山西大同市北京师范大学大同附属中学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级 数学学科期中考试题 考试时长：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若数据，，，，的方差为9，则数据，，，，的方差为（ ） A. 2007 B. 1989 C. 36 D. 18 4. 在，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 8. 在中，已知为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则（ ） A. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件 B. 事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件 C. 事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球” D. 当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则一定有 B. 若是锐角三角形，则一定有成立 C. 若，则一定是直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 11. 如图，在等腰梯形中，，E为的中点，点在菱形的内部及边界上运动．设，其中（ ） A. 若B，P，D三点共线，则 B. x，y的约束条件为 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________. 13. 中，，D在上，，，则______. 14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 已知，，是平面内的三个向量，其中，为单位向量，且． （1）求与夹角的大小； （2）设，求； （3）设，求的取值范围． 17. 统计局就某地居民的月收入（单位：元）情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图），每个分组包括左端点不包括右端点，如第一组表示月收入在内． （1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层随机抽样的方法抽出100人进行下一步分析，则月收入在内的应抽取多少人？ （2）估计该地居民的月收入的中位数； （3）假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． 18. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． （1）若，且面积为． （i）求角B； （ii）求； （2）若，，，的面积为，，，求的最小值． 北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级 数学学科期中考试题 考试时长：120分钟 命题人： 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 一、单选题（每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每小题6分，共18分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题（每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】14.5## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【17题答案】 【答案】（1）25 （2）3900 （3）3900 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）（i）；（ii） （2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $