专题1.1 反比例函数（暑假预习讲义）（2大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026年苏科版九年级数学上学期培优讲义

专题1.1 反比例函数 【本节预习目标】 1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的三种表达形式，能准确识别反比例函数。 2.能根据反比例函数的定义求解参数取值，正确确定比例系数。 3.掌握反比例函数自变量与函数值的取值范围，能进行自变量与函数值的互求。 4.能用待定系数法确定简单反比例函数的解析式。 5.能结合几何、物理、生活等情境列出反比例函数关系式，确定自变量的实际取值范围，体会数学建模思想。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 函数的概念 一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则是的函数 反比例函数是函数的一类，满足单值对应关系，核心特征是两变量乘积为定值 正比例函数 形如（为常数，），两变量的比值为定值 反比例函数两变量的乘积为定值，变化规律与正比例函数相反 分式有意义的条件 分式的分母不能为0，分母中字母的取值不能使分母为0 反比例函数的分母含自变量，自变量需满足分母不为0，实际问题中需进一步限定范围 知识点1：反比例函数的定义 1.核心定义 一般地，如果两个变量、之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。 2.三种等价表达形式 ①分式形式：（为常数，）； ②乘积形式：（为常数，）； ③负指数形式：（为常数，）。 3.取值范围 自变量的取值范围是，函数值的取值范围是；实际问题中需结合具体情境进一步限制自变量的范围（如长度、价格为正等）。 知识点2：反比例函数解析式的确定 1.待定系数法求解析式 已知反比例函数上一组、的对应值，代入求出比例系数，即可确定函数解析式。 2.实际问题列解析式的步骤 ①审题：提取常量与变量，明确两个变量之间的等量关系； ②建模：设出变量，根据等量关系变形，整理为的形式； ③定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围。 【基础巩固题型】 【题型1】反比例函数的识别 1.核心知识点 反比例函数的定义；三种表达形式；比例系数的确定 2.解题方法技巧 ①判断反比例函数依次验证：含两个变量、可化为乘积为定值的形式、比例系数为非零常数； ②分母只能是自变量本身，含的多项式、的高次分式均不是反比例函数； 【例题1】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海虹口·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中为常数且的函数是反比例函数． 【详解】解：选项A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故A错误； 选项B、符合反比例函数定义，常数，故B正确； 选项C、是正比例函数，不符合反比例函数定义，故C错误； 选项D、未说明，当时不是反比例函数，故D错误． 【变式题1-2】.（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 【变式题1-3】.（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：(为常数，，)，，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为(或分母为单独的)． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 【题型2】根据反比例函数的定义求参数 1.核心知识点 反比例函数的形式特征；负整数指数幂；参数取值的限制条件 2.解题方法技巧 ①对于形式，令的次数为，且系数，列方程与不等式求解； ②对于分式形式，令分母中的次数为1，且分子为非零常数； ③解出参数后务必验证系数不为0，舍去使系数为0的解。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：由反比例函数的定义得，，． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知函数是反比例函数，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，其指数为，因此令指数部分等于，求解即可得出结果，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 【题型3】反比例函数图象上点的坐标 1.核心知识点 反比例函数上点的坐标满足；待定系数法；点与函数图象的对应关系 2.解题方法技巧 ①已知点在反比例函数图象上，直接利用“横纵坐标乘积等于”快速求比例系数或参数； ②判断点是否在函数图象上，可计算该点横纵坐标的乘积，若等于则点在图象上； ③多个点共反比例函数图象时，利用整体代入求值，无需分别求解参数。 【例题3】.（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得 ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，代入得， ． 【变式题3-1】.（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入反比例函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标一致，即为函数图象经过的点． 【详解】解：选项A：当时，，则点不在函数图象上； 选项B：当时，，则点不在函数图象上； 选项C：当时，，与点的纵坐标相等，则点在函数图象上； 选项D：当时，，则点不在函数图象上． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】分别把点和点的坐标代入反比例函数的解析式，求出和的值，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【详解】（1）解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； （2）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； （3）解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 【题型4】几何图形中的反比例函数关系式 1.核心知识点 常见几何图形的面积、体积公式；反比例关系的判断 2.解题方法技巧 ①回忆对应图形的面积/体积公式，确定其中的常量与变量； ②将公式变形，用含自变量的式子表示因变量，整理为的形式； ③注意几何量的实际意义，自变量需取正值。 【例题4】.（2025七年级上·湖南·专题练习）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【答案】B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 【变式题4-1】.（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当平行四边形的面积一定时，底与高成反比例，故原说法正确，不符合题意； B．当总面积一定时，方砖的边长的平方与所需的块数成反比例，故原说法错误，符合题意； C．圆的面积，可知圆的面积与半径的平方成正比，故原说法正确，不符合题意； D．正方形的周长边长（一定），所以正方形的周长与边长成正比例，故原说法正确，不符合题意． 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，是反比例函数 (2) 函数关系式为，是反比例函数 【分析】本题考查函数关系式的建立以及函数类型的判断： （1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可； （2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 【培优提升题型】 【题型5】生活经济类反比例函数关系式 1.核心知识点 路程、速度、时间的关系；总价、单价、数量的关系；反比例建模 2.解题方法技巧 ①从题干中提取“总量固定”的关键信息，如路程一定、总价一定、工作总量一定等； ②根据基本数量关系，将因变量用自变量表示出来； ③结合生活常识确定自变量的取值范围，如速度、单价均为正数。 【例题5】.（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】本题主要考查了了反比例函数的定义， 根据题意得出关系式，再根据关系式得出答案. 【详解】解：根据题意，得，即， 所以水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是反比例函数关系. 故答案为：反. 【变式题5-1】.（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【答案】B 【分析】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键 根据成反比例的定义解答即可． 【详解】A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列问题中的函数表达式，并指出它们分别是什么函数，无需写出自变量取值范围． （1）三角形的面积S是常数时，它的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为_______； （2）食堂存煤，可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为_______； （3）用100元钱购买一批练习本，购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为_____； （4）某工厂今年产值为40万元，计划今后每年增加5万元，年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为______． 【答案】 ，反比例函数 ，反比例函数 ，反比例函数 ，一次函数 【分析】本题主要考查了求函数表达式，一次函数和反比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的定义． （1）根据三角形面积公式求出函数解析式，然后判断函数类型即可； （2）根据煤的总吨数平均每天的用煤量可使用的天数列出关系式，然后进行判断即可； （3）根据总钱数购买的数量每本练习本的单价列出关系式，然后进行判断即可； （4）根据年产值今年产值增加的数量列出关系式，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）三角形的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （2）可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （3）购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为，该函数为反比例函数； 故答案为：；反比例函数； （4）年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为，该函数为一次函数． 故答案为：，一次函数． 【变式题5-3】.（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列几组量中，不成反比例的为（   ） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 【答案】B 【分析】本题考查成反比例，根据两个变量的乘积一定时，两个变量成反比例，进行判断即可． 【详解】解：A、工作总量一定，工作效率和工作时间的乘积为定值，成反比例，不符合题意； B、减数一定，被减数和差的差值一定，不成反比例，符合题意； C、面积一定，平行四边形的底和高的乘积为定值，成反比例，不符合题意； D、电压一定时，电流与电阻的乘积为定值，成反比例，不符合题意； 故选B． 【题型6】图表信息类反比例函数关系式 1.核心知识点 表格数据的分析；反比例关系的验证；待定系数法 2.解题方法技巧 ①先验证表格中每组与的乘积是否为定值，确认是否为反比例关系； ②选取一组数据计算比例系数，写出函数解析式； ③代入其他组数据验证解析式的正确性。 【例题6】.（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例关系设，求出，，再将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设， 当，时， ， 解得：， ， 当，时， ， 解得：， 故答案为：． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·福建南平·期中）如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的性质与应用，即两个量和成反比例关系时，它们的乘积是一个定值，（为常数）．由于和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知数据，，求出该定值，再代入求出的值即可解答． 【详解】由反比例关系可知，（为常数）， 取，，得， 验证，，，符合， 当时，则，解得， 故答案为：． 易错点 1、混淆反比例函数的形式，误将分母含多项式的函数（如）、自变量次数不是-1的函数（如）判定为反比例函数。 2、求比例系数时出错，例如将的值错写为3，正确应为；忽略的限制条件，导致参数求解错误。 3、确定自变量取值范围时，只考虑分母不为0，忽略实际问题中自变量的正性限制、边界限制（如墙长、数量为正整数等）。 4、列实际问题关系式时找错等量关系，将正比例与反比例混淆，如路程一定时误将速度与时间判断为正比例关系。 重点 1、反比例函数的概念与三种表达形式，能准确识别反比例函数并确定比例系数。 2、用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握反比例函数上点的坐标特征。 3、结合几何、物理、生活等情境列反比例函数关系式，并确定自变量的取值范围。 难点 1、跨学科情境下等量关系的提取，将物理、几何等背景的问题转化为反比例函数模型。 2、含限制条件的实际问题中，自变量取值范围的精准确定与方案合理性判断。 3、新定义、探究类问题中，反比例函数定义的灵活应用与逻辑推理。 一、单选题 1．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 2．在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 3．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 二、填空题 4．已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 5．已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 【答案】6 【分析】先将点代入反比例函数解析式求出的值，再将点代入解析式即可求出． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴． 6．若函数为反比例函数，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且）． 根据反比例函数的定义，比例系数不能为零． 【详解】解：∵函数为反比例函数， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题 7．已知反比例函数的图象经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点代入解析式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 8．已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】(1) ； (2) 点不在该反比例函数的图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）计算当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得； （2）解：， 当时，， ∴点不在该反比例函数的图象上． 9．已知反比例函数的关系如下表所示． (1)求反比例函数的表达式． (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在反比例函数的图象上 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质． （1）根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为（）， 由表可知，， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：当时，， 点在反比例函数的图象上． 10．已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． （1）将点代入函数解析式，即可求得m的值； （2）根据（1）中所求得到函数解析式，判断点是否满足该函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得； （2）解：点在该函数图象上， 理由：由（1）得函数解析式为， 当时，，与点的纵坐标一致， ∴点在该函数图象上． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 反比例函数 【本节预习目标】 1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的三种表达形式，能准确识别反比例函数。 2.能根据反比例函数的定义求解参数取值，正确确定比例系数。 3.掌握反比例函数自变量与函数值的取值范围，能进行自变量与函数值的互求。 4.能用待定系数法确定简单反比例函数的解析式。 5.能结合几何、物理、生活等情境列出反比例函数关系式，确定自变量的实际取值范围，体会数学建模思想。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 函数的概念 一个变化过程中，对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则是的函数 反比例函数是函数的一类，满足单值对应关系，核心特征是两变量乘积为定值 正比例函数 形如（为常数，），两变量的比值为定值 反比例函数两变量的乘积为定值，变化规律与正比例函数相反 分式有意义的条件 分式的分母不能为0，分母中字母的取值不能使分母为0 反比例函数的分母含自变量，自变量需满足分母不为0，实际问题中需进一步限定范围 知识点1：反比例函数的定义 1.核心定义 一般地，如果两个变量、之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。 2.三种等价表达形式 ①分式形式：（为常数，）； ②乘积形式：（为常数，）； ③负指数形式：（为常数，）。 3.取值范围 自变量的取值范围是，函数值的取值范围是；实际问题中需结合具体情境进一步限制自变量的范围（如长度、价格为正等）。 知识点2：反比例函数解析式的确定 1.待定系数法求解析式 已知反比例函数上一组、的对应值，代入求出比例系数，即可确定函数解析式。 2.实际问题列解析式的步骤 ①审题：提取常量与变量，明确两个变量之间的等量关系； ②建模：设出变量，根据等量关系变形，整理为的形式； ③定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围。 【基础巩固题型】 【题型1】反比例函数的识别 1.核心知识点 反比例函数的定义；三种表达形式；比例系数的确定 2.解题方法技巧 ①判断反比例函数依次验证：含两个变量、可化为乘积为定值的形式、比例系数为非零常数； ②分母只能是自变量本身，含的多项式、的高次分式均不是反比例函数； 【例题1】.（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海虹口·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·上海宝山·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级·上海·寒假作业）下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【题型2】根据反比例函数的定义求参数 1.核心知识点 反比例函数的形式特征；负整数指数幂；参数取值的限制条件 2.解题方法技巧 ①对于形式，令的次数为，且系数，列方程与不等式求解； ②对于分式形式，令分母中的次数为1，且分子为非零常数； ③解出参数后务必验证系数不为0，舍去使系数为0的解。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若是y关于x的反比例函数，则a的值是________． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）已知函数是反比例函数，则_______． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【题型3】反比例函数图象上点的坐标 1.核心知识点 反比例函数上点的坐标满足；待定系数法；点与函数图象的对应关系 2.解题方法技巧 ①已知点在反比例函数图象上，直接利用“横纵坐标乘积等于”快速求比例系数或参数； ②判断点是否在函数图象上，可计算该点横纵坐标的乘积，若等于则点在图象上； ③多个点共反比例函数图象时，利用整体代入求值，无需分别求解参数。 【例题3】.（25-26八年级下·重庆·期中）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求x的值． 【变式题3-1】.（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知点、均在反比例函数的图象上，则的值为______． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是的反比例函数，且当时，． (1)求这个函数的表达式； (2)求当时，的值； (3)当取何值时，？ 【题型4】几何图形中的反比例函数关系式 1.核心知识点 常见几何图形的面积、体积公式；反比例关系的判断 2.解题方法技巧 ①回忆对应图形的面积/体积公式，确定其中的常量与变量； ②将公式变形，用含自变量的式子表示因变量，整理为的形式； ③注意几何量的实际意义，自变量需取正值。 【例题4】.（2025七年级上·湖南·专题练习）下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 【变式题4-1】.（2025九年级上·北京·专题练习）下面说法中错误的是（   ） A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的边长与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径不成比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 【培优提升题型】 【题型5】生活经济类反比例函数关系式 1.核心知识点 路程、速度、时间的关系；总价、单价、数量的关系；反比例建模 2.解题方法技巧 ①从题干中提取“总量固定”的关键信息，如路程一定、总价一定、工作总量一定等； ②根据基本数量关系，将因变量用自变量表示出来； ③结合生活常识确定自变量的取值范围，如速度、单价均为正数。 【例题5】.（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）水池内有水，水流经过排水管的时间与水池每小时流出的水量之间的关系是______比例关系．（填“正”或“反”） 【变式题5-1】.（24-25七年级上·北京西城·期中）下列关系中，成反比例关系的是（    ） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【变式题5-2】.（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列问题中的函数表达式，并指出它们分别是什么函数，无需写出自变量取值范围． （1）三角形的面积S是常数时，它的底边长y与这条边上的高x之间的函数表达式为_______； （2）食堂存煤，可使用的天数t与平均每天的用煤量之间的函数表达式为_______； （3）用100元钱购买一批练习本，购买的数量y（本）与每本练习本的单价a（元）之间的函数表达式为_____； （4）某工厂今年产值为40万元，计划今后每年增加5万元，年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式为______． 【变式题5-3】.（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列几组量中，不成反比例的为（   ） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 【题型6】图表信息类反比例函数关系式 1.核心知识点 表格数据的分析；反比例关系的验证；待定系数法 2.解题方法技巧 ①先验证表格中每组与的乘积是否为定值，确认是否为反比例关系； ②选取一组数据计算比例系数，写出函数解析式； ③代入其他组数据验证解析式的正确性。 【例题6】.（2026·山西大同·模拟预测）小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【变式题6-3】.（25-26七年级上·福建南平·期中）如表，如果x和y两个量成反比例关系，那么“？”处应填____． 易错点 1、混淆反比例函数的形式，误将分母含多项式的函数（如）、自变量次数不是-1的函数（如）判定为反比例函数。 2、求比例系数时出错，例如将的值错写为3，正确应为；忽略的限制条件，导致参数求解错误。 3、确定自变量取值范围时，只考虑分母不为0，忽略实际问题中自变量的正性限制、边界限制（如墙长、数量为正整数等）。 4、列实际问题关系式时找错等量关系，将正比例与反比例混淆，如路程一定时误将速度与时间判断为正比例关系。 重点 1、反比例函数的概念与三种表达形式，能准确识别反比例函数并确定比例系数。 2、用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握反比例函数上点的坐标特征。 3、结合几何、物理、生活等情境列反比例函数关系式，并确定自变量的取值范围。 难点 1、跨学科情境下等量关系的提取，将物理、几何等背景的问题转化为反比例函数模型。 2、含限制条件的实际问题中，自变量取值范围的精准确定与方案合理性判断。 3、新定义、探究类问题中，反比例函数定义的灵活应用与逻辑推理。 一、单选题 1．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 2．在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 3．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知反比例函数，当时，那么的值为________． 5．已知反比例函数的图像经过点和点，则______． 6．若函数为反比例函数，则a的取值范围为________． 三、解答题 7．已知反比例函数的图象经过点，求m的值． 8．已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 9．已知反比例函数的关系如下表所示． (1)求反比例函数的表达式． (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 10．已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $