专题06一元一次方程的认识及解法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

专题06一元一次方程的认识及解法暑假预习讲义 ① 区分等式、方程概念：理解方程定义，知晓含有未知数的等式叫作方程；能够辨别式子是否为方程，分清代数式与方程的不同。 ② 理解方程的解与解方程含义：明白使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解；求解方程未知数的全过程叫作解方程，可代入数值检验方程的解是否正确。 ③ 掌握一元一次方程三大特征：只含有一个未知数、未知数次数是1、等号两侧都是整式；能依据条件判断式子是否属于一元一次方程。 ④ 熟记等式的两条基本性质：会利用等式性质对方程变形，等式两边同时加减、乘除同一个不为0的数，等式依旧成立，这是解方程的理论依据。 ⑤ 熟练掌握解一元一次方程完整步骤：依次学会去括号、移项、合并同类项、系数化为1；牢记移项要变号的规则，规范每一步书写格式。 ⑥ 会根据文字题意列简单方程：读懂生活实际问题中的等量关系，合理设未知数，将文字语言转化为一元一次方程，初步建立方程思想。 ⑦ 梳理高频易错点：移项忘记改变符号、去括号时漏乘各项、系数化为1时分不清分子分母、检验方程解步骤缺失；养成严谨的解题习惯，为方程应用题学习打好根基。 预习必备 知识梳理 1.等式.方程相关概念 2.等式的基本性质 3.列方程 4.一元一次方程的定义 5.解一元一次方程的步骤 6.检验方程的解 7.四种简化题型 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.一元一次方程的判定 6.一元一次方程解的判定 7.等式性质1 8.等式性质2 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 强化题型 解答题6题 知识点 1 等式、方程相关概念 1.等式：用等号 “=” 表示相等关系的式子。 例：2+3=5，x+5=9 2.方程：含有未知数的等式。 ✅两个必备条件：①有等号；②含有未知数 ❌区分：代数式无等号，不是方程；2+3=5不含未知数，只是等式，不是方程。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数值）。 4.解方程：求方程解的过程（是一个运算过程）。 辨析：方程的解（结果）≠解方程（过程） 知识点 2 等式的基本性质（解方程理论依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 知识点 3 列方程 1.核心思路：把文字描述的等量关系，转化为方程。 2.列方程一般步骤： ①审题，找出题目中的等量关系（最重要）； ②设未知数（直接设、间接设）； ③用含未知数的代数式表示相关量； ④根据等量关系列出方程。 3.常用关键词： 相等、一共、比… 多、比… 少、几倍、和、差、积、商。 知识点 4 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且含有未知数的式子都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 标准形式ax+b=0(a≠0,a、b为常数) 三个缺一不可条件： ①只含1 个未知数； ②未知数最高次数为1； ③整式方程（未知数不在分母中） 举例：3x+5=0 ✔；+2=3 ❌（分母含未知数，不是整式方程）；x2+1=5 ❌（次数为 2） 知识点 5 解一元一次方程完整步骤 步骤 操作依据 要点说明 1.去分母 等式性质 2 方程两边每一项都乘最小公倍数；不含分母项不要漏乘；分子为多项式必须加括号 2.去括号 乘法分配律、去括号法则 括号前是负号，括号内全部变号；杜绝漏乘 3.移项 等式性质 1 移项要变号；不移项不变号；习惯把含未知数项放左边，常数放右边 4.合并同类项 合并同类项法则 化成最简形式 ax=b(a≠0) 5.系数化为 1 等式性质 2 两边同时除以未知数系数，注意符号；分清分子分母 知识点 6 检验方程的解（预习必备） 把求出的未知数的值代入原方程左右两边，分别计算： 左边 = 右边 → 是方程的解；左边≠右边 → 计算出错。 知识点 7 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点8高频易错汇总 易错类型 错误示范 正确讲解 方程判断 3x+2是方程 无等号，属于代数式，不是方程 去分母漏乘常数 +1=x 同乘 2 得到 x+1=2x 常数 1 也要乘 2，正确：x+2=2x 移项不变号 3x+2=x-4，3x+x=-4+2 x移左边变-x；+2移右边变-2，3x-x=-4-2 去括号符号错误 2-(x-3)=2-x-3 负号去括号全部变号：2-x+3 混淆一元一次方程 =4是一元一次方程 未知数在分母，不是整式方程，不属于一元一次方程 系数化为 1 颠倒分子分母 2x=6，x= x==3 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是方程的含义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”，逐一判断各选项是否满足“含未知数”且“是等式”这两个条件即可． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 又∵A选项是代数式，不是等式，不符合方程定义， B选项是等式，但不含未知数，不符合方程定义， C选项是不等式，不是等式，不符合方程定义， D选项既含有未知数x，又是等式，符合方程定义， 故选：D 【跟踪专练1】在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 题型2.列方程 【典例】根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，根据题意，将文字描述转化为代数方程即可． 【详解】解：x的3倍表示为，与7的差表示为，根据条件，此差等于11， 因此方程为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设乙木条的长为n，列出与的关系式，并求得n的表达式即可得解． 【详解】设乙木条的长为n， 根据题意，得， 解得． 【跟踪专练2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接列方程即可 【详解】解：由题意可知b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a 故选：A 【点睛】本题考查列二元一次方程，正确理解题意找到等量关系是关键 题型3.判断是否是方程的解 【典例】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的方法逐项求解即可． 【详解】解：A、解得，故不符合题意； B、解得，故不符合题意； C、解得，故符合题意； D、解得，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】对于试题“已知，的三边长为，，，求的值”，甲乙两位同学的思考如下： 甲 根据“全等三角形的对应边相等”可知分为两种情况：或，解得：或或 乙 分类讨论有点麻烦，我根据“全等三角形的周长相等”，得出：，解得： 则下列说法正确的是（   ） A．甲乙均正确 B．甲乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】分析甲乙思考过程，由方程组解法判断即可． 【详解】解：对于甲，当时，中两个方程同时成立，则是满足题意的解；当时，方程成立；当时，方程成立；从而不存在唯一一个值，使中两个方程同时成立，即无解，甲说法错误； 乙说法正确； 综上所述，甲错误、乙正确． 故选：D． 【跟踪专练2】当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 【详解】解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 题型4.由方程的解求参数 【典例】若是方程的解，则_________． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 【跟踪专练1】若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得到与的关系，再将所求代数式变形后整体代入要求值的代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得 ， ∴等式两边同乘得 ，即， ∴． 【跟踪专练2】已知是方程的一个解，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了根据方程的解求参数，掌握方程解的定义是解题的关键，把代入到方程中计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴ ， 即， ∴ ． 故答案为 0． 【跟踪专练3】当的取值不同时，整式（其中是常数，）的值也不同，具体情况如下表所示．则关于的方程的解为（    ） 0 1 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，将方程变形为与表格中整式形式一致的式子，再结合表格数据找出对应x的值． 【详解】解：， ∴， 从表格可知，当时，， ∴ 方程的解为． 故选：B． 题型5.一元一次方程的判定 【典例】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的次数为1， ∵选项A不是等式，不是方程， ∴A不符合题意； ∵选项B不含未知数，不是方程， ∴B不符合题意； ∵选项C是只含有一个未知数，且未知数次数为1的整式方程，符合一元一次方程的定义， ∴C符合题意； ∵选项D含有两个未知数和，不是一元方程， ∴D不符合题意． 【跟踪专练1】下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式． 【详解】解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程； B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程； C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程； D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 【跟踪专练2】在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 题型6.一元一次方程解的判定 【典例】写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程是解题关键． 根据定义结合方程解的定义即可求解． 【详解】解：由题意，方程的解为， 因此可构造方程（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型7.等式性质1 【典例】把方程变形为，其依据是（   ） A．等式两边同时加上同一个代数式，所得结果仍是等式 B．有理数乘法法则 C．等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式 D．选项B和选项C 【答案】A 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式的基本性质“等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，等式仍然成立”作答即可． 【详解】解：∵从等式两边同时减去x，得， 即， ∴故选：A． 【跟踪专练1】兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 【跟踪专练2】有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，由图（a）和图（b）可得，，进而根据，求出取值范围即可解题． 【详解】解：设种物体□，△，○的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：①，， 即， 代入①得，即， ∴， 即， 故选：B． 题型8.等式性质2 【典例】把方程变形为的依据是（    ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．等式的性质1 D．等式的性质2 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质； 根据等式的基本性质，将方程两边同时乘以同一个不为零的数，等式仍成立，可得答案． 【详解】解：将方程两边同时乘以2，得，依据的是等式的性质2， 故选：D． 【跟踪专练1】若，则__________． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了等式的性质，利用等式的性质将转化为，再转为为比例式即可求解． 【详解】解：由可得：， 即（或）． 故答案为：（或）． 【跟踪专练2】下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． 题型9.合并同类项及移项 【典例】若代数式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出一元一次方程，再解方程即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为， ∴， 解得， ∴的值为． 【跟踪专练1】对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：由，可得：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 【跟踪专练2】整式的值随x取值的变化而变化，上表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 3 0 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，先根据表格中x与的对应值求出m、n的值，再将其代入方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵当时， ∴ ∴ ∵当时， ∴ ∴ 将，代入方程，得 移项得 合并同类项得 系数化为1得 故选：D 题型10.去括号 【典例】方程的解为______． 【答案】 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【跟踪专练1】解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则计算，得到正确结果即可，需注意括号前是负因数时，去括号后括号内各项要改变符号． 【详解】解：， ， 去括号后得到． 【跟踪专练2】定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义，列出一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得； 故答案为：2． 【跟踪专练3】将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查去括号，熟练掌握去括号的运算法则是解题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 去括号得：， 故选A． 题型11.去分母 【典例】若代数式与的和为12，则a的值为________． 【答案】7 【分析】根据题意列出一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：根据题意列方程得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得． 【跟踪专练1】将方程去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出两个分母的最小公倍数，再给方程左右两边每一项同时乘该最小公倍数，化简后对比选项得到结果． 【详解】解：∵原方程为，两个分母分别为和，二者的最小公倍数是， ∴给方程左右两边同时乘以去分母，得：， 化简得． 【跟踪专练2】对于两个不相等的数、，我们规定符号表示、两数中较大的数，例如，按照这个规定，方程的解为______． 【答案】或 【分析】本题考查新定义下的解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键，根据的定义，需分两种情况讨论：当时和当时，分别求解方程即可得到答案． 【详解】解：令， 解得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得． 故答案为：或． 【跟踪专练3】把方程化为最简整数系数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将原方程中的系数化为整数：，， 故原方程可化为 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】关于x的方程的解为，则a的值为________． 【答案】 【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程 得 整理得 移项合并同类项得 解得． 【跟踪专练1】关于x的一元一次方程的解为____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求出参数的值，再代入原方程求解未知数即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，得，且， 解得， 将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 系数化为得． 【跟踪专练2】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：方程化简得： ， 由方程有唯一解可知：，即， 将唯一解：，代入化简后的方程，得：， 若，则，与矛盾； ，结论①正确； 根据乙同学的对话可知： 当正整数m取得最大值时：，代入，得：； 当正整数m取得最小值时：，代入，得：； 的最小值是3，不是1， 结论②错误； ，包含四个正整数： 结论③正确． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】关于的一元一次方程与的解相同，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，先求解方程，得到的值，再将其代入方程，求解． 【详解】解：解方程，得． 将代入方程，得，解得． 故答案为： 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将关于的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用整体代换的思想，结合已知方程的解求解的值． 【详解】解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． 【跟踪专练2】如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如，方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是______ ． 【答案】 【分析】先求解第一个一元一次方程，再根据“美好方程”的定义得到含参数的x方程的解，最后利用整体思想和同解方程的意义求解y即可． 【详解】解：解方程得． ∵关于的方程与是“美好方程”． ∴两个方程的解之和为， ∴方程的解为， 观察关于的方程，可知该方程是将中的替换为． ∴． 解得． 【跟踪专练3】当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解与代数式值的联系，解题的关键是将方程转化为代数式的值的问题求解． 先将方程变形为，再结合表格找出对应的值． 【详解】解：方程变形为， 由表格可知，当时，， 所以方程的解是． 故选：B． 题型14.绝对值方程 【典例】若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 【答案】C 【分析】先移项可得，再根据绝对值的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 【跟踪专练1】若a，b为实数，且同时满足，，则为______． 【答案】/0.2 【分析】本题考查了解绝对值方程，代数式求值． 通过解绝对值方程，得到a和b的值，再计算b的a次方． 【详解】解：由，得， 代入，得， 即， 当时，，矛盾； 当时，，则， 解得； 代入，得， 故． 故答案为：． 【跟踪专练2】若且则的值等于（    ） A．2或6 B．2或−6 C．−2或−6 D．−2或6 【答案】C 【分析】由绝对值的意义及的值小于0，求出与的值，即可确定出的值． 【详解】解：，，且， ，或，， 则或． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解答题 1．检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是该方程的解，是该方程的解； (2)是该方程的解，不是该方程的解 【详解】（1）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； （2）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解． 2．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 3．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 4．解方程： (1)； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 5．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，先解出第一个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，再将解代入第二个方程即可求出的值． 【详解】解：解方程 移项得 解得 ∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 把代入 得 整理得 解得． 6．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元一次方程的认识及解法暑假预习讲义 ① 区分等式、方程概念：理解方程定义，知晓含有未知数的等式叫作方程；能够辨别式子是否为方程，分清代数式与方程的不同。 ② 理解方程的解与解方程含义：明白使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解；求解方程未知数的全过程叫作解方程，可代入数值检验方程的解是否正确。 ③ 掌握一元一次方程三大特征：只含有一个未知数、未知数次数是1、等号两侧都是整式；能依据条件判断式子是否属于一元一次方程。 ④ 熟记等式的两条基本性质：会利用等式性质对方程变形，等式两边同时加减、乘除同一个不为0的数，等式依旧成立，这是解方程的理论依据。 ⑤ 熟练掌握解一元一次方程完整步骤：依次学会去括号、移项、合并同类项、系数化为1；牢记移项要变号的规则，规范每一步书写格式。 ⑥ 会根据文字题意列简单方程：读懂生活实际问题中的等量关系，合理设未知数，将文字语言转化为一元一次方程，初步建立方程思想。 ⑦ 梳理高频易错点：移项忘记改变符号、去括号时漏乘各项、系数化为1时分不清分子分母、检验方程解步骤缺失；养成严谨的解题习惯，为方程应用题学习打好根基。 预习必备 知识梳理 1.等式.方程相关概念 2.等式的基本性质 3.列方程 4.一元一次方程的定义 5.解一元一次方程的步骤 6.检验方程的解 7.四种简化题型 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.一元一次方程的判定 6.一元一次方程解的判定 7.等式性质1 8.等式性质2 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 强化题型 解答题6题 知识点 1 等式、方程相关概念 1.等式：用等号 “=” 表示相等关系的式子。 例：2+3=5，x+5=9 2.方程：含有未知数的等式。 ✅两个必备条件：①有等号；②含有未知数 ❌区分：代数式无等号，不是方程；2+3=5不含未知数，只是等式，不是方程。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数值）。 4.解方程：求方程解的过程（是一个运算过程）。 辨析：方程的解（结果）≠解方程（过程） 知识点 2 等式的基本性质（解方程理论依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 知识点 3 列方程 1.核心思路：把文字描述的等量关系，转化为方程。 2.列方程一般步骤： ①审题，找出题目中的等量关系（最重要）； ②设未知数（直接设、间接设）； ③用含未知数的代数式表示相关量； ④根据等量关系列出方程。 3.常用关键词： 相等、一共、比… 多、比… 少、几倍、和、差、积、商。 知识点 4 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且含有未知数的式子都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 标准形式ax+b=0(a≠0,a、b为常数) 三个缺一不可条件： ①只含1 个未知数； ②未知数最高次数为1； ③整式方程（未知数不在分母中） 举例：3x+5=0 ✔；+2=3 ❌（分母含未知数，不是整式方程）；x2+1=5 ❌（次数为 2） 知识点 5 解一元一次方程完整步骤 步骤 操作依据 要点说明 1.去分母 等式性质 2 方程两边每一项都乘最小公倍数；不含分母项不要漏乘；分子为多项式必须加括号 2.去括号 乘法分配律、去括号法则 括号前是负号，括号内全部变号；杜绝漏乘 3.移项 等式性质 1 移项要变号；不移项不变号；习惯把含未知数项放左边，常数放右边 4.合并同类项 合并同类项法则 化成最简形式 ax=b(a≠0) 5.系数化为 1 等式性质 2 两边同时除以未知数系数，注意符号；分清分子分母 知识点 6 检验方程的解（预习必备） 把求出的未知数的值代入原方程左右两边，分别计算： 左边 = 右边 → 是方程的解；左边≠右边 → 计算出错。 知识点 7 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点8高频易错汇总 易错类型 错误示范 正确讲解 方程判断 3x+2是方程 无等号，属于代数式，不是方程 去分母漏乘常数 +1=x 同乘 2 得到 x+1=2x 常数 1 也要乘 2，正确：x+2=2x 移项不变号 3x+2=x-4，3x+x=-4+2 x移左边变-x；+2移右边变-2，3x-x=-4-2 去括号符号错误 2-(x-3)=2-x-3 负号去括号全部变号：2-x+3 混淆一元一次方程 =4是一元一次方程 未知数在分母，不是整式方程，不属于一元一次方程 系数化为 1 颠倒分子分母 2x=6，x= x==3 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 题型2.列方程 【典例】根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【跟踪专练1】如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为______． 【跟踪专练3】药店销售某种药品原价为a元/盒，受市场影响开始降价，第一轮价格下降30%，第二轮在第一轮的基础上又下降10%，经两轮降价后的价格为b元/盒，则a，b之间满足的关系式为（　　） A．b＝（1﹣30%）（1﹣10%）a B．b＝（1﹣30%﹣10%）a C． D． 题型3.判断是否是方程的解 【典例】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于试题“已知，的三边长为，，，求的值”，甲乙两位同学的思考如下： 甲 根据“全等三角形的对应边相等”可知分为两种情况：或，解得：或或 乙 分类讨论有点麻烦，我根据“全等三角形的周长相等”，得出：，解得： 则下列说法正确的是（   ） A．甲乙均正确 B．甲乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【跟踪专练2】当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 题型4.由方程的解求参数 【典例】若是方程的解，则_________． 【跟踪专练1】若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是方程的一个解，则_____． 【跟踪专练3】当的取值不同时，整式（其中是常数，）的值也不同，具体情况如下表所示．则关于的方程的解为（    ） 0 1 6 4 2 0 A． B． C． D． 题型5.一元一次方程的判定 【典例】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列方程中属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型6.一元一次方程解的判定 【典例】写出一个关于y的一元一次方程，使它的解为，则这个方程可以是________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型7.等式性质1 【典例】把方程变形为，其依据是（   ） A．等式两边同时加上同一个代数式，所得结果仍是等式 B．有理数乘法法则 C．等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式 D．选项B和选项C 【跟踪专练1】兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【跟踪专练2】有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（    ） A． B． C． D． 题型8.等式性质2 【典例】把方程变形为的依据是（    ） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．等式的性质1 D．等式的性质2 【跟踪专练1】若，则__________． 【跟踪专练2】下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 题型9.合并同类项及移项 【典例】若代数式的值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 【跟踪专练2】整式的值随x取值的变化而变化，上表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 3 0 2 4 A． B． C． D． 题型10.去括号 【典例】方程的解为______． 【跟踪专练1】解方程， 去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 【跟踪专练3】将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11.去分母 【典例】若代数式与的和为12，则a的值为________． 【跟踪专练1】将方程去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于两个不相等的数、，我们规定符号表示、两数中较大的数，例如，按照这个规定，方程的解为______． 【跟踪专练3】把方程化为最简整数系数，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】关于x的方程的解为，则a的值为________． 【跟踪专练1】关于x的一元一次方程的解为____． 【跟踪专练2】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】关于的一元一次方程与的解相同，则的值为______． 【跟踪专练1】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果两个一元一次方程的解和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如，方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是______ ． 【跟踪专练3】当x取不同值时对应的多项式的值如表所示，则关于x的方程的解是（   ） x 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．1 C．2 D．-2 题型14.绝对值方程 【典例】若，则x的值是（    ）． A．6 B． C．6或 D．不确定 【跟踪专练1】若a，b为实数，且同时满足，，则为______． 【跟踪专练2】若且则的值等于（    ） A．2或6 B．2或−6 C．−2或−6 D．−2或6 解答题 1．检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 2．解下列方程： (1)； (2)． 3．根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 4．解方程： (1)； (2) ； (3) 5．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 6．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $