专题 3.1 圆的有关概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆的有关概念”核心知识点，系统梳理圆的动态与静态定义、半径弦直径等基本线段、弧与等弧等曲线概念、圆心角及点与圆的位置关系，通过核心性质汇总构建从定义到性质再到应用的递进学习支架。 资料以“知识梳理+分层题型+同步检测”为设计特色，基础题型夯实概念辨析与基础计算，综合题型结合三角形、最值问题培养几何直观与推理意识，同步检测覆盖选择填空解答，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学眼光观察和思维解决问题的能力。

专题 3.1 圆的有关概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆的定义（两大定义） 1 【知识点二】圆的基本线段（半径、弦、直径） 2 【知识点三】圆的曲线概念（弧、半圆、等弧） 2 【知识点四】圆心角 3 【知识点五】本节全部核心性质汇总 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】圆的定义辨析 3 【题型 2】半径、弦、直径的理解 4 【题型 3】弦、弧、圆心角 5 【题型 4】圆的基础计算与证明 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型 5】利用同圆或等圆的半径相等求值证明 7 【题型 6】圆的基本概念与三角形综合求值证明 7 【题型 7】圆的基本概念与最值问题 9 四.同步检测 10 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆的定义（两大定义） 1. 动态定义 在同一平面内，线段 绕P它固定的一个端点 旋转一周，另一端点 所经过的封闭曲线叫做圆。其中定点 叫做圆心；定长叫做圆的半径。 2. 静态定义（集合定义·考试核心） 圆是同一平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 图形图解：平面内定点O，所有满足 的点P围成一条光滑封闭曲线，即为圆周。 关键区分：圆 =圆周（曲线），不包含内部区域；包含内部的叫圆面。 3. 圆的确定条件 （1）圆心：确定圆的位置；（2）半径：确定圆的大小。 表示方法：以 为圆心的圆记作： 4. 同圆、等圆、同心圆 （1）同圆：圆心相同、半径相同的同一个圆 （2）等圆：半径相等、圆心不同，可完全重合的圆 （3）同心圆：圆心相同、半径不等的多个圆 【知识点二】圆的基本线段（半径、弦、直径） 图形图解：圆中心为O，圆上任意A、B两点。线段OA、OB为半径；连接AB为弦；弦经过圆心O即为直径。 1. 半径： 定义：圆心到圆上任意一点的线段。性质：同圆或等圆中，所有半径全部相等。 2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 3. 直径：经过圆心的弦叫做直径。 核心结论（必考）： （1）直径是圆中最长的弦 （2）直径一定是弦，弦不一定是直径 （3） 【知识点三】圆的曲线概念（弧、半圆、等弧） 图形图解：圆上A、B两点分割圆为两段曲线：短的为劣弧、长的为优弧；刚好一半为半圆。 1. 弧的定义 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，符号：。 2. 弧的三类区分 劣弧：小于半圆，两个字母表示： 半圆：直径所对的弧，不长不短，不属于优、劣弧 优弧：大于半圆，三个字母表示： 3. 等弧（高频易错） 定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 重磅易错：长度相等的弧不一定是等弧（半径不同，弯曲程度不同，无法重合）。 【知识点四】圆心角 图形图解：顶点落在圆心O，两条边分别交圆于两点，形成的夹角即为圆心角。 定义：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。 【知识点三】点与圆的位置关系（重中之重） 图形图解：定点O，半径r。点在圆内部、点刚好落在圆周上、点在圆外部三种位置，通过距离d与r大小判定。 设：圆半径为 ，点到圆心距离为 点在圆内：；点在圆上：；点在圆外： 口诀：内小、上等、外大 【知识点五】本节全部核心性质汇总 1. 同圆或等圆中，所有半径相等、所有直径相等； 2. 直径是圆中最长的弦； 3. 圆上任意点到圆心距离恒等于半径； 4. 等圆半径相等，大小、形状完全相同； 5. 圆心角、弧、弦的等量关系仅限同圆/等圆。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆的定义辨析 【例题1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【变式2】（吉林省松原市宁江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为______． 【变式3】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【题型 2】半径、弦、直径的理解 【例题2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： （1）过点A作⊙O的直径AD； （2）过点B作⊙O的半径； （3）过点C作⊙O的弦． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【题型 3】弦、弧、圆心角 【例题3】（24-25九年级上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦 C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【变式1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【题型 4】圆的基础计算与证明 【例题4】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 【变式2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】利用同圆或等圆的半径相等求值证明 【例题5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【变式1】（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江宁波·三模）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC边的中点O为圆心，BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连结PD，PE，则∠DPE=______． 【变式3】（23-24九年级上·湖北宜昌·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【题型 6】圆的基本概念与三角形综合求值证明 【例题6】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． （1）求证：； （2）如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 【题型 7】圆的基本概念与最值问题 【例题7】（2024·北京·模拟预测）已知：如图①，是半圆的直径，点是的中点，点在半圆上运动（不与点重合），若，设线段的长为的面积为，回答下列问题： （1）x的取值范围是_____； （2）当_____时，为等腰三角形； （3）当_____时，有最大值，最大值为______； （4）图②是根据满足条件的的值所画出的图象，则直线与图象有______个公共点，公共点的坐标为______． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（2025·河南南阳·三模）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ______，最大值为 ______    【变式3】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）在中，直径，是弦，，点P在上，点Q在上，且． （1）如图1，当时，求的长度； （2）如图2，当点P在上移动时，求长的最大值． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．（25-26九年级上·天津红桥·期末）如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 10．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 11．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，是的直径，点在上，，，则______． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则______． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为_________ 14．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为______． 15．（25-26九年级上·北京·期中）如图，等腰的顶角，以为直径的半圆分别交于点D，E．则是______度． 16．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．    18．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的弦，，，垂足分别为M、N，且． （1）与相等吗？为什么？ （2）判断与是否相等，并说明理由． 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接并延长交于点D，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20．（2024·广东江门·模拟预测）综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． （3）求证：是定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 圆的有关概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆的定义（两大定义） 1 【知识点二】圆的基本线段（半径、弦、直径） 2 【知识点三】圆的曲线概念（弧、半圆、等弧） 2 【知识点四】圆心角 3 【知识点五】本节全部核心性质汇总 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】圆的定义辨析 3 【题型 2】半径、弦、直径的理解 5 【题型 3】弦、弧、圆心角 8 【题型 4】圆的基础计算与证明 9 三.题型精析（综合提升） 12 【题型 5】利用同圆或等圆的半径相等求值证明 12 【题型 6】圆的基本概念与三角形综合求值证明 15 【题型 7】圆的基本概念与最值问题 20 四.同步检测 25 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 36 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆的定义（两大定义） 1. 动态定义 在同一平面内，线段 绕P它固定的一个端点 旋转一周，另一端点 所经过的封闭曲线叫做圆。其中定点 叫做圆心；定长叫做圆的半径。 2. 静态定义（集合定义·考试核心） 圆是同一平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 图形图解：平面内定点O，所有满足 的点P围成一条光滑封闭曲线，即为圆周。 关键区分：圆 =圆周（曲线），不包含内部区域；包含内部的叫圆面。 3. 圆的确定条件 （1）圆心：确定圆的位置；（2）半径：确定圆的大小。 表示方法：以 为圆心的圆记作： 4. 同圆、等圆、同心圆 （1）同圆：圆心相同、半径相同的同一个圆 （2）等圆：半径相等、圆心不同，可完全重合的圆 （3）同心圆：圆心相同、半径不等的多个圆 【知识点二】圆的基本线段（半径、弦、直径） 图形图解：圆中心为O，圆上任意A、B两点。线段OA、OB为半径；连接AB为弦；弦经过圆心O即为直径。 1. 半径： 定义：圆心到圆上任意一点的线段。性质：同圆或等圆中，所有半径全部相等。 2. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 3. 直径：经过圆心的弦叫做直径。 核心结论（必考）： （1）直径是圆中最长的弦 （2）直径一定是弦，弦不一定是直径 （3） 【知识点三】圆的曲线概念（弧、半圆、等弧） 图形图解：圆上A、B两点分割圆为两段曲线：短的为劣弧、长的为优弧；刚好一半为半圆。 1. 弧的定义 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，符号：。 2. 弧的三类区分 劣弧：小于半圆，两个字母表示： 半圆：直径所对的弧，不长不短，不属于优、劣弧 优弧：大于半圆，三个字母表示： 3. 等弧（高频易错） 定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 重磅易错：长度相等的弧不一定是等弧（半径不同，弯曲程度不同，无法重合）。 【知识点四】圆心角 图形图解：顶点落在圆心O，两条边分别交圆于两点，形成的夹角即为圆心角。 定义：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。 【知识点三】点与圆的位置关系（重中之重） 图形图解：定点O，半径r。点在圆内部、点刚好落在圆周上、点在圆外部三种位置，通过距离d与r大小判定。 设：圆半径为 ，点到圆心距离为 点在圆内：；点在圆上：；点在圆外： 口诀：内小、上等、外大 【知识点五】本节全部核心性质汇总 1. 同圆或等圆中，所有半径相等、所有直径相等； 2. 直径是圆中最长的弦； 3. 圆上任意点到圆心距离恒等于半径； 4. 等圆半径相等，大小、形状完全相同； 5. 圆心角、弧、弦的等量关系仅限同圆/等圆。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】圆的定义辨析 【例题1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的定义；根据圆的定义，定点为圆心，点到的距离为定长，即半径． 解：由圆的定义可知，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点为圆心，定长为半径，故半径为． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【变式2】（吉林省松原市宁江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）关于“圆的定义”，在我国古代就有记载，战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，就有“圆，一中同长也”的记载，这句话里的“中”字的意思可以理解为______． 【答案】中心（圆心） 【分析】此题考查了圆的认识，根据半径的含义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；在同圆或等圆中，所有的半径都相等；由此判断即可． 解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故答案为：中心（圆心） 【变式3】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 【题型 2】半径、弦、直径的理解 【例题2】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： （1）过点A作⊙O的直径AD； （2）过点B作⊙O的半径； （3）过点C作⊙O的弦． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 解：（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 【变式2】（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 【题型 3】弦、弧、圆心角 【例题3】（24-25九年级上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦 C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大．利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意； B、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意； C、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意； D、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案． 解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确； ②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误； ③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误； ④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误； ⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确； ⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确 ∴正确的说法有①⑤⑥，共3个． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 【题型 4】圆的基础计算与证明 【例题4】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的半径是1，点A、B在上，弦，则___________度． 【答案】60 【分析】本题考查了圆的基本性质和等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定是解决本题的关键． 根据题意可得，进而可证是等边三角形，即可求出的度数． 解：∵的半径是1， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 【变式2】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 【变式3】（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：的半径为， ， ，， ； （2） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 三.题型精析（综合提升） 【题型 5】利用同圆或等圆的半径相等求值证明 【例题5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上． 【答案】见分析 【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论． 解：证明：连接，． 分别是的高，为的中点， ， ∴点在以点为圆心的同一圆上． 【点拨】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键． 【变式1】（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 【变式2】（2024·浙江宁波·三模）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，以BC边的中点O为圆心，BC长为半径画圆，该圆分别交AB，AC边于点D，E，P是圆上一动点（与点D，E不重合），连结PD，PE，则∠DPE=______． 【答案】170°或10° 【分析】连接OD，OE，求出∠DOE，再分当点P在优弧DBE上时和当点P在劣弧DE上时，分别求出∠DPE即可． 解：连接OD，OE， ∵∠A=80°，AB=AC， ∴∠B=∠C=（180°-80°）=50°， ∵OD=OB=OC=OE， ∴∠ODB=∠B=∠C=∠OEC=50°， ∴∠BOD=∠COE=80°， ∴∠DOE=20°， 当点P在优弧DBE上时，∠DP1E=∠DOE=10°， 当点P在劣弧DE上时，∠DP2E=180°-∠DP1E=170°， ∴∠DPE=170°或10°， 故答案为：170°或10°． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角，圆周角定理，理解题意，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·湖北宜昌·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】详见分析 【分析】先根据题意画出图形，然后再根据矩形的性质得到AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，进而说明OA=OB=OC=OD即可证明． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD， ∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．. 【点拨】本题主要考查了圆内接四边形、矩形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等，圆的半径相等． 【题型 6】圆的基本概念与三角形综合求值证明 【例题6】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】（1）5；（2）24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 解：（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，圆的基本性质，连接，由作图方法可知，垂直平分，则，设的半径为，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 解：如图所示，连接， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴设的直径为， 故选：C． 【变式2】（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． （1）求证：； （2）如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）①；② 【分析】本题考查圆的基本概念，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题意，，，根据等腰三角形的性质和对顶角相等，可证明，结合，命题得证； （2）①设，表示出、、，在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可； ②过点作于点，先利用三角形面积公式计算出，再求的面积即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设，则， ， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）． ∴． ∴圆O的半径为； ②如图，过点作于点， ，即． ∴， ∵， ∴． 【题型 7】圆的基本概念与最值问题 【例题7】（2024·北京·模拟预测）已知：如图①，是半圆的直径，点是的中点，点在半圆上运动（不与点重合），若，设线段的长为的面积为，回答下列问题： （1）x的取值范围是_____； （2）当_____时，为等腰三角形； （3）当_____时，有最大值，最大值为______； （4）图②是根据满足条件的的值所画出的图象，则直线与图象有______个公共点，公共点的坐标为______． 【答案】（1）；（2）；（3），1；（4）1， 【分析】（1）根据圆的有关概念分别求出、的长，根据三角形的三边关系即可得答案； （2）根据（1）中的取值范围，结合、的长即可得答案； （3）过点作于，用表示出的面积，根据圆的概念得出时，即时的面积最大，利用勾股定理可求出的长，即可得答案； （4）根据及可得时只有于的一种情况，利用勾股定理求出的长，代入求出值即可得答案． 解：（1）解：∵，是半圆的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： （2）∵，，， ∴当时，为等腰三角形． 故答案为： （3）如图，过点作于， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∴当时，即时的面积最大， ∴，， ∴，有最大值为． 故答案为：， （4）∵， ∴当时，， ∵，，， ∴当时只有如图于的一种情况， ∴直线与图象有个公共点， ∴， 当时，， ∴交点坐标为． 故答案为： 【点拨】本题考查圆的概念、三角形的三边关系、等腰三角形的定义、勾股定理及一次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 【变式2】（2025·河南南阳·三模）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ______，最大值为 ______    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，将绕点逆时针旋转得，连接，证明，则，故点在以圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，将绕点逆时针旋转得，连接，   ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，    当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为． 故答案为：，． 【变式3】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段检测）在中，直径，是弦，，点P在上，点Q在上，且． （1）如图1，当时，求的长度； （2）如图2，当点P在上移动时，求长的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接．利用锐角三角函数解求出，再用勾股定理解即可求出； （2）连接．由勾股定理得，可知的长最小时，的长最大，此时，根据含30度角的直角三角形的性质求出的最小值，即可求解． 解：（1）解：如图，连接．   ，， ， 直径， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接．    在中， ∴， 当的长最小时，的长最大，此时， ， ∴， ∴长的最大值为． 【点拨】本题考查解直角三角形，勾股定理，圆的基本性质，含30度角的直角三角形的性质等，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 5．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 6．（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 8．（25-26九年级上·天津红桥·期末）如图，在以为直径的中，为上一点．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧（弧所在圆的半径相等）相交于点；画直线与相交于点，连接．若，则线段的长为（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查作垂线，勾股定理，圆的相关定义，根据作图得到，然后根据勾股定理求出长，然后再在中求出长即可． 解：连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，圆的认识，解题的关键是理解圆的定义． 利用圆的定义进行回答． 解：平面上到点的距离为的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：以为圆心，为半径的圆． 10．（2026·北京东城·一模）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，是的直径，点在上，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键，先证明得出，再利用直径所对圆周角是90度得出，即可求解． 解：在中，，     在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，为的直径，点，在上，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质求得的度数，根据 ，等边对等角得到的度数． 解：， ， ， ． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为_________ 【答案】 【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可． 解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦， ∴，，， ∴，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，若为直角三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由于是的直径，则，而，可得，根据等腰三角形的性质得到，又由于为直角三角形，而，所以为等腰直角三角形，于是可得，利用三角形外角性质有，则． 解：∵是的直径， ∴， 而， ∴， ∴， ∵为直角三角形，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·北京·期中）如图，等腰的顶角，以为直径的半圆分别交于点D，E．则是______度． 【答案】50 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有，再由等腰三角形的性质得的度数． 解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：50． 16．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，取的中点，连接，证明，即可证明，从而，得在以为圆心，为半径的半圆上运动，故当共线时，最小，此时，即可得最小为． 本题考查旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出的轨迹． 解：延长到，使，连接，取的中点，连接，如图： 四边形是正方形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当共线时，最小， 如图： ， ， 最小为； 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．    【答案】证明见详解 【分析】根据矩形的性质，证明、、、到的距离相等即可． 解：证明：四边形是矩形 ∴、且、， ， 、、、个点在以为圆心，为半径的圆上． 【点拨】本题考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分． 18．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的弦，，，垂足分别为M、N，且． （1）与相等吗？为什么？ （2）判断与是否相等，并说明理由． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴．    【分析】（1）根据垂直的定义得到，再由可证明，由此可得； （2）如图所示，连接，证明得到，同理得到，由此即可得到结论． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题主要考查了圆的基本形状，全等三角形的性质与判定，等角对等边等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的弦，分别以点A、B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连接并延长交于点D，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接、， 由作法可知，， 又∵，， ∴ ∴． （2）2 【分析】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接、，由作法可知，，再证明，即可证明结论； （2）先根据角的比例以及（1）的结论可得为等腰直角三角形，再结合利用勾股定理可得，最后结合即可解答． 解：（1）略 （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（2024·广东江门·模拟预测）综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． （3）求证：是定值． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点． ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）存在，1； （3）证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H． 设，则． 由，得， ． ， ， ， 是定值． 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理： （1）道德证明四边形是矩形，得，同理可证，得出四边形是平行四边形． （2）根据点A是上的点，，得出，由得出； （3）过点作于点．设，则，求出，，计算出，进一步可得出结论 解：（1）略 （2）解：存在，线段的长度不变． ∵点A是上的点， 在矩形中，． ， ． （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $