5.2 等可能条件下的概率 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册20 《第5章等可能条件下的概率第2节等可能条件下的概率》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   巩固等可能试验两大判定条件，理解古典概型概率公式P(A)= 的推导逻辑，分清m、n的实际含义 。 2.   掌握单次试验（摸球、转盘、掷骰子）基础概率计算，能独立判断试验是否满足等可能性后再代入公式计算。 3.   结合转盘、小球示意图识图解题，会用直接列举法不重不漏统计总结果数n、事件包含结果数m。 4.   掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围，能利用概率数值判断游戏公平性。 5.   建立规范解题步骤：先判定等可能性 → 数总结果n → 数事件m → 代入公式计算概率。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.古典概型概率计算公式的理解与基础计算； 2.单次摸球、均分转盘、均匀骰子三类标准等可能模型的识图、计数； 3.区分m（符合事件的结果数）与n（全部等可能基本结果总数）。 （二）难点 1.先判定试验是否具备等可能性，非等可能试验不能直接套用 P(A)= 公式； 2.图形类（转盘）题目准确统计区域数量，避免重复、漏数； 3.理解概率取值：0 ≤ P(A) ≤ 1，区分P=0不可能事件、P=1必然事件。 ) 三．自主探究 （一）等可能试验 1、定义 一次随机试验同时满足两个必备条件，称为等可能试验（古典概型试验）： （1）有限性：试验所有可能出现的基本结果总数是有限个； （2）均等性：每一个最小、不可再拆分的基本结果，发生的可能性完全相等。 两个条件缺一不可。 2、关键词解释 （1）基本结果：不能再拆分的独立单一结果 例：8等分转盘，指针停数字1、停数字2……停数字8，每一种都是基本结果； （2）均等：道具均匀对称，不存在偏重、面积不等、数量不等的情况。 3、标准等可能试验（常考） （1）抛掷质地均匀的正方体骰子、硬币； （2）完全相同的小球、卡片、纸条抽签摸取； （3）平均等分的圆形转盘（所有扇形面积全等）。 （二）等可能条件下的概率 1、计算公式 若一次等可能试验一共有 n 种互不重复的等可能基本结果；事件A发生包含其中m种结果（0≤m≤n），则事件A的概率：P(A)= n：全部等可能基本结果总数 m：符合事件A的结果数量 2、适用前提：等可能试验（古典概型）同时满足两个条件才能使用本节概率计算公式： （1）有限性：一次试验所有出现的基本结果总数是有限个； （2）均等性：每一个基本结果发生的可能性大小完全相等。 不满足前提的情况，不能用本节公式计算： 3、三类事件概率取值规律 （1）不可能事件：事件一定不发生，m=0，P(A)=0。 例：6面骰子掷出数字7；全红袋子摸黑球 （2）随机事件：事件可能发生、可能不发生，0<m<n，0<P(A)<1。 例：掷骰子得到偶数，转盘指针停奇数区 （3）必然事件：事件一定发生，m=n，P(A)=1。 例：0-9小球摸出数字小于10 4、标准解题四步骤（考试规范书写） （1）判断：验证试验是否为等可能试验（有限+均等）； （2）定n：数出全部等可能基本结果总数； （3）找m：筛选出满足题意事件的结果个数； （4）计算：代入公式P(A)=，化为最简分数。 （三）常考基础模型 模型1：摸球模型 袋中若干完全相同小球，单次抽取1个，每个小球为1个独立基本结果。例：袋内1、2、3三个相同小球，求摸到奇数概率n=3，奇数1、3，m=2，P=。 模型2：均分转盘模型 圆形被分割成面积完全相等的扇形，每个扇形为1个基本结果。例：8等分转盘1~8，指针小于5：数字1、2、3、4，m=4，n=8，P== 模型3：均匀骰子/硬币 骰子6个面均等，硬币正反两面均等，直接计数代入公式。 四．经典例题 例1.（2025盐城盐都区期末）满足等可能试验，总基本结果数为n，事件A包含m个结果，则事件A概率公式是（ ） A.P(A)= B.P(A)= C.P(A)=m+n D.P(A)=n-m 例2．小明每天上学要经过某十字路口，该路口红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯，那么他每次路过此路口，遇到红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 例3.（2026南通通州区一模）下列试验不能直接用P=计算概率的是（ ） A.均匀六面骰子 B.10个相同标号小球摸球 C.面积不等的三格转盘 D.对半均分圆形转盘 例4.（2025泰州姜堰区期末）事件概率P=1，该事件为（ ） A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.无法判定 例5.（2025淮安淮安区期末）均匀骰子抛掷一次，总等可能基本结果数为____。 例6.（2026徐州云龙区一模）0~9十枚相同小球，随机摸1个，摸到7号球的概率为____。 例7.不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ． 例8.（2025镇江丹徒区期末）袋子只有红球，摸出黑球的概率为____。 例9.（2025连云港海州区期末）不透明袋装有3个完全相同小球，标号1、2、3，单次取1球。 (1) 判断该试验是否为等可能试验； (2) 求取出奇数号小球的概率。 例10.一副扑克牌（无大王、小王），从中任意取出一张，共有52种等可能的结果． (1) 列出抽到K的所有可能的结果； (2) 求抽到红桃K的概率； (3) 求抽到K的概率； (4) 求抽到红桃的概率； (5) 若抽到红桃你赢，抽不到红桃老师赢，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城大丰区期末）均匀骰子抛掷，点数为3的概率是（ ） A. B. C. D. 2.（2024无锡锡山区期末）等可能试验中，事件A概率取值范围是（ ） A.P>0 B.0≤P≤1 C.P<1 D.0<P<1 3.（2026泰州海陵区一模）袋子2个3号、1个5号相同小球，随机取球，求取出3号球概率（ ） A. B. C. D. 4.（2025南通海门区期末）对半均分转盘，指针停左半区概率为（ ） A.1 B. C.0 D. 5.（2024常州武进区期末）下列属于不可能事件概率的是（ ） A.1 B. C.0 D. 6.（2026扬州邗江区一模）1、2、3、4四张相同卡片，随机抽一张，抽到偶数概率（） A. B. C. D. 7.（2025淮安清江浦区期末）等可能试验必须同时具备的条件是（ ） A.仅结果有限 B.仅机会均等 C.有限结果+机会均等 D.结果有限或机会均等 8.（2024镇江京口区期末）抛掷均匀硬币，正面朝上概率为（ ） A. B.1 C.0 D. （二）填空题 9.（2025盐城建湖区期末）均分6格转盘，指针停数字2的概率为____。 10.（2026苏州相城区一模）1白4红共5个相同小球，摸到白球概率为____。 11.（2024泰州兴化期末）均匀骰子，点数为奇数的概率为____。 12.（2025宿迁沭阳县期末）标A、B、C三张相同纸条，抽到B的概率为____。 13.（2026无锡惠山区一模）事件全部结果都满足条件，该事件概率为____。 14.（2024连云港东海县期末）0-5六个相同小球，摸到数字大于4的概率为____。 15.（2025徐州铜山区期末）古典概型公式中，n代表____结果总数。 16.（2024常州天宁区期末）平均4等分转盘，指针停任意一格概率为____。 （三）解答题 17.（2025盐城东台期末）袋子装有4个完全相同小球，标号1、2、3、4，单次取1球。 (1) 判断试验是否为等可能试验； (2) 求取出偶数号小球的概率。 18．一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球处颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？哪种颜色的球可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球和白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 19.如图，现有一个转盘被分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1) 转动转盘，转出的数字大于3的概率是　　　　； (2) 现有两张分别写有3，4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成直角三角形的概率． 20.围棋盒中有x颗白色棋子，y颗黑色棋子，从盒中随机地取出一颗棋子，若它是白色棋子的概率是. (1) 写出y与x的函数表达式； (2) 第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为，分别求出x和y的值． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末）1白5红6个相同小球，随机摸1个，摸到红球概率为（ ） A. B. C. D. 2．有一道四选一的选择题某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率是（    ） A． B． C． D． 3.（2025泰州靖江期末）2个2号、1个5号小球，取到2号球概率（） A. B. C. D. 4.（2026扬州宝应一模）均分8格转盘，指针停数字7概率（ ） A. B. C. D. 5.（2025连云港灌云期末）下列场景可直接用古典概型公式的是（ ） A.不等分抽奖转盘 B.相同纸条抓阄分座位 C.投篮试验 D.抛图钉试验 6.（2026宿迁泗洪一模）等可能试验内，所有基本结果出现机会（ ） A.全部相同 B.各不相同 C.随机变化 D.都有可能 7.（2024常州溧阳期末）卡片1、3、5、7，随机抽一张，抽到质数概率（ ） A.0 B.1 C. D. 8.（2025徐州沛县期末）非等可能试验产生的原因不包含（ ） A.道具不均匀 B.分类后单元数量不等 C.结果总数有限 D.重量不同的抽签纸条 9．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．抛一枚硬币，出现正面 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球 10．某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 （二）填空题 11.（2025苏州常熟期末）均匀骰子点数小于3的概率为____。 12.（2024无锡宜兴期末）5张标a、b、c、d、e相同卡片，抽到c概率为____。 13.（2024镇江句容期末）古典概型两大条件：有限性与____。 14.（2026宿迁泗阳一模）抛掷图钉，不能用古典概型公式，因为不具备____。 15.一个口袋里放有大小完全相同的2个红球，3个白球和5个黑球，至少摸________次，才能使摸出的球各种颜色的都有. 16.盒中装有红球、白球共11个,每个球除颜色外都相同,如果摸出任意一个球,摸到红球的可能性较大,则红球至少有________个. 17．从标有1到20号的卡片中任意抽取一张，记事件“抽到2的倍数”发生的可能性为P (A)，事件“抽到5的倍数”发生的可能性为P(B) ，事件“ 抽到13的倍数" 发生的可能性为P(C)，请用“＞”连接P(A)，P(B)，P(C)为　 　. 18.下列说法中正确的说法的序号是　 　． ①367人中至少有两人是同月同日生；②某商场抽奖活动的中奖率为1‰，说明每抽1000张奖券，一定有一张能中奖；③“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件；④“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨． 19.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向扇形Ⅰ的概率是 　 　． 20.下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按从小到大排列：_____． （三）解答题 21.（2025苏州吴中期末）袋子装有5个完全相同小球，标号0、1、2、3、4，单次取1球。 (1) 写出全部等可能基本结果； (2) 求抽到偶数号小球的概率； (3) 判断“奇数、偶数”两类结果是否等可能。 22．如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体： （1）三面涂有颜色的概率； （2）两面涂有颜色的概率； （3）各个面都没有颜色的概率． 23．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 24．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 25. 如图，转盘被等分成10个扇形，每个扇形上面写有一个有理数．任意转动转盘，求转得下列各数的概率． （1）转得正数； （2）转得负整数； （3）转得绝对值不大于5的数． 26．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册20 《第5章等可能条件下的概率第2节等可能条件下的概率》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   巩固等可能试验两大判定条件，理解古典概型概率公式P(A)= 的推导逻辑，分清m、n的实际含义 。 2.   掌握单次试验（摸球、转盘、掷骰子）基础概率计算，能独立判断试验是否满足等可能性后再代入公式计算。 3.   结合转盘、小球示意图识图解题，会用直接列举法不重不漏统计总结果数n、事件包含结果数m。 4.   掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围，能利用概率数值判断游戏公平性。 5.   建立规范解题步骤：先判定等可能性 → 数总结果n → 数事件m → 代入公式计算概率。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.古典概型概率计算公式的理解与基础计算； 2.单次摸球、均分转盘、均匀骰子三类标准等可能模型的识图、计数； 3.区分m（符合事件的结果数）与n（全部等可能基本结果总数）。 （二）难点 1.先判定试验是否具备等可能性，非等可能试验不能直接套用 P(A)= 公式； 2.图形类（转盘）题目准确统计区域数量，避免重复、漏数； 3.理解概率取值：0 ≤ P(A) ≤ 1，区分P=0不可能事件、P=1必然事件。 ) 三．自主探究 （一）等可能试验 1、定义 一次随机试验同时满足两个必备条件，称为等可能试验（古典概型试验）： （1）有限性：试验所有可能出现的基本结果总数是有限个； （2）均等性：每一个最小、不可再拆分的基本结果，发生的可能性完全相等。 两个条件缺一不可。 2、关键词解释 （1）基本结果：不能再拆分的独立单一结果 例：8等分转盘，指针停数字1、停数字2……停数字8，每一种都是基本结果； （2）均等：道具均匀对称，不存在偏重、面积不等、数量不等的情况。 3、标准等可能试验（常考） （1）抛掷质地均匀的正方体骰子、硬币； （2）完全相同的小球、卡片、纸条抽签摸取； （3）平均等分的圆形转盘（所有扇形面积全等）。 （二）等可能条件下的概率 1、计算公式 若一次等可能试验一共有 n 种互不重复的等可能基本结果；事件A发生包含其中m种结果（0≤m≤n），则事件A的概率：P(A)= n：全部等可能基本结果总数 m：符合事件A的结果数量 2、适用前提：等可能试验（古典概型）同时满足两个条件才能使用本节概率计算公式： （1）有限性：一次试验所有出现的基本结果总数是有限个； （2）均等性：每一个基本结果发生的可能性大小完全相等。 不满足前提的情况，不能用本节公式计算： 3、三类事件概率取值规律 （1）不可能事件：事件一定不发生，m=0，P(A)=0。 例：6面骰子掷出数字7；全红袋子摸黑球 （2）随机事件：事件可能发生、可能不发生，0<m<n，0<P(A)<1。 例：掷骰子得到偶数，转盘指针停奇数区 （3）必然事件：事件一定发生，m=n，P(A)=1。 例：0-9小球摸出数字小于10 4、标准解题四步骤（考试规范书写） （1）判断：验证试验是否为等可能试验（有限+均等）； （2）定n：数出全部等可能基本结果总数； （3）找m：筛选出满足题意事件的结果个数； （4）计算：代入公式P(A)=，化为最简分数。 （三）常考基础模型 模型1：摸球模型 袋中若干完全相同小球，单次抽取1个，每个小球为1个独立基本结果。例：袋内1、2、3三个相同小球，求摸到奇数概率n=3，奇数1、3，m=2，P=。 模型2：均分转盘模型 圆形被分割成面积完全相等的扇形，每个扇形为1个基本结果。例：8等分转盘1~8，指针小于5：数字1、2、3、4，m=4，n=8，P== 模型3：均匀骰子/硬币 骰子6个面均等，硬币正反两面均等，直接计数代入公式。 四．经典例题 例1.（2025盐城盐都区期末）满足等可能试验，总基本结果数为n，事件A包含m个结果，则事件A概率公式是（ ） A.P(A)= B.P(A)= C.P(A)=m+n D.P(A)=n-m 【答案】B 【解析】古典概型核心公式：P(A)==。 例2．小明每天上学要经过某十字路口，该路口红绿灯的设置时间为：红灯，绿灯，黄灯，那么他每次路过此路口，遇到红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】遇到红灯的概率为：，故选B． 例3.（2026南通通州区一模）下列试验不能直接用P=计算概率的是（ ） A.均匀六面骰子 B.10个相同标号小球摸球 C.面积不等的三格转盘 D.对半均分圆形转盘 【答案】C 【解析】不等面积转盘不满足均等性，不属于等可能试验，无法套用古典概型公式。 例4.（2025泰州姜堰区期末）事件概率P=1，该事件为（ ） A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.无法判定 【答案】B 【解析】必然事件一定会发生，包含全部n个结果，m=n，P==1。 例5.（2025淮安淮安区期末）均匀骰子抛掷一次，总等可能基本结果数为____。 【答案】6 【解析】骰子6个面分别对应点数1-6，共6个等可能结果。 例6.（2026徐州云龙区一模）0~9十枚相同小球，随机摸1个，摸到7号球的概率为____。 【答案】 【解析】总结果n=10，摸到7号仅1种，P=。 例7.不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ． 【答案】 【解析】∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为，故答案为：． 例8.（2025镇江丹徒区期末）袋子只有红球，摸出黑球的概率为____。 【答案】0 【解析】无符合事件的结果，m=0，不可能事件概率为0。 例9.（2025连云港海州区期末）不透明袋装有3个完全相同小球，标号1、2、3，单次取1球。 (1) 判断该试验是否为等可能试验； (2) 求取出奇数号小球的概率。 【答案】(1) 是等可能试验，小球大小材质完全相同，总结果有限，抽取每个球机会均等； (2) P(奇数)= 【解析】总结果n=3，奇数1、3共2个，m=2，代入公式P=。 例10.一副扑克牌（无大王、小王），从中任意取出一张，共有52种等可能的结果． (1) 列出抽到K的所有可能的结果； (2) 求抽到红桃K的概率； (3) 求抽到K的概率； (4) 求抽到红桃的概率； (5) 若抽到红桃你赢，抽不到红桃老师赢，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 解：(1) 抽到K的所有可能的结果为红桃K，黑桃K，方块K，梅花K.(2) P(抽到红桃K)＝.(3) P(抽到K)＝.(4) P(抽到红桃)＝.(5) 因为P(抽到红桃)＝，P(抽不到红桃)＝，所以游戏不公平． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城大丰区期末）均匀骰子抛掷，点数为3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】总6种等可能结果，点数3仅1种，P=。 2.（2024无锡锡山区期末）等可能试验中，事件A概率取值范围是（ ） A.P>0 B.0≤P≤1 C.P<1 D.0<P<1 【答案】B 【解析】m取值0≤m≤n，因此0≤≤1。 3.（2026泰州海陵区一模）袋子2个3号、1个5号相同小球，随机取球，求取出3号球概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】总小球3个，3号球2个，m=2，P=。 4.（2025南通海门区期末）对半均分转盘，指针停左半区概率为（ ） A.1 B. C.0 D. 【答案】B 【解析】两个全等半圆，总结果n=2，左半区m=1，P=。 5.（2024常州武进区期末）下列属于不可能事件概率的是（ ） A.1 B. C.0 D. 【答案】C 【解析】不可能事件无匹配结果，m=0，概率为0。 6.（2026扬州邗江区一模）1、2、3、4四张相同卡片，随机抽一张，抽到偶数概率（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】偶数2、4共2个，总4种结果，P==。 7.（2025淮安清江浦区期末）等可能试验必须同时具备的条件是（ ） A.仅结果有限 B.仅机会均等 C.有限结果+机会均等 D.结果有限或机会均等 【答案】C 【解析】有限性、均等性两个条件缺一不可。 8.（2024镇江京口区期末）抛掷均匀硬币，正面朝上概率为（ ） A. B.1 C.0 D. 【答案】A 【解析】正反2种等可能结果，正面1种，P=。 （二）填空题 9.（2025盐城建湖区期末）均分6格转盘，指针停数字2的概率为____。 【答案】 【解析】总6个等分区域，数字2仅1个。 10.（2026苏州相城区一模）1白4红共5个相同小球，摸到白球概率为____。 【答案】 【解析】总球数5，白球1个，P=。 11.（2024泰州兴化期末）均匀骰子，点数为奇数的概率为____。 【答案】 【解析】奇数1、3、5共3个，P==。 12.（2025宿迁沭阳县期末）标A、B、C三张相同纸条，抽到B的概率为____。 【答案】 【解析】总3种等可能结果，抽到B仅1种。 13.（2026无锡惠山区一模）事件全部结果都满足条件，该事件概率为____。 【答案】1 【解析】必然事件m=n，P=1。 14.（2024连云港东海县期末）0-5六个相同小球，摸到数字大于4的概率为____。 【答案】 【解析】大于4只有数字5，m=1，总n=6。 15.（2025徐州铜山区期末）古典概型公式中，n代表____结果总数。 【答案】等可能基本 【解析】定义：n为试验全部等可能基本结果总数。 16.（2024常州天宁区期末）平均4等分转盘，指针停任意一格概率为____。 【答案】 【解析】4个全等扇形，每个区域出现机会均等。 （三）解答题 17.（2025盐城东台期末）袋子装有4个完全相同小球，标号1、2、3、4，单次取1球。 (1) 判断试验是否为等可能试验； (2) 求取出偶数号小球的概率。 【答案】(1) 是等可能试验，小球完全相同，总结果有限，抽取每个球概率均等； (2) P(偶数)== 【解析】偶数2、4共2个，总4种结果，代入公式化简。 18．一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球处颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？哪种颜色的球可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球和白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 解：（1）∵一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球， ∴会出现可能的结果有：红球、绿球、白球； （2）不能； （3）摸到白球可能性最大，红球可能性最小； （4）将袋子中的红球、绿球与白球的个数设计一样多，则摸到这三种颜色的球的概率相同． 19.如图，现有一个转盘被分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1) 转动转盘，转出的数字大于3的概率是　　　　； (2) 现有两张分别写有3，4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度，求这三条线段能构成直角三角形的概率． 解：(1) (2) 因为转盘被分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共6种可能结果，能构成直角三角形的结果只有1种，即转到5，所以P(构成直角三角形)＝. 20.围棋盒中有x颗白色棋子，y颗黑色棋子，从盒中随机地取出一颗棋子，若它是白色棋子的概率是. (1) 写出y与x的函数表达式； (2) 第一次取出的棋子放回盒中，再往盒中放入6颗白色棋子，若随机取出一颗白色棋子的概率为，分别求出x和y的值． 解：(1) 因为随机地取出一颗棋子是白色棋子的概率是，所以随机地取出一颗棋子是黑色棋子的概率是，所以黑色棋子与白色棋子之比为3∶5，所以y＝x. (2)由题意，得＝，解得x＝30，经检验x＝30是原方程的解，所以y＝×30＝18. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末）1白5红6个相同小球，随机摸1个，摸到红球概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】红球共5个，总球数6，P=。 2．有一道四选一的选择题某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为四个答案只有一个对的，所以某同学完全靠猜测获得结果答对的概率是． 故选：C． 3.（2025泰州靖江期末）2个2号、1个5号小球，取到2号球概率（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】总3个小球，2号球2个，m=2，P=。 4.（2026扬州宝应一模）均分8格转盘，指针停数字7概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】8个全等扇形，数字7仅1个区域，概率。 5.（2025连云港灌云期末）下列场景可直接用古典概型公式的是（ ） A.不等分抽奖转盘 B.相同纸条抓阄分座位 C.投篮试验 D.抛图钉试验 【答案】B 【解析】抓阄纸条完全相同，满足有限、均等条件。 6.（2026宿迁泗洪一模）等可能试验内，所有基本结果出现机会（ ） A.全部相同 B.各不相同 C.随机变化 D.都有可能 【答案】A 【解析】均等性定义：每个基本结果出现概率完全相等。 7.（2024常州溧阳期末）卡片1、3、5、7，随机抽一张，抽到质数概率（ ） A.0 B.1 C. D. 【答案】B 【解析】四个数字全部为质数，m=4，n=4，P=1。 8.（2025徐州沛县期末）非等可能试验产生的原因不包含（ ） A.道具不均匀 B.分类后单元数量不等 C.结果总数有限 D.重量不同的抽签纸条 【答案】C 【解析】结果有限是古典概型必要条件，不会造成非等可能性。 9．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．抛一枚硬币，出现正面 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球 【答案】D 【解析】A、抛一枚硬币，出现正面的概率是，不符合题意；B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意；C、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是，不符合题意；D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是，符合题意，故选：D． 10．某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为：甲，，，乙，，丙，，丁 ①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确；②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误，③由②可知③错误，④依题意，分组为：甲，)， (，乙， ，丙)，(，丁，……，或甲，，，(乙， ，丙， )，(丁，……，故④正确，故选：B． （二）填空题 11.（2025苏州常熟期末）均匀骰子点数小于3的概率为____。 【答案】 【解析】点数1、2共2个，P==。 12.（2024无锡宜兴期末）5张标a、b、c、d、e相同卡片，抽到c概率为____。 【答案】 【解析】总5种等可能结果，抽到c仅1种。 13.（2024镇江句容期末）古典概型两大条件：有限性与____。 【答案】均等性 【解析】教材定义，二者缺一不可。 14.（2026宿迁泗阳一模）抛掷图钉，不能用古典概型公式，因为不具备____。 【答案】均等性 【解析】图钉重心偏移，两种落地结果概率不等。 15.一个口袋里放有大小完全相同的2个红球，3个白球和5个黑球，至少摸________次，才能使摸出的球各种颜色的都有. 【答案】 3 【解析】∵一个口袋里放有大小完全相同的2个红球，3个白球和5个黑球 ∴摸出的球各种颜色的都有的至少次数为3次故答案为：3 16.盒中装有红球、白球共11个,每个球除颜色外都相同,如果摸出任意一个球,摸到红球的可能性较大,则红球至少有________个. 【答案】 6 【解析】∵红球、白球共11个，且摸到红球的可能性较大， ∴红球至少有6个. 故答案为：6. 17．从标有1到20号的卡片中任意抽取一张，记事件“抽到2的倍数”发生的可能性为P (A)，事件“抽到5的倍数”发生的可能性为P(B) ，事件“ 抽到13的倍数" 发生的可能性为P(C)，请用“＞”连接P(A)，P(B)，P(C)为　 　. 【答案】P(A)>P(B)>P(C) 【解析】事件共发生20次，其中“抽到2的倍数”的有10次，∴P(A)= ， ∵“抽到5的倍数”的有5、10、15、20共4次，∴P(B)= ，∵“ 抽到13的倍数"的有13共1次，∴P(C)= ，∴P(A)>P(B)>P(C)，故答案为：P(A)>P(B)>P(C). 18.下列说法中正确的说法的序号是　 　． ①367人中至少有两人是同月同日生；②某商场抽奖活动的中奖率为1‰，说明每抽1000张奖券，一定有一张能中奖；③“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件；④“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨． 【答案】①③ 【解析】①367人中至少有两人是同月同日生，符合题意；②某商场抽奖活动的中奖率为1‰，是随机事件，不一定每抽1000张奖券，一定有一张能中奖，故不符合题意；③“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故符合题意；④“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的可能性大，但不一定是明天有80%的时间降雨，故本选项不符合题意；故答案为①③． 19.如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向扇形Ⅰ的概率是 　 　． 【答案】 【解析】∵转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，∴指针指向扇形Ⅰ的概率是， 故答案为：． 20.下列事件：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖；④抛掷1个小石块，石块会下落．估计这些事件的可能性大小，并将它们的序号按从小到大排列：_____． 【答案】①③②④ 【解析】①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球，是不可能事件，发生的概率为0； ②随意调查1位青年，他接受过九年制义务教育，发生的概率接近1；③花2元买一张体育彩票，喜中500万大奖，发生的概率接近0；④抛掷1个小石块，石块会下落，是必然事件，发生的概率接为1，根据这些事件的可能性大小，它们的序号按从小到大排列：①③②④．故答案为：①③②④． （三）解答题 21.（2025苏州吴中期末）袋子装有5个完全相同小球，标号0、1、2、3、4，单次取1球。 (1) 写出全部等可能基本结果； (2) 求抽到偶数号小球的概率； (3) 判断“奇数、偶数”两类结果是否等可能。 【答案】(1) 取0、取1、取2、取3、取4；(2) P=；(3) 不等可能。 【解析】(2)偶数0、2、4共3个，总n=5；(3)偶数3个、奇数2个，数量不等，可能性不同。 22．如图，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成64个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体： （1）三面涂有颜色的概率； （2）两面涂有颜色的概率； （3）各个面都没有颜色的概率． 解：（1）因为三面涂有颜色的小正方体有8个，所以P（三面涂有颜色）=（或0.125）； （2）因为两面涂有颜色的小正方体有24个，所以P（两面涂有颜色）=（或0.375）； （3）因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，所以P（各个面都没有涂颜色）=（或0.125）． 23．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 解：（1）； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 24．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 解：（1）根据题意可得：区域对应“一等奖”，设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件，由图知字母所在的区域的圆心角度数为，则，答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）设顾客转动一次转盘，中奖为事件，则，答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 25. 如图，转盘被等分成10个扇形，每个扇形上面写有一个有理数．任意转动转盘，求转得下列各数的概率． （1）转得正数； （2）转得负整数； （3）转得绝对值不大于5的数． 解：（1）10个数中正数有5个，所以P（转得正数）=； （2）10个数中负整数有3个，所以P（转得负整数）=； （3）10个数中转得绝对值不大于5的数有6个，所以P（转得绝对值不大于5的数）=． 26．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 解：（1）在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个．所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率，故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5，所以小丽获胜的概率是．          比6大的数字有7，8，9，10，所以小亮获胜的概率是．因为，所以小丽获胜的概率大． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $