专题06：有理数的乘方（3大知识点+7大题型+真题检验） 2025年新六年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题06 有理数的乘方 知识点一、有理数的乘方 (1)定义:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂. (2)记法和读法:一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,即 ,读作a的n次方. 当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂. 【注意】 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方,例如2就是,通常，指数1省略不写. （2）当底数是负数或分数时,要用括号将底数括起来,在底数右上方写指数,指数要写得小一些.注意 意义不同,同样的意义也不相同. 知识点02 乘方的运算 （1）有理数乘方的符号法则： ①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. ②正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0. （2）乘方的计算:乘方是一种特殊的乘法运算,可以利用有理数的乘法运算法则来进行有理数的乘方运算. 【特别提醒】 （1）任何一个有理数的偶次幂都是非负数,即 (n为正整数); （2）1的任何次幂都是1,－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是l，即 (3)(－a)n与－an的意义完全不同, (－a)n表示n个－a相乘，－an表示n个a相乘的积的相反数; (4)在进行幂的运算时一定要注意符号问题. 知识点三、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 题型1：有理数乘方的意义 【名师点拨】1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 【例1】代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得. 【详解】解：代数式可以表示为； 故选：C. 【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键. 【例2】表示的意义是（    ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的定义． 根据有理数乘方的定义解答可得． 【详解】解：表示的意义是6个2相乘的积的相反数， 故选：C． 【例3】用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果． = = ； = 【答案】 【分析】根据幂指数代表底数相乘的次数可得出答案． 【解析】解：=； =； = 故答案为：，；，；，． 【点睛】本题考查幂指数所表示的意义以及有理数乘方的运算，比较基础，掌握基础概念是解题关键． 【例4】对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．底数相同，指数相同 B．底数不同，指数不同 C．底数相同，运算结果不同 D．底数不同，运算结果相同 【答案】D 【分析】根据幂的性质判断即可； 【解析】由（﹣4）3和﹣43可知：指数相同，底数不同， ，，运算结果相同； 故选D． 【点睛】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 【跟踪训练】 1．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 2.对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】解：式子中： 指数是3，故A选项正确； 底数是，故B选项正确； 结果为，故C选项正确； 表示3个相乘，故D选项错误； 3.下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意，故选：D． 4.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是，故选A． 题型2：有理数的乘方运算 【名师点拨】利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 【例5】.的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【例6】计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【解析】解：；；． 故答案为：，4，． 【例7】下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 【例8】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）2； （2）1； （3）72． 【知识点拨】考查有理数的乘方运算，注意符号的确定． 【例9】计算：． 【答案】8． 【知识点拨】本题一方面考查有理数的乘法运算，另一方面考查幂的简便运算，注意进行观察．原式=． 【跟踪训练】 1.下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 2．下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答． 【详解】解：A、，，二者数值不相等，不符合题意； B、，，二者数值不相等，不符合题意； C、，，二者数值相等，符合题意； D、和，二者数值不相等，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方法则和有理数的乘法法则是解题的关键． 3 .下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方的运算，绝对值化简，以及相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 先根据乘方运算的法则、绝对值的法则进行计算，再根据相反数的定义逐一判定即可． 【详解】解：A、，，是相反数，故A符合题意； B、，，不是相反数，故B不符合题意； C、，，不是相反数，故C不符合题意； D、，，不是相反数，故D不符合题意． 故选：A． 4.计算：(1)－(－3)3 (2)(－)2； (3)(－)3 (4)(－1)2015. 【答案】见解析 【解析】可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． (1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27； (2)(－)2＝×＝； (3)(－)3＝－(××)＝－； (4)(－1)2015＝－1. 【方法总结】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；－1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1. 5．计算： （1）；    （2）；    （3） （4）；    （5）；    （6）． 【答案】（1）；（2）16；（3）2.89；（4）；（5）8；（6）36． 【分析】根据乘方的运算法则，分别进行计算，即可得到答案． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【点睛】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 6.计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 7.计算： （1）． （2）； （3）． 【知识点拨】本题综合性较强，一方面考查对幂的理解，另一方面考查乘法分配律的逆运算．原式=． 题型3：有理数乘方的逆运算 【例10】一个数的平方为16，则这个数是（   ） A．4 B．-4 C．4或-4 D．8或-8 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得． 【详解】因为， 所以这个数是4或， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的运算法则是解题关键． 【例11】若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【详解】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 【跟踪训练】 1.的立方等于 ，平方等于9的数是 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据立方和平方的定义进行求解即可． 【详解】解：的立方等于，平方等于的数是， 故答案为：，． 2．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ． 【答案】 ±4； ﹣3． 【分析】根据有理数的乘方的概念进行解答即可． 【解析】解：∵（±4）2=16， ∴平方等于16的数是±4； ∵（﹣3）3=﹣27， ∴立方等于﹣27的数是﹣3． 故答案为：±4；﹣3． 【点睛】本题考查有理数的乘方． 3．若，则得值是 ；若，则得值是 ． 【答案】 【分析】根据平方和立方的定义进行求解，平方等于9的有两个数，立方等于-8的数有一个． 【解析】∵， ∴x=； ∵， ∴=-2， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平方和立方的定义，掌握平方和立方的定义是解题的关键． 题型4：乘方运算的符号法则、乘方的非负性 【例12】若是正整数，则 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当为奇数时，当为偶数时，从而可得答案． 【解析】解：当为奇数时， 当为偶数时， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是乘方符号的确定，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键． 【例13】已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【解析】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【例14】任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0， 故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键是对有理数的乘方的性质的掌握． 【例15】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，进而计算得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键． 【跟踪训练】 1．直接写出答案（题中n为正整数） （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= （5）= ； （6）= ； （7）= ； （8）= （9）= ； （10）= ；（11）= ． 答案：（1）-（4）；；；；（5）-（8）；；；；（9）--（11）；； 2.若，则= ___________． 【答案】1 【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3.如果，那么a是______． 【答案】0． 题型5：乘方的应用 【例16】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案． ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…， ∴尾数每4个一循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴22022的个位数字应该是：4． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 【例17】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    【答案】第次后可拉出根面条． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 答：这样捏合到第6次后可拉出根面条． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的意义． 【例18】（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 【跟踪训练】 1．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（    ） A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 【答案】D 【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是个．分裂第二次时，2个就变为了个．那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得． 【解析】解：某种细菌原来有1个， 半小时后有：2个，1小时后有个， 小时后有个，小时后有个， 小时后有个，小时后有个， 又 经过3h，这种细菌由1个可分裂为个， 故选D 【点睛】本题考查的是乘方的含义与实际应用，简单数字规律的探究，掌握“探究规律的方法与乘方的意义”是解本题的关键. 2．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解析】解：第一次截去它的一半，剩下的木棒长为m， 第二次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 第三次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， …, 第六次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m， 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 3．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可； 【解析】∵第一代有11只，则下一代就会有121只， 以此类推，可知蟑螂第10代的只数是； 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键． 题型6：科学计数法 【名师点拨】①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【例19】用科学记数法表示下列各数： （1）3507 =____________； （2）____________； （3）____________； （4）____________． 【例20】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数： （1）_____________； （2）____________； （3）____________； （4）_____________． 【例21】若，则______． 【例22】我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 的煤所产生的能量．把 用科学记数法可表示为（　　） A．1 B．0.1 C．1.3 D．1.3 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解析】解： ． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题． 【跟踪训练】 1．某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解析】解：1.5万亿． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是正确确定的值以及的值． 2．第七次全国人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【解析】解：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 3. 5月11日发布的我国第七次全国人口普查数据显示，全国人口约141000万人，用科学记数法表示为（　　） A．1.41×105人 B．1.41×108人 C．14.1×108人 D．1.41×109人 【答案】D 【分析】把原数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可． 【解析】解：141000万人＝1410000000人＝1.41×109人． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 4. 截至2021年6月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新型病毒疫苗89277万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（    ） A．89.277×107剂次 B．8.9277×108剂次 C．0.89277×109剂次 D．8.92777×109剂次 【答案】B 【分析】将89277万转换为892770000，而892770000等于8.9277×100000000，将100000000变为即可． 【解析】解：89277万=892770000=剂次， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，在表示的过程中，能够数清数位是解决本题的关键． 题型7：综合应用 【例23】观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 【例24】阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）设，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料，设①， 将等式两边同时乘以3，则②， 由，得：， ， ； （2）根据材料，设③， 将等式两边同时乘以④， 由，得：， , ． 【例24】求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 【答案】(1)， (2)：，， (3) (4) 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （3）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （4）先将原式化成乘方形式，再按含乘方的有理数混合运算法则计算即可. 【详解】（1）解：依题意得：，， 故答案是：，； （2）依题意得：， ， ； 故答案为：，，； （3）依题意得：． 故答案为：； （4） 【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 【例25】已知，为有理数，现规定一种新运算※，满足※． （1）求2※4的值； （2）求※※的值； （3）已知：□※〇和〇※□；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入□和〇中，在运算后，你有什么发现？ 【答案】（1）9；（2）；（3）在运算后，它们的值相等． 【分析】（1）根据※，可以求得所求式子的值； （2）根据※，可以求得所求式子的值； （3）根据※和题意，可以比较出所求两个式子的大小，本题得以解决； 解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【解答】解：（1）2※； （2）※， 原式※ ； （3）※ ， ※2 ， ※※2， 在运算后，它们的值相等． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 一、选择题 1.（2024松江校级阶段练习）比较与，下列说法正确的是（　　） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 C．它们底数相同，但指数不相同 D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同 【答案】D 【分析】根据有理数幂的概念解答即可． 【详解】解：的底数是3，指数是3，表示3个3的乘积的相反数，运算结果为， 的底数是，指数是3，表示3个的乘积，运算结果为， 故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同， 所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解答的关键是熟练掌握有理数幂的概念：表示n个a的乘积，a为底数，n为指数． 2.（2024上海课时作业）下列对于式子的说法，错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【答案】C 【分析】根据乘方的定义解答即可． 【详解】A．指数是2，正确； B．底数是，正确； C．幂为9，故错误； D．表示2个相乘，正确；． 故选C． 【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数． 3.（2024大同中学月考）下面各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算，绝对值的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、因为，则，故本选项不符合题意； C、因为，，则，故本选项不符合题意； D、因为，则，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方运算，绝对值的性质是解题的关键． 4．（2024上海课时作业）下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 5.（2023徐汇中学期末）最大的负整数的2014次方与绝对值最小的数的2015次方的和是（      ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】B 【详解】试题分析：根据数的意义知最大的负整数是-1，因此它的2014次方为1，而绝对值最小的数是0，0的任何次方都等于0，所以两者的和为1． 故选B 考点：数的意义 6．（2022文来中学月考）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 二、填空题 7．在中，底数是______，指数是______.计算：______. 【答案】 3 4 【分析】根据幂的定义：形如中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答． 【详解】解：中，底数是3，指数是4，， 故答案为：3，4，． 【点睛】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键． 8．（2024上海课时作业）已知，则______________． 【答案】2 【分析】把4写成即可求出m的值． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成是解答本题的关键． 9．（2023建平中学月考）计算：___________． 【答案】 【分析】根据有理数运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 10.（2024上海课时作业）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __． 【答案】 【分析】根据乘方的定义运算即可． 【详解】解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4， 故答案为：（﹣2）4. 【点睛】本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作a，这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂． 11. 的相反数是（    ） A．－1 B．1 C．－2023 D．2023 【答案】B 【分析】先计算，然后根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的相反数是1． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方法则，相反数的定义，掌握乘方法则是解题的关键． 12．已知，则的值为_______． 【答案】5 【分析】根据幂的乘方法则把32转化为，根据已知条件即可的答案. 【详解】∵， ∴， 故答案为5 【点睛】本题考查了乘方，乘方是求几个相同因数积的运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键. 13．（2024闵行区校级期中）若，则　　． 【分析】先逆用幂的乘方法则，把写成的形式，再把已知条件代入，进行计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握逆用幂的乘方法则． 14．（2024闵行区校级期中）一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，则需要这种杀菌剂 　　滴． 【答案】． 【分析】根据题意列出代数式，再根据同底数幂的除法，底数不变指数相减计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，底数不变指数相减是解题关键． 15．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）2023年5月，推动成渝地区双城经济圈建设联合办公室印发的文件中，规划了成渝地区双城经济圈总面积185000平方公里．请将185000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将185000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 16．（2024复旦二附中期末）已知，满足，则式子的值是________． 【答案】1 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出a、b，再代值求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性、有理数的混合运算和代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键． 17．（2024交大附中期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是_______ 【分析】由已知可得尾数，，，的规律是4个数一循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴尾数，，，的规律是4个数一循环， ∵， ∴的个位数字是， 又∵， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同， ∴的结果的个位数字是． 故选：A． 【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 18．（2024宝山实验学校期末）如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝　　． 【解答】解：设（﹣3，﹣27）＝x， ∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c， ∴（﹣3）x＝﹣27． ∵（﹣3）3＝﹣27， ∴x＝3． 故答案为：3． 三、解答题 19．计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1) (2)2.25 (3) (4) (5)8 【分析】根据有理数乘方运算法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 20．下列是用科学记数法表示的数，求原数是多少？ （1）2×10；（2）3.14×10；（3）-5.012×10. 【答案】（1）20000；（2）314000；（3）-50120000． 【分析】（1）根据科学记数法的定义即可得； （2）根据科学记数法的定义即可得； （3）根据科学记数法的定义即可得． 【解析】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， （1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键． 21．已知与互为相反数，求的值． 【答案】0 【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可； 【解析】因为与互为相反数，所以，所以，， 所以，， 因此． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键． 22．已知，求的值． 【答案】-48 【分析】根据绝对值和平方的非负性求出，，，代入求值即可； 【解析】因为， 所以， 解得，，， 所以，． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用和代数式求值，准确计算是解题的关键． 23．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 【答案】(1) (2)①④ (3)， (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； （3）解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； （4）解： = = = = = =． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题06 有理数的乘方 知识点一、有理数的乘方 (1)定义:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂. (2)记法和读法:一般地,n个相同的因数a相乘,记作an,即 ,读作a的n次方. 当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂. 【注意】 （1）一个数可以看作这个数本身的一次方,例如2就是,通常，指数1省略不写. （2）当底数是负数或分数时,要用括号将底数括起来,在底数右上方写指数,指数要写得小一些.注意 意义不同,同样的意义也不相同. 知识点02 乘方的运算 （1）有理数乘方的符号法则： ①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. ②正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0. （2）乘方的计算:乘方是一种特殊的乘法运算,可以利用有理数的乘法运算法则来进行有理数的乘方运算. 【特别提醒】 （1）任何一个有理数的偶次幂都是非负数,即 (n为正整数); （2）1的任何次幂都是1,－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是l，即 (3)(－a)n与－an的意义完全不同, (－a)n表示n个－a相乘，－an表示n个a相乘的积的相反数; (4)在进行幂的运算时一定要注意符号问题. 知识点三、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 题型1：有理数乘方的意义 【名师点拨】1.求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 【例1】代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 【例2】表示的意义是（    ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 【例3】用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果． = = ； = ． 【例4】对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．底数相同，指数相同 B．底数不同，指数不同 C．底数相同，运算结果不同 D．底数不同，运算结果相同 【跟踪训练】 1．的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 2.对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 3.下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 4.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型2：有理数的乘方运算 【名师点拨】利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 【例5】.的值为 ． ． 【例6】计算： ， ， ． 【例7】下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例8】计算： （1）； （2）； （3）． 【例9】计算：． ． 【跟踪训练】 1.下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3 .下列四组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4.计算：(1)－(－3)3 (2)(－)2； (3)(－)3 (4)(－1)2015. 5．计算： （1）；    （2）；    （3） （4）；    （5）；    （6）． 6.计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 7.计算： （1）． （2）； （3）． 题型3：有理数乘方的逆运算 【例10】一个数的平方为16，则这个数是（   ） 【例11】若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.的立方等于 ，平方等于9的数是 ． 2．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ． 3．若，则得值是 ；若，则得值是 ． 题型4：乘方运算的符号法则、乘方的非负性 【例12】若是正整数，则 【例13】已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【例14】任何一个有理数的偶次幂必是（　　） A．负数 B．正数 C．非正数 D．非负数 【例15】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．直接写出答案（题中n为正整数） （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= （5）= ； （6）= ； （7）= ； （8）= （9）= ； （10）= ；（11）= ． 2.若，则= ___________． 3.如果，那么a是______． 题型5：乘方的应用 【例16】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【例17】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如图所示：这样捏合到第次后可拉出几根面条？    ． 【例18】（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【跟踪训练】 1．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（    ） A．8个 B．16个 C．32个 D．64个 2．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(       )． A． B． C． D． 3．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（    ） A． B． C． D． 题型6：科学计数法 【名师点拨】①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【例19】用科学记数法表示下列各数： （1）3507 =____________； （2）____________； （3）____________； （4）____________． 【例20】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数： （1）_____________； （2）____________； （3）____________； （4）_____________． 【例21】若，则______． 【例22】我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 的煤所产生的能量．把 用科学记数法可表示为（　　） A．1 B．0.1 C．1.3 D．1.3 【跟踪训练】 1．某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（    ） A． B． C． D． 2．第七次全国人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （  ） A． B． C． D． 3. 5月11日发布的我国第七次全国人口普查数据显示，全国人口约141000万人，用科学记数法表示为（　　） A．1.41×105人 B．1.41×108人 C．14.1×108人 D．1.41×109人 4. 截至2021年6月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新型病毒疫苗89277万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（    ） A．89.277×107剂次 B．8.9277×108剂次 C．0.89277×109剂次 D．8.92777×109剂次 题型7：综合应用 【例23】观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【例24】阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： (1) (2) 【例24】求几个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方的形式 仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ________；________；________． (3)由（2）中的算式归纳：有理数a（）的圈n（）次方写成乘方的形式等于________． (4)计算 【例25】已知，为有理数，现规定一种新运算※，满足※． （1）求2※4的值； （2）求※※的值； （3）已知：□※〇和〇※□；任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入□和〇中，在运算后，你有什么发现？ 一、选择题 1.（2024松江校级阶段练习）比较与，下列说法正确的是（　　） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 C．它们底数相同，但指数不相同 D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同 2.（2024上海课时作业）下列对于式子的说法，错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 3.（2024大同中学月考）下面各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（2024上海课时作业）下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 5.（2023徐汇中学期末）最大的负整数的2014次方与绝对值最小的数的2015次方的和是（      ） A．－1 B．1 C．0 D．2 6．（2022文来中学月考）已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 7．在中，底数是______，指数是______.计算：______. 8．（2024上海课时作业）已知，则______________． 9．（2023建平中学月考）计算：___________． 10.（2024上海课时作业）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __． 11. 的相反数是（    ） A．－1 B．1 C．－2023 D．2023 12．已知，则的值为_______． 13．（2024闵行区校级期中）若，则　　． 14．（2024闵行区校级期中）一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若将1升这种液体中的有害细菌全部杀死，则需要这种杀菌剂 　　滴． 15．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）2023年5月，推动成渝地区双城经济圈建设联合办公室印发的文件中，规划了成渝地区双城经济圈总面积185000平方公里．请将185000用科学记数法表示为 ． 16．（2024复旦二附中期末）已知，满足，则式子的值是________． 17．（2024交大附中期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是_______ 18．（2024宝山实验学校期末）如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝　 三、解答题 19．计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 20．下列是用科学记数法表示的数，求原数是多少？ （1）2×10；（2）3.14×10；（3）-5.012×10. 22．已知，求的值． 23．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$