3.7扇形（讲义，3知识10题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦“圆”章节中扇形相关核心知识点，系统梳理弧长公式、扇形面积公式（含基本概念、两种公式及弓形面积）、圆锥侧面积与展开图（核心关系、公式及圆心角公式），通过“即学即练”夯实基础，再以10类题型构建从基础到应用的进阶学习支架。 该资料特色在于融合数学核心素养，以哈尼族蘑菇房圆锥模型、宣扇扇形面积等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的几何直观与空间观念。题型含易错点提示提升数学思维的推理与运算能力，课中辅助教师系统授课，课后变式巩固助力学生查漏补缺，强化应用意识。

第三章 圆 3.7 扇形 知识点一 弧长公式 1. 在半径为 R的圆中，弧长与所对的圆心角度数n之间的关系如下： 即学即练 1．（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 知识点二 扇形的基本概念及面积公式 1. 1. 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 扇形是圆的一部分，由两条半径 + 一段弧围成。 2. 公式一（知圆心角、半径）： 公式二（知弧长、半径，超级常用）： 记忆技巧：和三角形面积公式结构一致，弧长相当于底，半径相当于高。 3. 常见圆心角对应数值（快速秒杀）： 半圆：弧长为圆周长一半，面积为圆面积一半 四分之一圆：弧长、面积均为整体的 六分之一圆：对应正六边形分割扇形 4. 弓形：由一条弦和它所对的弧围成的图形； 劣弓形面积： 优弓形面积： 即学即练 1．（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2026·吉林长春·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 知识点三 圆锥侧面积与展开图 1. 核心关系：圆锥侧面展开图是扇形；扇形半径 = 圆锥的母线长；扇形弧长 = 圆锥底面圆周长。 2. 圆锥常用公式（设：母线长，底面半径，高） 勾股关系： 侧面积： 全面积： 3. 圆锥展开图圆心角公式（超好用）：（用于快速求展开扇形的圆心角度数）。 即学即练 1．（2026·云南楚雄·二模）用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·二模）如图，已知扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为_______． 题型01 弧长计算 / （1）套用公式：；找准圆心角n、圆半径r，分段弧长拆分求和； （2）易错：公式带半径平方；优弧错用劣弧角度；直径代替半径代入计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽安庆·二模）在半径为6的圆中，圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26六年级下·上海金山·期中）如图，上海市某处A位于北纬（即），东经，大连市某处B位于北纬（即），东经．设地球的半径约为R千米，则在东经所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（     ）千米 A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·二模）如图，正五边形的边长为，点、在上，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型02 扇形半径计算 / （1）弧长、扇形面积公式逆推求解；扇形半径=所在圆外接半径，结合方程计算； （2）易错：混淆扇形半径、圆锥底面半径；逆解方程计算失误。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 题型03 圆心角计算 / （1）由弧长、扇形面积公式变形：；结合圆周角、平角辅助计算； （2）易错：公式变形记错；混淆扇形圆心角、圆周角；角度换算出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，如果甲扇形所在的弧长是60厘米．乙扇形所在的弧长是40厘米，则甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大______度． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则扇形圆心角的度数为 ______． 题型04 扇形面积计算 / （1）两套公式：；按需择优简化运算； （2）易错：弧长、扇形面积公式混用；漏乘系数、半径忘记平方。 典｜例｜精｜析 1．（2026·重庆·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东珠海·三模）如图，点A，B，C是上的点，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林四平·三模）如图，在等边中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和）． 3．（2026·甘肃白银·三模）如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积为________． 题型05 求图形旋转所扫过面积 / 定点旋转扫过扇形/圆环；找准旋转中心、旋转角度、旋转半径，套扇形面积公式。 典｜例｜精｜析 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上．结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的； (2)画出将绕点O顺时针旋转后的，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 2．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，． (1)将向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转后得到，请写出的坐标_____； (3)在（）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 题型06 求弓形面积 / （1）劣弓形：扇形面积−三角形面积； （2）优弓形：扇形面积+三角形面积。 典｜例｜精｜析 1．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南漯河·二模）如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 题型07 不规则图形面积计算 / （1）割补法、和差法、平移旋转法；转化为扇形、圆、三角形规则图形求解； （2）易错：图形分割错误；重叠区域重复计算；多余面积未扣除。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西长治·二模）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧交边于点，以为圆心，为半径画弧交边于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D．4 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西大同·三模）如图，在扇形中，，，M为的中点，将扇形绕点M顺时针旋转得到扇形，连接，当时，阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·二模）如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____． 3．（25-26九年级下·湖南湘西·期中）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． (1)判断与的位置关系并证明； (2)若的半径为4，求阴影部分的面积 题型08 圆锥底面半径、母线相关计算 / 母线=扇形半径；底面圆周长=侧面扇形弧长；建立等式：。 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南红河·一模）如图，扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·二模）某圆锥的侧面积是，底面圆的直径为，则此圆锥的母线长为_____． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东烟台·一模）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径是________． 题型09 圆锥侧面积与全面积计算 / （1）侧面积：； （2）全面积：（侧+底）。 典｜例｜精｜析 1．（2026·浙江丽水·二模）如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，，将绕直角边所在直线旋转一周后得到一个立体图形，它的侧面展开图面积是__________． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图． (1)根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）； (2)请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷的表面积． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 题型10 扇形、圆锥实际应用题 / （1）提取题干半径、角度等量关系；贴合实物模型，对应圆锥、扇形公式列式求解。 （2）易错：脱离实际模型理解题意；单位不统一；取舍、取值不符合实际题意。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽合肥·三模）2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为，、的长均为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 3．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.7 扇形 知识点一 弧长公式 1. 在半径为 R的圆中，弧长与所对的圆心角度数n之间的关系如下： 即学即练 1．（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在圆上取点，连接，，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接，， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 2．（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】利用弧长公式（n为弧对应的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）来计算和的长，相减即可求解． 【详解】解：米， 米， 隔离带外侧的长比内侧的长多米． 知识点二 扇形的基本概念及面积公式 1. 1. 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 扇形是圆的一部分，由两条半径 + 一段弧围成。 2. 公式一（知圆心角、半径）： 公式二（知弧长、半径，超级常用）： 记忆技巧：和三角形面积公式结构一致，弧长相当于底，半径相当于高。 3. 常见圆心角对应数值（快速秒杀）： 半圆：弧长为圆周长一半，面积为圆面积一半 四分之一圆：弧长、面积均为整体的 六分之一圆：对应正六边形分割扇形 4. 弓形：由一条弦和它所对的弧围成的图形； 劣弓形面积： 优弓形面积： 即学即练 1．（2026·广东深圳·三模）如图，在直径为2的圆内有一个圆心角为的扇形，其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由勾股定理得出，根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 由勾股定理得， ∴， ∴扇形面积为． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 3．（2026·吉林长春·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 【答案】 【详解】解：该可视区域形成的扇形面积为（平方米）． 知识点三 圆锥侧面积与展开图 1. 核心关系：圆锥侧面展开图是扇形；扇形半径 = 圆锥的母线长；扇形弧长 = 圆锥底面圆周长。 2. 圆锥常用公式（设：母线长，底面半径，高） 勾股关系： 侧面积： 全面积： 3. 圆锥展开图圆心角公式（超好用）：（用于快速求展开扇形的圆心角度数）。 即学即练 1．（2026·云南楚雄·二模）用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“扇形弧长等于圆锥底面圆的周长”列方程即可求解底面半径． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为 ， ∵圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，已知扇形半径为，圆心角为， ∴根据弧长公式和圆的周长公式可得， 化简等式右边得， 解得． 2．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为． 3．（2026·广东广州·二模）如图，已知扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为_______． 【答案】 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：设此圆锥的底面半径为，由题意，得， 解得：， 故此圆锥的底面半径为． 题型01 弧长计算 / （1）套用公式：；找准圆心角n、圆半径r，分段弧长拆分求和； （2）易错：公式带半径平方；优弧错用劣弧角度；直径代替半径代入计算。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽安庆·二模）在半径为6的圆中，圆心角所对的弧长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，弧长为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26六年级下·上海金山·期中）如图，上海市某处A位于北纬（即），东经，大连市某处B位于北纬（即），东经．设地球的半径约为R千米，则在东经所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（     ）千米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆心角为两地的纬度差，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：点A和点B之间的劣弧长约为（千米）． 2．（2026·四川广元·二模）如图，正五边形的边长为，点、在上，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正五边形， ， ， ． 题型02 扇形半径计算 / （1）弧长、扇形面积公式逆推求解；扇形半径=所在圆外接半径，结合方程计算； （2）易错：混淆扇形半径、圆锥底面半径；逆解方程计算失误。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解得到圆的半径． 【详解】解：设此圆弧所在圆的半径为， 圆心角，弧长，弧长公式为， ，解得， 即此圆弧所在圆的半径为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东深圳·二模）如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，曲边三角形的周长为，它可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点．然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形，则的周长为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了与圆有关的计算，等边三角形的性质，通过曲边三角形的周长求出对应扇形的半径是解题关键． 由题意可知曲边三角形的三边为以对应顶点为圆心的扇形的弧，圆心角为，求出对应的半径，即为正三角形的边长，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为： 9． 题型03 圆心角计算 / （1）由弧长、扇形面积公式变形：；结合圆周角、平角辅助计算； （2）易错：公式变形记错；混淆扇形圆心角、圆周角；角度换算出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数． 【详解】解：设此扇形的圆心角为， ∵扇形半径，弧长， ∴， 解得， ∴此扇形的圆心角为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，如果甲扇形所在的弧长是60厘米．乙扇形所在的弧长是40厘米，则甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大______度． 【答案】72 【分析】根据甲、乙两个扇形的弧长，结合甲、乙两个扇形的圆心角度数之和为360度求出甲、乙两个扇形的圆心角度数即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则扇形圆心角的度数为 ______． 【答案】 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】解：设等边三角形的边长为，圆心角， 根据弧长公式，得，解得． 题型04 扇形面积计算 / （1）两套公式：；按需择优简化运算； （2）易错：弧长、扇形面积公式混用；漏乘系数、半径忘记平方。 典｜例｜精｜析 1．（2026·重庆·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东珠海·三模）如图，点A，B，C是上的点，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据圆周角定理求出，然后利用扇形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴扇形的面积为． 2．（2026·吉林四平·三模）如图，在等边中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径作圆，交边于点，交边于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留根号和）． 【答案】 【分析】连接，根据阴影面积等于求解即可． 【详解】解：连接， 因为在等边中，，是边的中点， 所以，，，， 所以， 阴影部分的面积为： ． 3．（2026·甘肃白银·三模）如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆O的直径，C，D是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质，求出的度数，进而求出的度数，再利用扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：连接，如图，则四边形为圆内接四边形， ∵， ∴， ∴， ∵半径为， ∴这块扇形玉石的面积为. 题型05 求图形旋转所扫过面积 / 定点旋转扫过扇形/圆环；找准旋转中心、旋转角度、旋转半径，套扇形面积公式。 典｜例｜精｜析 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上．结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题． (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的； (2)画出将绕点O顺时针旋转后的，直接写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】（1）将三个顶点向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点绕点O顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接，然后写出点的坐标； （3）连接，，首先求出，，然后利用线段扫过的面积求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为； （3）解：如图，连接，， ∴， ∴根据题意得，线段扫过的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到（点，，分别与点A，B，C对应），请在图中画出； (3)在（2）的条件下，求出线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)解：如图，即为所求作的三角形； (2)解：如图，即为所求作的三角形； (3) 【分析】（1）先作出点A，B，C平移后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （2）先作出点A，B，C绕原点顺时针旋转后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （3）先求出，的长，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可知，，， 线段在旋转过程中扫过的面积为． 2．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，． (1)将向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转后得到，请写出的坐标_____； (3)在（）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3) 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据旋转的性质画出图形，再根据图形写出坐标即可； （）如图，阴影部分即为线段在旋转过程中扫过的区域，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为旋转后的图形， 由图可得，点的坐标为； （3）解：如图，阴影部分即为线段在旋转过程中扫过的区域， 由旋转可得， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型06 求弓形面积 / （1）劣弓形：扇形面积−三角形面积； （2）优弓形：扇形面积+三角形面积。 典｜例｜精｜析 1．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 2．（2026·河南漯河·二模）如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点E，由切线性质得，结合推出．利用扇形面积公式得，利用垂径定理和含的直角三角形的性质算出面积为，二者作差即得阴影面积． 【详解】解：连接，过点O作于点E，如下图， ∴， 是的切线， ，即， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径， ∴， ∵，且，， ∴，， ∴， ∴． 题型07 不规则图形面积计算 / （1）割补法、和差法、平移旋转法；转化为扇形、圆、三角形规则图形求解； （2）易错：图形分割错误；重叠区域重复计算；多余面积未扣除。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西长治·二模）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧交边于点，以为圆心，为半径画弧交边于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，再由计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，． ∴，， ∵点D为的中点， ∴，， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山西大同·三模）如图，在扇形中，，，M为的中点，将扇形绕点M顺时针旋转得到扇形，连接，当时，阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先证明为等边三角形，得出，，再证明点、、三点共线，设与交于点，则，过点作于，则，由勾股定理可得，求出，最后由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵M为的中点，， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴点、、三点共线， 设与交于点，则， 过点作于，则， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·河南郑州·二模）如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____． 【答案】 【分析】连接，过作于，设与相交于，证明是等边三角形，得出，则可求，，，证明四边形是矩形，得出，最后根据求解即可. 【详解】解：连接，过作于，设与相交于， ∵菱形，， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ . 3．（25-26九年级下·湖南湘西·期中）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． (1)判断与的位置关系并证明； (2)若的半径为4，求阴影部分的面积 【答案】(1)相切， 证明：连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴，即， ∴与相切． (2) 【分析】（1）连接，根据，推出，即可得出，再借助三角形内角和定理即可证明； （2）由（1）知，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 题型08 圆锥底面半径、母线相关计算 / 母线=扇形半径；底面圆周长=侧面扇形弧长；建立等式：。 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南红河·一模）如图，扇形的半径是，圆心角为，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形弧长公式求出扇形的弧长，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：扇形的半径为，圆心角为， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 该圆锥的底面圆的半径为． 2．（2026·江苏南京·二模）某圆锥的侧面积是，底面圆的直径为，则此圆锥的母线长为_____． 【答案】 【分析】先求出圆锥的底面周长，再利用圆锥侧面积公式列方程求解母线长． 【详解】解：设此圆锥的母线长为， ∵底面圆的直径为， ∴底面圆的半径， ∴底面圆的周长， ∵圆锥的侧面积公式为， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东烟台·一模）如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（  ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径是________． 【答案】/ 【分析】先根据正多边形的内角公式计算出，进而计算出的长为，因此圆锥的底面圆的半径为． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴的长为， ， 解得， ∴圆锥的底面圆的半径为． 题型09 圆锥侧面积与全面积计算 / （1）侧面积：； （2）全面积：（侧+底）。 典｜例｜精｜析 1．（2026·浙江丽水·二模）如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径，高 在中，由勾股定理得母线长， 圆锥的侧面积． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，，将绕直角边所在直线旋转一周后得到一个立体图形，它的侧面展开图面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，难度较易． 根据勾股定理解得圆锥母线的长，再根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵半径， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图． (1)根据三视图确定此款帐篷可以看作由___________和___________组合而成的几何体（从“圆柱”、“长方体”、“圆锥”、“四棱锥”四个选项中选两项填入）； (2)请根据图中所给数据（单位：）求每顶帐篷的表面积． 【答案】(1)圆柱，圆锥； (2)每顶帐篷的表面积为． 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆锥的侧面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三视图即可判断几何体； （）根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为，然后分别求出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积，最后相加即可． 【详解】（1）解：根据三视图确定此款帐篷可以看作由圆柱和圆锥组合而成的几何体， 故答案为：圆柱，圆锥； （2）解：根据三视图得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆柱的高为， ∴圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， ∴每顶帐篷的表面积， 答：每顶帐篷的表面积为． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由见解析 (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）解：能；理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 题型10 扇形、圆锥实际应用题 / （1）提取题干半径、角度等量关系；贴合实物模型，对应圆锥、扇形公式列式求解。 （2）易错：脱离实际模型理解题意；单位不统一；取舍、取值不符合实际题意。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽合肥·三模）2026年春晚合肥分会场上，科创硬核与翰墨书香的文化底蕴完美交融：“天地矩阵”彰显硬核实力，水墨宣纸铺展，笔走龙蛇，在皖美画卷中绘出一个诗意盎然的中国年．宣扇是一种以宣纸为扇面的传统工艺品（如图），当扇形完全打开后，扇面（扇形）的面积为，、的长均为，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据扇形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 即． 2．（2026·广西桂林·三模）经典歌曲《听妈妈讲那过去的事情》里有一句歌词是“我们坐在高高的谷堆旁边，听妈妈讲那过去的事情．”如图，是一个底面半径为，高为的圆锥形谷堆，则这个谷堆的侧面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先使用勾股定理计算出母线的长，再使用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，， 由圆锥侧面积公式可得，． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏扬州·二模）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 【答案】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）在玉溪特色美食石锅鱼的烹饪中，常使用如图所示圆锥形草帽作为锅盖，既保留食材鲜香又极具地方特色．某手工坊为当地餐馆制作这款草帽锅盖，已知圆锥形草帽的母线长为，侧面积为，则该圆锥形草帽底面圆的半径为_____． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式 （其中 为底面半径， 为母线长），将已知母线长和侧面积代入公式建立方程，解方程即可求出底面半径． 【详解】解：设该圆锥形草帽底面圆的半径为 ． 根据圆锥侧面积公式，得． 方程两边同时除以，得． 3．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解： 是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $