专题 2.1 认识一元二次方程（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦一元二次方程，系统梳理定义（含整式方程、单未知数、最高次2及二次项系数非0条件）、一般形式（各项系数含符号）、解（根的概念及代入求参数）、近似求解（夹值估算法）及实际模型（几何面积、勾股定理等），构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于题型精析分层设计，例题与变式涵盖基础到中档题，结合各地期末真题，培养抽象能力与推理意识。近似求解题型通过夹值估算强化估算能力，实际模型题提升模型意识。课中辅助教师分层教学，课后同步检测助学生查漏补缺，巩固知识。

专题 2.1 认识一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】一元二次方程的定义 1 【知识点二】一元二次方程的一般形式 1 【知识点三】一元二次方程的解（根） 2 【知识点四】一元二次方程的近似求解 2 【知识点五】列一元二次方程的常见实际模型（教材原题场景） 2 二.题型精析 2 【题型 1】一元二次方程的识别与判定（基础必考） 2 【题型 2】化为一般形式并确定各项系数（教材基础题型） 4 【题型 3】根据定义求参数取值范围（中档重点） 7 【题型 4】利用方程的根求参数（核心高频） 8 【题型 5】利用方程的根求式子的值（整体思想） 10 【题型 6】估算一元二次方程的近似根（北师版特色题型） 12 三.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 22 一.知识梳理解读 【知识点一】一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 【要点提示】构成一元二次方程的条件（1）整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）；（2）只含一个未知数；（3）未知数最高次数为2，且化简后二次项系数不为0。 【知识点二】一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程都可以化为统一形式：，其中：是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；是常数项。 【要点提示】各项系数、常数项均包含前面的符号；是核心条件，可以为0。 【知识点三】一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。一元二次方程最多有两个实数根。 核心用法：已知方程的根，直接代入方程可求参数的值。 【知识点四】一元二次方程的近似求解 夹值估算法，用于估算一元二次方程的近似根： 1. 列表代入数值，计算代数式的值； 2. 锁定代数式的值由正变负或由负变正的自变量区间； 3. 逐步缩小区间，得到符合精度的近似解。 【知识点五】列一元二次方程的常见实际模型（教材原题场景） 1. 几何面积模型：矩形、正方形裁剪、道路留白、边框宽度问题； 2. 勾股定理模型：梯子滑动、直角三角形边长问题； 3. 数字问题：连续整数、平方关系问题； 4. 增长率、数量变化基础模型。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程的识别与判定（基础必考） 【例题1】（第04讲一元二次方程-华东师大版九年级上册课中及课后分层同步练）一元二次方程有哪些特点？ 【答案】① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次项次数是2；③整式方程 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，进行求解即可 解：根据一元二次方程的定义可知一元二次方程的特点有：①只含有一个未知数；②未知数的最高次项的次数为2；③整式方程． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的特点，解题的关键在于能够熟知一元二次方程的定义． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 解：①是一元二次方程； ②中有2个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程； ⑤，即不是一元二次方程； ⑥是一元二次方程； 综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是． 【题型 2】化为一般形式并确定各项系数（教材基础题型） 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）关于x的方程． 【答案】（1），二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0；（2），二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 解：（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），二次项系数为，一次项系数为，常数项；（2），二次项系数为，一次项系数为，常数项；（3），二次项系数为，一次项系数为，常数项；（4），二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 解：（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【题型 3】根据定义求参数取值范围（中档重点） 【例题3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 解：（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 【变式1】（25-26九年级上·四川德阳·开学考试）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·福建南平·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次数为且二次项系数不为，列方程求解． 解：由一元二次方程的定义，得且． 解，得， 所以． 又由，得， 因此． 故答案为． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】（1），二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11；（2）或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 解：（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【题型 4】利用方程的根求参数（核心高频） 【例题4】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 将代入方程得关于m的方程，求解即可． 解：根据题意将代入方程可得， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 【变式2】（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．把代入一元二次方程即可求得的值． 解：关于的一元二次方程的一个根为， ，解得． 【题型 5】利用方程的根求式子的值（整体思想） 【例题5】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义． 根据方程解的定义求出，整体代入求解． 解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据一元二次方程的解的定义得出，整体代入即可求解． 解： ∵a是关于x的方程的根， ∴ ∴ ∴原式 【题型 6】估算一元二次方程的近似根（北师版特色题型） 【例题6】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】（1）见分析；（2）矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 解：（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9（答案不唯一） 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： （1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； （2）请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】（1）；（2）求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 解：（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式，其中为二次项系数，为一次项系数，再对应找出系数即可得到答案． 解：原方程为， 将方程移项整理为一般形式得或， 整理后可得，二次项系数和一次项系数为或． 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 7．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 10．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 解： ， 原方程化为一般形式为． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 12．（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知和是方程的两个解，则的值为______ ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2030． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 15．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 16．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）当为何值时，方程 （1）是关于的一元一次方程． （2）是关于的一元二次方程． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 解：（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． （1）当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】（1）一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7；（2）当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 解：（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 19．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先通分计算括号内部分，将除法转化为乘法约分化简，最后求出方程的解并代入最简式计算结果 ． 解： 原式 ； 解方程，得 ， 解得或， 原分式各分母不能为，因此且，舍去，得， 将代入化简后的式子，得原式． 20．（2026·广东广州·三模）已知 ． （1）化简； （2）若为方程的解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 认识一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】一元二次方程的定义 1 【知识点二】一元二次方程的一般形式 1 【知识点三】一元二次方程的解（根） 2 【知识点四】一元二次方程的近似求解 2 【知识点五】列一元二次方程的常见实际模型（教材原题场景） 2 二.题型精析 2 【题型 1】一元二次方程的识别与判定（基础必考） 2 【题型 2】化为一般形式并确定各项系数（教材基础题型） 3 【题型 3】根据定义求参数取值范围（中档重点） 3 【题型 4】利用方程的根求参数（核心高频） 4 【题型 5】利用方程的根求式子的值（整体思想） 4 【题型 6】估算一元二次方程的近似根（北师版特色题型） 4 三.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理解读 【知识点一】一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 【要点提示】构成一元二次方程的条件（1）整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）；（2）只含一个未知数；（3）未知数最高次数为2，且化简后二次项系数不为0。 【知识点二】一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程都可以化为统一形式：，其中：是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；是常数项。 【要点提示】各项系数、常数项均包含前面的符号；是核心条件，可以为0。 【知识点三】一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。一元二次方程最多有两个实数根。 核心用法：已知方程的根，直接代入方程可求参数的值。 【知识点四】一元二次方程的近似求解 夹值估算法，用于估算一元二次方程的近似根： 1. 列表代入数值，计算代数式的值； 2. 锁定代数式的值由正变负或由负变正的自变量区间； 3. 逐步缩小区间，得到符合精度的近似解。 【知识点五】列一元二次方程的常见实际模型（教材原题场景） 1. 几何面积模型：矩形、正方形裁剪、道路留白、边框宽度问题； 2. 勾股定理模型：梯子滑动、直角三角形边长问题； 3. 数字问题：连续整数、平方关系问题； 4. 增长率、数量变化基础模型。 二.题型精析 【题型 1】一元二次方程的识别与判定（基础必考） 【例题1】（第04讲一元二次方程-华东师大版九年级上册课中及课后分层同步练）一元二次方程有哪些特点？ 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·北京·课后作业）判断下列方程是否为一元二次方程： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【题型 2】化为一般形式并确定各项系数（教材基础题型） 【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）关于x的方程． 【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 3】根据定义求参数取值范围（中档重点） 【例题3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式1】（25-26九年级上·四川德阳·开学考试）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26九年级上·福建南平·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是______． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【题型 4】利用方程的根求参数（核心高频） 【例题4】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）若是关于的方程的一个解，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【变式2】（25-26八年级下·北京石景山·期末）若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值． 【题型 5】利用方程的根求式子的值（整体思想） 【例题5】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【变式2】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 【题型 6】估算一元二次方程的近似根（北师版特色题型） 【例题6】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【变式1】（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【变式3】（25-26七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： （1）结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； （2）请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）一元二次方程的一次项系数是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级·全国·暑假作业）若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 6．（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 7．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·广东深圳·三模）已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 10．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）把方程化为一般形式是__________． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 12．（25-26九年级上·江苏常州·期末）已知和是方程的两个解，则的值为______ ． 13．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知，是方程的两个根，则_______． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 15．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 16．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）当为何值时，方程 （1）是关于的一元一次方程． （2）是关于的一元二次方程． 18．（25-26九年级上·云南怒江·期中）已知关于的方程． （1）当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． （2）当为何值时，此方程是一元一次方程？ 19．（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． 20．（2026·广东广州·三模）已知 ． （1）化简； （2）若为方程的解，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $