第25章一元二次方程单元学情检测试题2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 第25章一元二次方程单元检测卷，覆盖概念、解法、根与系数关系及实际应用，梯度设计适配单元复习，助力数学思维与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、配方法、根的判别式|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|5/15|等腰三角形边长计算、成本利润模型|结合几何与实际，培养模型意识| |解答题|9/75|换元法解高次方程、销售利润应用题|材料阅读题渗透转化思想，提升推理与应用能力|

第25章一元二次方程单元学情检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.下列是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为  (    ) A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程时，可将它转化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A.    B. 且 C.   且 D.    5.下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是(    ) A. B. C. D. 6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.已知和是方程的两个解，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.已知一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 9.如图，阳光中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路图中阴影部分，其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为，则道路的宽度为(    ) A. B. C. D. 10.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，衬衫的单价降了元，那么下面所列的方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.关于的方程是一元二次方程，则的值是          ． 12.若，则          ． 13.已知，，是等腰的三边长，其中，满足，则的周长为          ． 14.已知实数，满足，，且，则的值为          ． 15.某产品每件的生产成本为元，原定销售价元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是          ． 三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题12分）用合适的方法解下列方程． ； ； ； ． 17.本小题分 关于的方程． 当为何值时，方程为一元二次方程 若该方程为一元一次方程，则的值是否存在若存在，请求出的值，并求该方程的解，若不存在，请说明理由． 18.本小题6分 关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，求代数式的值． 19.本小题7分 已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若方程的两根满足，求的值． 20.本小题分 已知关于的方程． 求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； 当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 21.本小题分 材料：二次三项式，方程可以这样解：，或，，． 问题：方程的根是           已知实数满足求代数式的值． 22.本小题分 【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为 解：由方程，得，． 当时，即，，； 当时，即，，， 原方程的解为，，，． 【解决问题】 在由原方程到方程的过程中，是利用换元法达到          选填“降次”或“消元”的目的，体现了数学的转化思想； 请仿照材料的方法，解下列方程： ； ． 23.本小题10分 安顺市某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示： 求与之间的函数关系式； 商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元？ 24.本小题分 年，某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． 求四、五这两个月的月平均增长率． 从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销售量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $1.C 2.A 3.C 4.B 8.B 9.A 10.B 11.-1 12.6 13.15 14.47 15.65×1-10%×1+5%-501-X 16.【小题1】 解：x-2P= 9 2=号 10 X=3,=3 【小题2】 .(3-x)x-(3-x)=0, ∴.(3-x)(x-1)=0, .∴.3-X=0或x-1=0, .X1=3,X2=1 【小题3】 .b2-4ac=12-4×2×(-3)=25 x=-b±vb-4ac=-1±5， 2a 4 X1,Xg= 3 【小题4】 x2+10x=11, 参考答案 5.B 6.D 7.D 12=65-50 第1页，共1页 x2+10x+25=11+25, (x+5P=36即x+5=±6' ∴.x1=-11,X2=1 17.【小题1】 解：由关于x的方程(m+1)xm-+m-3)x=5为一元二次方程， a4米n= 得 :.当m=3时，关于x的方程(m+1)Xm-+(m-3)X=5为一元二次方程. 【小题2】 存在由关于x的方程(m+1)Xm-+(m-3)x=5为一元一次方程， m-1=1, 得m+1=0或m+1+m-3≠0 或m-1=0, .m=±1或m=0或m=2. .∴.当m=±1或m=0或m=2时， 关于X的方程(m+1)X-+(m-3)x=5为一元一次方程. 18.2x-1+1=0与(a+2)X+b-4)x+8=0是“同族二次方程”， .(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2x-12+1' 即(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)x-2(a+2小：x+a+3' .2(a+2)=b-4,解得a=5, a+3=8, b=-10, .∴.ab=-50. 第2页，共1页 19.解：(1根据题意得4=b2-4ac=(-12-4×1×(2m-4)≥0 解得：ms 8 (2)根据题意得：X,+x,=-b=1,XX,=C=2m-4, .(x1-3)(x2-3)=m2-1' .X1X2-3x1+x2)+9=m2-1 ∴.2m-4-3×1+9=m2-1' ∴.m2-2m-3=0 解得：m1=-1,m2=3(不合题意，舍去). 故m的值是-1. 20.【小题1】 当k=1时，方程为一元一次方程，必有一解： 当k≠1时，方程为一元二次方程，此时4=K2-4k-1)=(k-2尸≥0 综上，不论k取什么实数值，这个方程总有实数根： 【小题2】 :方程(k-1)X2+k+1=0有两个整数根， .k≠1， ∴解得x=-k±Vk-2 -k±k-2 2k-1 2k-1 1 .X1=-1,X2=1-k ∴.k为整数且方程的两个根都为整数， .1-k=1或-1， 第3页，共1页 方程有两个实数根， .k=0或2 21.【小题1】 X1=3,X2=4 【小题2】 解：设x2-x=y,则原方程可化为y2-4y-12=0, ∴.（y-6)(y+2=0,解得y1=6,y2=-2. 当y=6时，x2-x=6; 当y=-2时，x-x=-2,△=-7<0， 此方程无实数根， :.原式=-4X-X+1=-4×6+1=-23 22.【小题1】 降次 【小题2】 ①设x2=a,则原方程可化为a2-a-6=0, ∴.a-3a+2=0, 解得a1=3,Q2=-2, 当a=3时，x2=3, 解得x,=V3:X2=-V3 当a=-2时，x2=-2, .-2<0,.此方程无解， :原方程的解为x,=V3X,=-V3 ②设x2-x=y, 则原方程可化为y-4y-12=0, .y-6y+2=0, 解得y1=6,y2=-2 当y=6时，x-X=6,即x2-x-6=0, ∴.x-3x+2=0, 解得X1=3,X2=-2 第4页， 共1页 当y=-2时，x2-x=-2,即x2-x+2=0. .△=b2-4ac=-7<0, 此方程无解， :原方程的解为x1=3”X2=-2 23.解：（1)设一次函数解析式为：y=kx+b(k≠0)， 当x=2,y=120:当x=4,y=140: :2k+b=120 4k+b=140 k=10 解得： b=100 y与x之间的函数关系式 y=10x+100 (2)由题意得： (60-40-x)(10x+100)=2090 整理得：x2-10x+9=0, 解得：X1=1,X2=9, .让顾客得到更大的实惠， .x=9 答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元. 24.【小题1】 解：设四、五这两个月的月平均增长率为X, 依题意，得25611+x=400解得x=0.25=25%:X,=-2.25不合题意， 的月平均增长率为25%. 【小题2】 第5页，共1页 舍去，答：四、五这两个月 设商品降价m元，则每件获利40-m-25元，月销售量为400+40m件. 依题意，得40-m-25400+40m=6240,整理，得m2-5m+6=0,解得m1=2,m2=3. 为减少库存，所以取m=3 答：当商品降价3元时，商场月获利6240元. 第6页，共1页