步求k） 1. 设式：设解析式 ； 2. 代值：将已知点坐标、对应x、y值代入式子； 3. 求k：解方程算出比例系数k； 4. 回代：写出完整解析式，最简形式作答。 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 30．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 32．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 题型9 反比例函数与几何综合 解题技巧（坐标转线段、k值定面积、对称辅助） 1. 坐标转化：点在双曲线上，坐标满足 ，可实现横纵坐标互求； 2. 线段转化：横纵坐标绝对值对应水平、竖直线段长度； 3. 图形结合：结合直角三角形、矩形、等腰三角形性质，联立求解边长、坐标、面积； 4. 对称妙用：利用原点对称特征，快速求对称点坐标，简化计算。 33．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 34．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 35．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 题型10 根据图形面积求比例系数 解题技巧（面积反推|k|、图象定符号） 1. 正向列式：根据几何图形面积，列出含|k|的等式； 2. 求解绝对值：算出 的具体数值； 3. 符号判定：根据双曲线所在象限，判断k正负； 4. 精准取值：结合绝对值与符号，确定最终k值，杜绝符号错误。 37．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 38．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 39．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 解答题 41．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 42．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 43．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 44．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 45．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 46．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲反比例函数的图象与性质 目录 知识点1 反比例函数图象基本特征 2 知识点2 k的符号与图象象限、增减性关系（必考） 3 知识点3 比例系数k的几何意义（核心重难点） 3 知识点4 反比例函数解析式求解方法 3 知识点5 反比例函数几何综合基础 3 题型1 判断（画）反比例函数图象 4 题型2 已知双曲线分布的象限，求参数范围 10 题型3 判断反比例函数的增减性 11 题型4 判断反比例函数图象所在象限 13 题型5 已知反比例函数的增减性求参数 15 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 17 题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 19 题型8 求反比例函数解析式 23 题型9 反比例函数与几何综合 27 题型10 根据图形面积求比例系数 33 解答题 39 1. 知识目标：掌握反比例函数双曲线的图象特征、象限分布与增减性规律；熟记比例系数k的几何意义，理解图象对称性。 2. 能力目标：能绘制、判断反比例函数图象，根据图象性质求参数范围、比较函数值大小；熟练掌握待定系数法求解析式，解决k值与几何面积、几何综合题型。 3. 素养目标：建立数形结合思维，掌握“由式看图、由图推性、由性解题”的思路，提升函数与几何综合推理计算能力。 知识点1 反比例函数图象基本特征 反比例函数 的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成；图象无限靠近坐标轴，永远不与坐标轴相交。 对称性：双曲线关于原点中心对称、关于直线 轴对称。 函数形式 k的符号 函数图象 图象象限 增减性 （同一象限内） 图象特征 第一、三象限 y 随 x 增大而减小 双曲线两支分别在一三象限，无限靠近坐标轴，不与坐标轴相交 第二、四象限 y 随 x 增大而增大 双曲线两支分别在二四象限，无限靠近坐标轴，不与坐标轴相交 知识点2 k的符号与图象象限、增减性关系（必考） 1. 当 ：图象分布在第一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小。 2. 当 ：图象分布在第二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大。 重要易错：增减性必须限定在同一象限内，不能跨象限整体判断。 知识点3 比例系数k的几何意义（核心重难点） 若双曲线上任意一点，过点P分别作x轴、y轴垂线，围成的矩形面积：。 该点、原点、坐标轴垂足围成的直角三角形面积：。 结论：同一反比例函数上任意点对应的矩形、三角形面积恒定不变，只与|k|有关。 知识点4 反比例函数解析式求解方法 通用方法：待定系数法。只需一组(x,y)对应值，代入 求出k，即可确定解析式。 知识点5 反比例函数几何综合基础 常结合矩形、直角三角形、坐标、面积、对称性质解题；利用k的几何意义可快速秒杀面积类题型，无需逐点计算坐标。 题型1 判断（画）反比例函数图象 解题技巧（辨形状、定象限、验特征） 1. 形状判定：反比例图象为双曲线，排除直线、抛物线等其它函数图象； 2. 位置判定：由k的正负锁定象限，匹配图象分布； 3. 作图规范：列表取点（正负对称取值）→描点→平滑曲线连线，两支分开绘制； 4. 核心特征：图象无限趋近坐标轴、永不相交、关于原点对称。 1．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 2．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 3． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 【答案】(1) (2)如图即为所求： 由图可知，当时，或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式计算值，即可得到反比例函数表达式； （2）对反比例函数取对应值列表，在坐标系中描点、平滑连线得到图象；结合两函数交点横坐标，以交点和原点为分界，根据一次函数图象位于反比例函数图象下方即可确定当时的取值范围； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，将拆分为以该交点到原点的线段为公共底的两个三角形，分别以、纵坐标的绝对值为高计算面积，求和即可得到的面积． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把点代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：函数， 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： 、、、、、、、， 用平滑的曲线分别连接第二象限内的个点、第四象限内的个点，即可得到反比例函数的图象； 一次函数与反比例函数的交点为、，当时，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时，的取值范围是：或； （3）解：如图，设一次函数与轴交于点， 令，则，解得， ∴， 又、， ∴． 4．小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是． （2）解：把代入， ， ． （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交． （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为． 题型2 已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题技巧（象限对应符号、列不等式求解） 1. 一三象限分布：直接判定 ，列出参数不等式； 2. 二四象限分布：直接判定 ，列出参数不等式； 3. 必查条件：保证反比例函数成立，，杜绝遗漏限制条件； 4. 规范求解：解不等式，得出参数取值范围，结合题干取舍。 5．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 6．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数与图象位置的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， 解得：． 7．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 8．若反比例函数的图象有一支在第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，图象有一支在第三象限，可得比例系数为正数，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支在第三象限， ∴， 解得． 题型3 判断反比例函数的增减性 解题技巧（先定k符号、限定同一象限） 1. 先判k正负： 象限内递减， 象限内递增； 2. 严守前提：增减性只在单象限内成立，跨象限不能比较增减； 3. 文字规范：答题必须写明“在每一象限内”，否则判定错误； 4. 快速排除：所有“全体定义域单调增减”的说法均错误。 9．下列函数中，当时，函数值随自变量的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的增减性，根据函数性质逐一判断时随的变化趋势，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：、由知， ∴图象位于第一、三象限， ∴当时，函数值随的增大而减小，符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴随的增大而增大，不符合题意； 、由知， ∴图象位于第二、四象限， ∴当时，函数值随的增大而增大，不符合题意． 10．已知反比例函数，当时，自变量的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据反比例函数的增减性，结合求解即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且， 分两种情况讨论： （1） 当时，，显然满足，因此所有都符合条件； （2）当时，令，， 解得， 在第三象限，y随着x的增大而减小， 时， 综上，自变量的取值范围是或． 11．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 12．已知反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】 减小 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵对应第一象限内的图象， ∴随的增大而减小． 题型4 判断反比例函数图象所在象限 解题技巧（看k正负、一秒锁定象限） 1. 核心口诀：k正一三、k负二四； 2. 化简k值：含参数式子先化简，准确判断k的正负； 3. 特殊判定：含平方、绝对值的式子，可直接判定k恒正或恒负； 4. 避坑：不化简直接判断，容易出现象限判定错误。 13．一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 14．已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 15．对于函数，当时，函数图象位于第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据得出函数经过第二、四象限，再结合，即可作答． 【详解】解：∵函数的， ∴函数经过第二、四象限， ∴当时，函数图象位于第二象限． 故答案为：二 16．已知反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在第________象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数的性质，确定出k的正、负情况是解题的关键． 把代入，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， ∴此反比例函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三 题型5 已知反比例函数的增减性求参数 解题技巧（增减对应符号、列不等式+验定义） 1. 递减题型（象限内y随x增大而减小）：列 不等式； 2. 递增题型（象限内y随x增大而增大）：列 不等式； 3. 双重校验：解出参数范围后，默认满足 ，剔除无效值； 4. 收尾规范：写出完整参数取值范围。 17．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 18．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 19．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 20．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 题型6 比较反比例函数值或自变量的大小 解题技巧（先分象限、同区用增减、跨区直接判） 1. 分类找点：先判断所有点在同一象限还是不同象限； 2. 同象限点：利用增减性直接比较大小； 3. 跨象限点：一三象限：正数＞负数；二四象限：正数＞负数，直接秒杀； 4. 万能方法：无思路时代入数值计算具体函数值，精准对比。 21．若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先利用已知点A的坐标求出反比例函数的比例系数k，再分别求出和的值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入解析式得，解得， 将代入解析式得，解得， ∵， ∴． 22．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 23．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 24．已知反比例函数（其中是任意实数）图象上三点，，，则，，的大小关系是__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据得出反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，然后根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 反比例函数（其中是任意实数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在第三象限，点在第一象限， ∴，，， ∵， ， ∴． 题型7 已知比例系数求特殊图形的面积 解题技巧（套用k几何意义、直接代值秒杀） 1. 矩形面积：双曲线上一点作坐标轴垂线，矩形面积 ； 2. 直角三角形面积：基础垂轴三角形 ； 3. 组合图形：拆分、补形转化为基础矩形、直角三角形再计算； 4. 核心优势：无需求点坐标，直接用|k|快速算面积。 25．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 26．在平面直角坐标系中，等边的顶点落在x轴的负半轴上，平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上，则等边的边长为（     ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】作与D，连接，设等边三角形的边长为a，三线合一，勾股定理求出，根据平行面积转化，以及值的几何意义得到，再根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可. 【详解】解：作于点D，连接， 设等边三角形的边长为a，则， ∴， ∵平行于x轴，点B在反比例函数（）的图象上，点C在反比例函数（）的图象上， ， ， （负数舍去）， ∴等边的边长为． 27．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 28．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 题型8 求反比例函数解析式 解题技巧（待定系数法、一步求k） 1. 设式：设解析式 ； 2. 代值：将已知点坐标、对应x、y值代入式子； 3. 求k：解方程算出比例系数k； 4. 回代：写出完整解析式，最简形式作答。 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若反比例函数（）的图象经过的中点，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵点、， ∴的中点坐标为：， 反比例函数的图象经过的中点，可得， ． 30．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 32．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型9 反比例函数与几何综合 解题技巧（坐标转线段、k值定面积、对称辅助） 1. 坐标转化：点在双曲线上，坐标满足 ，可实现横纵坐标互求； 2. 线段转化：横纵坐标绝对值对应水平、竖直线段长度； 3. 图形结合：结合直角三角形、矩形、等腰三角形性质，联立求解边长、坐标、面积； 4. 对称妙用：利用原点对称特征，快速求对称点坐标，简化计算。 33．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 34．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】设，由关于原点对称得由轴得，由轴得，则，高，再由四边形是平行四边形，则面积． 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 35．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式． （2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，解得， 故反比例函数的表达式为． 点在反比例函数图象上，且纵坐标为， 将代入，解得， 故点的坐标为． 、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入， 得到，解得， 故一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：令一次函数中的，得，则点的坐标为， 设点的坐标为，则线段的长度为， ， ． ， ，即， 解得或， 的坐标为或． 答：的坐标为或． 题型10 根据图形面积求比例系数 解题技巧（面积反推|k|、图象定符号） 1. 正向列式：根据几何图形面积，列出含|k|的等式； 2. 求解绝对值：算出 的具体数值； 3. 符号判定：根据双曲线所在象限，判断k正负； 4. 精准取值：结合绝对值与符号，确定最终k值，杜绝符号错误。 37．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 38．如图，四边形是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限内的点分别在双曲线和的一支上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为和，则有以下的结论： ①若点坐标为，点坐标为，则； ②阴影部分的面积为； ③当时，； ④若四边形是菱形，则两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称． 其中正确的结论是_____________（填写正确结论的序号）． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ，， 点坐标为，点坐标为， ，， 点的坐标为， 把代入得：，结论符合题意 点在双曲线的一支上，点在双曲线的一支上， ，， ，， 阴影部分的面积为，结论不符合题意． 当时，是矩形， 不一定等于, 与不一定全等， 不一定等于，结论不符合题意． 连结交轴于点， 四边形是菱形， ，， 点、关于轴对称， 如图所示的两个图像关于轴对称， 双曲线和各自关于原点对称， 两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，结论符合题意． 39．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）可证明四边形是平行四边形，则，，则题目可解； （2）观察图像得不等式的解集； 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴点A与点B关于原点中心对称． ∴． ∵轴于点C，轴于点D， 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴反比例函数的解析式为 （2）解：由图象可知或． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的解集； (3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意有两部分． （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可． 【详解】（1）解：由得， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 反比例函数为． 将点，分别代入， 解得，． （2）解：由图象可知，的解集为或； （3）解：如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时取得最大值，为， 设直线解析式为， 将点，代入，得， 解得， ， 令，得， . 解答题 41．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数的表达式，进而求出，将，代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得，解得：， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：由函数图象可知，当时，或． 42．下面表格信息反映的是反比例函数的几组自变量与对应的函数值． (1)直接写出各字母表示的数值：_______；______；______； (2)根据表中各数值和（1）中的结果，在平面直角坐标系中通过描点、连线，画出反比例函数的图象； (3)已知直线经过与两点，在平面直角坐标系中画出该直线，观察图象，并直接写出当时自变量x的取值范围． 【答案】(1)；2； (2) (3)，或 【分析】（1）根据表格数据先求得，进而分别将，代入解析式求得的值； （2）根据表格数据，描点，连线，即可求解； （3）过与两点画出直线，再根据函数图象，写出一次函数在反比例函数图象上方时的自变量取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵时， ∴， 当时，， 当时，； （2）略 （3）直线图略 当时自变量x的取值范围为，或 43．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 44．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 45．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 46．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为2或6 【分析】（1）求出点，利用待定系数法即可求出答案； （2）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点C， 是等边三角形， ，， ∵， ， ，， ∴， 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：分两种情况讨论： ①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 把代入，得， ， ； ②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H． 由题意得， ，， 在中，， ∴，， 把代入，得， ， ， 综上所述，a的值为2或6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $