暑期预习讲义（第2讲）——反比例函数与一次函数综合 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

暑期预习讲义（第2讲）——反比例函数与一次函数综合（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】k的几何意义（综合必考） 1 【题型 1】通过k值几何意义求面积 2 【题型 2】通过k值几何意义求解析式 3 【知识点二】反比例函数与一次函数综合（中考必考） 4 【题型 3】反比例函数与一次函数图象相交区间取值范围 5 【题型 4】反比例函数与一次函数图象交点问题 6 【知识点三】反比例函数与面积综合（铅垂法） 7 【题型 5】反比例函数与割补法求面积 8 【题型 6】反比例函数与铅垂法求面积 9 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 10 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 12 二.同步自测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 学习方法：先读概念→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】k的几何意义（综合必考） k值几何意义是所有几何综合题型的基础，所有反比例函数几何题，本质均围绕k的几何意义展开，务必熟练背诵并灵活运用。 1. 基础核心模型（单垂线模型） 如上图：设点是反比例函数图象上任意一点： 过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，所得矩形OAPB的面积： 连接OP，所得直角三角形OPA、OPB的面积： 【要点提示】（1）面积为正数，计算面积必须带绝对值；（2）已知面积求k值时，需根据图象所在象限判断k的正负，不可直接取正值；（3）该结论适用于双曲线上任意一点，无位置限制。 【题型 1】通过k值几何意义求面积 【例题1】（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【题型 2】通过k值几何意义求解析式 【例题2】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【变式1】（2025·广西南宁·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【知识点二】反比例函数与一次函数综合（中考必考） 1、 两大函数基本性质 （1）一次函数：，图象为直线，经过一、二、四或一、三、四等象限，要么递增要么递减； （2）反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心是原点，反比例函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线与直线； （3）反比例函数的图象，当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小；当时，在每一象限内，的值随值的增大而增大。 2、 综合题核心本质 一次函数与反比例函数综合题，所有题型均围绕图象交点、坐标联动、数形转化展开，已知一个函数点坐标，可双向求解参数、解析式、面积、取值范围。 3、函数交点求解步骤 （1）联立一次函数与反比例函数解析式； （2）消去y，得到关于x的分式方程/一元二次方程； （3）解方程求出x，回代求对应y； （4）写出交点坐标（常存在两个交点、一个交点、无交点三种情况）。 【题型 3】反比例函数与一次函数图象相交区间取值范围 【例题3】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式时x的解集． 【变式1】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测）函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出的解集． 【题型 4】反比例函数与一次函数图象交点问题 【例题4】（2026年安徽三海学地教育联盟初中毕业班第二次质量检测数学（试题卷））如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数的图象分别交于，两点，直线与轴交于点．已知点和的横坐标分别为和． （1）求一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围； （2）连接，，若的面积为，求点的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示． （1）求m的取值范围． （2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【知识点三】反比例函数与面积综合（铅垂法） （1）直线与坐标轴围成的三角形、直线与双曲线交点和原点构成的三角形、不规则阴影三角形； （2）铅垂高水平宽法：； （3）基础套路：优先求直线与坐标轴交点、双函数交点，再用割补法、铅垂法求面积。 【题型 5】反比例函数与割补法求面积 【例题5】（2026·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据图象，当，时，求x的取值范围． （3）求的面积． 【变式1】（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积． 【变式3】（2025九年级·江西·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）连接OA，OB，求的面积． 【题型 6】反比例函数与铅垂法求面积 【例题5】（25-26九年级下·安徽阜阳·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点C．点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，则的面积______ ．    【变式2】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025·湖北·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围． 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 【例题7】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．已知点、的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）在同一坐标系中函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 【例题8】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． （1）当时，自变量的取值范围为________； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【变式2】（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则______． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点B作轴于点A，连接OB，将向右平移，得到，交双曲线于点． （1）求a的值； （2）求向右平移到的距离． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期中）在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24·山西太原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）如图，直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点，则与的比为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 6．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 7．（23-24九年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 8．（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（x＞0）交于C点，且AB＝AC，则k的值为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点A、B， 下列说法正确的是（    ）    A．点B的坐标为 B．一次函数的表达式为 C．反比例函数的值随x值的增大而增大 D．若，则或 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（  ） A．两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B．直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C．由图象可知，当时， D．当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段检测）若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则_____． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是___________． 13．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数相交于点，，则不等式的解集是______． 14．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段检测）已知点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点，则_______． 15．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数交于点，若，则_____． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__． 18．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接． （1）k的值为______； （2）若点M位于第一象限反比例函数的图象上，点N在线段上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 20．（本小题满分8分）（22-23九年级上·河南新乡·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求一次函数解析式； （2）在反比例函数第三象限的图像上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求这两个函数的解析式． （2）根据图象直接写出关于的不等式的解集． （3）连接，，求的面积． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东济宁·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）观察一次函数与反比例函数的图象，请直接写出时x的取值范围． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．一次函数的图象与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若为轴上的一个动点，连接，的面积为时，求点的坐标． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； （3）设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第2讲）——反比例函数与一次函数综合（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】k的几何意义（综合必考） 1 【题型 1】通过k值几何意义求面积 2 【题型 2】通过k值几何意义求解析式 5 【知识点二】反比例函数与一次函数综合（中考必考） 10 【题型 3】反比例函数与一次函数图象相交区间取值范围 10 【题型 4】反比例函数与一次函数图象交点问题 14 【知识点三】反比例函数与面积综合（铅垂法） 18 【题型 5】反比例函数与割补法求面积 18 【题型 6】反比例函数与铅垂法求面积 24 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 29 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 35 二.同步自测 40 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 40 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 49 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 56 学习方法：先读概念→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】k的几何意义（综合必考） k值几何意义是所有几何综合题型的基础，所有反比例函数几何题，本质均围绕k的几何意义展开，务必熟练背诵并灵活运用。 1. 基础核心模型（单垂线模型） 如上图：设点是反比例函数图象上任意一点： 过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，所得矩形OAPB的面积： 连接OP，所得直角三角形OPA、OPB的面积： 【要点提示】（1）面积为正数，计算面积必须带绝对值；（2）已知面积求k值时，需根据图象所在象限判断k的正负，不可直接取正值；（3）该结论适用于双曲线上任意一点，无位置限制。 【题型 1】通过k值几何意义求面积 【例题1】（24-25八年级下·四川乐山·阶段检测）已知双曲线经过矩形边的中点，交边于点． （1）求的值； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）四边形的面积为． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，比例系数的几何意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）用待定系数法求解即可； （）先求出，又为边的中点，则有，，，然后通过即可求解． 解：（1）解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 【变式3】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． （1）求k的值； （2）已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 解：（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 【题型 2】通过k值几何意义求解析式 【例题2】（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 【变式1】（2025·广西南宁·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在反比例函数 的图象上，交轴于点．若点是的中点，的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而由系数k的几何意义可得答案． 解：如图，作轴，垂足为点， 在和中， ， ， 反比例函数图象在第二象限， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，，故，，根据，求解即可； 解：设，根据题意，得反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点， 故，， 的面积为， ， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 故反比例函数的解析式为； 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，若的面积是3，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 【知识点二】反比例函数与一次函数综合（中考必考） 1、 两大函数基本性质 （1）一次函数：，图象为直线，经过一、二、四或一、三、四等象限，要么递增要么递减； （2）反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心是原点，反比例函数图象是轴对称图形，其对称轴是直线与直线； （3）反比例函数的图象，当时，在每一象限内，的值随值的增大而减小；当时，在每一象限内，的值随值的增大而增大。 2、 综合题核心本质 一次函数与反比例函数综合题，所有题型均围绕图象交点、坐标联动、数形转化展开，已知一个函数点坐标，可双向求解参数、解析式、面积、取值范围。 3、函数交点求解步骤 （1）联立一次函数与反比例函数解析式； （2）消去y，得到关于x的分式方程/一元二次方程； （3）解方程求出x，回代求对应y； （4）写出交点坐标（常存在两个交点、一个交点、无交点三种情况）。 【题型 3】反比例函数与一次函数图象相交区间取值范围 【例题3】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式时x的解集． 【答案】（1），；（2）6；（3）或 【分析】（1）把代入求出反比例函数的解析式，可求出点A的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）求出点，根据解答即可； （3）直接观察图象，即可解答． 解：（1）解：∵在函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∵经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：∵C是直线与x轴的交点， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：不等式时x的解集为或． 【变式1】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测）函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 【变式2】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据两条直线的交点求不等式的解集，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用点在双曲线的图象上，求出反比例函数解析式，再求出点的横坐标，从而可结合图象求出不等式的解集． 解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线的图象上， ∴，解得：， ∴， 当时，在第一象限内点的左边符合，此时； 在第三象限内点的左边符合，此时， 综上所述，不等式的解集是或， 故答案为：或． 【变式3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出的解集． 【答案】（1）；；（2）或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用，正确进行计算是解题关键． （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图象作答即可． 解：（1）解：点在反比例函数的图象上， ． ∴反比例函数的解析式为； 把代入，则． ∴点． 把，代入，得 ，解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：，， 由图象可知，不等式的解集为或． 【题型 4】反比例函数与一次函数图象交点问题 【例题4】（2026年安徽三海学地教育联盟初中毕业班第二次质量检测数学（试题卷））如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数的图象分别交于，两点，直线与轴交于点．已知点和的横坐标分别为和． （1）求一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围； （2）连接，，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）通过观察图象即可求解； （2）过点作轴交于点，易得，根据的面积为列方程可得的值，进而确定点的坐标． 解：（1）解：点和的横坐标分别为和． 根据函数图象可得：一次函数图象在反比例函数图象上方时，的取值范围为或； （2）解：点和的横坐标分别为和，且，在上， 当时，，当时，， ，， 代入得，， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 如图，过点作轴交于点， 直线沿轴向上平移个单位长度， ， ， ， ，解得， ， ， ，即． 【变式1】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点坐标的求法，解题的关键是求得解析式后再联立方程组即可求出交点坐标．将交点坐标代入解析式中，求出a，b的值，然后再联立方程组求另一个交点坐标． 解：将代入中，即， ∴正比例函数为：， 将代入中，即， ∴反比例函数为：， 联立方程组：，即：， 整理得： 解之得：， 将代入正比例函数中， 解得 ∴另一个交点的坐标为 故选：D． 【变式2】（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【答案】或 【分析】先求解点，，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接，    ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·阶段检测）反比例函数的图象的一分支如图所示． （1）求m的取值范围． （2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限的交点为，求的值． 【答案】（1）；（2）52 【分析】（1）由反比例函数的图象的一分支在第一象限，得比例系数一定大于0，即可求得m的范围； （2）首先，把点A代入中得n的值，再将点A代入得m的值，最后，代入可求得的值． 解：（1）解：∵反比例函数的图象的一分支在第一象限， ∴， 解得； （2）解：根据题意，把点代入，得； ∴点， 把点代入，得， 解得， ∴． 【知识点三】反比例函数与面积综合（铅垂法） （1）直线与坐标轴围成的三角形、直线与双曲线交点和原点构成的三角形、不规则阴影三角形； （2）铅垂高水平宽法：； （3）基础套路：优先求直线与坐标轴交点、双函数交点，再用割补法、铅垂法求面积。 【题型 5】反比例函数与割补法求面积 【例题5】（2026·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点与点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据图象，当，时，求x的取值范围． （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）；（3）的面积是6 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）根据图象可知，在和两个交点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即可求解； （3）先求出点，再求和，计算即可． 解：（1）解：反比例函数的图象过点， ，解得， 反比例函数的解析式为， 点在的图象上， ，则， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：一次函数与反比例函数的交点为和，由图象可知，在两个交点之间，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 当时，x的取值范围为； （3）解：当时，，则点， ，， ，， 则． 【变式1】（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【答案】或 【分析】先求解点，，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接，    ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和． （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形求面积即可． 解：（1）解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：点 在反比例函数 上， ∴点 的坐标为， 轴，垂足 在 轴上， 点的坐标为， 直线 与 轴交点 ， 令 ，则，解得， ∴ 点的坐标为， ， 四边形的面积为． 【变式3】（2025九年级·江西·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）连接OA，OB，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）6 【分析】（1）将代入一次函数解析式求出，再将代入反比例函数解析式求出即可得解； （2）方法一：联立一次函数解析式和反比例函数解析式求出点坐标，再借助一次函数解析式求出一次函数与轴交点点的坐标，则根据求解即可； 方法二：过点作轴的垂线交于点，通过点坐标求出直线的解析式，接着求出点的坐标，最后根据即可求解． 解：（1）解：把代入，得， 一次函数的解析式为． 把代入，（k为常数且），得 ， 反比例函数的解析式为． （2）解：联立，得（点拨：联立反比例函数和一次函数的解析式，解方程即可得出反比例函数和一次函数的图象的交点的坐标） 解得或 点B的坐标是． 如图，设一次函数的图象与轴交于点． 在中，令，则， ， （点拨：利用同底三角形的面积差计算）． 一题多解法 （2）如图，过点A作x轴的垂线交BO于点D． 已求出点B的坐标为，设直线OB的解析式为，得， 解得， 直线OB的解析式为． 把代入，得， 点D的坐标为， ． 【点拨】本题考查的知识点是求一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数解析式、反比例函数与几何综合—求三角形面积，解题关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题． 【题型 6】反比例函数与铅垂法求面积 【例题5】（25-26九年级下·安徽阜阳·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，，一次函数的图象与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）；；（2）的面积为24 【分析】（1）将代入得，，将和分别代入得，； （2）由所给条件得，，联立和可得它们的交点为或，故，故． 解：（1）解：将代入得，，解得， ∴反比例函数的表达式为； 将和分别代入，得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：轴于点，点， ，， 由得或， ∴点A的坐标为， ． 即的面积为24． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点C．点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，则的面积______ ．    【答案】6 【分析】由一次函数的解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后作轴，交直线于点，则点的纵坐标为，利用函数解析式求得、的坐标，最后根据三角形面积公式即可求得． 解：一次函数的图象过点， ． 点A在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为． 点是反比例函数图象上一点且纵坐标是， ． 作轴，交直线于点，   点的纵坐标为． 代入得，，解得， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，注意数形结合思想的运用． 【变式2】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 解：（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点拨】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 【变式3】（2025·湖北·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2）且 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线与x轴的交点，再根据的面积小于10，列出不等式，解不等式即可． 解：（1）解：把代入得， ， 把代入得：， 把，代入得： ， 解得， ； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为， ， 整理得：， 当时，， 解得：， ∴此时； 当时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：且． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，以及直线与坐标轴围成的三角形面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【题型 7】反比例函数与一次函数图象与性质综合 【例题7】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．已知点、的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． 首先根据点在直线上，求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出的值即可； 根据一次函数的解析式和反比例函数解析式分别求出点、、、的坐标，根据两点之间的距离公式求出、的长度，再利用三角形的面积公式求出的面积； 根据图像上直线与双曲线的位置关系可以求出不等式的解集． 解：（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为， 又点在反比例函数上， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：如下图所示，连接、，过点作于点， 当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为，且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ； （3）解：点的坐标为，点的坐标为， 从图像上可以看出不等式的解集为或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）在同一坐标系中函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象，一次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键．根据反比例函数与一次函数图象与系数的关系判断即可． 解：当时，反比例函数的图象在二，四象限，一次函数的图象过二、三、四象限，无符合选项； 当时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限，选项D符合． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是______ 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，表示出直线解析式，得出，求解即可，同理，当在原点左侧时，，求解即可． 解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ； ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． ∴的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案； （3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案． 解：（1）解：反比例函数过点， ，即； 将，代入，得， 点的坐标为， 将点，的坐标代入一次函数中，得，解得， ； （2）解：在直线中，当时，， 点的坐标为，即， ； （3）解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、， 或． 【题型 8】反比例函数与一次函数几何综合 【例题8】（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． （1）当时，自变量的取值范围为________； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】（1）或；（2）一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为；（3） 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 解：（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（   ） A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点 C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴D是的中点，故选项B正确，不合题意； ∵ ∴，故选项C正确，不合题意； 在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意． 【变式2】（2025·广西·一模）如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式． 先求出反比例函数的解析式，结合图形求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立反比例函数和直线：，即可求出两个图像的交点，从而得到点的坐标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 又依题意可得， 设直线的解析式为， 直线过，， ， ， ， 联立方程组得， 解得：和， ， ， 如图，构造， ，， ． 故答案是：． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点B作轴于点A，连接OB，将向右平移，得到，交双曲线于点． （1）求a的值； （2）求向右平移到的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的性质（点在反比例函数图象上则横纵坐标之积等于比例系数）和平移的性质（图形平移后对应点横坐标的差为水平平移距离，对应线段平行），解题的关键是先利用点求出反比例函数的值，再结合平移性质和点在直线上的条件列方程求解． （1）先根据点在反比例函数上，求出的值；再将点代入反比例函数解析式，列方程求出（注意，舍去负根）；   （2）设向右平移的距离为，根据平移性质表示出、的坐标；利用的性质（或点在O'B'上）列方程，求解，即为平移距离． 解：（1）解：∵点在反比例函数的图象上，   ∴，即反比例函数解析式为．   又∵点在该双曲线上，   ∴，即，．   ∵ ，∴，即， ∴．   （2）解：设向右平移的距离为（即对应点横坐标增加，纵坐标不变）．   由题意得：，平移后为，平移后为．   ∵，设直线的解析式为，   将、 代入得：，   两式相减得， ∴，代入得，   即直线O'B'的解析式为．   由（1）知，且在上，   ∴，   化简得，，解得．   答：向右平移的距离为． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期中）在同一坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键． 由于本题不确定k的符号，可以根据一次函数经过的象限判断出k的符号，然后确定反比例函数经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案． 解：A、一次函数经过一、三、四象限，则，则反比例函数经过一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B、一次函数不可能过一、二、三象限，图象不正确，反比例函数图象过一、三象限，则，故此选项错误，不符合题意； C、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项错误，不符合题意； D、一次函数经过一、二、四象限，则，则反比例函数经过二、四象限，故此选项符合题意； 故选D． 2．（23-24·山西太原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 3．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）如图，直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点，则与的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先联立直线与双曲线的表达式求出点的坐标，再由两点间距离公式表示出，即可求解与的比． 解：∵直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点， ∴， 解第一个方程组得，； 解第二个方程组得，， ∴，， ∴， ∴与的比为． 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合；观察图象，一次函数图象位于反比例函数图象下方的自变量的取值范围即是不等式的解集． 解：由图象知，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， 故不等式的解集为：或； 故选：C． 5．（2026·重庆大足·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C．连接，，则的面积为（　　） A．4 B．9 C．16 D．8 【答案】D 【分析】把代入反比例函数解析式，求出m，进而求出n，再将点A、B的坐标代入求出直线的解析式求面积即可． 解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 把的坐标代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·山东威海·阶段检测）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质； 先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可. 解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限； 故选：A. 7．（23-24九年级上·山东枣庄·自主招生）如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，正方形的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上，若正方形向左平移n个单位后，顶点C恰好落在该反比例函数的图象上，则n的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，正方形的性质；熟练掌握反比例函数解析式的求法，灵活运用正方形的性质是解题的关键．过点作轴过点作轴，可证，，则可求，，确定函数解析式，向左移动个单位后为，进而求的值； 解：在正方形中，， 过点作轴，过点作轴， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 令，解得， ∴，， ， 顶点在反比例函数上， ， ， 同理可证：， ，， ， 向左移动个单位后为， ， ， 故选：A． 8．（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数（x＞0）交于C点，且AB＝AC，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，作CD⊥x轴于点D，根据AB=AC，证明△BAO≌△CAD（AAS），根据一次函数解析式表达出BO=CD=2，OA=AD=，从而表达出点C的坐标，代入反比例函数解析式即可解答． 解：如图所示，作CD⊥x轴于点D， ∴∠CDA=∠BOA=90°， ∵∠BAO=∠CAD，AB=AC， ∴△BAO≌△CAD（AAS）， ∴BO=CD， 对于一次函数 y=kx-3， 当x=0时，y=-3，当y=0时，x=， ∴BO=CD=3，OA=AD=， ∴OD= ∴点C（，3）， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 故选：B． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．表达出C点的坐标是解题的关键． 9．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点A、B， 下列说法正确的是（    ）    A．点B的坐标为 B．一次函数的表达式为 C．反比例函数的值随x值的增大而增大 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数的增减性等等，把A、B横坐标代入反比例函数解析式求出A、B的坐标是解题的关键． 解：在中，当时，， ∴点B的坐标为，故A说法错误，不符合题意； 同理可得点A的坐标为， 把代入中得：， ∴， ∴一次函数的表达式为，故B说法错误，不符合题意； ∵在中，， ∴反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内的值随x值的增大而增大，故C说法错误，不符合题意； 由函数图象可知，当时，或，故D说法正确，符合题意； 故选D． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（  ） A．两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B．直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C．由图象可知，当时， D．当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数性质逐项分析判断即可． 解：A、将分别代入两个解析式得，，所以两个函数图象在第一象限的交点坐标为，正确，不符合题意； B、将分别代入两个函数解析式，得，，则，正确，不符合题意； C、当时，；当时，，故原说法错误，符合题意； D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意； 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段检测）若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则_____． 【答案】/ 【分析】一次函数的图象与反比例函数的图象过点，可得，，将通分，即可求得答案． 解：因为一次函数的图象与反比例函数的图象过点，所以 ，． 即，． 所以． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特点，灵活利用函数解析式和函数图象上点的坐标是解题的关键． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用图象法解不等式是解题的关键．观察图象，找出反比例函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时，对应的取值范围即可． 解：由图象得，当或时，， ∴当时，则的取值范围是或； 故答案为：或． 13．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数相交于点，，则不等式的解集是______． 【答案】或， 【分析】找出直线在反比例函数图象的上方部分图象的自变量x的取值范围，即可． 解：∵直线和反比例函数相交于点，， 如图：    当时，或， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 14．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段检测）已知点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点，则_______． 【答案】 【分析】把点分别代入反比例函数 与一次函数，求出与的值，将代数式根据完全平方公式变形再代入值进行计算即可． 解：点是反比例函数的图像与一次函数的图像的交点， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，对于本题我们可以先分别把点代入两个函数中，再对函数和所求的代数式进行适当变形，然后整体代入即可． 15．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数交于点，若，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及两点间距离公式的应用，解题关键是熟练掌握一次函数的性质及两点间距离公式。 由一次函数的性质可知，其图象上点的横、纵坐标相等，设，然后根据两点间距离公式，得到点坐标，然后代入反比例函数即可解答。 解：∵反比例函数与一次函数交于点A， ∴直线上的点的横、纵坐标相等， ∵点A在第一象限， ∴设点的坐标为． ∵原点和点， ∴． ∵， ∴，． ∵ ， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 将点的坐标代入反比例函数得 ． 故答案为：8． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为与B点．若C是y轴上的点，且满足的面积为20，则C点坐标为__． 【答案】或 【分析】把代入与求得函数的解析式，联立方程组求得，设，根据面积公式列方程即可得到结论． 解：把代入得， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 一次函数解析式为， 一次函数解析式为与轴的交点为， 解得，， ， 设， 的面积为20， ， 或， 或； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 18．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接． （1）k的值为______； （2）若点M位于第一象限反比例函数的图象上，点N在线段上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为______． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质，平移的性质等等： （1）先把A、B坐标代入一次函数解析式求出A、B坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可； （2）根据题意只存在平行四边形，则，，过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，由于点B到点O的平移方式与点N到点M的平移方式相同，则，，可设，则，再把点N坐标代入中求出m的值即可得到答案． 解：（1），两点在一次函数图象上， ，， ，， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ∴， 故答案为：8； （2）如图，由题意得只存在平行四边形 ∴，， 过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为， ∵， ∴点B到点O的平移方式与点N到点M的平移方式相同， ，， 反比例函数的图象上， 可设，则， 在上， ，即， ，， 经检验是原方程的根且符合题意，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．代入到，得到，得出一次函数的表达式，进而得到点的坐标，再代入到即可得出反比例函数的表达式． 解：代入到，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 代入 到，得， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为． 20．（本小题满分8分）（22-23九年级上·河南新乡·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点．点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求一次函数解析式； （2）在反比例函数第三象限的图像上找一点，使点到直线的距离最短，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用反比例函数求出，的坐标；再利用一次函数与反比例函数的交点可以求出一次函数的解析式 （2） 过点作直线，当直线与反比例函数的图像只有一个公共点时，点到直线的距离最短，构建方程组把问题转化为一元二次方程，利用判别式等于零，构建方程求解即可． 解：（1）解：∵的横坐标是，反比例函数经过点 ∴将代入中 ∴ ∴ ∵点的纵坐标为，反比例函数经过点 ∴将1代入中 ∴ ∴ ∴将，代入一次函数 ∴ ∴ ∴一次函数的解析式为： （2）解：如图所示，过点作直线 ∵当直线与反比例函数的图像只有一个公共点时，点到直线的距离最短 ∴设直线的解析式为：， ∴由 ∴解得： ∴由题意得 ∴或（舍去） ∴解方程得： ∴解得： ∴ ∴ 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元一次方程的根的判别式等知识，理解题意、灵活运用知识点解决问题是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江西宜春·阶段检测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求这两个函数的解析式． （2）根据图象直接写出关于的不等式的解集． （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数解析式； （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标即长，再根据代入数据计算即可． 解：（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． ， 解得，， 反比例函数解析式为， 将代入得 解得： 一次函数解析式为． （2）由函数图象可知：不等式的解集为：或． （3）如图，连接、，一次函数交轴于点， 对于，当时，， ∴，即， ∴． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东济宁·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）观察一次函数与反比例函数的图象，请直接写出时x的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式和函数解析式的性质， （1）根据题意将点代入即可； （2）通过求解一次函数和反比例函数交点与坐标轴围成的面积即可求得的面积； （3）观察图象，反比例函数在一次函数下方x所对应的范围即为解． 解：（1）解： 一次函数与反比例函数的图象过点， ，， ，， 一次函数表达式为，反比例函数的表达式为； （2）由，解得或， ， 设一次函数与x轴的交点为C， 则， ； （3）∵ ∴x的取值范围是或． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．一次函数的图象与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）若为轴上的一个动点，连接，的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数解析式为；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积公式，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键． （1）把分别代入反比例函数和一次函数求解即可； （2）由图象即可得出答案； （3）先求出，，表示出，根据得出，解方程即可得出答案． 解：（1）解：∵的图象经过点， ， ， ∴一次函数的解析式为， 把代入反比例函数，得， ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：由图象可得：不等式的解集为：或； （3）解：设直线交轴于点， 在中，当时，， ， 当时，得， 解得：， ， ， ， ， ，， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数 的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）一次函数的图象与x轴交于B点，求的面积，并直接写出x为何值时双曲线位于直线上方； （3）设M是反比例函数 图象上一点，N是直线上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标． 【答案】（1），；（2），；（3）点N的坐标为，， 【分析】（1）将点C代入直线中求出b，进而得出直线的解析式，然后求出点A的坐标，再代入反比例函数的表达式中，即可得出答案； （2）求出点B坐标，根据三角形的面积公式进行计算；然后结合函数图象得出x的取值范围； （3）设点，，分三种情况讨论：①以和为对角线时，②以和为对角线时，③以和为对角线时，分别利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论． 解：（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）在中，令， 解得， ∴， 又∵， ∴， 由函数图象得：当时，双曲线位于直线上方； （3）∵直线的表达式为，反比例函数的表达式为， 设点，， 若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形， 则分情况讨论： ①以和为对角线时， 可得：，， 解得：，或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴； ②以和为对角线时， 可得：，， 解得： 或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， ③以和为对角线时， 可得：，， ∴或（此时点M不在第一象限，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点N的坐标为，，． 【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数和反比例函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标的求法等知识，利用中点坐标公式建立方程组求解是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $