专题10 一元二次方程计算题分类训练（7种类型56道）【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 以7类解法为框架，56道题系统覆盖一元二次方程求解方法，从基础到综合构建完整训练体系，培养运算能力与方法选择意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法等5类基础解法|每类8题|提炼直接开方、配方、公式、因式分解等核心步骤，换元法强调整体思想与降次转化|从单一解法到综合应用，形成“基础解法→进阶技巧→策略选择”的逻辑链条| |适当/指定方法|各8题|训练方法适配性判断，强化解法优化意识|通过变式题组实现知识迁移，提升推理能力与应用意识|

专题10 一元二次方程计算题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 直接开平方法】 1 【类型2 配方法】 6 【类型3 公式法】 12 【类型4 因式分解法】 18 【类型5 换元法】 23 【类型6 用适当方法解方程】 31 【类型7 用指定方法解方程】 36 【类型1 直接开平方法】 1．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【点睛】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 4．直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 5．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 6．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 7．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 【类型2 配方法】 9．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 10．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 11．用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 12．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 13．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查配方法解一元二次方程． （1）先将系数化为1，后配方即可得到本题答案； （2）先将常数项移动到等号右侧，再两边同时乘以2系数化为1，再进行配方直接开方即可求解． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 整理得：， ∴， ； （2）解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 整理得：， ∴， ． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解 (2)方程无解 【分析】根据完全平方公式将方程的左边配成完全平方，右边为常数，再利用平方根的定义解方程即可. 【详解】（1）解：化简得： ， ， ， ∵， ∴原方程无解； （2）解：化简得： ， ， ， ∵， ∴原方程无解； 【点睛】本题考查了用配方法求一元二次方程的解，掌握完全平方公式是解题关键． 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程； （2）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 解得：； （2）解：， 即， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 16．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即， ∴， 解得:； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 【类型3 公式法】 17．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般式，再计算判别式，最后根据判别式的正负确定解的情况，在有解时，直接代入求解公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由得， ， ， ， ． 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无实数解 (2)方程无实数解 【分析】（1）利用公式法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故方程无实数解； （2）解：∵， ∴， 故方程无实数解． 【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程．掌握相关结论即可． 20．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， 原方程的解为：，； （2）解：，，， ， ， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 21．用公式法解下列方程： (1)+5x﹣1＝0 (2)6x（x+1）＝5x﹣1 【答案】(1)＝，＝ (2)没有实数解 【分析】（1）根据公式法进行计算即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据公式法进行计算即可求解． 【详解】（1）2+5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴﹣4×2×（﹣1）＝33＞0， ∴x＝＝， 所以＝，＝； （2）6x（x+1）＝5x﹣1， 整理得6+x+1＝0， ∵a＝6，b＝1，c＝1， ∴﹣4×6×1＝﹣23＜0， 方程没有实数解． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式是解题的关键． 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 23．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 【详解】（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确确定、、的值，再代入求根公式求解． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 【类型4 因式分解法】 25．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 26．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法）并能根据具体情况选用适当的方法求解是解题的关键． （1）将方程右边的单项式移到方程的左边，然后对方程左边的多项式进行因式分解，即可求解． （2）将方程右边的多项式移到方程的左边，然后对方程左边的多项式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： 解得． （2） 解得． 27．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． （1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解； （2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解． 【详解】（1）解：， ； ， ∴或， ∴，； （2）解：． ， ∴或， 解得，． 28．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程左边用十字相乘法因式分解，然后解方程即可． （2）先把二次项系数化为，再用十字相乘法因式分解，解方程即可． 【详解】（1）解：. 等号左边因式分解得：， 或， 解得． （2）解： 整理得：． 等号左边因式分解得：， 或， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，关键是熟练掌握十字相乘法． 29．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据因式分解法和十字相乘法解一元二次方程即可 【详解】解：（1）整理，得， 移项，得， 把方程左边因式分解，得， 或， 解得． （2）原方程分解后可得， 或， 解得． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键． 30．用因式分解法解下列方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是将方程通过因式分解转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再求解． （1）通过移项、运用因式分解公式将方程转化为两个因式的乘积为0的形式，进而求解； （2）运用因式分解公式将方程转化为两个因式的乘积为0的形式，进而求解． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解： ， 或， ． 31．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解法求解方程的根，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式求解即可； （2）利用平方差公式分解因式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 解得． （2）解： ， ∴或， 解得． 32．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【点拨】（1）先移项，再提取公因式；（2）可以把看作一个整体，再因式分解． 【解】（1）移项，得， 即． 因式分解，得， 或， 解得，． （2）因式分解，得，， 解得． 【类型5 换元法】 33．实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 34．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 35．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 36．【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，设，先把原方程化为关于的一元二次方程，求出它的根，再代入设中求出掌握一元二次方程的因式分解法和换元法的一般步骤是解决本题的关键． 【详解】解：， 设， 则原方程可化为， ． 解得，． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 所以原方程的解为：，． 37．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 38．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 39．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；（2） 【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可； （2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可． 【详解】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4， 设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0， 解此方程得：a1＝a2＝2， 当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1； （2）x4+x2﹣12＝0， 设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0， 因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣4， 当y＝3时，x2＝3，解得：； 当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根， 所以原方程的解是，． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 40．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 【类型6 用适当方法解方程】 41．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 42．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程特征选择合适方法求解，整理一般的形式，可以因式分解就用因式分解法求解，无法直接因式分解，就选用求根公式法求解即可． 【详解】（1）解： 代入求根公式得 ∴， （2）解： 整理得 因式分解得 ∴或 解得， 43．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 44．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） 解： 所以，或 所以，； （2） 解： 所以 所以，． 45．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 46．用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， 或， 解得：，； （2）解：， 整理得， 配方得：，即， 两边同时开方得：， 解得：，． 47．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 48．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 【类型7 用指定方法解方程】 49．用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 50．用指定的方法解方程 (1)（用配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，正确运用指定解答本题的关键． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解： ∵， ， ∴， ∴ 51．用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用公式法解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得，即， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得． 52．用指定的方法解下列方程： (1)（用配方法解）； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． （1）先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可； （2）先求出的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解： ，，， ， ∴， ∴， ∴，． 53．解方程（用指定的方法解一元二次方程）： (1)（配方法）； (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2） ∴， ∴． 54．用指定的方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）变形为，直接开方即可求解； （2）配方得，进而可开方求解． 【详解】（1） 变形，得：， 开方，得：， ∴，． （2） 配方，得：， 即， 开方，得：， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，涉及了直接开平方法、配方法，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． 55．用指定的方法解方程： （1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）； （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）先移项，再提取公因式（x-4），进而可得答案； （2）利用公式法解方程即可得答案． 【详解】（1）（x﹣4）2＝2（x﹣4） 移项得：（x﹣4）2-2（x﹣4）=0 提取公因式得： 解得：，． （2）2x2﹣4x﹣1＝0 ∵a=2，b=-4，c=-1， ∴△==， ∴==， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键． 56．用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键． （1）根据公式法的步骤求解即可； （2）根据配方法的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元二次方程计算题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 直接开平方法】 1 【类型2 配方法】 2 【类型3 公式法】 3 【类型4 因式分解法】 4 【类型5 换元法】 5 【类型6 用适当方法解方程】 7 【类型7 用指定方法解方程】 8 【类型1 直接开平方法】 1．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 3．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 4．直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 5．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 6．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 7．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 8．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【类型2 配方法】 9．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 10．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 11．用配方法解方程： (1)； (2)． 12．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 13．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 16．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【类型3 公式法】 17．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 18．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 20．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 21．用公式法解下列方程： (1)+5x﹣1＝0 (2)6x（x+1）＝5x﹣1 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 23．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 24．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【类型4 因式分解法】 25．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 26．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 27．用因式分解法解下列方程 (1)； (2)． 28．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 29．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 30．用因式分解法解下列方程： (1)． (2) 31．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 32．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【类型5 换元法】 33．实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 34．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 35．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 36．【先阅读，再解题】：解方程， 解：设，则原方程化为， 解得；， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以原方程的解为，， 上述解法法称为“整体换元法” 请利用“整体换元法”解方程：． 37．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 38．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 39．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 40．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【类型6 用适当方法解方程】 41．用适当的方法解方程： (1)； (2)． 42．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 43．用适当的方法解方程： (1) (2) 44．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 45．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 46．用适当的方法解方程 (1)； (2)． 47．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 48．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【类型7 用指定方法解方程】 49．用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 50．用指定的方法解方程 (1)（用配方法） (2)（公式法） 51．用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） 52．用指定的方法解下列方程： (1)（用配方法解）； (2)（用公式法）． 53．解方程（用指定的方法解一元二次方程）： (1)（配方法）； (2)．（公式法） 54．用指定的方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） 55．用指定的方法解方程： （1）（x﹣4）2＝2（x﹣4）（因式分解法）； （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）． 56．用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $