专题18 二次函数综合存在性问题三角形相关（4种类型32道）【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦二次函数与三角形存在性的综合应用，按等腰、直角、等腰直角、等边三角形分类，系统整合二次函数性质与三角形判定的逻辑关联 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形|8道|含腰分类讨论，涉及对称轴/坐标轴上动点|二次函数解析式求解→坐标表示→等腰三角形边等关系转化| |直角三角形|8道|直角顶点分类，结合勾股定理/斜率乘积|函数图像分析→直角条件代数化→方程求解验证| |等腰直角三角形|8道|直角与等腰双重条件，需构造全等/斜率关系|几何直观与代数推理结合，通过坐标变换实现条件转化| |等边三角形|8道|三边等或特殊角，涉及距离公式/旋转性质|空间观念下的图形变换，将等边条件转化为方程求解|

专题18 二次函数综合存在性问题三角形相关 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 等腰三角形相关存在性问题】 1 【类型2 直角三角形相关存在性问题】 20 【类型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 40 【类型4 等边三角形相关存在性问题】 65 【类型1 等腰三角形相关存在性问题】 1．如图，抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上位于第三象限内的一点．    (1)求抛物线的解析式． (2)连接、、，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． (3)点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标，并把求其中一个点D的过程写出来． 【答案】(1) (2)点P坐标为， (3)，，，，；见解析 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，过点P作轴交于点Q，设，根据条件求出直线解析式，则，根据即可求解； （3）设，分别求出设的长，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：把、代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点P作轴交于点Q，如图， ∵点P是抛物线上位于第三象限内的一点，抛物线的解析式为， 设， ∵抛物线与y轴交于点C， 令，∴， ∴， ∵、， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入得：，解得：， ∴直线解析式为：， 令，∴， ∴， ∴ ， ∴当时，时，，此时点P坐标为； （3）解：由（1）得：抛物线的解析式为， ∴对称轴， ∵点D为抛物线对称轴上的一点， ∴设， ∵，， ∴，，， 当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时， 当时，即，解得：， ∴，； 当时，即，解得：， ∴，； 当时，即，解得：， ∴； 综上所述：点D的坐标为，，，，； 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质，是解题的关键． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标是 (3)，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作直线，过点P作轴，交于点K，求出直线解析式，设P的坐标为，则点K的坐标是，，表示出四边形的面积，然后利用二次函数的性质即可求解； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线，点A的坐标是，则B的坐标是， 则， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图，作直线，过点P作轴，交于点K， ∵对称轴为直线， ∴点D的坐标是， 当时，， ∴点，直线解析式为， 则， ∴， ∴， 设P的坐标为，则点K的坐标是， ∴， ∴， 则， 则， ∴当时，有最大值10，此时P点的坐标是； （3）设点， 由点O、P、M的坐标得，，，， 当时，即， 解得：； 即点或； 当时，则， 解得：或， 则点或． 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，面积的计算等知识，数形结合是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)点的坐标为 (4)点的坐标为或或或 【分析】（1）令，解方程，求出的值即可； （2）求出点的坐标，运用三角形面积公式可求解； （3）如图2，运用待定系数法求出直线的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题． （4）由于为等腰三角形，分别以，和三种情况进行讨论，通过边相等建立等量关系，就可以求出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线方程为，令，得， 解得：，， 由图知，点在点的左侧， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为t，则， 又， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （4）解：设， ∵，， ∴，，； ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或, ∴或； ③当时，， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 综上，点的坐标为或或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)①求线段长度的最大值； ②连接，当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2)①②或或3． 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）①用s表示P，M坐标，进而求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ②分别求出，再分三种情况讨论，，，，据此列方程求s即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 抛物线的解析式， 设直线的解析式， 把代入得， 解得， 直线的解析式； （2）解：①由题意，， ， ， 当时，取得最大值，的最大值为； ②，， ， 当为等腰三角形时， 若，则，即，解得． 若，则，即，解得或（舍去）． 若，则，即，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或或3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 5．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，的值； (3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的值为 (3)或或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，三种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； （2）解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． （3）解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ①当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ②当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 6．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，的值； (3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的值为 (3)或或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，三种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； （2）解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． （3）解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ①当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ②当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 7．如图，已知点，，在抛物线上． (1)求抛物线解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使面积为1； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)Q的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，等腰三角形的判定，勾股定理，一元二次方程，解题关键是准确计算． （1）把A、B、C的坐标代入求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，当的面积为1时，则，然后解方程即可求解． (3)分类讨论：①当时，②当时， ③当时，逐一求解即可． 【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∴， 当的面积为1时，， 解得，， ∴或， ∴存在点使得的面积为1． （3）抛物线对称轴为， 设，由，，得 由是等腰三角形，则 ①当时， ， 即， 解得， 即或． ②当时，， 即， 解得或， 即或． ③当时， ， 即， 解得， 即． 综上，Q的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)或 (3)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的的取值范围为或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 【类型2 直角三角形相关存在性问题】 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，分别将，代入求得、、的坐标； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质： （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设抛物线的解析式为，将B、C代入，解出b、c即可； （3）分别讨论、、为斜边，利用勾股定理即可求出M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， 解得或， ∴，； ∴，． （2）解：设抛物线的解析式为， 将，代入， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在点M，使得是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，，解得， ∴； 当为斜边时，， 解得或， ∴或； 综上所述：M点坐标为或或或． 12．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、； (2) (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏； （1）令，则或5，令，则，即可求解； （2）过点作轴交于，交直线于点，将问题转为，再利用二次函数的性质求解； （3）分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则或5，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、； （2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点， 设直线：，将、代入其中， ，解得：， ， ， ， ， ，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得， ，代入上式得：最大值为， 面积的最大值；； （3）解：设点，而点、的坐标分别为：、， 则，，， ①当为斜边时，则，解得：； ②当为斜边时，同理可得：； ③当为斜边时，同理可得：或； 综上点的坐标为：或或或． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)面积的最大值是； (3)或 【分析】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数． （2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值． （3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得：． （2）解：设点的横坐标为（）， 抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作x轴于点，交于点， ， ， ， ， 当时，最大． （3）解：存在． ① 当时，过点作轴于点，轴于点， ， 又，， ， ， ， ， ，且，， ，，，， ， 整理得：， 又，， ， 解得：，不符合题意，舍去． ② 当时，过点作轴于点， ，， ， 点在y轴上， ， 又， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． ③ 当时， 点的坐标为，直线的解析式为， ， 又， ， 点在直线上方，且射线在x轴上方， ， ， ． 综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或． 14．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 16．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是直线上方一点，当的面积最大时求点坐标，且面积的最大值是多少？ (3)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，面积的最大值为6 (3)或或或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出点B和点C的坐标，得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于点E，连接，设，则，则，则可得到，据此可得答案； （3）求出对称轴，设出点Q的坐标，利用两点距离计算公式得到，再分C、B、Q分别为直角顶点，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于点E，连接， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为6， ∴， ∴此时点P的坐标为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∴，， 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点Q为直角顶点时，则， ∴， 解得 ∴或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【类型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 17．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明:∵， ∴ ∵, ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2），； （3）或或或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用，即可证明； （2）过点B作轴于点F.证明,则，得到.  待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到 （3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和 点M在x轴的上方，分别进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解:如图,过点B作轴于点F.    由题意,得 ∵， ∴. ∴ 又∵, ∴, ∴. ∴ ∴..   设直线的解析式为, 将代入中,得, 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ （3）解:∵ ∴抛物线的对称轴为直线, 设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N， ①当点M在x轴的下方时,如图，      ∵, ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴.. 设， ∴， ∴， ∴， 将 代入中, 得, 解得或 ∴. 点M的坐标为或； ②当点M在x轴的上方时,如图,    同理可得，点M的坐标为或. 综上所述,点M的坐标为或或或. 18．如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C． (1)求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式； (2)把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)7 (3)存在， 【分析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为的形式即可； (2)过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据线段扫过区域的面积为，求解即可； (3)当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为， ； （2）解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． ∴线段扫过区域的面积为：； （3）解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 19．如图1，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求出点，，的坐标； （2）连接，求直线的表达式； （3）如图2，点为线段上的一个动点，连接，以点为直角顶点，为直角边，在轴的上方作等腰直角三角形，若点在轴上时，求点的坐标； （4）若点在线段上，点由到运动的过程中，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，当抛物线的顶点在等腰直角三角形的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，点的坐标为；（2）；（3）D的坐标；（4）点坐标为或 或或 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征即可求出结论； （2）利用待定系数法求直线解析式即可； （3）过点分别作轴于点，作轴于点，利用AAS证出，从而得出，设点的坐标为，列出方程即可求出结论； （4）由点D在AC上，可设点D的坐标为（a，），然后利用对称性求出BC的解析式，根据点C所在BDE的边分类讨论，分别画出对应的图形，利用“一线三等角”作出对应的辅助线，证出全等三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）当时，， ∴点的坐标为． 当时，， 解得，． ∵点在点的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）设直线的表达式为：， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得， ∴直线的表达式为． （3）过点分别作轴于点，作轴于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形，为直角边， ∴，． ∴． 即 又∵， ∴ ∴． 设点的坐标为， ∴， 解得， ∴D的坐标 （4）由点D在AC上，可设点D的坐标为（a，） ∵AC的解析式为，BC与AC关于y轴对称 ∴BC的解析式为 ①当斜边BE过点C时，如下图所示，过点E作EF⊥y轴于F，过点D作DM⊥x轴于M，反向延长DM、FE交于点N， 易知∠DMB=∠N=90° ∴∠MDB＋∠DBM=90° ∵BDE为等腰直角三角形 ∴ED=DB，∠EDB=90° ∴∠MDB＋∠EDN=90° ∴∠DBM=∠EDN ∴DMB≌END ∴EN=DM=，DN=BM=4－a ∴EF=NF－EN=OM－EN=-a－（）=，NM=ND＋DM= ∴点E的坐标为（，） 将点E的坐标代入BC的解析式中，得 = 解得： ∴此时点E的坐标为； ②当DE过点C时，如下图所示，过点E作EF⊥y轴于F，过点D作DM⊥x轴于M，反向延长DM与EF的延长线交于点N， 易知∠DMB=∠N=90° ∴∠MDB＋∠DBM=90° ∵BDE为等腰直角三角形 ∴ED=DB，∠EDB=90° ∴∠MDB＋∠EDN=90° ∴∠DBM=∠EDN ∴DMB≌END ∴EN=DM=，DN=BM=4－a ∴EF= EN－NF = EN－OM = －（-a）=，NM=ND＋DM= ∴点E的坐标为（，） 将点E的坐标代入AC的解析式中，得 = 解得： ∴此时点E的坐标为； ③当点D与点C重合，且点E在BC左侧时，过点E作EF⊥y轴于F 易证DOB≌EFD ∴EF=CO=6，CF=OB=4 ∴OF=CF＋CO=10 ∴此时点E的坐标为（6,10）； ④当点D与点C重合，且点E在BC右侧时，过点E作EF⊥y轴于F， 易证DOB≌EFD ∴EF=CO=6，CF=OB=4 ∴OF=CO－CF=2 ∴此时点E的坐标为（-6,2）； 综上：点坐标为或 或或． 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数、几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质和利用“一线三等角”构造全等三角形是解决此题的关键． 20．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 21．如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【答案】(1)存在，或或或或 (2)或或 【分析】（1）由抛物线得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； （2）过点N分别作轴于D，轴于E，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 当时，， 解得或3， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∴， ， ， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 综上所述，P点坐标为或或或或； （2）解：过点N分别作轴于D，轴于E， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点N是抛物线上一动点， ∴设N点坐标为， ∴， 解得或， ∴N点坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 22．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 23．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为； （3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 24．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)． (2)； (3)或或或． 【分析】（1）将点和点代入即可； （2）如图1，连接，，求出，设点，得到，利用勾股定理解得，即可得到答案； （3）当点P与点C重合时，或；当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J，分当点P在x轴上方和当点P在x轴下方时分类讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点， ； （2）解：如图1，连接，， 点D和点F关于直线对称， ， ，轴， ∵二次函数的对称轴为： ， ， ， 设点， ， 在中，， 解得， ； （3）解：当点P与点C重合时，或； 当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 当点P在x轴下方时，如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交PK于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 综上，符合条件的点E的坐标为：或或或． 【类型4 等边三角形相关存在性问题】 25．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与一次函数交点，抛物线的图象性质，抛物线的最值，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．此题属抛物线综合题目，熟练掌握相关知识及灵活运用是解题的关键． 26．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)或 【分析】(1)将点代入即可； (2)找到A点关于对称轴对称的对称点B，连交对称轴于E点，进而求出此时三角形的周长即可得解； (3)利用是等边三角形和A，B两点的坐标，确定的外心，利用圆周角定理确定直线与x轴的夹角，进而即可得解． 【详解】（1）将点代入得 解得， ∴抛物线表达式为 （2）如图，连交对称轴与点E，连， 由(1)知， ∴ ∴对称轴为：直线 ∴令得 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得 ∴直线的解析式为 ∴当时 ∴ ∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质， ∴周长最小值 （3）∵，是等边三角形 ∴ ∵与关于对称轴对称 ∴ ∴ ∴Q点是的外心 ∴根据圆周角定理得 设过A,P的直线解析式为 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵代入解析得 ∴当P点在x轴的上方时，解析式为 ∴当P点在x轴的下方时，解析式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，圆的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 27．在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D． (1)求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)当时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由； (3)当时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，APQ和OCQ的面积分别为和，当的值最大时，求直线PO的解析式． 【答案】(1)对称轴为直线，； (2)存在实数，使ABD为等边三角形，理由见解析； (3)直线PO的解析式为 【分析】（1）根据对称轴的公式，以及函数与x轴的交点坐标的求法，即可求解； （2）根据两点之间的距离公式以及等边三角形的性质，即可求解； （3）根据抛物线与y轴交于点C，可求得点C的坐标，再列出关于点P的纵坐标的解析式，根据增减性可得点P的坐标，再根据待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：对称轴， 对称轴为直线， 抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 令，则， 解得， （2）解：存在实数a，使ABD为等边三角形，理由如下： ，抛物线的顶点为D， ， ABD为等边三角形， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：， ， 抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， 随的增大而减小， 当最小时，最大，此时P点即为抛物线的顶点， ， 设直线PO的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线PO的解析式为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，主要考查了二次函数的性质、等边三角形的判定、一次函数的性质以及用待定系数法求函数解析式． 28．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）线段______； （2）若平分，求m的值； （3）该函数图像的对称轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在， 【分析】（1）设，，，，，根据题意可得，为方程的根， 解出，，进而得出． （2）过点作，垂足为点，根据角平分线的性质可得，推测出， 进而解得，在中利用勾股定理可得，． （3）连接，为对称轴上的点，所以，又为等边三角形推出，进而可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，推出，进而可得，即可解出． 【详解】解：（1）设，，，，， ，为方程的根， 即，为方程的根， 所以， 所以． （2）过点作，垂足为点， 若平分，则有， 因为， 即， 所以， 在中，因为， 所以， 即， ， 所以， 所以，解得． （3）存在点满足题意， 连接，则有， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 所以点，，在以为圆心，为半径的圆上， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，角平分线，等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的，利用数形结合的思想来解答，属于中档题． 29．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2 ；(2) t=或6时，BQ=AP；(3) 当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)． 【分析】（1）利用代入系数法，将3点坐标代入可求得； （2）存在2种情况，点Q在点B的下方和上方，利用BQ=AP易求得t的值； （3）先证△AOQ≌△BOP，得到△OPQ为等腰直角三角形，得M点必在PQ的垂直平分线上，即M在y=x上，联立点M在抛物线上的方程，解得M有2种情况，最后利用△MPQ为等边三角形的几何性质分析求解即可． 【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点， ∴， 解得， ∴y=x2x+2． (2)∵AQ⊥PB，BO⊥AP， ∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO， ∵AO=BO=2， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OQ=OP=t． ①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．    ∵BQ=AP， ∴2﹣t= (2+t)， ∴t=． ②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．    ∵BQ=AP， ∴t﹣2= (2+t)， ∴t=6． 综上所述，t=或6时，BQ=AP． (3)当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)． 分析如下： ∵AQ⊥BP， ∴∠QAO+∠BPO=90°， ∵∠QAO+∠AQO=90°， ∴∠AQO=∠BPO． 在△AOQ和△BOP中， ， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OP=OQ， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上， ∵直线y=x垂直平分PQ， ∴M在y=x上，设M(x，y)， ∴， 解得或， ∴M点可能为(1，1)或(﹣3，﹣3)． ①如图3，当M的坐标为(1，1)时，作MD⊥x轴于D，    则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t2+2t﹣2=0， ∴t=﹣1+，t=﹣1﹣ (负值舍去)． ②如图4，当M的坐标为(﹣3，﹣3)时，作ME⊥x轴于E，    则有PE=3+t，ME=3， ∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t2﹣6t﹣18=0， ∴t=3+3，t=3﹣3 (负值舍去)． 综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M(1，1)，或当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)，使得△MPQ为等边三角形． 【点睛】本题考查二次函数的综合，难点在于多解的分析，注意当题干中没有图像或提供了备用图像时，此题往往存在多解． 30．如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标； （2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值． 【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，顶点坐标（1，﹣1）； （2）抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1； （3）m=． 【详解】试题分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标， （2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式． （3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可． 试题解析：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0）， ∴， 解得， ∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x， ∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）， （2）如图1， ∵抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2， ∴C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1， ∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m）， 过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H， ∵△ACD为等腰直角三角形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠CDH+∠ADE=90° ∴∠HCD=∠ADE， ∵∠DEA=90°， ∴△CHD≌△DEA， ∴AE=HD=1，CH=DE=m+1， ∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2， 由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去）， ∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1． （3）如图2，连接BC，BP， 由抛物线对称性可知AP=BP， ∵△PAC为等边三角形， ∴AP=BP=CP，∠APC=60°， ∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上， ∴∠CBO=∠CPA=30°， ∴BC=2OC， ∴由勾股定理得OB==OC， ∴（m2+2m）=m+2， 解得m1=，m2=﹣2（舍去）， ∴m=． 点睛：本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是正确作出辅助线，善于利用几何图形有关性质、定理和二次函数的知识求解. 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)   【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可． （3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）． ∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0）， ∴T（，），BD＝， ∵∠BPD＝90°，DT＝TB， ∴PT＝BD＝， ∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2， 解得m＝1或2， ∴P（1，1），或（1，2）． （3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E． ∵△BMN是等边三角形， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°， ∴∠MBT＝30°，BT＝BN， ∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN， ∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， ∴＝， ∴BJ＝t，TJ＝2， ∴T（3＋t，2）， ∵NM＝MT， ∴M（，）， ∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上， ∴＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0， 解得t＝﹣2（舍弃）或， ∴M（，）． 如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T． 同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，）， 则有＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0， 解得n＝或（舍去）， ∴M（， ）， 综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键． 32．如图，二次函数与轴交于A(-，0)，B（A在B左边），与y轴交于点C，对称轴为直线=． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若点D是抛物线上对称轴上一点，E是抛物线上第一象限内一点，若是等边三角形，求E点坐标． （3）如图2，点P是抛物线上一点，直线BP，AP分别交y轴于M，N两点，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据对称轴计算b的值，A点坐标代入解析式得出c的值，可求得解析式； （2）连接AD、AE，通过求出AE的解析式求出点E； （3）用m表示出MN和CN，可求得比值． 【详解】解：（1）由题意 ∴ 将代入，得， ∴． ∴． （2）连接、交对称轴于， 由题意，， 设， ，， ∴， ∴， ∴． 由题意， ∴ ∴，点坐标为． 设直线的解析式为， 则 解得 ∴， 联立得， 解得：，， ∴； （3）设直线的解析式为：，其经过， ∴， ∴直线的解析式为：， 可得点的坐标为 ∴ 解得． ∴， ∴， 同理，设直线的解析式为 可得， ∴ 又 ∴， ， ∴． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 二次函数综合存在性问题三角形相关 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 等腰三角形相关存在性问题】 1 【类型2 直角三角形相关存在性问题】 4 【类型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 7 【类型4 等边三角形相关存在性问题】 11 【类型1 等腰三角形相关存在性问题】 1．如图，抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上位于第三象限内的一点．    (1)求抛物线的解析式． (2)连接、、，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． (3)点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标，并把求其中一个点D的过程写出来． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，拋物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1所示，P是第一象限抛物线上的一个动点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，连接、、．求四边形的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2所示，在（2）的条件下，点M是直线上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)①求线段长度的最大值； ②连接，当为等腰三角形时，求的值． 5．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，的值； (3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 6．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，的值； (3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 7．如图，已知点，，在抛物线上． (1)求抛物线解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使面积为1； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型2 直角三角形相关存在性问题】 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C． (1)求点B，C的坐标； (2)将抛物线绕某点旋转180°得到，且也经过B，C两点，求抛物线的解析式； (3)在的对称轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 14．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 16．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是直线上方一点，当的面积最大时求点坐标，且面积的最大值是多少？ (3)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标． 【类型3 等腰直角三角形相关存在性问题】 17．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 18．如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C． (1)求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式； (2)把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．如图1，二次函数与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求出点，，的坐标； （2）连接，求直线的表达式； （3）如图2，点为线段上的一个动点，连接，以点为直角顶点，为直角边，在轴的上方作等腰直角三角形，若点在轴上时，求点的坐标； （4）若点在线段上，点由到运动的过程中，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，当抛物线的顶点在等腰直角三角形的边上（包括三角形的顶点）时，请直接写出顶点的坐标． 20．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 21．如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 22．如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 24．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 【类型4 等边三角形相关存在性问题】 25．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 27．在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D． (1)求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)当时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由； (3)当时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，APQ和OCQ的面积分别为和，当的值最大时，求直线PO的解析式． 28．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）线段______； （2）若平分，求m的值； （3）该函数图像的对称轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 29．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．    30．如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标； （2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 32．如图，二次函数与轴交于A(-，0)，B（A在B左边），与y轴交于点C，对称轴为直线=． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若点D是抛物线上对称轴上一点，E是抛物线上第一象限内一点，若是等边三角形，求E点坐标． （3）如图2，点P是抛物线上一点，直线BP，AP分别交y轴于M，N两点，求的值． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $