暑假预习：二次函数中的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数与三角形、四边形面积的综合应用，通过典例与变式构建从基础求解到动态最值的系统化训练，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的三角形面积问题|3例+3变式|含动点面积最值、面积关系比值、定点面积计算|以抛物线解析式求解为基础，结合坐标法、割补法转化面积表达式，通过函数性质求最值，体现代数与几何的融合| |二次函数中的四边形面积问题|3例+3变式|涉及菱形存在性、平行四边形判定、动态四边形面积最值|在三角形面积方法上拓展，结合四边形特殊性质（如菱形四边相等），通过轴对称、中点坐标等实现几何条件代数化，深化推理意识|

暑假预习：二次函数中的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 暑假预习：二次函数中的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 二次函数中的三角形面积问题 二次函数中的四边形面积问题 考点一 二次函数中的三角形面积问题 例1．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 变式1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． (1)点B的坐标是 ； (2)求二次函数的解析式； (3)求的面积． 变式2．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出点的坐标；如果不存在．请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，连接，求：的最大值及此时点的坐标； 考点二 二次函数中的四边形面积问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 例2．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 例3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 变式1．（2025·山西运城·一模）综合与实线 如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标． (3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)若M为的中点，求的面积； (3)若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：二次函数中的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 暑假预习：二次函数中的三角形面积问题、四边形面积问题专项训练 考点目录 二次函数中的三角形面积问题 二次函数中的四边形面积问题 考点一 二次函数中的三角形面积问题 例1．（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 例2．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，且位于直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）令点的坐标为，先得出直线的解析式，得出点的表达式，可求出，求的最值，即为面积的最大值及此时点的横坐标，再求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，， 设直线的解析式为，将，代入得： 得，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点，连接，，如下图所示： 则， ∴ ， ∵， 故当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大， 此时面积最大，， 当时，， 此时点的坐标为． 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 变式1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段检测）如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． (1)点B的坐标是 ； (2)求二次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题； （3）根据（2）得出C点坐标为，由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵A点坐标为，对称轴为直线， ∴B点坐标为． 故答案为：． （2）将A点坐标代入函数解析式得， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴②． 由①②解得， ，． ∴抛物线的解析式为． （3）解：将代入函数解析式得，， ∴C点坐标为， ∵，， ∴， ∴． 变式2．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，且与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使的面积为1？若存在，请求出点的坐标；如果不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）设，由题意易得，则有或，然后分别代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入二次函数得： ， 解得， 此二次函数的表达式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则根据题意， 得，， 解得或， 当时，，即，解得，即； 当时，，解得， 则，． 综上，点的坐标为或或． 变式3．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，连接，求：的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质： （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴，可知，由此可得，根据等高三角形面积比等于底的比可知，设，且，则，所以，当时，有最大值，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得   解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，连接，作，过点C作x轴的垂线交于点M，交x轴于点H，则轴， ∴， ∴， ∵， 即 设直线的表达式为， 把，代入表达式得，  ， 解得， ∴直线的表达式为． 设，且，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时有最大值为，， 即此时点C的坐标为． 考点二 二次函数中的四边形面积问题 例1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据菱形的性质，轴对称的性质，设，得，解方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点， 得 解得： 故二次函数的表达式为：． （2）存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为． 理由如下： 由沿翻折，得到四边形， 得，垂足为点E， 则，轴， ∵四边形为菱形，， ∴, ∴， 根据题意，设， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故存在点P，使四边形为菱形，且P点的坐标为． （3）解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，，的面积最大，且最大值为． 又， 故四边形的面积的最大值为，此时． 例2．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)存在这样的点，此时点的坐标为 (3)当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且， ． 把，，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， 当时，， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 例3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 【答案】(1) (2)点或或 (3)最大值为，此时点 【分析】（1）用交点式确定函数表达式，即可求解； （2）分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； （3）设直线的表达式为：，根据待定系数法确定的表达式为：，设点坐标为，则点，利用，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； （2）解：由①得， 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； （3）解：设直线的表达式为：， 将点B、C代入得：， 解得， ∴的表达式为：， 设点坐标为，则点， ， ，故四边形面积有最大值， 当，其最大值为，此时点． 变式1．（2025·山西运城·一模）综合与实线 如图，抛物线与x轴的交点分别为，，与y轴交于点C，连接，P为线段上方的抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，过点P作轴交直线于点当时，求点P的坐标． (3)如图2，连接，在点P运动的过程中，是否存在点P，使得四边形的面积最大？若存在，求出点P的坐标及四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)存在，点P的坐标为，四边形的面积最大，最大值为 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，勾股定理，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 将点和代入解方程组得到结论； 由得点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为；设点，得到，根据勾股定理得到，根据题意列方程即可得到结论； 如图2，过点P作轴交直线于G，设点P的坐标为，则，根据点的坐标得到，，，根据三角形的面积公式得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由得点，， 设直线的解析式为， 解得， 直线的解析式为； 设点， 轴， ， ， ， ， ， 解得或不合题意，舍去， 当时，， 点P的坐标为； （3）存在． 如图2，过点P作轴交直线于G， 设点P的坐标为，则， ，，， ，，， ， ， 当时．有最大值，最大值为， 点P的坐标为，四边形ABPC的面积最大，最大值为 变式2．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 变式3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数（a为常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，．点E为二次函数在y轴左侧图象上的一点，过点E作直线交该抛物线于点F． (1)求二次函数的解析式； (2)若M为的中点，求的面积； (3)若直线相交于点P，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点B的坐标，从而得到点C的坐标，再把点C的坐标代入，即可求解； （2）点，求出直线的解析式为，再由，可设直线的解析式为， 把点代入，可求出直线的解析式为，然后联立，可求出点F的横坐标为，从而得到点M的横坐标为，即可求解； （3）连接，设点，由（2）得：点，求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，可求出点P的坐标为，再根据，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴点，即， ∵， ∴，即点， 把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， 解得：， ∴点F的横坐标为， ∵M为的中点， ∴点M的横坐标为， ∴的面积为； （3）解：如图，连接， 设点， 由（2）得：点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $