第08讲 有理数的乘除（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）暑假预习讲义2026-2027学年六年级数学沪教版五四制

第08讲 有理数的乘除（知识精讲+典例+创新题+课后巩固） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解 有理数乘法的符号法则，能根据两数符号判断积的符号。 掌握 有理数乘法法则，会进行含负因数的乘法运算。 理解 倒数的概念，掌握求一个数倒数的方法。 掌握 有理数除法法则，能把除法转化为乘法进行计算。 熟练运用 乘除混合运算顺序（同级从左到右，含加减时先算乘除），并能进行简便计算。 ✨ 核心思想：除法是乘法的逆运算——除以一个数等于乘以这个数的倒数；同时符号决定方向，绝对值决定大小是有理数运算的统一规则。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。 要点①： 同号相乘结果为正，异号相乘结果为负，符号相同时积为正。 要点②： 多个因数相乘：负因数个数为偶→积为正；负因数个数为奇→积为负。 要点③： 绝对值相乘：先把各因数的绝对值相乘，再在积前添加正负号。 ※口诀：同正得正，同负得正，异号得负。 ☆ 2. 倒数 乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1。求一个分数的倒数：分子分母互换位置。 要点①： a 的倒数是 （a≠0）。 要点②： 真分数的倒数>1，假分数的倒数<1，带分数先化为假分数再求倒数。 要点③： 整数的倒数：先写成分数形式（如 5 = ），再调换分子分母得 。 ※易错：负数的倒数仍是负数（-2 的倒数是 -）。 ☆ 3. 有理数除法 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 a÷b = a·()（b≠0）。 要点①： 转化：除法→乘法，统一为乘法运算。 要点②： 0 除以任何非 0 数都得 0；任何非 0 数除以 0 无意义（不可除以 0）。 要点③： 符号判断：与乘法相同——同正得正，同负得正，异号得负。 ※关键：除法不满足交换律和结合律，不能随意调换。 ☆ 4. 乘除混合运算 乘除混合运算的顺序：从左到右依次计算；含绝对值时先去绝对值；含括号时先算括号内。 要点①： 同级运算从左到右；乘除与加减混合时，先算乘除后算加减。 要点②： 凑倒数：找出分子分母互为倒数的对，优先结合约分。 要点③： 化小数为分数：将小数化成分数再约分，可避免小数运算误差。 ※易错：分数线同时起除号和括号作用，如 。 ☆ 5. 含绝对值的有理数运算 含绝对值的有理数运算，关键是先去绝对值号（按绝对值的代数定义化简），再进行四则运算。 要点①： 先化简绝对值：正数去绝对值为本身，负数去绝对值为相反数。 要点②： 再按运算顺序计算。 要点③： 含字母的绝对值要先判断字母的正负再化简。 ※技巧：含|x|的式子常借助分类讨论或非负性处理。 ☆ 知识总结表 运算 符号法则 关键转化 乘法 同号正，异号负 绝对值相乘 除法 同号正，异号负 a÷b = a·(1/b) 倒数 乘积为1 a 的倒数 = 1/a（a≠0） 混合运算 从左到右 先乘除后加减 含绝对值 先去绝对值 按正负分类化简 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】有理数乘法（第1-10题） ※方法总结 符号判断： 同号正，异号负，绝对值相乘。 多因数乘积： 负因数个数为偶→正；为奇→负。 简便计算： 结合律、分配律、凑整。 1．（2026•南开区二模）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数可以为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据有理数的乘法计算法则，即可得到答案． 【解答】解：∵（﹣3）×□的运算结果为正数， ∴□内的数字为负数． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法的运算法则是关键． 2．（2026•蓟州区校级模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据有理数乘法的运算法则计算即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 3．（2026•宝鸡一模）计算：（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【分析】根据有理数乘法法则求解即可． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法的运算法则是关键． 4．（2026•黄石模拟）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝0 B．|m|＜|n| C．﹣n＞0 D．mn＞0 【分析】先观察数轴得到﹣2＜m＜﹣1，2＜n＜3，|n|＞|m|，利用有理数的加法法则、乘法法则和互为相反数的定义，对各个选项的结论进行判断即可． 【解答】解：观察数轴可知：﹣2＜m＜﹣1，2＜n＜3，|n|＞|m|， ∴m+n＞0，|m|＜|n|，﹣n＜0，mn＜0， ∴A，C，D选项的结论错误，B选项的结论正确， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则、乘法法则和互为相反数的定义． 5．（2026•鼓楼区校级开学）已知|x|＝5，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值等于（　　） A．8或﹣8 B．2或﹣2 C．8或2 D．﹣8或﹣2 【分析】先根据绝对值的意义求出x与y的值，再根据xy＜0进行分类讨论即可． 【解答】解：∵|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， 又∵xy＜0， ∴x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3， ∴x+y＝5﹣3＝2或x+y＝﹣5+3＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查有理数的乘法、绝对值及有理数的加法，掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2026•红河州模拟）有理数a，b在数轴上的位置如图，下列各式成立的是（　　） A．b＞0 B．|a|＞﹣b C．a+b＞0 D．ab＜0 【分析】由数轴可以得到a、b的正负和绝对值的大小，从而可以判断选项的正确与否． 【解答】解：由数轴可得， b＜0＜a，|a|＜|b|， 则a+b＜0，|a|＜﹣b，a﹣b＞0，ab＜0， 选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，掌握数形结合的思想解答是关键． 7．（2025秋•岑溪市期末）计算（﹣108）×（﹣25）×4的结果是（　　） A．10800 B．﹣2700 C．﹣432 D．1080 【分析】根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【解答】解：原式＝108×100 ＝10800． 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 8．（2025秋•织金县期末）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若|a|＝a，则a＞0；③若ab＜0，则．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】利用有理数的乘法法则，绝对值的定义解答． 【解答】解：若|a|＝|b|，则a＝±b，①错误； 若|a|＝a，则a≥0，②错误； 若ab＜0，则，③正确． ∴正确的个数有1个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘法和绝对值，解题的关键是掌握有理数的乘法法则，绝对值的定义． 9．（2025秋•长乐区期末）已知有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，则下列判断正确的是（　　） A．若ab＞0，则cd＞0 B．若ac＞0，则bd＜0 C．若bc＜0，则ad＜0 D．若cd＜0，则ab＜0 【分析】根据数轴表示数的意义和方法，确定a、b、c、d的符号，再根据有理数乘法的计算方法进行判断即可． 【解答】解：A．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若ab＞0，即a、b同号，但c、d可能同号，也可能异号，因此cd可能为正数，也可能是负数或0，因此选项A不符合题意； B．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若ac＞0，即a、c同号，但b、d可能同号，也可能异号，因此cd可能为正数，也可能是负数或0，因此选项B不符合题意； C．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若bc＜0，即b、c异号，原点在数b、数c之间，所以a＜0，d＞0，因此ad＜0，因此选项C符合题意； D．有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，若cd＜0，即b、d异号，原点在数c、数d之间，所以a＜0，b＜d0，因此ab＞0，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及有理数乘法的计算方法是正确解答的关键． 10．（2025秋•贵德县校级期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（　　） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【分析】根据有理数乘法的性质，若多个有理数的积为0，则至少有一个因数为0，据此即可解答． 【解答】解：根据题意可知，这2025个数中至少有一个数为0． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法的运算法则是关键． 【考点2】有理数除法（第11-20题） ※方法总结 除法法则： 除以一个数=乘以它的倒数。 0 的除法： 0除以非0数=0；非0数除以0无意义。 分数除法： 除以分数=乘以它的倒数。 11．（2026•城固县模拟）计算：8÷（﹣2）＝（　　） A．10 B．6 C．4 D．﹣4 【分析】利用除以一个数等于乘这个数的倒数计算即可． 【解答】解：． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法的运算法则是关键． 12．（2025秋•闵行区期末）如果两个数的商为正数，那么下列结论正确的是（　　） A．这两个数的和为正数 B．这两个数的差为正数 C．这两个数的积为正数 D．这两个数都为正数 【分析】利用有理数的乘除加减法则判断即可． 【解答】解：如果两个数的商为正数，那么这两个数为同号，则这两个数的积为正数． 故选：C． 【点评】此题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（2025秋•栖霞市期末）下面结论： ①有理数包括所有正数、负数和0； ②若两个数互为相反数，则它们相除的商为﹣1； ③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数； ④绝对值等于其本身的有理数是零； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数为奇数，则积为负数． 其中正确的结论个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据有理数的分类可判断①； 根据相反数与有理数的除法可判断②； 根据数轴可判断③； 根据绝对值可判断④； 根据有理数的乘法可判断⑤． 【解答】解：①有理数包括正有理数、负有理数和0，选项结论错误，不符合题意； ②若两个数都为0，它们互为相反数，但相除无意义，选项结论错误，不符合题意； ③数轴上点有些表示有理数，有些不是表示有理数，选项结论错误，不符合题意； ④绝对值等于其本身的有理数是零和正有理数，选项结论错误，不符合题意； ⑤几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数，则积为负数，若其中有一个因数是0，则积为0，选项结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，有理数的乘法，有理数的除法，数轴，绝对值，相反数，掌握相关的知识是解题的关键． 14．（2025秋•马关县期末）若a、b都是有理数，且，则ab的值为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．不确定 【分析】结合，得出a和b同号（同正或同负），则ab＞0，即可作答． 【解答】解：由题意可得：a和b同号（同正或同负）， 则ab＞0， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的除法运算，有理数的乘法运算，正确进行计算是解题关键． 15．（2025秋•浦东新区期末）计算：　12　 ． 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【解答】解：原式 ＝﹣6×（﹣2） ＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键． 16．（2025秋•普陀区校级期末）． 【分析】根据有理数乘除法则计算即可． 【解答】解： ＝5． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．（2025秋•柳州期末）（﹣81）． 【分析】按照从左到右的顺序依次把除法转化为乘法运算，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：（﹣81）（﹣16）， ＝（﹣81）（）， ＝1． 【点评】本题考查了有理数的除法，乘除同一级运算，要按照从左到右的顺序依次进行计算． 18．（2025秋•金山区期末）计算：（）÷（） 【分析】首先根据除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数可得（）×（﹣36），再用乘法分配律计算即可． 【解答】解：原式＝（）×（﹣36）， （﹣36）（﹣36）（﹣36）， ＝﹣8+9﹣2， ＝﹣1． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，关键是掌握有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 19．（2025秋•宜兴市校级月考）下列说法中，不正确的是（　　） A．两个数的和为正数，至少有一个正数 B．两个数的差为正数，可能都是负数 C．几个有理数相乘，如果负因数有偶数个，积为正数 D．两个数的商为﹣1，这两数是互为相反数 【分析】几个有理数相乘时，若负因数有偶数个但其中包含0，积为0而非正数，所以C的说法不正确，A、B、D的说法均正确． 【解答】解：A、两个数的和为正数，至少有一个正数，故该选项不符合题意； B、两个数的差为正数，可能都是负数，故选项不符合题意； C、几个非零有理数相乘，如果负因数有偶数个，积为正数，故选项符合题意； D、两个数的商为﹣1，这两数是互为相反数，故选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘法，相反数，绝对值的性质等知识，掌握有理数的相关计算及概念是解题的关键． 20．（2010秋•单元）已知，4个矿泉水瓶可换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水瓶，若不加钱，最多可以换几瓶矿泉水？（不可以借用） 【分析】首先可以用15矿泉水瓶换3瓶矿泉水，喝完后加上前面的有6个瓶，然后换来1瓶水，余2个空瓶．喝掉1瓶水，现在有3个空瓶子，由此即可求出最多可以换几瓶矿泉水． 【解答】解：4瓶． 第一次：15个换3瓶水，余3个空瓶．喝了3瓶水，现在有6个空瓶子； 第二次，换来1瓶水，余2个空瓶．喝掉1瓶水，现在有3个空瓶子； 共3+1＝4． 【点评】此题比较容易引起学生的学习兴趣，贴近学生的实际生活，但解题时要利用分类讨论的思想，对于学生的分析问题解决问题的能力要求比较高． 【考点3】有理数混合运算（第21-23题） ※方法总结 运算顺序： 先算乘除，后算加减；同级从左到右。 分数小数混合： 统一为分数运算更可靠。 简便计算： 凑倒数、凑整数对、分配律。 21．（2025秋•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先确定符号，再把除法转变为乘法，即可得到结果； （2）先确定符号，再把除法转变为乘法，进行约分，即可得到结果； （3）先确定符号，再把除法转变为乘法，进行约分，即可得到结果； （4）先确定符号，再把除法转变为乘法，进行约分，即可得到结果． 【解答】解：（1） ＝5×6×6 ＝180； （2） ＝﹣12 ； （3） 4 ； （4） ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 22．（2024秋•松江区期末）计算：（﹣81）÷2（﹣16） 【分析】原式从左到右依次计算即可得到结果． 【解答】解：原式＝811． 【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数乘除法则是解本题的关键． 23．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】根据有理数的运算法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了有理数的除法及有理数的乘法，熟知有理数的运算法则是解题的关键． 【考点4】含绝对值运算（第24-28题） ※方法总结 化简绝对值： 先判断正负再去绝对值号。 分类讨论： 字母未知正负时需分类讨论。 非负性： a²≥0、|x|≥0 的应用。 24．（2024秋•楚雄州期末）已知|x|＝3，|y|，且x＞y，则的值是（　　） A．6 B．±6 C． D． 【分析】根据绝对值的性质以及x＞y求出x，y的值，再根据除法法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵x＞y，即x恒大于y， ∴x≠﹣3， ∴只分两种情况： ①时，， ②时，． 故选：B． 【点评】考查分类讨论思想，注意对条件的分析，做出正确的分类，训练基础的有理数的除法、绝对值知识． 25．（2025秋•恩施市月考）下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若a＞b，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有　②④　 ．（填序号） 【分析】根据绝对值，有理数的除法，有理数的加法，有理数的乘法的运算法则逐一判断． 【解答】解：根据绝对值，有理数的除法，有理数的加法，有理数的乘法的运算法则逐一判断如下： ①当a＝b＝0时，无意义，选项说法错误，不符合题意； ②∵， ∴ab同号， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴a+3b＜0， ∴|a+3b|＝﹣a﹣3b，选项说法正确，符合题意； ③若a＞b，则有三种情况， 若a＞b＞0， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 若b＜0＜a， ∴a+b无法判断，a﹣b＞0； 若b＜a＜0， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＜0，选项说法错误，不符合题意； ④∵a+b+c＜0， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵ab＞0， ∴ab同号， ∵c＞0， ∴a和b均为负数， ∴，选项说法正确，符合题意． 故答案为：②④ 【点评】本题考查了绝对值，有理数的除法，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 26．（2025秋•新干县期末）对于有理数x，y，若0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】先判断绝对值里面的代数式的正负再计算． 【解答】解：∵0， ∴x，y异号． ∴xy＜0， ∴1， 当x＞0时，y＜0，则1，1， ∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1． 当x＜0时，y＞0，则1，1． ∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查绝对值的计算，正确确定x，y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键． 27．（2024秋•雨山区校级期中）已知|x|＝4，|y|＝6， （1）若xy＜0，求x﹣y的值； （2）若x+y＜0，求． 【分析】（1）根据xy＜0，分两种情况解答即可； （2）根据x+y＜0，分两种情况计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知x＝±4，y＝±6， 若xy＜0， 当x＝4，y＝﹣6时，x﹣y＝10， 当x＝﹣4，y＝6时．x﹣y＝﹣10， 故x﹣y＝10或﹣10． （2）∵x+y＜0， 当x＝4，y＝﹣6时，， 当x＝﹣4，y＝﹣6时，， 故或； 【点评】本题考查有理数的加减乘除运算及绝对值，能够根据题意得出x与y的值是解题的关键． 28．（2025秋•咸宁期中）若有理数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＞0，则　1　 ． 【分析】根据a，b，c满足a+b+c＝0，且abc＞0得出b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中有一个正数两个负数，把所求的代数式转化为，再根据绝对值的性质去掉绝对值即可． 【解答】解：因为a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＞0， 所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中有一个正数两个负数， 若a＞0，则b＜0，c＜0， 则1+1+1＝1； 若a＜0，则b＜0，c＞0， 则1+1﹣1＝1； 若a＜0，则b＞0，c＜0， 则1﹣1+1＝1； 综上，的值为1． 【点评】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． 创新及压轴题（第29-31题） 29．（2024秋•同步）计算：﹣8． 下面是小明同学的解答过程：﹣88÷1＝﹣8． 你认为小明同学的解答是否正确？若不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解题过程；若正确，请写出计算过程中每步的依据． 【分析】根据小明的解答过程得小明的解答不正确，然后正确解答即可． 【解答】解：小明的解答不正确，错在没有先把除法运算转化为乘法运算，正确的解答如下： ﹣8 （除以一个数等于乘上这个数的倒数） ＝﹣18（乘法运算法则）． 【点评】此题主要考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握有理数乘除法运算的法则与技巧是解决问题的关键． 30．（2024秋•同步）有一个两位数，用它去除2、5得到的两个余数之和是5，则这个整数最小是多少？最大是多少？ 【分析】根据除数大于余数得出余数的具体取值范围，确定余数只能是：1、4，再分情况分析即可． 【解答】解：因为余数比除数小， 除2余数只能是1，这样的两位数有11、13、15、17、19、21、23、…2×m+1（49＞m＞5）…91、93、95、97、99； 去除2、5得到的两个余数之和是5， 除5的余数只能是5﹣1＝4， 除5余数是4的两位数有14、19、24、29、…5×n+4（19＞n＞2）…94、99； 答：则这个整数最小是19，最大是99． 【点评】考查了有理数的除法，解决本题的关键是找出符合题意的余数取值，再确定这个两位数是多少． 31．（2024秋•天河区校级期中）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如2÷2÷2÷2，记作“24”，读作“2的引4次商”．一般的，把（a≠0，n≥2，且为整数）记作“an”，读作“a的引n次商”． （1）直接写出计算结果：“（）4”＝　4　 ，“（﹣3）3”＝　　 ． （2）归纳：负数的引正奇数次商是 　负　 数，负数的引正偶数次商是 　正　 数（填“正或负”）； （3）计算：（﹣8）÷“23”+11ד（）4”． 【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）由除方的定义即可得到结论； （3）根据除方的定义计算即可． 【解答】解：（1）“（）4”4，“（﹣3）3”＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）． 故答案为：4，． （2）根据除方的定义可知，负数的引正奇数次商是负数，负数的引正偶数次商是正数． 故答案为：负，正． （3）（﹣8）÷“23”+11ד（）4” ＝（﹣8）÷（2÷2÷2）+11×[（）÷（）÷（）÷（）] ＝（﹣8）11×16 ＝﹣16+176 ＝160． 【点评】本题考查有理数的乘法和除法，熟练进行有理数的乘除法运算是本题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：有理数乘法的逆运算——已知乘积和其中一个因数，求另一个因数。 · 练习2：多个有理数相乘的最小积（符号与绝对值的综合应用）。 · 练习3：含绝对值的两数乘法——已知绝对值大小和乘积符号，求和或差。 · 练习4：符号传递判断——已知 ab＜0，bc＜0，判断 ac 的符号。 · 练习5：有理数除法的实际应用——容积问题（单位换算与除法）。 · 练习6：含绝对值符号的分式求值（a|a| 类型）。 · 练习7：有理数乘除混合运算（含小数、分数、负数）。 · 练习8：有理数除法与分配律的混合应用（除以一个分数转化为乘以倒数后展开）。 · 练习9：含绝对值的条件求值——已知 |a| 和最大负整数等条件，分类讨论求解。 · 练习10：分类讨论综合题——含绝对值的符号判断与求值。 【练习1】（2024秋•铁东区校级月考）如果□，那么□中应填的数是　﹣5　 ． 【分析】根据题意□中应填的数是的倒数，即可求解． 【解答】解：∵1÷（）＝1×（﹣5）＝﹣5， ∴□中应填的数为﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键． 【练习2】（2024秋•铁岭县期中）在五个数﹣5，﹣3，﹣1，2，4中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　﹣40　 ． 【分析】先计算出其中任意三个数相乘的计算结果，再进行比较、求解． 【解答】解：∵（﹣5）×（﹣3）×（﹣1）＝﹣15， （﹣5）×（﹣3）×2＝30， （﹣5）×（﹣3）×4＝60， （﹣5）×（﹣1）×2＝10， （﹣5）×（﹣1）×4＝20， （﹣5）×2×4＝﹣40， （﹣3）×（﹣1）×2＝6， （﹣3）×（﹣1）×4＝12， （﹣3）×2×4＝﹣24， （﹣1）×2×4＝﹣6， 且﹣40＜﹣24＜﹣15＜﹣6＜6＜10＜12＜20＜30＜60， ∴在五个数﹣5，﹣3，﹣1，2，4中任取三个数相乘，其中最小的积等于﹣40， 故答案为：﹣40． 【点评】此题考查了有理数乘法运算和大小比较的能力，关键是能准确运用对应的计算法则进行计算、比较． 【练习3】（2025秋•定远县校级期中）若|a|＝4，|b|＝6，ab＜0，则a+b＝ 　±2　 ． 【分析】运用实数的绝对值、乘法知识确定出a，b的值，再代入求解． 【解答】解∵|a|＝4，|b|＝6， ∴a＝±4，b＝±6， ∵ab＜0， ∴a＝﹣4，b＝6或a＝4，b＝﹣6， 当a＝﹣4，b＝6时， a+b＝﹣4+6＝2； 当a＝4，b＝﹣6时， a+b＝4﹣6＝﹣2， 故答案为：±2． 【点评】此题考查了实数的绝对值、乘法知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地讨论、计算． 【练习4】（2025春•南岗区校级月考）若ab＜0，bc＜0，则ac　＞　 0． 【分析】根据ab＜0，bc＜0，即可知a、b异号，b、c异号，推出a、c同号即可． 【解答】解：∵ab＜0，bc＜0， ∴a、b异号， c、b异号， 故a、c同号， ∴ac＞0． 故答案为：＞． 【点评】本题考查有理数的乘法，根据已知条件分类讨论得出a、b异号，b、c异号，推出a、c同号是解题关键． 【练习5】（2024•西安开学）把2.5升油，倒入容积是300毫升的瓶子里，至少需要 　9　 个这样的瓶子． 【分析】根据题意列出算式，运用有理数乘除运算法则进行计算、求解． 【解答】解：2.5×1000÷300 ＝2500÷300 ＝8（个）……100（毫升）， ∴至少需要9个这样的瓶子， 故答案为：9． 【点评】此题考查了有理数乘除运算的应用能力，关键是能准确根据题意列式、计算． 【练习6】（2016秋•海盐县校级期中）若ab＜0，则的值为　1　 ． 【分析】由ab＜0，可知a、b异号，然后利用有理数的乘法法则化简即可． 【解答】解：∵ab＜0， ∴a、b异号． ∴0． ∴0+1＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的除法，根据题意得出a、b异号是解题的关键． 【练习7】（2024秋•西城区校级期中）计算：． 【分析】把小数化为分数、除法化为乘法，再约分即可． 【解答】解：原式（）×（） ． 【点评】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【练习8】（2025秋•昌邑区校级期末）（）÷（）． 【分析】根据有理数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，可得计算结果． 【解答】解：（）÷（） ＝（）×（﹣18） （﹣18）（﹣18）（﹣18） 6+9 ＝4． 【点评】本题考查了有理数的除法，先把除法变成乘法，再根据乘法分配律相乘，把所得的积相加，注意运算符号． 【练习9】（2025秋•阜宁县期中）已知|a|＝3，b是最大的负整数． （1）若a＜b，求a﹣b的值； （2）若，求ba的值． 【分析】（1）根据题意求出a、b的值，再根据a＜b进一步确定a的值，再计算a﹣b即可； （2）根据题意求出a、b的值，再根据进一步确定a的值，再计算ba即可． 【解答】解：（1）∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∵|a|＝3， ∴a＝±3， ∵a＜b， ∴a＝﹣3， ∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣3+1＝﹣2； （2）∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∵|a|＝3， ∴a＝±3， ∵， ∴a、b异号， ∴a＝3， ∴ba＝（﹣1）3＝﹣1． 【点评】本题考查了有理数的减法，有理数的除法，绝对值，正确计算是解题的关键． 【练习10】（2024秋•蓬江区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b　＞　 0； （2）当abc＜0时，若ab＞0，则c　＜　 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则　±3或±1　 ； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分以下四种情况：当a、b、c均为正数时，当a、b、c均为负数时，当a、b、c中有两个正数一负数时，当a、b、c中有一个正数两个负数时，分别根据绝对值的性质求出即可； （4）a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，分情况讨论：①a＝1，b＝0，②a＝0，b＝1，③a＝﹣1，b＝0，④a＝0，b＝﹣1，分别计算a+b的值即可． 【解答】解：（1）∵ab＜0，b＞0， ∴a＜0， ∵|a|＜|b|， ∴a+b＞0， 故答案为：＞； （2）∵abc＜0，ab＞0， ∴c＜0， 故答案为：＜； （3）当a、b、c均为正数时，1+1+1＝3； 当a、b、c均为负数时，1﹣1﹣1＝﹣3； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，1+1﹣1＝1； 当a、b、c中有一个正数两个负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣1， 综上，的值为±3或±1， 故答案为：±3或±1；． （4）∵a与b都是整数，且|a|+|b|＝1， 分情况讨论： ①a＝1，b＝0，此时a+b＝1； ②a＝0，b＝1，此时a+b＝1； ③a＝﹣1，b＝0，此时a+b＝﹣1； ④a＝0，b＝﹣1，此时a+b＝﹣1， ∴a+b的值为±1． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘法法则和加法法则是解题的关键，注意分情况讨论． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：有理数除法的基本计算（正负号判断）。 · 作业2：数轴上两数乘积、和、差的符号判断（综合应用）。 · 作业3：含绝对值的两数乘积——已知绝对值大小和乘积符号，求差（有两种情况）。 · 作业4：带分数与小数除法的计算（化为假分数或分数后计算）。 · 作业5：含绝对值的分式求和——根据 abc＜0 判断各分式的符号。 · 作业6：多个有理数相乘的最大积——在给定数中选两个数相乘，求最大值。 · 作业7：含绝对值的复杂分式求值（结合 a+b+c=0 和 abc＞0 条件）。 · 作业8：小数、分数乘除混合运算（注意运算顺序）。 · 作业9：乘除混合运算的错误辨析与改正（常见错误：随意添加括号改变运算顺序）。 · 作业10：含绝对值的分类讨论综合题——分 ab≠0、abc≠0、a+b+c=0 三种情况求值。 【作业1】（2026•河东区一模）计算12÷（﹣3）的结果是（　　） A．﹣9 B．﹣4 C．4 D．9 【分析】运用有理数除法法则，先确定结果的符号，再进行求解、辨别． 【解答】解：12÷（﹣3） ＝﹣（12÷3） ＝﹣4， 故选：B． 【点评】此题考查了有理数除法的计算能力，关键是能准确理解并运用有理数除法法则进行求解． 【作业2】（2026•海淀区校级模拟）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a+b＜0 C．ab＞0 D． 【分析】根据数a，b在数轴上对应点的位置和绝对值的定义、有理数的加法法则、有理数的乘法法则逐项进行判断． 【解答】解：A、由数a，b在数轴上对应点的位置可知，表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离小， ∴|a|＜|b|， 故此选项不符合题意； B、∵|b|＞|a|且b＞0， ∴a+b＞0， 故此选项不符合题意； C、由数轴可知a＜0，b＞0， ∴ab＜0， 故此选项不符合题意； D、∵a＜0，b＞0， ∴，﹣b＜0， ∴， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加减法，数轴，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【作业3】（2025秋•平江县期末）若|x|＝7，|y|＝6，且xy＜0，则x﹣y的值为　±13　 ． 【分析】先根据绝对值的定义求出x、y的值，再根据xy＜0进一步确定x、y的值，再根据有理数减法法则计算即可． 【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝6， ∴x＝±7，y＝±6， ∵xy＜0， ∴x＝7，y＝﹣6或x＝﹣7，y＝6， 当x＝7，y＝﹣6时，x﹣y＝7﹣（﹣6）＝7+6＝13； 当x＝﹣7，y＝6时，x﹣y＝﹣7﹣6＝﹣13； 综上，x﹣y的值为±13， 故答案为：±13． 【点评】本题考查了有理数的乘法、有理数的减法、绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业4】（2025秋•松江区期末）计算：　4　 ． 【分析】先把带分数、小数化为分数，再根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除计算即可． 【解答】解： ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业5】（2025秋•富锦市月考）已知a，b，c为有理数，当abc＜0时，则的值为　1或﹣3　 ． 【分析】利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：因为abc＜0， 当a，b，c中只有1个负数时， 原式＝﹣1+1+1＝1； 当a，b，c都是负数时， 原式＝﹣1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3， 综上所述，的值为1或﹣3． 故答案为：1或﹣3． 【点评】本题主要考查了绝对值以及有理数的乘除法，熟知绝对值的性质是解题的关键． 【作业6】（2025秋•翁牛特旗期中）在﹣6，﹣3，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大为 　18　 ． 【分析】根据乘法计算法则得到所取的两个数必须同号，且这两个数的绝对值要是最大的两个数，则需要取﹣6，﹣3，据此根据乘法计算法则求解即可． 【解答】解：∵﹣6×（﹣3）＝18， ∴应该取﹣6，﹣3，即在﹣6，﹣3，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大为18． 故答案为：18． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法，解答此题的判断出要使所得的积最大，需要取哪两个数． 【作业7】（2025秋•九龙坡区校级月考）若a+b+c＝0，abc＞0，且a，b，c是非零有理数，则　﹣1或3　 ． 【分析】首先根据a+b+c＝0，abc＞0，可判定a、b、c中二负一正，然后转换形式，得出，然后分类讨论求解即可． 【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0，且a，b，c是非零有理数， ∴a，b，c中两负一正，a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a， ∴， 当a＞0，b＜0，c＜0时， ； 当a＜0，b＜0，c＞0时， ； 当a＜0，b＞0，c＜0时， ； 综上，原式的值为﹣1或3， 故答案为：﹣1或3． 【点评】本题考查利用绝对值的性质求解代数式的值，解题关键是通过分类讨论判定结果． 【作业8】（2025秋•青浦区校级期中）（﹣1.5）（）． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解：（﹣1.5）（） ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业9】（2024秋•永春县期中）计算：． 解：原式① 1…② ③ （1）上述解法有错误，错在哪一步？答：　①　 （填序号）；错误的原因是 　同级运算，要从左到右进行计算　 ． （2）请写出这个计算题正确的计算过程． 【分析】（1）根据有理数乘除法法则进行判断即可； （2）先把除法运算变为乘法运算，再根据有理数乘法法则计算即可． 【解答】解：（1）上述解法有错误，错在第①步，错误的原因是同级运算，要从左到右进行计算， 故答案为：①，同级运算，要从左到右进行计算； （2） ． 【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【作业10】（2025秋•綦江区校级月考）当x＞0时，；当x＜0时，．用这个结论解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【分析】（1）根据ab≠0，分两种情况进行讨论：①当ab＞0时，（ⅰ）a＞0，b＞0时，（ⅱ）a＜0，b＜0时，②当ab＜0时，（ⅰ）a＞0，b＜0时，（ⅱ）a＜0，b＞0时，根据每一种情况的讨论结果即可得出答案； （2）根据abc≠0时，分两种情况进行讨论：①abc＞0时，（ⅰ）a＞0，b＞0，c＞0时，（ⅱ）a，b，c中任意两个为负，另一个为正时，不妨假设a＜0，b＜0，c＞0，②当abc＜0时，（ⅰ）a＜0，b＜0，c＜0，（ⅱ）当a，b，c中任意两个为正，另一个为负时，不妨假设a＞0，b＞0，c＜0，根据每一种情况的讨论结果即可得出答案； （3）根据a+b+c＝0可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，再根据abc＜0可得a，b，c中两正一负，不妨假设a＞0，b＞0，c＜0，然后根据绝对值的意义即可得出答案． 【解答】解：（1）∵ab≠0， ∴有以下两种情况： ①当ab＞0时，（ⅰ）a＞0，b＞0时，； （ⅱ）a＜0，b＜0时，； ②当ab＜0时，（ⅰ）a＞0，b＜0时，； （ⅱ）a＜0，b＞0时，． 综上所述：的值为2或﹣2或0； （2）∵abc≠0时， ∴有以下两种情况： ①abc＞0时，（ⅰ）a＞0，b＞0，c＞0时，1+1+1＝3； （ⅱ）a，b，c中任意两个为负，另一个为正时，不妨假设a＜0，b＜0，c＞0， ∴1﹣1+1＝﹣； ②当abc＜0时，（ⅰ）a＜0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣3， （ⅱ）当a，b，c中任意两个为正，另一个为负时，不妨假设a＞0，b＞0，c＜0， ∴1+1﹣1＝1． 综上所述：的值为3或﹣1或﹣3或1； （3）∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， 又∵abc＜0， ∴a，b，c中两正一负，不妨假设a＞0，b＞0，c＜0， ∴1﹣1+1＝﹣1． ∴的值为﹣1． 【点评】此题主要考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点之一． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 有理数的乘除（知识精讲+典例+创新题+课后巩固） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 理解 有理数乘法的符号法则，能根据两数符号判断积的符号。 掌握 有理数乘法法则，会进行含负因数的乘法运算。 理解 倒数的概念，掌握求一个数倒数的方法。 掌握 有理数除法法则，能把除法转化为乘法进行计算。 熟练运用 乘除混合运算顺序（同级从左到右，含加减时先算乘除），并能进行简便计算。 ✨ 核心思想：除法是乘法的逆运算——除以一个数等于乘以这个数的倒数；同时符号决定方向，绝对值决定大小是有理数运算的统一规则。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。 要点①： 同号相乘结果为正，异号相乘结果为负，符号相同时积为正。 要点②： 多个因数相乘：负因数个数为偶→积为正；负因数个数为奇→积为负。 要点③： 绝对值相乘：先把各因数的绝对值相乘，再在积前添加正负号。 ※口诀：同正得正，同负得正，异号得负。 ☆ 2. 倒数 乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是1，-1的倒数是-1。求一个分数的倒数：分子分母互换位置。 要点①： a 的倒数是 （a≠0）。 要点②： 真分数的倒数>1，假分数的倒数<1，带分数先化为假分数再求倒数。 要点③： 整数的倒数：先写成分数形式（如 5 = ），再调换分子分母得 。 ※易错：负数的倒数仍是负数（-2 的倒数是 -）。 ☆ 3. 有理数除法 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 a÷b = a·()（b≠0）。 要点①： 转化：除法→乘法，统一为乘法运算。 要点②： 0 除以任何非 0 数都得 0；任何非 0 数除以 0 无意义（不可除以 0）。 要点③： 符号判断：与乘法相同——同正得正，同负得正，异号得负。 ※关键：除法不满足交换律和结合律，不能随意调换。 ☆ 4. 乘除混合运算 乘除混合运算的顺序：从左到右依次计算；含绝对值时先去绝对值；含括号时先算括号内。 要点①： 同级运算从左到右；乘除与加减混合时，先算乘除后算加减。 要点②： 凑倒数：找出分子分母互为倒数的对，优先结合约分。 要点③： 化小数为分数：将小数化成分数再约分，可避免小数运算误差。 ※易错：分数线同时起除号和括号作用，如 。 ☆ 5. 含绝对值的有理数运算 含绝对值的有理数运算，关键是先去绝对值号（按绝对值的代数定义化简），再进行四则运算。 要点①： 先化简绝对值：正数去绝对值为本身，负数去绝对值为相反数。 要点②： 再按运算顺序计算。 要点③： 含字母的绝对值要先判断字母的正负再化简。 ※技巧：含|x|的式子常借助分类讨论或非负性处理。 ☆ 知识总结表 运算 符号法则 关键转化 乘法 同号正，异号负 绝对值相乘 除法 同号正，异号负 a÷b = a·(1/b) 倒数 乘积为1 a 的倒数 = 1/a（a≠0） 混合运算 从左到右 先乘除后加减 含绝对值 先去绝对值 按正负分类化简 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】有理数乘法（第1-10题） ※方法总结 符号判断： 同号正，异号负，绝对值相乘。 多因数乘积： 负因数个数为偶→正；为奇→负。 简便计算： 结合律、分配律、凑整。 1．（2026•南开区二模）若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数可以为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 2．（2026•蓟州区校级模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•宝鸡一模）计算：（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 4．（2026•黄石模拟）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝0 B．|m|＜|n| C．﹣n＞0 D．mn＞0 5．（2026•鼓楼区校级开学）已知|x|＝5，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值等于（　　） A．8或﹣8 B．2或﹣2 C．8或2 D．﹣8或﹣2 6．（2026•红河州模拟）有理数a，b在数轴上的位置如图，下列各式成立的是（　　） A．b＞0 B．|a|＞﹣b C．a+b＞0 D．ab＜0 7．（2025秋•岑溪市期末）计算（﹣108）×（﹣25）×4的结果是（　　） A．10800 B．﹣2700 C．﹣432 D．1080 8．（2025秋•织金县期末）下列说法：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若|a|＝a，则a＞0；③若ab＜0，则．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025秋•长乐区期末）已知有理数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，则下列判断正确的是（　　） A．若ab＞0，则cd＞0 B．若ac＞0，则bd＜0 C．若bc＜0，则ad＜0 D．若cd＜0，则ab＜0 10．（2025秋•贵德县校级期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（　　） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【考点2】有理数除法（第11-20题） ※方法总结 除法法则： 除以一个数=乘以它的倒数。 0 的除法： 0除以非0数=0；非0数除以0无意义。 分数除法： 除以分数=乘以它的倒数。 11．（2026•城固县模拟）计算：8÷（﹣2）＝（　　） A．10 B．6 C．4 D．﹣4 12．（2025秋•闵行区期末）如果两个数的商为正数，那么下列结论正确的是（　　） A．这两个数的和为正数 B．这两个数的差为正数 C．这两个数的积为正数 D．这两个数都为正数 13．（2025秋•栖霞市期末）下面结论： ①有理数包括所有正数、负数和0； ②若两个数互为相反数，则它们相除的商为﹣1； ③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数； ④绝对值等于其本身的有理数是零； ⑤几个有理数相乘，负因数的个数为奇数，则积为负数． 其中正确的结论个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025秋•马关县期末）若a、b都是有理数，且，则ab的值为（　　） A．正数 B．负数 C．0 D．不确定 15．（2025秋•浦东新区期末）计算：　 　 ． 16．（2025秋•普陀区校级期末）． 17．（2025秋•柳州期末）（﹣81）． 18．（2025秋•金山区期末）计算：（）÷（） 19．（2025秋•宜兴市校级月考）下列说法中，不正确的是（　　） A．两个数的和为正数，至少有一个正数 B．两个数的差为正数，可能都是负数 C．几个有理数相乘，如果负因数有偶数个，积为正数 D．两个数的商为﹣1，这两数是互为相反数 20．（2010秋•单元）已知，4个矿泉水瓶可换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水瓶，若不加钱，最多可以换几瓶矿泉水？（不可以借用） 【考点3】有理数混合运算（第21-23题） ※方法总结 运算顺序： 先算乘除，后算加减；同级从左到右。 分数小数混合： 统一为分数运算更可靠。 简便计算： 凑倒数、凑整数对、分配律。 21．（2025秋•同步）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．（2024秋•松江区期末）计算：（﹣81）÷2（﹣16） 23．（2024秋•浦东新区校级期中）计算：． 【考点4】含绝对值运算（第24-28题） ※方法总结 化简绝对值： 先判断正负再去绝对值号。 分类讨论： 字母未知正负时需分类讨论。 非负性： a²≥0、|x|≥0 的应用。 24．（2024秋•楚雄州期末）已知|x|＝3，|y|，且x＞y，则的值是（　　） A．6 B．±6 C． D． 25．（2025秋•恩施市月考）下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若a＞b，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有　 　 ．（填序号） 26．（2025秋•新干县期末）对于有理数x，y，若0，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 27．（2024秋•雨山区校级期中）已知|x|＝4，|y|＝6， （1）若xy＜0，求x﹣y的值； （2）若x+y＜0，求． 28．（2025秋•咸宁期中）若有理数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＞0，则　 　 ． 创新及压轴题（第29-31题） 29．（2024秋•同步）计算：﹣8． 下面是小明同学的解答过程：﹣88÷1＝﹣8． 你认为小明同学的解答是否正确？若不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解题过程；若正确，请写出计算过程中每步的依据． 30．（2024秋•同步）有一个两位数，用它去除2、5得到的两个余数之和是5，则这个整数最小是多少？最大是多少？ 31．（2024秋•天河区校级期中）类比乘方运算，我们规定：求n个相同有理数（均不为0）的商的运算叫做除方．例如2÷2÷2÷2，记作“24”，读作“2的引4次商”．一般的，把（a≠0，n≥2，且为整数）记作“an”，读作“a的引n次商”． （1）直接写出计算结果：“（）4”＝　 　 ，“（﹣3）3”＝　 　 ． （2）归纳：负数的引正奇数次商是 　 　 数，负数的引正偶数次商是 　 　 数（填“正或负”）； （3）计算：（﹣8）÷“23”+11ד（）4”． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：有理数乘法的逆运算——已知乘积和其中一个因数，求另一个因数。 · 练习2：多个有理数相乘的最小积（符号与绝对值的综合应用）。 · 练习3：含绝对值的两数乘法——已知绝对值大小和乘积符号，求和或差。 · 练习4：符号传递判断——已知 ab＜0，bc＜0，判断 ac 的符号。 · 练习5：有理数除法的实际应用——容积问题（单位换算与除法）。 · 练习6：含绝对值符号的分式求值（a|a| 类型）。 · 练习7：有理数乘除混合运算（含小数、分数、负数）。 · 练习8：有理数除法与分配律的混合应用（除以一个分数转化为乘以倒数后展开）。 · 练习9：含绝对值的条件求值——已知 |a| 和最大负整数等条件，分类讨论求解。 · 练习10：分类讨论综合题——含绝对值的符号判断与求值。 【练习1】（2024秋•铁东区校级月考）如果□，那么□中应填的数是　 　 ． 【练习2】（2024秋•铁岭县期中）在五个数﹣5，﹣3，﹣1，2，4中任取三个数相乘，其中最小的积等于 　 　 ． 【练习3】（2025秋•定远县校级期中）若|a|＝4，|b|＝6，ab＜0，则a+b＝ 　 　 ． 【练习4】（2025春•南岗区校级月考）若ab＜0，bc＜0，则ac　 　 0． 【练习5】（2024•西安开学）把2.5升油，倒入容积是300毫升的瓶子里，至少需要 　 　 个这样的瓶子． 【练习6】（2016秋•海盐县校级期中）若ab＜0，则的值为　 　 ． 【练习7】（2024秋•西城区校级期中）计算：． 【练习8】（2025秋•昌邑区校级期末）（）÷（）． 【练习9】（2025秋•阜宁县期中）已知|a|＝3，b是最大的负整数． （1）若a＜b，求a﹣b的值； （2）若，求ba的值． 【练习10】（2024秋•蓬江区校级月考）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ （1）当ab＜0时，若b＞0，|a|＜|b|，则a+b　 　 0； （2）当abc＜0时，若ab＞0，则c　 　 0； （3）已知a，b，c是非零有理数，则　 　 ； （4）当a与b都是整数，且|a|+|b|＝1，求a+b的值．（写出分类讨论的过程） 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：有理数除法的基本计算（正负号判断）。 · 作业2：数轴上两数乘积、和、差的符号判断（综合应用）。 · 作业3：含绝对值的两数乘积——已知绝对值大小和乘积符号，求差（有两种情况）。 · 作业4：带分数与小数除法的计算（化为假分数或分数后计算）。 · 作业5：含绝对值的分式求和——根据 abc＜0 判断各分式的符号。 · 作业6：多个有理数相乘的最大积——在给定数中选两个数相乘，求最大值。 · 作业7：含绝对值的复杂分式求值（结合 a+b+c=0 和 abc＞0 条件）。 · 作业8：小数、分数乘除混合运算（注意运算顺序）。 · 作业9：乘除混合运算的错误辨析与改正（常见错误：随意添加括号改变运算顺序）。 · 作业10：含绝对值的分类讨论综合题——分 ab≠0、abc≠0、a+b+c=0 三种情况求值。 【作业1】（2026•河东区一模）计算12÷（﹣3）的结果是（　　） A．﹣9 B．﹣4 C．4 D．9 【作业2】（2026•海淀区校级模拟）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a+b＜0 C．ab＞0 D． 【作业3】（2025秋•平江县期末）若|x|＝7，|y|＝6，且xy＜0，则x﹣y的值为　 　 ． 【作业4】（2025秋•松江区期末）计算：　 　 ． 【作业5】（2025秋•富锦市月考）已知a，b，c为有理数，当abc＜0时，则的值为　 　 ． 【作业6】（2025秋•翁牛特旗期中）在﹣6，﹣3，3，5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大为 　 　 ． 【作业7】（2025秋•九龙坡区校级月考）若a+b+c＝0，abc＞0，且a，b，c是非零有理数，则　 　 ． 【作业8】（2025秋•青浦区校级期中）（﹣1.5）（）． 【作业9】（2024秋•永春县期中）计算：． 解：原式① 1…② ③ （1）上述解法有错误，错在哪一步？答：　 　 （填序号）；错误的原因是 　 　 ． （2）请写出这个计算题正确的计算过程． 【作业10】（2025秋•綦江区校级月考）当x＞0时，；当x＜0时，．用这个结论解决下列问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $