专题02有理数的加法与减法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

专题02有理数的加法与减法暑假预习讲义 ① 熟记有理数加法完整法则：分清同号相加、异号相加、互为相反数相加、数与0相加四种情况，运算先定符号，再算绝对值，能独立完成基础口算与列式计算。 ② 掌握加法两大运算律：理解加法交换律、结合律含义，会运用相反数结合、同号归类、凑整等技巧简便运算，提升计算速度与准确率。 ③ 吃透减法转化法则：牢记核心规则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；掌握“两变一不变”要点，把所有减法统一改写为加法运算。 ④ 熟练加减混合运算：可将加减算式统一写成省略加号的和的形式，规范两种读法，按照运算顺序逐步计算复杂式子。 ⑤ 结合数轴理解运算意义：借助数轴上点的左右移动，直观看懂加减运算过程，巩固数形结合思想。 ⑥ 会列式解决实际应用题：针对盈亏、温度变化、行程升降等生活场景，列出有理数加减算式求解实际问题。 ⑦ 梳理高频易错点：运算符号与性质符号混淆、异号相加符号判定出错、减法变加法时相反数改写错误、混合运算随意调换运算顺序；规范书写步骤，夯实有理数运算基础 预习必备 知识梳理 1.有理数加法法则 2.加法运算律 3.有理数的减法法则 4.加减混合运算统一成加法 5.代数和的省略括号写法 6.加减混合运算顺序 7.有理数加减法实际应用 8.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法运算律 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法中的符号问题 5.有理数减法运算 6.省略加法和括号的形式 7.有理数减法的实际应用 8.有理数的加减混合运算 9.有理数加减中的简便运算 10.有理数加减混合运算的应用 强化题型 解答题5题 知识点 1：有理数加法法则（课本核心，必须背诵） 借助数轴运动理解：规定向右为正，向左为负，两次运动的终点位置即为和。 分 5 种情况： 1.同号两数相加 取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 例：(+3)+(+5)=+8；(-3)+(-5)=-8 2.异号两数相加，绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例：(+7)+(-3)=+4；(-7)+(+3)=-4 3.异号两数相加，绝对值相等（互为相反数相加） 互为相反数的两个数相加得0。 例：(-6)+(+6)=0 4.一个数同 0 相加 仍得这个数。 例：0+(-9)=-9；12+0=12 ✅加法运算步骤（固定流程，规范书写） 1 判断加数符号（同号 / 异号、有无 0）； 2 确定和的符号； 3 计算绝对值的和或差。 知识点 2：有理数加法运算律 运算律 文字表述 字母公式 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) 💡简便运算常用技巧（预习重点，考试常用） 1.相反数结合：互为相反数先相加，和为 0； 2.同号结合：所有正数放一起、负数放一起相加； 3.同分母分数结合； 4.凑整结合：小数、整数凑成整数方便计算。 知识点 3：有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：a-b=a+(-b) 👉减法运算两大变化（重中之重：两变） 运算符号改变：减号加号 减数改变：减数 它的相反数 被减数保持不变！ 举例： 5-(-3)=5+(+3)=8 -7-4=-7+(-4)=-11 -2-(-6)=-2+6=4 ✅减法通用解题步骤 （1）将减法转化为加法（牢记两变一不变）； （2）按照有理数加法法则进行计算。 知识点 4：加减混合运算统一成加法 根据减法法则，所有减法都改写为加法，算式变成几个正数、负数的和，这种形式叫做代数和。 例：(-8)-(+4)+(-5)-(-2) 原式=(-8)+(-4)+(-5)+(+2) 知识点 5：代数和的省略括号写法 在代数和中，可以省略加号和括号。 (-8)+(-4)+(-5)+(+2)简写：-8-4-5+2 读法： 方式 1：负 8、负 4、负 5、正 2 的和； 方式 2：负 8 减 4 减 5 加 2 知识点 6：加减混合运算顺序 1.有括号先算括号内； 2.无括号，从左往右依次计算； 3.优先使用加法交换律、结合律简便运算。 ⚠️重要提醒：交换数字位置时，必须连同数字前面的符号一起移动！ 错误示范：-8-4+5 = -8+5-4 ✅（正确，符号跟着数字） 错误示范：-8-4+5 = -8-5+4 ❌ 知识点7有理数加减法实际应用 1.利用正负数表示相反意义的量； 2.列式计算变化量、最终位置、收支情况； 3.基准量计算：实际数量 = 基准数 ± 增减量。 示例：气温早上-2，上升5，再下降7 列式：-2+5-7=-4，最终气温-4 知识点8本节易混易错汇总表 易错类型 典型错误 正确思路 减法法则理解 5-(-2)=5-2 减去负数 = 加上正数，5-(-2)=5+2 符号混淆 -7-3=-4 -7-3=-7+(-3)，同号相加结果-10 移动加数 -5+9-6=-5+6-9 交换数字，符号必须跟随数字：-5-6+9 相反数加法 (-5)+3=2 异号相加，用大绝对值减小绝对值，符号跟随绝对值大的数，结果-2 概念误区 正数加负数，和一定小于正数 不一定，如3+(-1)=2；3+(-4)=-1 题型1.有理数加法运算 【典例】计算：___________． 【跟踪专练1】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为________． 【跟踪专练3】如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，那么P的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型2.有理数加法运算律 【典例】当时，（1）______；（2）_____． 【跟踪专练1】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【跟踪专练2】定义一个新运算 ，已知，则______． 【跟踪专练3】下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【跟踪专练1】下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【跟踪专练2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型4.有理数加法中的符号问题 【典例】某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某厂去年上半年盈利12万元，记作万元；下半年亏损7万元，记作( )万元；全年记作( )万元． 【跟踪专练2】有若干条长短、粗细相同的绳子，如果从一端点火，每根绳子都正好8分钟燃尽．现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子的两端同时点火，绳子4分钟燃尽；在一根绳子的一端点火，燃尽的同时点第二根绳子的一端，两根绳子燃尽可计时16分钟． 规定：（1）计量一个时间最多只能使用3根绳子；（2）只能在绳子的端部点火；（3）可以同时在几个端部点火；（4）点着的火中途不灭；（5）不许剪断绳子或将绳子折起．根据上面的 5 条规则，下面时间可以计量的有（   ） ①6分钟②7 分钟③9分钟④10分钟⑤11分钟⑥12分钟 A．①②③④⑤ B．①②③④⑥ C．①②④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【跟踪专练3】某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 题型5.有理数减法运算 【典例】计算（     ） A． B．1 C． D．3 【跟踪专练1】计算的结果等于______． 【跟踪专练2】计算： ______． 【跟踪专练3】如图，如果每个圆圈中的数都等于与它相邻的两个数的和，那么阴影圆圈中的数为（    ） A． B． C． D． 题型6.省略加法和括号的形式 【典例】把写成省略加法和括号的形式是___________． 【跟踪专练1】将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把写成省略加号的和的形式是_________． 【跟踪专练3】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 题型7.有理数减法的实际应用 【典例】某地一天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是( )． 【跟踪专练1】某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【跟踪专练3】通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识．①白昼时长（正午时刻日出时刻）；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是，最晚是；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早．你认为正确的有________________．（填序号即可） 题型8.有理数的加减混合运算 【典例】．计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 【跟踪专练1】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【跟踪专练2】如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【跟踪专练3】如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，，，，，这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，，已填入如图所示的位置，则______ 题型9.有理数加减中的简便运算 【典例】______． 【跟踪专练1】计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值为_________． 【跟踪专练3】计算：的值为（  ） A． B． C． D． 题型10.有理数加减混合运算的应用 【典例】某地某天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是_________． 【跟踪专练1】乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】阳光中学举办了一次足球比赛，七（1）班在3场足球比赛中的成绩如下：第1场胜，第2场负，第3场胜．七（1）班在这次比赛中总的净胜球数（进球数减去失球数）是_____． 【跟踪专练3】停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 2．若，． (1)求的值； (2)若，求的值． 3．简便计算： (1)； (2) 4．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 5．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02有理数的加法与减法暑假预习讲义 ① 熟记有理数加法完整法则：分清同号相加、异号相加、互为相反数相加、数与0相加四种情况，运算先定符号，再算绝对值，能独立完成基础口算与列式计算。 ② 掌握加法两大运算律：理解加法交换律、结合律含义，会运用相反数结合、同号归类、凑整等技巧简便运算，提升计算速度与准确率。 ③ 吃透减法转化法则：牢记核心规则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；掌握“两变一不变”要点，把所有减法统一改写为加法运算。 ④ 熟练加减混合运算：可将加减算式统一写成省略加号的和的形式，规范两种读法，按照运算顺序逐步计算复杂式子。 ⑤ 结合数轴理解运算意义：借助数轴上点的左右移动，直观看懂加减运算过程，巩固数形结合思想。 ⑥ 会列式解决实际应用题：针对盈亏、温度变化、行程升降等生活场景，列出有理数加减算式求解实际问题。 ⑦ 梳理高频易错点：运算符号与性质符号混淆、异号相加符号判定出错、减法变加法时相反数改写错误、混合运算随意调换运算顺序；规范书写步骤，夯实有理数运算基础 预习必备 知识梳理 1.有理数加法法则 2.加法运算律 3.有理数的减法法则 4.加减混合运算统一成加法 5.代数和的省略括号写法 6.加减混合运算顺序 7.有理数加减法实际应用 8.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法运算律 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法中的符号问题 5.有理数减法运算 6.省略加法和括号的形式 7.有理数减法的实际应用 8.有理数的加减混合运算 9.有理数加减中的简便运算 10.有理数加减混合运算的应用 强化题型 解答题5题 知识点 1：有理数加法法则（课本核心，必须背诵） 借助数轴运动理解：规定向右为正，向左为负，两次运动的终点位置即为和。 分 5 种情况： 1.同号两数相加 取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 例：(+3)+(+5)=+8；(-3)+(-5)=-8 2.异号两数相加，绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例：(+7)+(-3)=+4；(-7)+(+3)=-4 3.异号两数相加，绝对值相等（互为相反数相加） 互为相反数的两个数相加得0。 例：(-6)+(+6)=0 4.一个数同 0 相加 仍得这个数。 例：0+(-9)=-9；12+0=12 ✅加法运算步骤（固定流程，规范书写） 1 判断加数符号（同号 / 异号、有无 0）； 2 确定和的符号； 3 计算绝对值的和或差。 知识点 2：有理数加法运算律 运算律 文字表述 字母公式 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) 💡简便运算常用技巧（预习重点，考试常用） 1.相反数结合：互为相反数先相加，和为 0； 2.同号结合：所有正数放一起、负数放一起相加； 3.同分母分数结合； 4.凑整结合：小数、整数凑成整数方便计算。 知识点 3：有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 字母公式：a-b=a+(-b) 👉减法运算两大变化（重中之重：两变） 运算符号改变：减号加号 减数改变：减数 它的相反数 被减数保持不变！ 举例： 5-(-3)=5+(+3)=8 -7-4=-7+(-4)=-11 -2-(-6)=-2+6=4 ✅减法通用解题步骤 （1）将减法转化为加法（牢记两变一不变）； （2）按照有理数加法法则进行计算。 知识点 4：加减混合运算统一成加法 根据减法法则，所有减法都改写为加法，算式变成几个正数、负数的和，这种形式叫做代数和。 例：(-8)-(+4)+(-5)-(-2) 原式=(-8)+(-4)+(-5)+(+2) 知识点 5：代数和的省略括号写法 在代数和中，可以省略加号和括号。 (-8)+(-4)+(-5)+(+2)简写：-8-4-5+2 读法： 方式 1：负 8、负 4、负 5、正 2 的和； 方式 2：负 8 减 4 减 5 加 2 知识点 6：加减混合运算顺序 1.有括号先算括号内； 2.无括号，从左往右依次计算； 3.优先使用加法交换律、结合律简便运算。 ⚠️重要提醒：交换数字位置时，必须连同数字前面的符号一起移动！ 错误示范：-8-4+5 = -8+5-4 ✅（正确，符号跟着数字） 错误示范：-8-4+5 = -8-5+4 ❌ 知识点7有理数加减法实际应用 1.利用正负数表示相反意义的量； 2.列式计算变化量、最终位置、收支情况； 3.基准量计算：实际数量 = 基准数 ± 增减量。 示例：气温早上-2，上升5，再下降7 列式：-2+5-7=-4，最终气温-4 知识点8本节易混易错汇总表 易错类型 典型错误 正确思路 减法法则理解 5-(-2)=5-2 减去负数 = 加上正数，5-(-2)=5+2 符号混淆 -7-3=-4 -7-3=-7+(-3)，同号相加结果-10 移动加数 -5+9-6=-5+6-9 交换数字，符号必须跟随数字：-5-6+9 相反数加法 (-5)+3=2 异号相加，用大绝对值减小绝对值，符号跟随绝对值大的数，结果-2 概念误区 正数加负数，和一定小于正数 不一定，如3+(-1)=2；3+(-4)=-1 题型1.有理数加法运算 【典例】计算：___________． 【答案】 【详解】． 【跟踪专练1】根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则． 根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为________． 【答案】27或33或39 【分析】本题主要考查有理数的加法，由已知可知这六个数中一定含有4、5、6、7，所以可得出这六个数字的所有情况，可求得答案． 【详解】解：∵已知三个面上的数字为4、5、7，且六个面分别标着连续的整数， ∴这六个数中一定含有4、5、6、7， ∴这六个数字可能为2、3、4、5、6、7；或3、4、5、6、7、8；或4、5、6、7、8、9； 当这六个数为2、3、4、5、6、7时，其和为； 当这六个数为3、4、5、6、7、8时，其和为； 当这六个数为4、5、6、7、8、9时，其和为； 故答案为：27或33或39． 【跟踪专练3】如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，那么P的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，解答的关键是判断出把六个数中较大的数填在三个顶点处．根据三角形的每条边上的三个数的和P都相等，且P最大，只需把六个数中较大的三个数填在三个顶点处即可求解． 【详解】解：到这6个连续整数分别为，，，，，， ∵要求三角形的每条边上的三个数的和P都相等，且和P最大， ∴只需把三个较大的数，，填入三角形的三个顶点处，如图， ∴， 故选：B． 题型2.有理数加法运算律 【典例】当时，（1）______；（2）_____． 【答案】 0 14 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可． 【详解】解：； ； 故答案为：0；14． 【跟踪专练1】小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 【跟踪专练2】定义一个新运算 ，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 【跟踪专练1】下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则判断各选项的正误，选出结论不正确的选项即可． 【详解】解：，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴A结论正确， ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴B结论正确； ，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴C结论正确； ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴D结论不正确． 【跟踪专练2】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练3】下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则． 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意； 故选：C． 题型4.有理数加法中的符号问题 【典例】某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 【跟踪专练1】某厂去年上半年盈利12万元，记作万元；下半年亏损7万元，记作( )万元；全年记作( )万元． 【答案】 【分析】正负数用于表示具有相反意义的量，规定盈利为正，则亏损记为负，再通过有理数加法计算全年盈亏，即可得到结果． 【详解】解：根据题意，盈利记为正数，亏损记为负数， 因此下半年亏损万元，记作万元， 计算全年盈亏：（万元）， 因此全年记作万元． 【跟踪专练2】有若干条长短、粗细相同的绳子，如果从一端点火，每根绳子都正好8分钟燃尽．现在用这些绳子计量时间，比如：在一根绳子的两端同时点火，绳子4分钟燃尽；在一根绳子的一端点火，燃尽的同时点第二根绳子的一端，两根绳子燃尽可计时16分钟． 规定：（1）计量一个时间最多只能使用3根绳子；（2）只能在绳子的端部点火；（3）可以同时在几个端部点火；（4）点着的火中途不灭；（5）不许剪断绳子或将绳子折起．根据上面的 5 条规则，下面时间可以计量的有（   ） ①6分钟②7 分钟③9分钟④10分钟⑤11分钟⑥12分钟 A．①②③④⑤ B．①②③④⑥ C．①②④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式．求出可以计量的时间，然后进行判断即可． 【详解】解：①6分钟：两根绳子1、2，先把1两端点燃，同时点燃2的一端，4分钟后1绳子燃完，2绳子剩一半，这时把2的另一端点燃，用2分钟燃完，共用时（分钟）； ②7分钟：3根绳子1、2、3，先首两端点燃1，同时一端点燃2和3，1 烧完后把2的另一端点燃，2烧完后把3的另一端点燃，共用了：（分钟）； ③9分钟：点燃2根，第1根点两端，第2根点一端，第一根燃完用时4分钟，同时再点燃第3根一端和第二根另一端，第二根燃完剩下部分用时2分钟，再点燃第三根另一端，第三根燃完剩下部分用时3 分钟，共用时：（分钟）； ④10分钟：在6分钟的基础上，将第3根从两端同时点燃，则共用时：（分钟）； ⑤11分钟：无法得出； ⑥12分钟：先把第1根两端点燃用时4分钟，再把第2根一端点燃，所以共用时（分钟）． 综上分析可知：可以计量的有①②③④⑥． 故选：B． 【跟踪专练3】某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 【答案】 甲 180 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量进行比较； （2）将方案列出来找到最大值即可． 【详解】解：（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量： 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； ， 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元； （2）方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 4 2 0 0 3 3 0 0 6 0 0 0 5 1 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 4 0 1 1 3 1 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 4 0 0 2 3 1 0 ∴如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人． 题型5.有理数减法运算 【典例】计算（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练2】计算： ______． 【答案】1 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练3】如图，如果每个圆圈中的数都等于与它相邻的两个数的和，那么阴影圆圈中的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意先运算出左边的数字，再运算阴影部分即可． 【详解】解：左边的数字为：， 阴影部分的数字为：， 故选：B． 题型6.省略加法和括号的形式 【典例】把写成省略加法和括号的形式是___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要将原式中的括号省略，只保留数字和运算符号。根据有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，将减法转化为加法，进行求解即可． 【详解】解：写成省略加法和括号的形式是：． 故答案为：． 【跟踪专练1】将写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则去掉括号，即可求解． 【详解】解：将写成省略加号和括号的形式为． 故选：C． 【跟踪专练2】把写成省略加号的和的形式是_________． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 【跟踪专练3】将写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 题型7.有理数减法的实际应用 【典例】某地一天的最高气温是，最低气温是，这一天的温差是( )． 【答案】 【分析】根据温差的定义，用最高气温减去最低气温，利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：由题意得 【跟踪专练1】某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 【跟踪专练2】如图是长春市某段时间的天气预报，这几天中最高温度与最低温度的差最小的是（   ） A．月日 B．月日 C．月日 D．月日 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据有理数减法的运算法则求解即可． 【详解】解：月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为，月日最高温度与最低温度的差为， 所以这几天中温度与最低温度的差最小的是月日， 故选：D． 【跟踪专练3】通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识．①白昼时长（正午时刻日出时刻）；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是，最晚是；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早．你认为正确的有________________．（填序号即可） 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据昼长的计算规律，日出日落时刻与经纬度的关系，结合天安门广场升旗的实际规律，逐个判断各说法的正误即可． 【详解】① 一天中，正午时刻处于日出与日落的中间，日出到正午的时长等于正午到日落的时长，因此总白昼时长为（正午时刻日出时刻），说法正确． ② 北京天安门广场升旗时刻与日出时刻同步，夏至日出最早，升旗时刻最早约为，冬至日出最晚，升旗时刻最晚约为，符合实际规律，说法正确． ③ 北半球二十四节气体系下，夏至日太阳直射北回归线，同经度不同纬度的北半球地区，夏至白昼时长为一年最长，冬至日太阳直射南回归线，冬至白昼时长为一年最短，说法正确． ④ 白昼时长由纬度和太阳直射点位置决定，同纬度同一日期的白昼长度几乎一致，经度不影响白昼时长，仅影响日出日落的时刻，说法正确． ⑤ 越向东地方时越早，因此同一日期日出、日落的时刻都更早，说法正确． 题型8.有理数的加减混合运算 【典例】．计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：． 【跟踪专练1】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算， 根据题意原式可化为，中间项相互抵消，只剩首项和末项，进而求解即可． 【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有． ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，正确看出规律是解题的关键． 已知每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，先求出中间一列的三数之和；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，求出、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：已知每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， 中间一列的三数之和为：， 第一行的数字之和为3，则，解得， 第二行的数字之和为，解得， 第三行的数字之和为，解得， 所以． 故选：C ． 【跟踪专练3】如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，，，，，这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，，已填入如图所示的位置，则______ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2，每一横线，每一竖线的数字之和也是2即可得到结果． 【详解】解：∵，且8个数分成一个大圆，一个小圆， ∴每个圆中的4个数之和为2， ∴， ∴， 故答案为：． 题型9.有理数加减中的简便运算 【典例】______． 【答案】5 【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，分组后分别计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：5． 【跟踪专练1】计算的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减法中的简便运算，把小数转化成分数，然后根据同分母相加减计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【跟踪专练2】已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．利用加法运算律计算求解是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 题型10.有理数加减混合运算的应用 【典例】某地某天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法，根据正负数的意义，上升记为正，下降记为负，利用有理数加法法则列式计算． 【详解】解：，即这天夜间的气温是， 故答案为：． 【跟踪专练1】乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到反弹高度的范围为，再逐项判断即可． 【详解】解：反弹高度在范围内，即反弹高度为，则符合弹性标准，故选项B符合题意． 【跟踪专练2】阳光中学举办了一次足球比赛，七（1）班在3场足球比赛中的成绩如下：第1场胜，第2场负，第3场胜．七（1）班在这次比赛中总的净胜球数（进球数减去失球数）是_____． 【答案】2 【分析】用进球总数减去失球总数即可得七（1）班在这次比赛中总的净胜球数． 本题考查了用有理数加减运算解决实际问题．正确的列式和计算是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【跟踪专练3】停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【详解】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 解答题 1．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)4.55 (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．若，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或17或或3； (2)17或3． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减法，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）先根据绝对值的性质求出、的值，从而求出的值； （2）根据即可确定的取值范围，从而进一步确定、的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：因为，， 所以或，或． 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 综上所述：的值为或17或或3． （2）因为， 所以． 当，时，，； 当，时，，． 综上所述：的值为17或3． 3．简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小题采用裂项相消法，将每个分数拆分为两个单位分数之差，中间项相互抵消后简化运算； （2）小题采用凑1拆分法，把每个真分数写成1减去一个单位分数，再结合等比数列裂项抵消计算剩余分数和． 【详解】（1）解： = = = =； （2）解： = = = = = = =． 4．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 5．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【分析】根据当天与前一天的价格涨跌情况分别求出每天的蔬菜单价，根据“总价＝单价×数量”求出每天的销售额，用5天的销售总额减去5天的摊位费和蔬菜的进货成本即是本周的盈利． 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $