专题03有理数的乘法与除法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

专题03有理数的乘法与除法暑假预习讲义 ① 牢记有理数乘法法则：掌握两数相乘符号规律，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘；任何数乘0结果都为0，能准确判定乘积符号并计算结果。 ② 掌握多个有理数相乘规律：学会根据负因数个数判断积的符号，负因数偶数个积为正，奇数个积为负；算式中有0则乘积直接为0。 ③ 活用乘法运算律：熟练运用乘法交换律、结合律、分配律简化计算，巧用凑整、拆分数字等方法提升运算效率。 ④ 理解倒数概念：清楚乘积为1的两个数互为倒数，会求非零有理数的倒数；牢记0没有倒数。 ⑤ 掌握有理数除法法则：熟记除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；也可直接依据符号规则做除法运算，统一将除法运算转化为乘法计算。 ⑥ 熟练乘除混合运算：乘除属于同级运算，按照从左往右顺序计算，运算过程中先定符号，后算绝对值。 ⑦ 规避高频易错问题：多个数相乘符号判断失误、混淆倒数与相反数、除法变乘法时忘记颠倒倒数、运算顺序错乱；细致处理正负符号，夯实有理数四则运算功底。 预习必备知识梳理 1.有理数乘法法则 2.倒数 3.有理数乘法运算律 4.有理数除法法则 5.有理数乘除混合运算 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数四则混合运算 10.有理数四则混合运算的实际应用 11.数轴位置判断代数式正负 12.数轴上的翻折 强化题型 解答题8题 知识点 1 有理数的乘法法则 1. 两数相乘法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同 0 相乘，都得 0。 文字举例： (+4)×(+2)=+8； (-4)×(-2)=+8 (+4)×(-2)=-8；0×(-12)=0 ✅两个数乘法运算步骤 1 判断两数符号（同号 / 异号 / 含 0） 2 确定积的符号 3 绝对值相乘算出数值 2. 多个有理数相乘符号规律（重点） 几个不等于 0 的有理数相乘： 积的符号由负因数的个数决定： 负因数有偶数个，积为正数； 负因数有奇数个，积为负数； 再将所有因数的绝对值相乘。 ⚠️特殊情况：几个因数中只要有一个是 0，乘积直接等于 0。 例：(-2)×(-3)×(-4)，负因数 3 个（奇数），结果为负，-(2×3×4)=-24 知识点 2 倒数 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点 3 有理数乘法运算律 运算律 文字表述 字母公式 乘法交换律 两数相乘，交换因数位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个或后两个，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 一个数乘两个数的和，等于分别相乘再相加 a(b+c)=ab+ac 💡简便运算技巧： 1.优先结合能约分、凑整数的因数； 2.遇到小数、带分数统一化为假分数再相乘； 3.灵活逆用分配律：ab+ac=a(b+c)（高频考点） ⚠️提醒：移动因数位置时，连同数字前面的符号一起移动！ 知识点 4 有理数的除法法则 法则一（通用转化法，首选） 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 ab = a(b≠0) 👉除法转化为乘法，体现转化思想 法则二（直接符号判定） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0的数，都得 0。 ⚠️硬性规定：0 不能作除数！ ✅除法运算步骤： 方法 1：先判定符号，绝对值相除； 方法 2：除法变乘法（乘倒数），按照乘法法则计算 知识点 5 有理数乘除混合运算 1.运算思路：先把所有除法统一转化为乘法，整个算式变成连乘形式； 2.步骤：小数化分数、带分数化为假分数，约分计算； 3.运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号先算括号内； 4.符号一次性判定：统计所有负因数个数，偶数个负号结果为正，奇数个为负。 知识点 6 有理数四则混合运算（拓展预习） 先乘除，后加减；有括号先算括号内；同级运算从左向右。 知识点7本节核心易错汇总 易错点 错误示例 正确解答 倒数误区 0 的倒数是 0 0 没有倒数 符号判断 (-2)×(-3)×(-4)=24 3 个负因数，结果-24 除法符号混淆 -8÷(-4)=-2\) 同号相除得正，结果2 除法分配律陷阱 12÷(2+4)=12÷2+12÷4 除法没有分配律，先算括号12÷6=2 带分数计算 -2×3=-2××3\) 先化成假分数-×3=-7 除数为 0 5÷0有意义 0 不能作为除数，算式无意义 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【跟踪专练1】规定，算一算的结果是________． 【跟踪专练2】小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【跟踪专练3】在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】计算_______． 【跟踪专练1】下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： ________． 【跟踪专练3】已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花______元． 【跟踪专练1】内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【跟踪专练2】公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【跟踪专练3】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 题型4.倒数 【典例】的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则“”表示的数是______． 【跟踪专练2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，则的值是_______． 【跟踪专练3】若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】式子中运用的运算律是___________． 【跟踪专练1】算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【跟踪专练2】【乘法分配律】计算： ____________． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 题型6.有理数的除法运算 【典例】计算： __________． 【跟踪专练1】小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用“逐步确定”策略解决问题：有一个正整数n，用3除余1，用5除余2，用7除余1，则n的最小值为________． 【跟踪专练3】规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型7.有理数除法的应用 【典例】甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【跟踪专练1】已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要____________分钟． 【跟踪专练2】干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是年份减3，除以12所得的余数．以2025年为例： 天干为； 地支为． 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历_____年． 【跟踪专练3】斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】（     ） A．2 B． C．1 D．4 【跟踪专练1】计算：__________． 【跟踪专练2】新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则__________． 【跟踪专练3】从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 题型9.有理数四则混合运算 【典例】对于任意两个数、，规定，则________． 【跟踪专练1】如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A．401388 B．404888 C．401380 D．304882 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型10.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】参加卡塔尔世界杯的国家有32个（即32支队伍），抽签分成8组，每组4队，组内进行单循环比赛，以如图A组为例，请问A组一共要举行（     ）场单循环比赛？ A．6 B．8 C．12 D．16 【跟踪专练1】如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 【跟踪专练2】根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 题型11.数轴位置判断代数式正负 【典例】已知a，b在数轴上的位置如图所示，则__________0；（用“>”“<”或“=”填空） 【跟踪专练1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【跟踪专练3】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型12.数轴上的翻折 【典例】纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示2的点与表示________的点重合． 【跟踪专练1】若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【跟踪专练2】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是______． 【跟踪专练3】正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D分别对应数，，若正方形绕着其顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2025对应的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 解答题 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．用简便方法计算： (1)． (2) 4．简便计算 (1) (2) (3) 5．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 6．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 7．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 8．如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的乘法与除法暑假预习讲义 ① 牢记有理数乘法法则：掌握两数相乘符号规律，同号得正、异号得负，再把绝对值相乘；任何数乘0结果都为0，能准确判定乘积符号并计算结果。 ② 掌握多个有理数相乘规律：学会根据负因数个数判断积的符号，负因数偶数个积为正，奇数个积为负；算式中有0则乘积直接为0。 ③ 活用乘法运算律：熟练运用乘法交换律、结合律、分配律简化计算，巧用凑整、拆分数字等方法提升运算效率。 ④ 理解倒数概念：清楚乘积为1的两个数互为倒数，会求非零有理数的倒数；牢记0没有倒数。 ⑤ 掌握有理数除法法则：熟记除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；也可直接依据符号规则做除法运算，统一将除法运算转化为乘法计算。 ⑥ 熟练乘除混合运算：乘除属于同级运算，按照从左往右顺序计算，运算过程中先定符号，后算绝对值。 ⑦ 规避高频易错问题：多个数相乘符号判断失误、混淆倒数与相反数、除法变乘法时忘记颠倒倒数、运算顺序错乱；细致处理正负符号，夯实有理数四则运算功底。 预习必备知识梳理 1.有理数乘法法则 2.倒数 3.有理数乘法运算律 4.有理数除法法则 5.有理数乘除混合运算 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数四则混合运算 10.有理数四则混合运算的实际应用 11.数轴位置判断代数式正负 12.数轴上的翻折 强化题型 解答题8题 知识点 1 有理数的乘法法则 1. 两数相乘法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同 0 相乘，都得 0。 文字举例： (+4)×(+2)=+8； (-4)×(-2)=+8 (+4)×(-2)=-8；0×(-12)=0 ✅两个数乘法运算步骤 1 判断两数符号（同号 / 异号 / 含 0） 2 确定积的符号 3 绝对值相乘算出数值 2. 多个有理数相乘符号规律（重点） 几个不等于 0 的有理数相乘： 积的符号由负因数的个数决定： 负因数有偶数个，积为正数； 负因数有奇数个，积为负数； 再将所有因数的绝对值相乘。 ⚠️特殊情况：几个因数中只要有一个是 0，乘积直接等于 0。 例：(-2)×(-3)×(-4)，负因数 3 个（奇数），结果为负，-(2×3×4)=-24 知识点 2 倒数 1. 倒数定义 乘积为 1 的两个有理数互为倒数。 2. 倒数的求法 3. 关键硬性规定 (1)0没有倒数（不存在一个数与 0 相乘得 1）； (2)正数倒数仍为正，负数倒数仍为负。 知识点 3 有理数乘法运算律 运算律 文字表述 字母公式 乘法交换律 两数相乘，交换因数位置，积不变 ab=ba 乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个或后两个，积不变 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 一个数乘两个数的和，等于分别相乘再相加 a(b+c)=ab+ac 💡简便运算技巧： 1.优先结合能约分、凑整数的因数； 2.遇到小数、带分数统一化为假分数再相乘； 3.灵活逆用分配律：ab+ac=a(b+c)（高频考点） ⚠️提醒：移动因数位置时，连同数字前面的符号一起移动！ 知识点 4 有理数的除法法则 法则一（通用转化法，首选） 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数。 ab = a(b≠0) 👉除法转化为乘法，体现转化思想 法则二（直接符号判定） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0的数，都得 0。 ⚠️硬性规定：0 不能作除数！ ✅除法运算步骤： 方法 1：先判定符号，绝对值相除； 方法 2：除法变乘法（乘倒数），按照乘法法则计算 知识点 5 有理数乘除混合运算 1.运算思路：先把所有除法统一转化为乘法，整个算式变成连乘形式； 2.步骤：小数化分数、带分数化为假分数，约分计算； 3.运算顺序：无括号时，从左往右依次计算；有括号先算括号内； 4.符号一次性判定：统计所有负因数个数，偶数个负号结果为正，奇数个为负。 知识点 6 有理数四则混合运算（拓展预习） 先乘除，后加减；有括号先算括号内；同级运算从左向右。 知识点7本节核心易错汇总 易错点 错误示例 正确解答 倒数误区 0 的倒数是 0 0 没有倒数 符号判断 (-2)×(-3)×(-4)=24 3 个负因数，结果-24 除法符号混淆 -8÷(-4)=-2\) 同号相除得正，结果2 除法分配律陷阱 12÷(2+4)=12÷2+12÷4 除法没有分配律，先算括号12÷6=2 带分数计算 -2×3=-2××3\) 先化成假分数-×3=-7 除数为 0 5÷0有意义 0 不能作为除数，算式无意义 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】规定，算一算的结果是________． 【答案】6 【分析】按照运算顺序先计算括号内的式子，再根据给定运算规则计算括号外的式子即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 【跟踪专练3】在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，理解题中“铺地锦”的计算方法是关键；按照“铺地锦”的计算方法计算即可求解． 【详解】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格， 因此． 故选：B． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】计算_______． 【答案】 21 【分析】本题主要考查有理数的乘法，解答的关键是掌握运算法则． 根据有理数乘法法则，同号得正，异号得负，并将绝对值相乘，先计算前两个数的积，再与第三个数相乘． 【详解】解：． 故答案为：21． 【跟踪专练1】下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需注意符号规则和零乘任何数得零的性质是解题的关键．有理数乘法中，负因数的个数为奇数时积为负，为偶数时积为正；任何数乘以0都得0．根据法则逐一进行判断即可． 【详解】解：选项A：，错误，此选项不符合题意； 选项B：，错误，此选项不符合题意； 选项C：，错误，此选项不符合题意； 选项D：，正确，此选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】计算： ________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再发现乘积的规律即可求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花______元． 【答案】144 【分析】根据折扣的含义，先算出全场八折后的价格，再在此基础上算出持会员卡打六折后的最终价格，通过乘法运算即可得到结果． 【详解】解：（元） 答：小明持会员卡购买这个电动汽车需要花144元． 【跟踪专练1】内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 【跟踪专练2】公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 【跟踪专练3】《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 题型4.倒数 【典例】的相反数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是2022，2022 的倒数是． 【跟踪专练1】若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 【跟踪专练2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数的含义，有理数的运算等知识，掌握相反数、倒数的概念，正确进行运算是解题的关键；由题意得，再代入求值即可． 【详解】解：因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，m为最小的正整数， 所以， 原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，倒数等知识，设，则根据倒数的定义可得出，，，，进而可得答案． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 故选：C． 题型5.有理数乘法运算律 【典例】式子中运用的运算律是___________． 【答案】乘法结合律和乘法分配律 【分析】本题考查了乘法运算律． 式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 【详解】解：式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 故答案为：乘法结合律和乘法分配律． 【跟踪专练1】算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 【跟踪专练2】【乘法分配律】计算： ____________． 【答案】1 【分析】本题考查有理数乘法运算律，利用乘法分配律进行简便计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 题型6.有理数的除法运算 【典例】计算： __________． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练1】小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 【跟踪专练2】用“逐步确定”策略解决问题：有一个正整数n，用3除余1，用5除余2，用7除余1，则n的最小值为________． 【答案】22 【分析】本题考查了有理数的除法． 根据用3除余1，用7除余1，得到的一个因数为21，求出此时n的值，可知其符合“用5除余2”． 【详解】解：∵正整数n，用3除余1，用7除余1， ∴是21的倍数， 即一个数用3除余1，用7除余1，这个数的最小值是22， ∵，符合用5除余2， ∴n的最小值为22． 故答案为：22． 【跟踪专练3】规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 题型7.有理数除法的应用 【典例】甲跑100米用15秒，乙跑80米用13秒，则甲的速度比乙的速度（     ） A．快 B．慢 C．一样快 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据速度公式分别计算甲乙两人的速度，比较大小后即可得出结论． 【详解】解：∵速度公式为， ∴甲的速度 米/秒， 乙的速度 米/秒． ∵，即， ∴甲的速度比乙快． 【跟踪专练1】已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要____________分钟． 【答案】85 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：（分钟）； 故答案为85． 【跟踪专练2】干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是年份减3，除以12所得的余数．以2025年为例： 天干为； 地支为． 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2055年为农历_____年． 【答案】乙亥 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，可以计算出2055年对应的天干和地支，然后根据表格中的信息，即可写出2055年对应的农历年． 【详解】解：由题意，得天干为； 地支为…0， 对照表格可知，2055年为农历乙亥年． 故答案为：乙亥． 【跟踪专练3】斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 【答案】B 【分析】此题考查用图象表示变量之间的关系，首先根据速度路程时间，分别求出斑马和长颈鹿的奔跑的速度，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得：斑马的速度为：（千米/分），长颈鹿的速度为（千米/分）， 故15分钟时斑马和长颈鹿相距：（千米）． 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 将除法转化为乘法，带分数化为假分数，再通过约分计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】从个元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．已知“！”是一种数学运算符号，且；……；若公式（为正整数），则为（    ） A．56 B．42 C．34 D．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 【详解】解：∵（为正整数）， ∴ ， 故选：D． 题型9.有理数四则混合运算 【典例】对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，图书馆把密码做成了数学题．小星在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么他输入的密码是（   ） A．401388 B．404888 C．401380 D．304882 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律的探索与应用，熟练掌握分析已知算式的对应位运算规律是解题的关键． 先分析已知算式的规律，拆分结果的每一位对应运算，再按规律计算“”的结果． 【详解】解：以“”为例： （结果前两位）， （结果中间两位）， （结果后两位）． 验证“”： ， ， ，符合规律． 验证“”： ， ， ，符合规律． 计算“”： ， ， ， ∴密码：404888． 故选：B． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 题型10.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】参加卡塔尔世界杯的国家有32个（即32支队伍），抽签分成8组，每组4队，组内进行单循环比赛，以如图A组为例，请问A组一共要举行（     ）场单循环比赛？ A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】根据单循环比赛，求出总的场数再除以2即可． 【详解】解：A组单循环赛一共比赛：（场）． 【跟踪专练1】如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用．把长方形草地中的“土”字形状的小路剪去，将剩余部分拼起来，可以得到一个新的长方形，新长方形的长为，宽为，最后利用长方形面积公式计算即可． 【详解】解： 【跟踪专练2】根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（     ） A．高于正常范围 B．低于正常范围 C．属于正常范围 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接使用表格给出的家庭月耗碳总量计算人均年碳排放量，统一单位后与中部地区人均年碳排放范围比较． 【详解】解：李明家人均年碳排放量为 ． ∵ ， ∴ 李明家人均年碳排放量属于中部地区正常范围． 题型11.数轴位置判断代数式正负 【典例】已知a，b在数轴上的位置如图所示，则__________0；（用“>”“<”或“=”填空） 【答案】> 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，由数轴可得且，进而判断，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得且， ，， ， 故答案为：>． 【跟踪专练1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由图得到，逐项验证选项中的结论即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的对应点的位置可知， ，，，， 则四个选项中的结论只有C正确． 【跟踪专练2】如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 【跟踪专练3】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 题型12.数轴上的翻折 【典例】纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示6的点重合时，表示2的点与表示________的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先求出折痕与数轴交点的数，即和6的中点，再进行列式计算，得出表示2的点与表示0的点重合，即可作答． 【详解】解：∵折叠后，与6重合， 则折痕经过的点为， 表示2的点与表示1的点之间的距离为， 则， 因此表示2的点与表示0的点重合， 故答案为：0． 【跟踪专练1】若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2024对应的字“振”， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是______． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，两点之间的距离，折叠的性质， 设点C表示的数是，分两种情况：当折叠后点A在点B的左侧时，根据题意求出，再根据折叠的性质得，求出答案即可；当折叠后点A在点B的右侧时，根据题意求出答案即可． 【详解】解：设点C表示的数是， 当折叠后点A在点B的左侧时，根据题意，得， 解得， 即折叠后点A对应的数是4， 由折叠前点A表示的数是， ∴， 解得． 所以点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的右侧时，根据题意，得， 解得， 所以点C表示的数是3． 综上所述，点C表示的数是或3． 故答案为：或3． 【跟踪专练3】正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D分别对应数，，若正方形绕着其顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2025对应的点是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键． 由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点A落在，点B落在，点C落在0，点D落在1， 可知其四次一循环，由此可确定出数轴上与2025所对应的点． 【详解】解：当正方形在转动一周的过程中，点A落在，点B落在，点C落在0，点D落在1，每4次翻转为一个循环组， ， 数轴上与2025对应的点是点D． 故选：D． 解答题 1．计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3．用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 4．简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)34 (2) (3)1 【分析】（1）把除法化为乘法运算，再结合乘法运算律进行简便运算即可； （2）括号内利用分配律进行简便运算，再进一步计算即可； （3）把带分数化为假分数，再结合分配律进行简便运算，进一步计算除法运算，最后计算加法运算即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 5．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【分析】（1）找出路程偏差的最大值与最小值，计算二者的差值即可得到结果； （2）先计算7天路程偏差的总和，再加上7天的标准总路程，得到总行驶路程； （3）分别计算汽油车和新能源车行驶总路程的费用，作差得到节省的费用． 【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ． （2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ， 7天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ． （3）解：汽油车行驶的费用为 （元）， 新能源车行驶的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 6．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 7．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)用“”、“”或“”填空：________，________； (2)用“”将，，连接起来（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，相反数的意义，数轴上两点距离，利用数形结合法解答是解题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出，即可解答； （2）减法法则结合，，在数轴上的位置解答即可． 【详解】（1）解：如图， ∴． 故答案为：，； （2）解：如图， ∵ ∴． 8．如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $