精品解析：山西大同市北京师范大学大同附属中学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级 数学学科期中考试题 考试时长：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到，从而虚部为. 【详解】复数满足，， 则的虚部为. 故选：A. 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算样本空间，再代入古典概型概率公式，即可求解. 【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张， 样本空间包含，共个， 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数， 则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为. 故选：C. 3. 若数据，，，，的方差为9，则数据，，，，的方差为（ ） A. 2007 B. 1989 C. 36 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义分析，每个数据都减去2025，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍即可. 【详解】因数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差应是. 故选：C. 4. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得，再根据角的范围求出角. 【详解】由正弦定理，， 又，则，所以. 故选：A. 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果. 【详解】由，得， 由，得， 则， 因此在上的投影向量为． 故选：A． 6. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作， 因为该电路正常工作为事件，则 ， 故选：A． 7. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设化简可得，，从而将向量等式化简，根据平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】， ， 在中， ， ， 为线段上的一点，，且易得， . 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ） A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用互斥事件，对立事件的概念求解. 【详解】事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误； 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确； 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误； 事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确. 故选：BD 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定有 B. 若是锐角三角形，则一定有成立 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正弦定理以及三角形的性质，即可判断A，根据锐角三角形角的关系，以及三角函数的单调性，即可判断B，根据余弦定理角化边，即可判断C，利用正弦定理，结合余弦定理，以及三角形的性质，即可判断D. 【详解】对于A，若，根据正弦定理得， 结合三角形中“大边对大角”，可得，故A项正确； 对于B，若是锐角三角形，则､均为锐角，且， 可得，两边取正弦得，即，故B项正确； 对于C，若， 则，去分母得， 整理，可知是以为斜边的直角三角形，故C项正确； 对于D，若，则，即， 由正弦定理得，可得，结合，可知为锐角， 但不能得到是锐角三角形，故D项不正确. 故选：ABC. 11. 如图，在等腰梯形中，，E为的中点，点在菱形的内部及边界上运动．设，其中（ ） A. 若B，P，D三点共线，则 B. x，y的约束条件为 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量以及数量积、向量的模分析求解即可. 【详解】由题意，等腰梯形中是边长为1的菱形，，设，在轴上. 设..由，则. 选项A.三点共线，直线方程为，将代入，即， 化简得，A错误. 选项B.因为在菱形内部及边界，菱形四个顶点对应为， 四条边界为，，，，故约束条件为，B正确. 选项C.即，满足条件且在菱形内的点是单位圆上弧. ，则， 参数化，得，C正确. 选项D.由，根据圆周角定理，的轨迹由以​为圆心的劣弧和以​为圆心的劣弧组合而成(不包含点E，C)， 到圆心​距离为，圆的半径为，最小值为​​， 到圆心​距离为，圆的半径为，最大值为​​，且， 则的取值范围是，D错误. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________. 【答案】14.5## 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数求解方式求解即可. 【详解】将这组数据从小到大排列为：11，12，13，13，13，14，15，15，16，17， 又10×60%=6，所以这组数据的第60百分位数为. 故答案为：14.5 13. 中，，D在上，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据的面积等于面积与面积之和即可求解； 方法二：利用直角三角形边与角的关系表示出，再用正弦定理表示出即可求解. 【详解】解法1：的面积等于面积与面积之和， 所以， 即.于是. 解法2：直角中，因为，所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理可得， 从而. 所以. 于是. 故答案为：. 14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求出夺冠，夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对称性可得解. 【详解】进入决赛的概率为，进入决赛的概率为， 夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为， 夺冠有两种情况，进入决赛和没进入决赛，所以夺冠的概率为， 所以或夺冠的概率为，由概率的对称性可得，夺冠的概率为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简得到，根据纯虚数得到方程和不等式，求出，利用除法法则得到，求出模长； （2）化简得到，根据所在象限，得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ∵是纯虚数，，解得， ，则； 【小问2详解】 ， 复数， ∵在复平面对应的点在第一象限，， 解得， 实数的取值范围是. 16. 已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． （1）求与夹角的大小； （2）设，求； （3）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直以及向量的内积公式求解即可. （2）根据向量的模以及向量内积代入求解即可. （3）根据向量内积以及向量的模不等式求解即可. 【小问1详解】 已知，为单位向量，且， 则，解得. 因为，所以. 【小问2详解】 已知，则， 化简， 又，， 所以， 解得或. 【小问3详解】 已知等式，展开得， 代入​，整理得. ，， 代入得，设，不等式化为，解得. 17. 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． （1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ （2）估计该地居民的月收入的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 【答案】（1）25 （2）3900 （3）3900 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求解，即可根据抽样比求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. （3）根据平均数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 月收入在的频率为0.25， 所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为； 【小问2详解】 收入在的频率是， 收入在的频率是， 所以样本数据的中位数在， 且为（元）. 【小问3详解】 （元）， 所以平均数为3900元. 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. 【小问3详解】 设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． （1）若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； （2）若，，，的面积为，，，求的最小值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解； （ii）由（i）得P为内的费马点，即，利用面积为得，即可求解； （2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 （i）∵，， ∴， ∴， 在中，，∴，∴， 又，∴． （ii）∵，∴不存在大于等于120°的角，∴P为内的费马点． 所以， ∵， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 ∵，∴，即， 在中有正弦定理得，， ∴，∴， 在中，，∴， 又，∴． ∴， 设，，则在由正弦定理得，， 在由正弦定理得，， ∴， 当且仅当，，时等号成立． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级 数学学科期中考试题 考试时长：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若数据，，，，的方差为9，则数据，，，，的方差为（ ） A. 2007 B. 1989 C. 36 D. 18 4. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ） A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定有 B. 若是锐角三角形，则一定有成立 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 如图，在等腰梯形中，，E为的中点，点在菱形的内部及边界上运动．设，其中（ ） A. 若B，P，D三点共线，则 B. x，y的约束条件为 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________. 13. 中，，D在上，，，则______. 14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． （1）求与夹角的大小； （2）设，求； （3）设，求的取值范围． 17. 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． （1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ （2）估计该地居民的月收入的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． （1）若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； （2）若，，，的面积为，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $