第03讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新六年级数学衔接讲义（沪教版2024）

第03讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 行程问题 典型例题二 配套问题 典型例题三 工程问题 典型例题四 销售盈亏问题 典型例题五 比赛积分问题 典型例题六 方案选择问题 典型例题七 数字问题 典型例题八 动点问题 典型例题九 几何问题 典型例题十 和差倍分问题 典型例题十一 电费和水费问题 典型例题十二 比例分配问题 典型例题十三 日历问题 典型例题十四 古代问题 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 【即时训练】 1．（2025·上海松江·模拟预测模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程．两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉．“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米． = 根据上面的数量关系式列出方程： ． 【答案】 “丰春”号的速度×时间 - “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 【分析】根据“路程=速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了千米，“振兴”号7.5小时行驶了千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程． 本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，数量关系式：“丰春”号的速度×时间-“振兴”号的速度×时间=两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：． 故答案为：“丰春”号的速度×时间，-，“振兴”号的速度×时间，两船相距的路程， 【即时训练】 3．（2025·上海闵行·模拟预测）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 【答案】甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可． 【详解】解：设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据． 由题意，得， 解得， （）， 答：甲模型每小时处理60的数据，乙模型每小时处理45的数据． 知识点02 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）现有一道条件缺失的题目：一项工程，甲队单独完成需要12天……还需要多少天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出如图所示的线段示意图，设两队合作还需要天完成任务，并列方程．根据以上信息，下列结论正确的有（   ） ①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量； ②乙队单独完成需要8天； ③▲代表的式子是； ④甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确分析线段示意图和方程是解题的关键． 根据线段示意图和方程逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意得①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量，正确； ②乙队单独完成需要8天，正确； ③▲代表的式子是，正确； ④解得， 甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务， 结论④正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 【即时训练】 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图“九宫格”中的值为 ． 0 1 【答案】 【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可． 【详解】解： 解得： 故答案为：． 【即时训练】 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式为：．中国成年人的BMI分类标准如下表： BMI指数范围 身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖 已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题： (1)通过计算说明王老师的身体状态描述情况． (2)若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为______kg．（精确到1kg） 【答案】(1)王老师的身体状态为超重； (2)69 【分析】本题考查了代数式的计算，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键. （1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算，再根据分类标准进行判断即可； （2）设王老师的最大体重为x千克，根据公式列方程，进而求解即可. 【详解】（1）解：王老师的BMI为， 根据分类标准，属于超重； （2）解：设王老师的最大体重为x千克，由题意得 ， 解得， ∴， 故答案为：69． 【典型例题一 行程问题】 【例1】（24-25六年级上·上海青浦·期中）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．依题意设他家到学校的路程是，根据每小时骑，可早到10分钟，即，每小时骑就会迟到5分钟，即，进行列方程即可． 【详解】解：设他家到学校的路程是， 由题意得，． 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程．两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉．“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米． = 根据上面的数量关系式列出方程： ． 【答案】 “丰春”号的速度×时间 - “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 【分析】根据“路程=速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了千米，“振兴”号7.5小时行驶了千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程． 本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，数量关系式：“丰春”号的速度×时间-“振兴”号的速度×时间=两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：． 故答案为：“丰春”号的速度×时间，-，“振兴”号的速度×时间，两船相距的路程， 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）王强从家里骑摩托车到火车站赶乘火车，若每小时行30千米，则早到15分钟；若每小时行20千米，则迟到5分钟．如果打算提前到5分钟，那么摩托车的速度应是多少千米/小时？ 【答案】24千米/小时 【分析】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键．15分钟小时，5分钟小时，根据速度时间路程，设正常到火车站需要x小时，路程不变，列方程为，然后解出方程，求出正常到火车站需要的时间，进而求出王强家到火车站的距离，最后根据速度路程时间，用王强家到火车站的路程（正常到火车站需要的时间）即可求出摩托车现在的速度． 【详解】解：设正常到火车站需要x小时，根据题意得： 解得：， （千米）， （千米/小时）， 答：摩托车的速度应是24千米/小时． 1．（2025·上海松江·模拟预测）从甲地到乙地，汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程比原来缩短了20千米，车速平均每小时比原来增加了40千米，现在只需要4小时即可到达，求甲、乙两地之间高速公路的路程． 【答案】甲、乙两地之间高速公路的路程为400千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程，设甲、乙两地之间高速公路的路程为千米，根据车速平均每小时比原来增加了40千米为等量关系列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两地之间高速公路的路程为千米， 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两地之间高速公路的路程为400千米． 2．（2025六年级上·上海宝山·专题练习）如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： (1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； (2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 【答案】(1) (2)12:00时或10:30时两车相距 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． （1）设两地之间的距离为，由等量关系得到方程，解方程即可得到答案； （2）由两车相距，分三种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设两地之间的距离为， 由题意可得：， 解得， 答：两地之间的距离为； （2）解：由两车相距，分三种情况： 当高铁、动车在路上行驶时， 设高铁出发小时， ①， 解得； 即高铁出发后，两车相距； ②， 解得； 在（1）的条件下，， 即高铁仅需到达地，不符合实际，舍去； ③当动车在路上行驶，高铁没有出发时， 设动车出发小时， 即， 解得， 即高铁未动，动车出发后，两车相距； 综上所述，12:00时或10:30时两车相距． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【答案】(1)12分钟 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解； （1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇． 由题意得，， 解得． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）解：设两人在出发后分钟相遇． 当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度， 两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇． 由题意得，． 解得． 两人在出发后分钟相遇． 【典型例题二 配套问题】 【例1】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）沈阳某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，如图一张桌子配4把椅子，已知每 名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，则x的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据一张桌子配4把椅子，列出方程进行求解即可． 【详解】解：安排x名木工加工桌子，由题意，得：， 解得：； 故答案为：6． 【例3】（24-25六年级上·上海金山·期末）七（1）班共有学生52人，其中男生人数比女生人数少6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底28个． (1)七（1）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划男生负责做盒身，女生负责做盒底，1个盒身和2个盒底配套，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定女生去支援男生，问有多少女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有男生23人，女生29人 (2)需要5名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设女生人数为人，表示男生人数，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于（2），设名女生去支援男生，再根据使这节课制作的盒身和盒底刚好配套列出一元一次方程，求出解. 【详解】（1）解：设女生人数为人，则男生人数为人， 根据题意得，， 解得， 则， 答：七（1）班有男生23人，女生29人； （2）解：设名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意得，， 解得， 答：需要5名女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）学校手工艺社团组织学生编织花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团共有人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣，问：安排多少人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】安排人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套 【分析】 本题考查了配套问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 先设安排x人编织花心，再根据“每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣”列出方程求解． 【详解】 解：设安排x人编织花心，则安排（30﹣x）人编织花瓣， 根据题意得：， 解得：． 答：安排人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套． 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）某工厂需要生产一批三人扭腰器(如图)，每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；工厂共有工人42名，工厂每人每天可生产扶手架60个，或每人每天生产扭腰盘72个，若工厂每人每天只能生产同一种部件．问：应如何分配工人，才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘正好配套？    【答案】12名工人生产扶手架，30人生产扭腰盘 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识．设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘，根据“每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成”列一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘， 根据题意得：， 解得：， ， 答：每天有人生产扶手架，人生产扭腰盘才能使扶手架和扭腰盘配套． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【答案】(1)安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； (2)这一天有名工人加工甲种零件． 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程． （1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题； （2）等量关系为：加工甲种零件的总利润加工乙种零件的总利润，把相关数值代入求解即可； 【详解】（1）解：设生产甲种零件的工人有人， 根据题意得：， 解得， ， 答：安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人； （2）解：设这一天有名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有个，乙种零件有个， 根据题意，得， 解得． 答：这一天有名工人加工甲种零件． 【典型例题三 工程问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）现有一道条件缺失的题目：一项工程，甲队单独完成需要12天……还需要多少天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出如图所示的线段示意图，设两队合作还需要天完成任务，并列方程．根据以上信息，下列结论正确的有（   ） ①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量； ②乙队单独完成需要8天； ③▲代表的式子是； ④甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确分析线段示意图和方程是解题的关键． 根据线段示意图和方程逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意得①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量，正确； ②乙队单独完成需要8天，正确； ③▲代表的式子是，正确； ④解得， 甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务， 结论④正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 【例2】（2024·上海宝山·模拟预测）甲、乙两个工程队完成一项工程，每天完成的工作量始终保持不变．甲队先干了3天，然后乙队加入，合作完成剩下的工程，设工作总量为1．下面是未记录完整的工程进度表．根据表中的数据，写出m的值为 ，n的值为 ． 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 … 第n天 工程总进度 m … 1 【答案】 /0.25 9 【分析】本题考查了分式方程的应用，求出甲、乙的工作效率是解答本题的关键．根据甲前两天一共干了可求出甲的工作效率，进而求出m，根据前5天一共干了可求出乙的工作效率，然后列方程求出n的值即可． 【详解】解：∵甲的工作效率为， ∴． ∵前5天一共干了， ∴乙的工作效率为． 由题意，得 ， 解得． 故答案为：，9． 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）某公园计划设计草地与儿童乐园的占地面积比为，但在实际建设中，根据场地条件，将草地的场地分给儿童乐园，此时草地与儿童乐园的占地面积比变为． (1)该公园中草地与儿童乐园的总占地面积是多少平方米？ (2)甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，接着甲队和乙队共同修建草地，此时甲、乙两队的工作效率比为．甲、乙两队总共需要多少天可以完成公园的全部修建工作？ 【答案】(1) (2)80 【分析】（1）根据草地与儿童乐园的占地面积比为，设草地的面积为，儿童乐园的面积为，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，草地的面积为，儿童乐园的面积为， 根据甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，得到甲的工作速度为，结合甲、乙两队的工作效率比为，得到乙队的工作速度为，根据题意，得（天），再求和即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据草地与儿童乐园的占地面积比为， 设草地的面积为，儿童乐园的面积为， 根据题意，得， 解得， 故总面积为． （2）解：根据题意，草地的面积为，儿童乐园的面积为， 由甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建， 得到甲的工作速度为， 又甲、乙两队的工作效率比为， 故乙队的工作速度为， 根据题意，得（天）， 故（天）． 答：甲、乙两队总共需要80天可以完成公园的全部修建工作． 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）用一元一次方程解决问题：一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用天，请问甲做了多少天？ 【答案】甲做了4天． 【分析】本题主要考查一元一次方程解决实际问题，理解数量关系，掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设甲、乙合作了天，则剩下的部分由乙独做了天，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：设甲、乙合作了天，则剩下的部分由乙独做了天， ∴， 解得，， ∴甲、乙合作了4天， ∴甲做了4天． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【答案】(1)该中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【答案】(1) (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，一元一次方程的应用． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【详解】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米） （米）， （米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为，修完花坛共花费元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， ， 解得， ∴甲获得（元），乙获得元， 答：甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【典型例题四 销售盈亏问题】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，打折后每件服装仍能获利．若设该服装每件的进价是x元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的进价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的进价是x元，根据题意得： ， 故选：B． 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）由中央和地方财政直补的方式对农民购买的家电产品给予销售补贴，促进内需和外需协调发展．村民小郑购买一台彩电，在扣除的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了元钱，那么他购买这台彩电节省了 元钱． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设他够买的这台彩电标价为元，根据优惠方案和实际售价找出等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设他够买的这台彩电标价为元，根据题意得， 解方程得 （元） 所以，他购买这台彩电节省了元． 【例3】（2025·上海闵行·模拟预测）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答． （2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据题意得：， 解得：， （件）； 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件． （2）（元）； 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 1．（2025·上海长宁·模拟预测）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．经调研，A种菜苗每捆的价格比B种菜苗每捆的价格多10元，购买22捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需430元．问：A，B两种菜苗每捆的价格各是多少元？ 【答案】A种菜苗每捆的价格是15元，B种菜苗每捆的价格是5元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设A种菜苗每捆的价格是x元，则B种菜苗每捆的价格是元，根据“购买22捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需430元．”，可得出一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：设A种菜苗每捆的价格是x元，则B种菜苗每捆的价格是元． 由题意，得． 解得， 则． 答：A种菜苗每捆的价格是元，B种菜苗每捆的价格是元． 2．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ (3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） 售价（元/袋） 【答案】(1)； (2)小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋 (3)甲商品打了折 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“购买袋甲和袋乙共需要元”列方程，解方程即可求解； （2）设甲种绿色袋装食品购进袋，则乙种绿色袋装食品购进袋，由全部售完后总利润（利润售价进价）为元可列方程，解方程结可求解； （3）设甲种绿色袋装食品打了折，分别求解袋的进价和售价，根据袋的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题得：依题意得：， 解得， （元）， 答：甲种食品的进价是元袋、乙种食品的进价是元袋． 故答案为：，； （2）设小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋， 由题意得：， 解得， 则． 答：小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋； （3）解：设甲商品打了折，则由题意得： ． 解得， 答：甲商品打了折． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一次数学课上，老师要求学生根据图示张刚和李东的对话内容，展开如下活动： 活动1：仔细阅读对话内容； 活动2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答． 下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答． (1)如果张刚没有办卡，他应付多少钱？ (2)你认为买多少元的书办卡比原价购买便宜？ 【答案】(1)如果张刚没有办卡，他需要付350元 (2)我认为买多于250元钱的书办卡就便宜 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际问题，根据题目等量关系，列方程是解决本题的关键． （1）设如果张刚没有办卡，他需要付x元，根据关系式为：书的原价书的原价，列出一元一次方程即可； （2）设买y元的书办卡与不办卡的花费一样多，根据题意得到，求出y即可． 【详解】（1）解：设如果张刚没有办卡，她需要付x元， 则有：， 解得：， 答：如果张刚没有办卡，他需要付350元； （2）解：设买y元的书办卡与不办卡的花费一样多， 则有：， 解得． 所以当购买的书的总价多于250元时，办卡便宜， 答：我认为买多于250元钱的书办卡就便宜． 【典型例题五 比赛积分问题】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某篮球联赛积分规则如表所示，某支球队一共打了20场比赛，共积分25分，设该支球队胜场为场，根据题意，可列方程（    ） 比赛结果 胜 负 积分 2 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设该支球队胜场为场，则负场为 场，根据共积分25分列方程即可；解题的关键是弄清题中的数量关系． 【详解】解：设该支球队胜场为场，则负场为 场， 根据题意，可列方程：， 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ； （2） ． 【答案】 两人共投中了30个 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据列出的方程补充信息即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：两人共投中了30个， 故答案为：两人共投中了30个； （2）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：10． 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3名参赛同学的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)每答对一道题得 分，答错一道题扣 分． (2)参赛者D得了88分，他答对了多少道题？ 【答案】(1)5，1 (2)18道 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）答对一道题的得分参赛者A的总得分参赛者A答对题目数，答错一道题扣的分答对一道题的得分参赛者B答对题目数参赛者B的总得分，即可求解； （2）设参赛者D答对了x道题，则答错了（）道题，等量关系式：参赛者D的总得分参赛者D答对题目数答错题目数，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：每答对一道题得（分）， 答错一道题扣（分）． 故答案为：5，1； （2）解：设参赛者D答对了x道题，则答错了（）道题， 根据题意得：， 解得：． 答：参赛者D答对了18道题． 1．（23-24六年级上·上海宝山·期中）六年级进行法律知识竞赛，共有道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】小红在竞赛中答对了道题 【分析】设小红在竞赛中答对了道题，依题意列出，解出，即可作答． 【详解】解：设小红在竞赛中答对了道题， 依题意，， 解得． 所以小红在竞赛中答对了道题． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，难度较小，正确依题意列出方程是解题的关键． 2．（2024·上海·模拟预测）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)E同学答对16道，答错4道 (2)比赛不可能得了73分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）某中学六年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 m 3 五班 8 5 3 n 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2)请直接写出：m= ，n= ； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【答案】(1)2，1 (2) (3)该班级胜2场 (4)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）由第一名即可求出胜一场的得分，由最后一名即可求出负一场的得分； （2）由（1）所求胜一场的得分和负一场的得分即可求出m和n的值； （3）设该班胜场次数为场，则负场次数为场，根据题意列出关于的等式，解出即可． （4）设该班级胜场，则负场，根据题意列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）2，1 （2）m= 15 n= 13 （3）解：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 经检验，符合题意 答：该班级胜2场 （4）他的说法不正确 理由：设该班级胜场，则负场，根据题意，得 解这个方程，得 因为胜的场次不可能为负数，所以小明的说法不正确． 【典型例题六 方案选择问题】 【例1】（2025六年级上·上海嘉定·模拟预测）今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 【答案】C 【分析】根据题意，分情况讨论：若小明家的购票方案为5人团购，则小鹏家花费340元，据此组合验证是否能凑成整数张成人票和儿童票；若小明家的购票方案是成人票和儿童票分开购买，则可根据题意设未知数，列方程求解并验证． 【详解】解：若花费较少的一家（小明家）是（元），则花费较多的一家（小鹏家）为340元，经检验可知，成人和儿童共5张票无法组合成340元． 设花费较多的一家（小鹏家）是（元），则花费较少的一家（小明家）花了（元）， 设小明家有成人x人，儿童人，则， 解得，（人）， 符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，理清题意，找准等量关系，正确列出方程是解题关键． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）王老师带领一些学生参加夏令营，甲旅行社说：“参加我社的夏令营，老师可以免费．”乙旅行社说：“参加我社的夏令营，学生每人可优惠5%，老师半价优惠．”两社的原价均为每人100元，那么王老师带领的学生为 人时，两家旅行社费用一样． 【答案】10 【分析】设王老师带领x名同学参加夏令营时，两家旅行社费用是一样的，由题意得等量关系：甲旅行社x名学生的费用＝乙旅行社学生的费用＋老师的费用，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设王老师带领x名同学参加夏令营时，两家旅行社费用是一样的，由题意得： 100x＝100×（1﹣5%）×x+50， 解得：x＝10， 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，正确表示出甲乙两旅行社的费用． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期中）“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折． (1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？ (2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些． 【答案】(1)当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同； (2)选甲商场的实际花费会少些，过程见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据甲商场和乙商场的优惠方案以及设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同，列出一元一次方程，再解得，即可作答． （2）根据购买500元的商品，分别算出在甲商场和乙商场的优惠方案下的实际花费费用，再比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同． 由题意得． 解得，． 答：当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同． （2）解：在甲商场实际花费为（元）． 在乙商场实际花费为（元）． ∵， ∴选甲商场的实际花费会少些． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费．请计算当小王上网多久时，选择两种上网方式计费相同． 【答案】当小王上网分钟时，选择两种上网方式计费相同， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据方式A和方式B的计费方式，以及计费相同，列式，解出，即可作答． 【详解】解：设当小王上网分钟时，选择两种上网方式计费相同， 依题意， 解得， ∴当小王上网分钟时，选择两种上网方式计费相同， 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）某校六年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如下表： 销售方式 直接销售 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.05 0.4 0.6 加工能力限制：每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行． 时间限制：所有黄桃需在7天内销售或加工完毕． 方案一：尽可能多制成罐头，剩余直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行包装，并恰好7天完成． (1)通过计算比较两种方案，说明哪种方案可使工厂所获利润较多； (2)若采用利润较多的方案，将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 已知乙公司总费用比甲公司多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润较多，计算见解析 (2)47千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）列式求出方案一的利润，方案二设吨制成罐头，根据恰好7天完成，列出方程，求出的值，进而求出方案二的利润进行判断即可； （2）设加工厂到市场的距离为千米，根据乙公司总费用比甲公司多243元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行包装，， 解得， 有20吨进行包装．经检验，符合题意． 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润较多； （2）设加工厂到市场的距离为千米，， 解得，经检验，符合题意． 答：水果加工厂到市场的距离为47千米． 【典型例题七 数字问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 根据题意求出“九宫格”中的，再求出x即可求解． 【详解】解：如图， 依题意可得， 解得， ∴， 解得， ∴， 解得， 故选：A． 【例2】（2025·上海金山·模拟预测）幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了幻方的计算，理解题目中幻方的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴“德”盖住的数字是3， 故答案为：3 ． 【例3】（23-24六年级上·上海长宁·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可知，循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此可得答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：． 1．（23-24六年级上·上海崇明·阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为15 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设十位上的数字为，根据个位上的数字与十位上的数字之和是6，新数比原数的三倍多6，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为15． 2．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 【答案】(1)5 (2)①3 ②1 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）已知的四个数的和为； （2）①由题意可知， ； ②由①知， 这四个数的平均数为 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）请阅读下列材料： 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． 根据上述材料，解决下列问题： (1)如图1的三阶幻方中，的值为______； (2)如图2的三阶幻方中， ①幻和=______； ②在①的条件下，若，求的值； (3)如图3的三阶幻方中，， ①若，求中心数（用含的式子表示）； ②若中心数是定值1，求整式（用含的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)①6；② (3)（3）①，② 【分析】此题重点考查数学常识-三价幻方、一元一次方程的应用等知识，正确地求出幻和及中心数是解题的关键． （1）由，求得，于是得到问题的答案； （2）①由幻和等于中心数的3倍，且中心数为2，求得幻和，于是得到问题的答案； ②设第一行中间的数为x，则，求得，由，求得； （3）①由，，求得； ②由中心数，求得幻和，则，所以，由，求得，于是得，求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 故答案为：2． （2）解：①∵幻和等于中心数的3倍，且中心数为2， ∴幻和， 故答案为：6． ②设第一行中间的数为x， ∵，且， ∴， 解得， 则， 解得， ∴c的值为． （3）解：①， ∴， ∴中心数E为． ②∵中心数， ∴幻和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴整式D为． 【典型例题八 动点问题】 【例1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．分当点在点的左侧和点在点的右侧时，两种情况讨论，根据点、两点之间的距离为7个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或； 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海长宁·期末）若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，当时，运动时间为 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，利用可列出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为秒， 则点表示的数为，点表示的数为， 根据题意，得，， ∵， ∴， 即或， 解得：或， ∴当为或时，， 故答案为：或． 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为3，，． (1)写出数轴上点，表示的数：________，________． (2)动点，同时从，出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，求出此时，在数轴上表示的数． ②为何值时，点距离原点3个单位长度． 【答案】(1)，1； (2)，在数轴上表示的数分别是和1；或 【分析】（）点表示的数是，点表示的数是，求出即可； （）求出，，根据表示的数求出表示的数，将代入计算即可； 利用点距原点3个单位长度列出关于的方程，并解答即可； 本题考查了数轴上表示数，数轴上两点之间距离，绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示的数为3，． ∴点表示的数是， ∵， ∴点表示的数是， 故答案是：，1； （2）解：∵动点，同时从，出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． ∴，， ∴在数轴上点表示的数是，在数轴上点表示的数是， 当时，，， ∴，在数轴上表示的数分别是和， 由得数轴上点表示的数是， ∵点距原点3个单位长度， ∴， ∴或 ∴或． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，O是原点，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数_____，当A、P表示的数为互为相反数时，P运动时间_____秒． (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点运动多少秒时追上点？ 【答案】(1)，3.2 (2)P点运动7秒时追上点 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）先计算出线段，则可得到出点B表示的数；根据相反数的定义可得P点表示的数，然后求出，最后根据时间=路程÷速度即可求解； （2）根据点P与点Q的运动路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为8， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为， ∵A、P表示的数为互为相反数， ∴P点表示的数为， ∴， ∴P运动时间秒， 故答案为：，3.2； （2）解：设P点运动x秒时追上点， 列方程得， 解得， 答：P点运动7秒时追上点． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或， t (2)点M所对应的数是 (3)存在，或，见解析 【分析】（1）分①当时，②当时，两种情况进行讨论； （2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数； （3）分三种情况进行讨论即可． 本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； ②当时，A、P两点在数轴上相距的长度为； C、Q两点在数轴上相距的长度为t； 故答案为：或；t； （2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇， ， 解得：， 则点M所对应的数是：， 即点M所对应的数是； （3）解：存在，或，理由如下： ①当时， ， 解得：； ②当时， ， 解得：； ③当时， ， 该方程无解； 综上所述：或 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】(1)，13，7 (2)①；②或6； (3)点M追上点Q后再经过2秒或秒，． 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7； （2）解：①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：； ②当时，， ∴， 解得或6； （3）解：点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒，． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 【典型例题九 几何问题】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，一块正方形的纸片，边长为，裁下一块长，宽的长方形，余下的部分用阴影表示．当阴影部分面积为时，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题：根据几何图形的面积可列得一元一次方程，解得即可； 【详解】解：由题可得该正方形的面积为：， 剪下的长方形的面积为：， ∵阴影部分面积为， ， 解得：， 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在长方形中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少，则小长方形的长为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设小长方形宽为，则长为，根据长方形的长列方程，解方程得到x的值，即可求出小长方形的长和宽． 【详解】解：设小长方形宽为，则长为， 根据题意得：， 解得， 则， 故答案为：7． 【例3】（2025·上海普陀·模拟预测）综合与实践： 同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大． 【答案】任务1：；任务2： ，容积变大 【分析】本题考查了作图的应用与设计， 任务1：根据长方体的体积公式求解； 任务2：先求出圆柱体的底面圆的半径，再根据圆柱的体积公式求解；结合，即可作答． 【详解】解：任务1：∵用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒，且结合图1的信息， ∴， 故答案为：； 任务2：设半径为， ∴， ∴， ∴直径为， ∴高为， ∴无盖圆柱型包装盒的容积为：， 结合任务1得容积为 ∵， ∴容积变大． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图，小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 【答案】正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原正方形的边长为，根据两次剪下的长条面积正好相等列出方程求解即可，进而求得空白部分的面积． 【详解】解：设正方形的边长为． 根据题意，得， 解得． ∴正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积为 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）如图，用直径为的圆钢锻造一个长、宽、高分别为，和的长方体毛坯底板，应截取多长的圆钢？（结果保留） 【答案】应取长的钢． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据体积不变列方程求解即可． 【详解】解：设应截収圆钢xmm，根据题意得， ， 解得， 经检验，符合题意， 答：应取长的钢． 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）项目式学习：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计亚冬会宣传牌 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写“共赏冰雪之美，共享体育盛会，让我们一同奔赴冰城哈尔滨”“为亚冬会助力，为哈尔滨喝彩”36个字．①中间可以用来设计的部分也是长方形，且长与宽的比是；②四周空白部分的宽度相等 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等 素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）设四周宽度为用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽 任务2 确定四周宽度 （2）求出四周宽度 任务3 确定栏目大小 （3）①求每个栏目的水平宽度 ②求长方形栏目与栏目之间中缝的间距 【答案】（1）宽，长；（2）四周宽度为；（3）①每个栏目水平宽度为；②长方形栏目与栏目之间中缝的间距为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）根据题意，设计部分的长为，宽为； （2）由设计的部分也是长方形，且长与宽的比是列出一元一次方程求解即可解得答案； （3）①设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，根据正方形边长相等可得：，可解得每个栏目的水平宽度； ②列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 【详解】解：（1）根据题意，设计部分的长为，宽为； （2）设计的部分也是长方形，且长与宽的比是， ， 解得， 四周宽度是； （3）①设每个栏目的水平宽度为，每栏竖行两列中间间隔是，则横向中间间隔为， 根据正方形边长相等可得：， 解得， 每个栏目的水平宽度为； ②， 长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 【典型例题十 和差倍分问题】 【例1】（2024·上海宝山·模拟预测）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是本题的关键．应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人，根据甲处的人数是乙处人数的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为人，乙处现有的工作人数为人． 根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”列方程得：， 故答案为：． 【例3】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，调到甲队和乙队的人数分别是多少人？ 【答案】调到甲队的人数是28人，调到乙队的人数是62人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设调到甲队的人数是x人，则调到乙队的人数是人，根据调配后甲队人数是乙队人数的建立方程求解即可． 【详解】解：设调到甲队的人数是x人，则调到乙队的人数是人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：调到甲队的人数是28人，调到乙队的人数是62人． 1．（23-24六年级上·上海宝山·期中）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄． 【答案】小亮今年的年龄为岁． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设小亮今年的年龄为岁，则爸爸的年龄为岁，根据题意列出方程，然后解方程即可，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，则爸爸的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， 答：小亮今年的年龄为岁． 2．（2025·上海松江·模拟预测）开放性问题 某校六年级上共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 【答案】(1) (2)每组人数最多为人，男生分19组，女生分11组 【分析】本题考查一元一次方程，最大公约数，根据题意列方程求出男、女生人数是解题的关键． （1）用代数式表示男生人数，即可得到全校人数； （2）先求出男、女生人数，求出最大公约数即为每组最多人数，然后确定组数即可． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 全校人数为人； （2）解：∵， 解得， ∴男生人数为人， 设每组人数为m人， ∵和的最大公约数为， ∴每组人数最多为人， 此时男生分19组，女生分11组． 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）每年的6月5日为世界环境日，为了进一步增强同学们的环保意识六十九中学举办了“我是环保小卫士”手抄报比赛，69中学六、七、八三个年级上交了作品．其中六年级上交作品320件，六年级上交作品200件，并且六年级上交作品数量比六年级上交作品数量少． (1)求六年级上交作品数量是多少？ (2)本次比赛共设置了特等奖、一等奖、二等奖，其中有的同学获奖，获得特等奖人数占获奖人数的，获一等奖人数与二等奖人数的人数比，求获得一等奖的人数． (3)在（2）的条件下，学校决定购买奖品奖励全部获奖同学（每人一份），获得特等奖的同学奖励一个文具盒，获得一等奖的同学奖励一支钢笔，获得二等奖的同学奖励一个日记本，已知日记本的单价与钢笔单价的比是，文具盒的单价比钢笔单价的2倍少1元，学校购买一等奖品和二等奖品一共用了1200元，求文具盒的单价． 【答案】(1)280件 (2)50人 (3)19元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设六年级上交作品数量是件，根据题意可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设获得一等奖的人数是人，则获得二等奖的人数是人，根据题意可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设日记本的单价为元，则钢笔的单价为元，文具盒的单价是元，根据题意列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设六年级上交作品数量是件， 根据题意得：， 解得：， 答：六年级上交作品数量是件． （2）解：设获得一等奖的人数是人，则获得二等奖的人数是人， 根据题意得：， 解得：， 答：获得一等奖的人数是人． （3）解：设日记本的单价为元，则钢笔的单价为元，文具盒的单价是元， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：文具盒的单价是元． 【典型例题十一 电费和水费问题】 【例1】（23-24六年级上·上海闵行·期末）如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．设小刘在该月的主叫通话时间为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设小刘在该月的主叫通话时间为， 则可列方程为， 故选：A． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期末）李某经营两个门市，今年12月份用水情况和水务公司自来水收费标准如下表． 表一： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨且不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准 2元/吨 2.5元/吨 3元/吨 表二： 12月份用水情况 费用 门市A、门市B都有用水量，一共用水30吨，且门市B的用水量小于12吨． 共缴水费65元 则门市A的用水量是 吨． 【答案】20 【分析】设B门市12月份用水量为吨，则A门市为吨，根据水费65元列一元一次方程解答． 【详解】解：设B门市12月份用水量为吨，则A门市为吨， ∵，∴． 由题意可得：， 解得： 所以A门市用水量为20吨， 故答案为：20． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 【答案】任务一：；任务二：小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月份各用水吨，吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 任务一：根据题意列式计算即可； 任务二：设1月实际用水吨，列方程得，解方程即可； 任务三：设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨，分两种情况讨论：当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：任务一：（元）， 污水处理费为：（元） ∴缴纳水费（元） 故答案为：； 任务二：设1月实际用水吨， 根据题意得：， 解得：， （元）， 小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月实际用水费用为（元） 吨， 8月份用水量超过吨， 设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨， 当时， 根据题意得：， 解得：， ， 舍去， 当时， 根据题意得， 解得：， （吨）， 小实家7，8月份各用水吨，吨． 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某市收取水费规定如下：每月每户用水若不超过20立方米，则每立方米水价为2.5元；若超过20立方米，则超过部分每立方米按4.0元收费．某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米3.0元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 【答案】30立方米 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设这户居民这个月共用水x立方米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这户居民这个月共用水x立方米， 则， 解得． 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影，到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案 一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是 原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人）， 优惠方案一所需费用 元；优惠方案二所需费用 元；他选择优惠方案 （填“一”或“二”）划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付费用相等，求成人、学生各多少人？ 【答案】(1)410；250；二 (2)成人有20人，学生有10人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解； （2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：选择优惠方案一所需费用为： (元)； 选择优惠方案二所需费用为： (元)． ， ∴他选择优惠方案二划算； （2）解：设学生有x人，则成人有人， 根据题意得： ， 解得： ， 答：成人有20人，学生有10人； 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1) (2)40吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨． ①当， 可得， 解得； ②当， 可得， 解得 (舍去)． 即小王家11月份用水13吨． 【典型例题十二 比例分配问题】 【例1】（23-24六年级上·上海宝山·期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程． 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数，依此列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人，根据题意得：， 故选：C． 【例2】（23-24六年级上·上海静安·阶段练习）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共 千克． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，根据早上的粮食是晚上的列出一元一次方程求解． 【详解】解：调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克， 根据题意得， 解得， ， 故答案为：14． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【答案】60 【分析】设共有客人位，根据客人共用的碗共65个，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有客人人，依题意可得：． 解之得：． 答：共有客人60人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 【答案】六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册 【分析】设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册，根据他们共捐了374册，列方程求出x，即可得出这三个班级各捐多少册． 【详解】解：设六年级（1）班捐册，则六年级（2）班捐册，六年级（3）班捐册， 依题意有：， 解得， ∴，，， 答：六年级（1）班捐85册，六年级（2）班捐136册，六年级（3）班捐153册． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2．（23-24六年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 3．（23-24六年级上·上海松江·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 【典型例题十三 日历问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期末）小凯同学在某月的日历上按照四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为27，则这个图框是四个选项中的（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程：日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数，，的位置关系进行列式计算，注意，，都是正整数，即可作答． 【详解】解：A、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； B、设，则， 故， 解得， 即， 故该选项符合题意； C、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； D、设，则， 故， 解得，不是正整数， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）在某月的日历上用长方形圈到四个数（如图），如果，那么的值为 ． a b c d 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解代数式的值．根据日历上的数据排列可以得到，而，利用这些关系即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)369； (3)不能等于2024；理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律探究，解一元一次方程，发现数阵中9个数之间的关系是解题的关键． （1）根据每列中上面一个数比下面的一个数大18即可用中间的一个数表示出上面和下面的那个数； （2）求出图中平行四边形框内的九个数的和，即可； （3）设中间的一个数为，用含的代数式分别表示其余的8个数，求出九个数的和，得到这九个数之和的规律；再根据这九个数之和等于2024列出方程，解方程求出的值，根据实际意义确定即可． 【详解】（1）解：∵设中间一个数为，则上面的一个数是，下面的一个数是， 故答案为：，； （2）解：图中平行四边形框内的九个数的和为：， 故答案为：369； （3）解：这九个数之和不能等于2024； 理由如下：设数阵图中中间的数为，则其余的8个数为，，，，，，，， ∴这九个数的和为： ， 依题意得， 解得． 因为不是整数，所以不存在． 1．（23-24六年级上·上海静安·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 【答案】(1) (2)框中4个数的和能是124，最小的数为25，理由见解析 【分析】（1）根据框中数的规律写出其他三个数分别为，和，相加即可； （2）根据第一问结论列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵框中最小的数为x， ∴另外3个数为，和． ∴4个数的和为； （2）框中4个数的和能是124， 根据题意得：， 解得， ∴最小的数为25． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据列表找到框中四个数的规律． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据框最中间的数，表示出其余个数是解决问题的关键． （1）根据框最中间的数，表示出其余个数，再列出个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，，然后根据数的位置解答即可． 【详解】（1）解：解：∵框最中间的数为a，则其余4个数分别为，，，， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， 结合日历表，得出当正中间的数为17时，右上角、右下角的数不存在，所以这5个数的和不能等于85． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）小河同学的说法不对，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到即可得到答案； （3）设方框正中心的数是y，根据题意列方程求出，然后根据27在最后一列求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， 根据题意得，，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ∴如图所示， 3 2 5 1 0 4 （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）小河同学的说法不对． 理由：设方框正中心的数是，则另外的数是， 根据题意得， 解得． 因为27在最后一列， 所以带阴影的方框中的9个数的和不可以是243， 所以小河同学的说法不对． 【典型例题十四 古代问题】 【例1】（2025·上海·模拟预测）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为；用一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，先根据一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺，得到绳子的长，再将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可知绳长为尺，则将绳子对折后的长度为尺， ∴可列方程为． 故选：A． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）《九辩求》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8钱，多余3钱：每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 【例3】（2025·上海虹口·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 【答案】原来有斗米 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题．设原来有x斗米，则后加入斗谷子，由题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来有x斗米，则后加入斗谷子， 根据题意，得， 解得， 答：原来有斗米． 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设寺里有x个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤” 可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗；根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量喝汤用碗的数量碗的总数，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设都来寺里有x个和尚，根据题意得． ． 答：都来寺里有624个和尚． 3．（2024六年级上·上海·专题练习）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程．熟练掌握列代数式，解一元一次方程是解题的关键． （1）根据人数，车数的关系列代数式和方程即可； （2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得车数为辆；由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得车数为辆；然后根据车辆数量相等列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为人； 由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为人； 根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为； 故答案为：； （2）解：设乙小组共有人， 依题意得，． 1．（2025·上海松江·模拟预测）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）实验室中有一杯含糖率为的糖水120克，通过蒸馏能将含糖率提高到原来的2倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程：，则未知数表示的意义是（   ） A．加入的糖重量 B．原有的糖重量 C．原有水的重量 D．蒸发掉的水的重量 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据方程中的等量关系即可得出答案． 【详解】根据方程可知，x表示的意义是蒸发掉的水的重量． 故选：D． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，数轴上（每格表示一个单位长度）点A，B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知，则数轴上原点的位置在（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是根据建立等式求解． 【详解】解：设表示的数为，则，，分别表示， ， 解得：，即， 则数轴上原点的位置在， 故选：D． 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意列方程是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的个数之和为，再由已经填写的数即可求解． 【详解】解：，横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 横、竖、外圈、内圈的个数之和为， ， ， 内圈上空缺的数为：， 当外圈空缺数为时，则， 解得， 则； 当外圈空缺数为时，则， 解得， 则； 即的值为或． 故选：D． 5．（23-24六年级上·上海宝山·期末）如图，长方形中，E、F分别在边和上，连接，与分别交于G、H，交于点K，若，，，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．96 B．100 C．105 D．106 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质，整式加减的应用．设，图中阴影部分的面积为，由题意得和，据此求解即可． 【详解】解：设，图中阴影部分的面积为， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 由①②得， 整理得． 故选：C． 6．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）一快递员需要在规定的时间内骑摩托车把快递送到某地．若每小时行驶，就早到；若每小时行驶，就会迟到．设快递员所要骑行的路程为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，恰当表示规定时间是列出方程的关键． 先分别表示快递员按两种速度行驶需要的时间，再分别表示规定时间，据此列出方程． 【详解】解：∵快递员每小时骑行，所用的时间为， ∴规定的时间为； 快递员每小时骑行，所用的时间为， ∴规定的时间为， ∴列方程． 故答案为：． 7．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键．设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白色皮子（六边形）中，有三边与黑皮子（五边形）相连，可得白色皮子边数是黑皮子边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白色皮子的周围有3个黑色皮子边， ∴白色皮子的边数为黑色皮子的2倍， ∴， 解得：， 答：黑色皮子共有12块． 故答案为：12． 8．（2024六年级上·上海·专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由参赛者、的得分情况可求出答对一题和答错一题的得分，设出未知数，根据总分答对一题的得分答对题目数答错一题的得分答错题目数，建立方程求出其解即可得出结论． 【详解】解：根据表格，，即答对一题得分，，即答错一题扣一分； 设参赛者答对了道题，答错了道题， 则有：， 解得：． 答：参赛者答对了道题． 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【答案】或4或7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴．当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，分点P是线段的中点、点Q是线段的中点及点A是线段的中点三种情况考虑，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，， 解得：； 当点Q是线段的中点时，， 解得：； 当点A是线段的中点时，， 解得：． 综上所述，t的值为或4或7． 故答案为：或4或7． 10．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2021次相遇在 边． 【答案】DC 【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：正方形的边长为4，因为甲的速度是乙的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为3：1，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： 设乙的速度为x, 甲的速度是乙的速度的3倍为3x,相遇时间为t 第一次相遇甲乙行的路程和为8， (x+3x)×t=8, 则t=,乙行的路程为:x×=2, 甲行的路程为3x×=6, 由乙逆行，在CD边相遇； 第二次相遇甲乙行的路程和为16，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边相遇； 第三次相遇甲乙行的路程和为16，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边相遇； 第四次相遇甲乙行的路程和为16，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边相遇； ∵2021=505×4+1， ∴甲、乙第2021次相遇在边CD上． 故答案为：CD． 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 11．（24-25六年级上·上海普陀·期中）从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 【答案】120千米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度等于路程乘以时间为等量关系列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米， 则未开通高速公路之前的道路为千米， 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米 12．（24-25六年级上·上海虹口·期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 【答案】(1) (2)设该用户2月份用水 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据该用户1月份应该缴纳水费为，计算求解即可； （2）设该用户2月份用水，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元）， 故答案为：； （2）解：设该用户2月份用水， 依题意得，， 解得，， ∴该用户2月份用水． 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ (1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________． (2)请列方程解决这个问题． 【答案】(1)① (2)50毫米 【分析】（1）把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示，由此判断哪个图是正确的． （2）把吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，根据“吸蜜蜂鸟的体长毫米=巨蜂鸟的体长”列方程解答． 本题考查了方程的应用，正确理解题意以及正确列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示， 故图①正确表达了题目的意思． （2）解：设吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，则 答：吸蜜蜂鸟的体长是50毫米． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）利用一元一次方程解决实际问题：     (1)小轩今年12岁，妈妈今年40岁，_____________年后，小轩年龄是妈妈的一半． (2)一件衣服按成本提价然后打八折卖出，最后赚了8元，则这件衣服卖出价是_____________元． (3)鸡兔同笼，共有35个头，100条腿，求鸡兔各几只． (4)如图1是边长为12的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知长方体的宽是高的2倍，求长方体的体积． 【答案】(1)16 (2)208 (3)有鸡20只，兔子15只 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键： （1）设年后小轩年龄是妈妈的一半，则年小轩年龄为岁，妈妈年龄为岁，由小轩年龄是妈妈的一半建立方程即可； （2）设成本为元，先算出提价再打折后的价格减去成本记为利润，即可建立方程； （3）设有只鸡，则有只兔子，根据腿总数为100条建立方程； （4）设该长方体的高为，则长方体的宽为，利用展开图得到，然后解方程得到x的值，从而得到该长方体的高、宽、长，于是可计算出它的体积． 【详解】（1）解：设年后小轩年龄是妈妈的一半， 由题意得：， 解得：， 故答案为：16； （2）解：设成本为元，由题意得： ， 解得：， ∴卖出的价格为：元， 故答案为：208； （3）解：设有只鸡，则有只兔子， 由题意得：， 解得：， ∴兔子有只， 所以有鸡20只，兔子15只； （4）解：设该长方体的高为，则长方体的宽为，长为 由题意得， 解得， ∴该长方体的高为，则长方体的宽为4cm，长为， ∴它的体积为． 15．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 【答案】（1）12；6；（2）；（3）5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意找到题目中的等量关系． （1）由数轴观察知三个玩具火车长是，则一个玩具火车长为6个单位长度，再求出点处的数字即可； （2）设的长为，根据点的位置也通过“隧道”列出关于的方程，据此求解即可得； （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位，则点移动后对应的点为，点所对应的点为，分在的左侧和在的右侧两种情况，分别利用数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）根据题意画出图形如图1所示． 由数轴观察，知三个玩具火车的长为， 所以一个玩具火车的长为． 所以点处的数字是12． 故答案为：12；6． （2）如图2． 根据题意，得， 设的长为， 所以，整理，得， 故答案为． （3）设秒后两火车的处与处相距3个单位， 因为原点与点重合，点表示的数为12， 所以点移动后所对应的点为，点移动后所对应的点为， 由题意，知或， 解得或， 所以5或3秒后两火车的处与处相距3个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元一次方程的应用（2大知识点+14大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 行程问题 典型例题二 配套问题 典型例题三 工程问题 典型例题四 销售盈亏问题 典型例题五 比赛积分问题 典型例题六 方案选择问题 典型例题七 数字问题 典型例题八 动点问题 典型例题九 几何问题 典型例题十 和差倍分问题 典型例题十一 电费和水费问题 典型例题十二 比例分配问题 典型例题十三 日历问题 典型例题十四 古代问题 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 【即时训练】 1．（2025·上海松江·模拟预测模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程．两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉．“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米． = 根据上面的数量关系式列出方程： ． 【即时训练】 3．（2025·上海闵行·模拟预测）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？ 知识点02 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）现有一道条件缺失的题目：一项工程，甲队单独完成需要12天……还需要多少天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出如图所示的线段示意图，设两队合作还需要天完成任务，并列方程．根据以上信息，下列结论正确的有（   ） ①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量； ②乙队单独完成需要8天； ③▲代表的式子是； ④甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即时训练】 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）把9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如图“九宫格”中的值为 ． 0 1 【即时训练】 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式为：．中国成年人的BMI分类标准如下表： BMI指数范围 身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖 已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题： (1)通过计算说明王老师的身体状态描述情况． (2)若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为______kg．（精确到1kg） 【典型例题一 行程问题】 【例1】（24-25六年级上·上海青浦·期中）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程．两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉．“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米． = 根据上面的数量关系式列出方程： ． 【例3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）王强从家里骑摩托车到火车站赶乘火车，若每小时行30千米，则早到15分钟；若每小时行20千米，则迟到5分钟．如果打算提前到5分钟，那么摩托车的速度应是多少千米/小时？ 1．（2025·上海松江·模拟预测）从甲地到乙地，汽车原来需要行驶7小时，开通高速公路后，路程比原来缩短了20千米，车速平均每小时比原来增加了40千米，现在只需要4小时即可到达，求甲、乙两地之间高速公路的路程． 2．（2025六年级上·上海宝山·专题练习）如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）： (1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离； (2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距． 3．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【典型例题二 配套问题】 【例1】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）沈阳某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，如图一张桌子配4把椅子，已知每 名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，则x的值为 ． 【例3】（24-25六年级上·上海金山·期末）七（1）班共有学生52人，其中男生人数比女生人数少6人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底28个． (1)七（1）班有男生和女生各多少人？ (2)原计划男生负责做盒身，女生负责做盒底，1个盒身和2个盒底配套，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定女生去支援男生，问有多少女生去支援男生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套？ 1．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）学校手工艺社团组织学生编织花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团共有人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣，问：安排多少人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套？ 2．（24-25六年级上·上海普陀·阶段练习）某工厂需要生产一批三人扭腰器(如图)，每套设备由一个扶手架和 3个扭腰盘组装而成；工厂共有工人42名，工厂每人每天可生产扶手架60个，或每人每天生产扭腰盘72个，若工厂每人每天只能生产同一种部件．问：应如何分配工人，才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘正好配套？    3．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件． (1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？ (2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件． 【典型例题三 工程问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）现有一道条件缺失的题目：一项工程，甲队单独完成需要12天……还需要多少天完成任务？根据标准答案，老师在黑板上画出如图所示的线段示意图，设两队合作还需要天完成任务，并列方程．根据以上信息，下列结论正确的有（   ） ①●代表的实际意义是甲队先做2天的工作量； ②乙队单独完成需要8天； ③▲代表的式子是； ④甲队先做2天，然后甲、乙两队合作还需要4天完成任务． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2024·上海宝山·模拟预测）甲、乙两个工程队完成一项工程，每天完成的工作量始终保持不变．甲队先干了3天，然后乙队加入，合作完成剩下的工程，设工作总量为1．下面是未记录完整的工程进度表．根据表中的数据，写出m的值为 ，n的值为 ． 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 … 第n天 工程总进度 m … 1 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）某公园计划设计草地与儿童乐园的占地面积比为，但在实际建设中，根据场地条件，将草地的场地分给儿童乐园，此时草地与儿童乐园的占地面积比变为． (1)该公园中草地与儿童乐园的总占地面积是多少平方米？ (2)甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，接着甲队和乙队共同修建草地，此时甲、乙两队的工作效率比为．甲、乙两队总共需要多少天可以完成公园的全部修建工作？ 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）用一元一次方程解决问题：一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用天，请问甲做了多少天？ 2．（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 3．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【典型例题四 销售盈亏问题】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，打折后每件服装仍能获利．若设该服装每件的进价是x元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）由中央和地方财政直补的方式对农民购买的家电产品给予销售补贴，促进内需和外需协调发展．村民小郑购买一台彩电，在扣除的政府财政补贴后，再减去商场赠送的“家电下乡”消费券100元，实际只花了元钱，那么他购买这台彩电节省了 元钱． 【例3】（2025·上海闵行·模拟预测）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 1．（2025·上海长宁·模拟预测）劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处种植园，需要采购A，B两种菜苗开展种植活动．经调研，A种菜苗每捆的价格比B种菜苗每捆的价格多10元，购买22捆A种菜苗和20捆B种菜苗共需430元．问：A，B两种菜苗每捆的价格各是多少元？ 2．（24-25六年级上·上海崇明·阶段练习）为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表： (1)甲的进价______元，乙的进价______元； (2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？ (3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？ 甲 乙 进价（元/袋） 售价（元/袋） 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一次数学课上，老师要求学生根据图示张刚和李东的对话内容，展开如下活动： 活动1：仔细阅读对话内容； 活动2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答． 下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答． (1)如果张刚没有办卡，他应付多少钱？ (2)你认为买多少元的书办卡比原价购买便宜？ 【典型例题五 比赛积分问题】 【例1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）某篮球联赛积分规则如表所示，某支球队一共打了20场比赛，共积分25分，设该支球队胜场为场，根据题意，可列方程（    ） 比赛结果 胜 负 积分 2 1 A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是 ； （2） ． 【例3】（24-25六年级上·上海徐汇·期末）某校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3名参赛同学的得分情况： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 10 10 40 (1)每答对一道题得 分，答错一道题扣 分． (2)参赛者D得了88分，他答对了多少道题？ 1．（23-24六年级上·上海宝山·期中）六年级进行法律知识竞赛，共有道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，小红同学参加了竞赛，成绩是分，请问小红在竞赛中答对了多少道题？ 2．（2024·上海·模拟预测）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）某中学六年级各班举行篮球比赛，前四名班级的积分信息如下表： 名次 班级 比赛场次 胜场 负场 积分 1 二班 8 8 0 16 2 七班 8 7 1 m 3 五班 8 5 3 n 4 一班 8 4 4 12 (1)由表中信息可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2)请直接写出：m= ，n= ； (3)若某班级8场比赛的积分为10分，求该班级胜几场； (4)小明说某班级8场比赛的积分为7分，他的说法正确吗？若正确，该班级胜几场？若不正确，说明理由． 【典型例题六 方案选择问题】 【例1】（2025六年级上·上海嘉定·模拟预测）今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上） 价格（元/人） 100 40 60 小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·课后作业）王老师带领一些学生参加夏令营，甲旅行社说：“参加我社的夏令营，老师可以免费．”乙旅行社说：“参加我社的夏令营，学生每人可优惠5%，老师半价优惠．”两社的原价均为每人100元，那么王老师带领的学生为 人时，两家旅行社费用一样． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期中）“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折． (1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？ (2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费．请计算当小王上网多久时，选择两种上网方式计费相同． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）某校六年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）某水果加工厂收购了29吨黄桃，经市场预测，销售方式及利润如下表： 销售方式 直接销售 包装销售 制成罐头销售 每吨利润（万元） 0.05 0.4 0.6 加工能力限制：每天可包装5吨或制成罐头3吨（包装和加工前后质量不变），同一天内两种加工方式不可同时进行． 时间限制：所有黄桃需在7天内销售或加工完毕． 方案一：尽可能多制成罐头，剩余直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行包装，并恰好7天完成． (1)通过计算比较两种方案，说明哪种方案可使工厂所获利润较多； (2)若采用利润较多的方案，将罐头运输到市场售卖．运输公司费用如下： 运输公司 运输单价 每吨装卸费 甲 每吨每千米5元 50元 乙 每吨每千米6元 30元 已知乙公司总费用比甲公司多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【典型例题七 数字问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海金山·模拟预测）幻方最早起源于中国、宋代数学家杨辉称之为纵横图．分别以正方形的四条边为边向外作等边三角形，得到如图1所示的图形，参照幻方原理在图1中每个顶点处分别写上一个数字，如图2．使得图中所作的每个等边三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，“厚德载物”这四个汉字分别盖住了一个数字，则“德”盖住的数字是 ． 【例3】（23-24六年级上·上海长宁·期末）阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 1．（23-24六年级上·上海崇明·阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 2．（2025·上海静安·模拟预测）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的和； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求的值； ②求这四个数的平均数． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）请阅读下列材料： 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍． 根据上述材料，解决下列问题： (1)如图1的三阶幻方中，的值为______； (2)如图2的三阶幻方中， ①幻和=______； ②在①的条件下，若，求的值； (3)如图3的三阶幻方中，， ①若，求中心数（用含的式子表示）； ②若中心数是定值1，求整式（用含的式子表示）． 【典型例题八 动点问题】 【例1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25六年级上·上海长宁·期末）若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，当时，运动时间为 秒． 【例3】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为3，，． (1)写出数轴上点，表示的数：________，________． (2)动点，同时从，出发，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． ①当时，求出此时，在数轴上表示的数． ②为何值时，点距离原点3个单位长度． 1．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，O是原点，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数_____，当A、P表示的数为互为相反数时，P运动时间_____秒． (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点运动多少秒时追上点？ 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问： (1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______； (2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？ (3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【典型例题九 几何问题】 【例1】（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，一块正方形的纸片，边长为，裁下一块长，宽的长方形，余下的部分用阴影表示．当阴影部分面积为时，的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在长方形中，放入11个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，已知每个小长方形的长比宽的4倍少，则小长方形的长为 ． 【例3】（2025·上海普陀·模拟预测）综合与实践： 同学们在实践活动中用一批长为，宽为的纸板做无盖包装盒（不考虑连接的重叠部分），制作时将纸板分隔成两个长方形分别制作底面和侧面，截得底面后的剩余部分（阴影部分）不再使用．请根据活动完成相应的任务． 活动一 如图（1）是常见的一种设计方案甲：在白纸板上截去两部分（图中阴影部分），盒子底面的四边形是正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒． 任务1：请计算出方案甲中包装盒的容积． 活动二 为了增加包装盒的容积，有人提议将包装盒设计成圆柱形．小明横着裁剪把长方形的长作为底面圆的周长进行设计，如图（2）得方案乙． 任务2：请计算方案乙中无盖圆柱形包装盒的容积（π取3），并判断容积是否变大． 1．（24-25六年级上·上海虹口·期末）如图，小琪将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，求正方形纸片剩余部分(图中空白部分)的面积. 2．（24-25六年级上·上海青浦·阶段练习）如图，用直径为的圆钢锻造一个长、宽、高分别为，和的长方体毛坯底板，应截取多长的圆钢？（结果保留） 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）项目式学习：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计亚冬会宣传牌 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写“共赏冰雪之美，共享体育盛会，让我们一同奔赴冰城哈尔滨”“为亚冬会助力，为哈尔滨喝彩”36个字．①中间可以用来设计的部分也是长方形，且长与宽的比是；②四周空白部分的宽度相等 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等 素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）设四周宽度为用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽 任务2 确定四周宽度 （2）求出四周宽度 任务3 确定栏目大小 （3）①求每个栏目的水平宽度 ②求长方形栏目与栏目之间中缝的间距 【典型例题十 和差倍分问题】 【例1】（2024·上海宝山·模拟预测）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海徐汇·阶段练习）甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求甲队人数是乙队的人数的3倍，应从乙队调多少人去甲队．如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是 ． 【例3】（24-25六年级上·上海静安·阶段练习）甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，调到甲队和乙队的人数分别是多少人？ 1．（23-24六年级上·上海宝山·期中）根据下面的对话，算出小亮今年的年龄． 2．（2025·上海松江·模拟预测）开放性问题 某校六年级上共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）每年的6月5日为世界环境日，为了进一步增强同学们的环保意识六十九中学举办了“我是环保小卫士”手抄报比赛，69中学六、七、八三个年级上交了作品．其中六年级上交作品320件，六年级上交作品200件，并且六年级上交作品数量比六年级上交作品数量少． (1)求六年级上交作品数量是多少？ (2)本次比赛共设置了特等奖、一等奖、二等奖，其中有的同学获奖，获得特等奖人数占获奖人数的，获一等奖人数与二等奖人数的人数比，求获得一等奖的人数． (3)在（2）的条件下，学校决定购买奖品奖励全部获奖同学（每人一份），获得特等奖的同学奖励一个文具盒，获得一等奖的同学奖励一支钢笔，获得二等奖的同学奖励一个日记本，已知日记本的单价与钢笔单价的比是，文具盒的单价比钢笔单价的2倍少1元，学校购买一等奖品和二等奖品一共用了1200元，求文具盒的单价． 【典型例题十一 电费和水费问题】 【例1】（23-24六年级上·上海闵行·期末）如表是小刘的手机套餐资费标准． 月基础费 （元） 套餐内免费主叫（） 套餐外主叫费用（元） 被叫 套餐 58 150 0.25 免费 若小刘某月通话费用为98元，设小刘在该月的主叫通话时间为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期末）李某经营两个门市，今年12月份用水情况和水务公司自来水收费标准如下表． 表一： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨且不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准 2元/吨 2.5元/吨 3元/吨 表二： 12月份用水情况 费用 门市A、门市B都有用水量，一共用水30吨，且门市B的用水量小于12吨． 共缴水费65元 则门市A的用水量是 吨． 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·阶段练习）阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 1．（24-25六年级上·上海闵行·期末）某市收取水费规定如下：每月每户用水若不超过20立方米，则每立方米水价为2.5元；若超过20立方米，则超过部分每立方米按4.0元收费．某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米3.0元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 2．（24-25六年级上·上海松江·期中）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影，到了影院后，看到有以下优惠活动方案： 优惠方案 一 会员费200元，票价35元/人． 优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是 原价的5折． (1)若小强一家6人（成人4人，学生2人）， 优惠方案一所需费用 元；优惠方案二所需费用 元；他选择优惠方案 （填“一”或“二”）划算？ (2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付费用相等，求成人、学生各多少人？ 3．（24-25六年级上·上海闵行·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 超过17吨但不超过30吨的部分 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求，的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【典型例题十二 比例分配问题】 【例1】（23-24六年级上·上海宝山·期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24六年级上·上海静安·阶段练习）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子们的每天食量分早晚两次喂食，早上的粮食是晚上的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投食，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意，那么老翁给猴子们限定的每天食量共 千克． 【例3】（24-25六年级上·上海松江·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）某中学六年级（1）（2）（3）班的同学分别向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知三个班级学生捐赠图书册数之比为，如果他们共捐了374册，那么这三个班级各捐多少册？ 2．（23-24六年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 3．（23-24六年级上·上海松江·期末）春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【典型例题十三 日历问题】 【例1】（24-25六年级上·上海静安·期末）小凯同学在某月的日历上按照四个选项的图框圈出了三个数，，，其中一个图框圈出的三个数的和为27，则这个图框是四个选项中的（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海松江·期中）在某月的日历上用长方形圈到四个数（如图），如果，那么的值为 ． a b c d 【例3】（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图的数阵是由全体奇数排成的： (1)如图，任意图出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示，则另两个数分别是___________和___________； (2)在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是___________； (3)这九个数之和能等于2024吗？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由． 1．（23-24六年级上·上海静安·期中）如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为． (1)请用含x的代数式表示框中4个数的和； (2)框中4个数的和可能是124吗？若能，请求出最小的数． 2．（24-25六年级上·上海奉贤·期末）如图是某年9月的日历，用形如型框，去框日历中的日期数．每次同时框5个数． (1)设框最中间的数为a，则这5个数之和为______（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于85吗？请说明理由． 3．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【典型例题十四 古代问题】 【例1】（2025·上海·模拟预测）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为；用一根绳子去量一根长木，拉直后绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则可以列出方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海长宁·模拟预测）《九辩求》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8钱，多余3钱：每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为人，根据题意，可列方程为 ． 【例3】（2025·上海虹口·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中记载“粟米之法；粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有多少斗米？（不计损耗） 1．（24-25六年级上·上海静安·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 2．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 3．（2024六年级上·上海·专题练习）在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 1．（2025·上海松江·模拟预测）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海徐汇·期中）实验室中有一杯含糖率为的糖水120克，通过蒸馏能将含糖率提高到原来的2倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程：，则未知数表示的意义是（   ） A．加入的糖重量 B．原有的糖重量 C．原有水的重量 D．蒸发掉的水的重量 3．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，数轴上（每格表示一个单位长度）点A，B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知，则数轴上原点的位置在（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 4．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24六年级上·上海宝山·期末）如图，长方形中，E、F分别在边和上，连接，与分别交于G、H，交于点K，若，，，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．96 B．100 C．105 D．106 6．（2024六年级上·上海闵行·专题练习）一快递员需要在规定的时间内骑摩托车把快递送到某地．若每小时行驶，就早到；若每小时行驶，就会迟到．设快递员所要骑行的路程为，则可列方程为 ． 7．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 8．（2024六年级上·上海·专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 9．（24-25六年级上·上海长宁·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 10．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2021次相遇在 边． 11．（24-25六年级上·上海普陀·期中）从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？ 12．（24-25六年级上·上海虹口·期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 13．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米．古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ (1)下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内___________． (2)请列方程解决这个问题． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）利用一元一次方程解决实际问题：     (1)小轩今年12岁，妈妈今年40岁，_____________年后，小轩年龄是妈妈的一半． (2)一件衣服按成本提价然后打八折卖出，最后赚了8元，则这件衣服卖出价是_____________元． (3)鸡兔同笼，共有35个头，100条腿，求鸡兔各几只． (4)如图1是边长为12的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知长方体的宽是高的2倍，求长方体的体积． 15．（24-25六年级上·上海虹口·阶段练习）（1）爱思考的小明将一个玩具火车放置在数轴上，如图1，他发现将火车在数轴上水平移动，当火车向右移动，点移动到点时，此时点所对应的数为24；当火车向左移动，点移动到点时，此时点所对应的数为6．由此可得点处的数字是__________，玩具火车的长为__________个单位长度． （2）如果火车正前方8个单位长度处有一个“隧道”，火车从（1）的起始位置出发到完全驶离“隧道”恰好用了秒，已知火车过“隧道”的速度为个单位长度/秒，则知“隧道”的长为__________个单位长度．（自己在稿纸上画图分析，用含的代数式表示即可） （3）他惊喜地发现，“数轴”是学习数学的重要的工具，于是他继续深入探究：如图2，在（1）条件下的数轴上放置与大小相同的玩具火车，使原点与点重合，两列玩具火车分别从点和点同时在数轴上移动，已知火车的速度为5个单位长度/秒，火车的速度为2个单位长度/秒（两火车均向右移动），几秒后两火车的处与处相距3个单位长度？ 学科网（北京）股份有限公司 $$