第25章一元二次方程单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程，以销售利润、乡村振兴等真实情境为载体，覆盖方程定义、解法、应用及根与系数关系，适配单元复习，注重数学思维与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/20分|方程应用（衬衫销售、日历数字）、根的判别式、根与系数关系|结合生活场景（月历表、电脑病毒传播），考查数学眼光| |填空题|6题/12分|增长率（楼盘调价）、组合问题（志愿者组队）、菱形面积与方程根|体现数据意识，强化符号运算能力| |解答题|7题/68分|解方程（配方法、因式分解）、实际应用（养鸡场围栏、电商助农）、配方法综合（因式分解、最值）|分层设计，从基础运算到创新应用，培养推理意识与模型观念|

第25章 一元二次方程单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 3．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 4．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 6．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 8．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 10．已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（     ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 二、填空题（共12分） 11．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 12．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 13．设、是方程的两个实数根，且，则______． 14．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 15．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 16．已知关于x的方程的两实数根为，，若，则____________． 三、解答题（共68分） 17．解方程： (1)； (2) 18．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 19．某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 20．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 21．在“乡村振兴，国潮好物”直播助农活动中，某电商平台推出了两款特色农产文创产品：“古法手作茶具套装”（款）和“非遗植物染丝巾”（款）．第一周，该平台以每件30元的进价购进了、两款产品共1000件，并全部售出．其中款售价50元、款售价45元，共获利16000元． (1)求该平台第一周分别购进款，款产品各多少件？ (2)第二周，该平台再次以相同进价购进与第一周相同数量的、两款产品，并调整了售价．款的售价在第一周的基础上下调，此时款的销售量较第一周下降了；款的售价在第一周的基础上上调，此时款的销售量与第一周相同，结果第二周的总销售额与第一周的总销售额相等．求的值． 22．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 23．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故选：D． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 3．B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 4．C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 5．C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 6．B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 7．C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 8．B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 9．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 10．C 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入的值结合已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 11． 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 13． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入中，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14． 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 15． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 16． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到与，再由分式方程求解即可． 【详解】解：关于x的方程的两实数根为，， 则， ，， ． 即，解得． 经检验，是原方程的解． 17．(1)，； (2)， 【分析】（1）运用配方法求解方程即可； （2）运用十字相乘法求解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 解得，． 18． 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 19． 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 20．(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 21．(1) 购进A款产品200件，B款产品800件 (2) 【分析】（1）根据购进总数量和总利润的等量关系，列出二元一次方程组求解即可； （2）先算出第一周总销售额，再根据第二周总销售额与第一周相等的等量关系列方程，舍去不符合题意的解后得到a的值． 【详解】（1）解：设该平台第一周购进A款产品件，购进B款产品件， 根据题意可得 解得 答：该平台第一周购进A款产品200件，B款产品800件， （2）解：第一周总销售额：（元） 设， 根据题意得： 解得（不符合题意，舍去）， 即， 得 ． 22．(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 23．(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 学科网（北京）股份有限公司 $