专题05 一元二次方程的解法（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，明确降次基本思想，理清各方法适用题型及推导逻辑，为后续二次函数学习奠定基础。 资料以解法选择策略为主线，通过典例与变式训练提升运算能力，结合配方法思想渗透与根的判别式应用培养推理意识，融入“换元法”“分式方程转化”等题型发展创新意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生自主巩固，有效规避运算错误。

专题05 一元二次方程的解法 1、熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，理清各类方法适用题型。 2、理解求根公式推导过程，能够灵活选择简便方法求解一元二次方程，提升运算效率。 3、掌握配方法的通用步骤，理解配方思想，为后续二次函数学习铺垫基础。 4、规范解方程书写步骤，准确检验运算结果，规避漏解、符号运算等常见计算错误。 1. 解一元二次方程的基本思想——降次：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解 四种基本解法： 解法 地位说明 直接开平方法 最基础的方法，适用范围最小 配方法 公式法的基础，求根公式通过配方法推导得来 公式法 通用方法，适用于任意一元二次方程 因式分解法 适用范围较大，计算简便，是首选方法 2. 直接开平方法：根据平方根的定义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 适用类型: 形如以下两类方程可用直接开平方法： 或 解题步骤: 1) 将方程化为 或 的形式； 2) 直接开平方，化为两个一元一次方程； 3) 解两个一元一次方程，得到原方程的解。 解的情况: 若 ，方程有两个不相等的实数根： 若 ，方程有两个相等的实数根： 若 ，方程无实数根 3. 配方法: 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 1) 理论依据:完全平方公式：。 2) 解题步骤（以 为例）: 步骤 操作 ①移项 把常数项移到等号的右边 ②化系数为1 二次项系数化为1（若不为1） ③配方 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 ④开平方 左边配成完全平方式，右边合并后开平方 ⑤求解 解两个一元一次方程 3) 配方法的应用: 解一元二次方程; 用于比较大小 4. 公式法: 求根公式: 对于一元二次方程 （）， 公式法的地位: 公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于任意一个一元二次方程 公式法是配方法的一般化和程式化 求根公式是通过配方法推导出来的 解题步骤: 把一元二次方程化为一般形式 ； 确定 、、 的值（要注意符号）； 求出 的值； 若 ，代入求根公式求出解；若 ，则方程无实数根。 一元二次方程根的判别式: 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 💡 判别式的重要用途：不解方程，直接判断方程根的情况。 5. 因式分解法: 1. 定义:当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解方程转化为解两个一元一次方程，这种解法叫做因式分解法。 2. 理论依据:两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0。 3. 解题步骤: 将方程右边化为0； 将方程左边分解为两个一次式的积； 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 4. 常用因式分解方法:提取公因式法 ;公式法（平方差公式、完全平方公式）;十字相乘法 5. 因式分解法的优势:因式分解法适用范围较大，且计算简便，是解一元二次方程的首选方法。 6. 解法的选择策略: 选择顺序 在没有规定方法的前提下，应按以下顺序选择： "直接开平方法"→"因式分解法"→"公式法" 配方法在没有特别说明时，一般不用。 各方法适用情况对比 方法 适用范围 特点 直接开平方法 形如 或 最简单，但适用范围小 因式分解法 方程右边为0，左边可分解因式 计算简便，首选 公式法 所有一元二次方程 通用，但计算较繁 配方法 所有一元二次方程 使用较少，但思想重要 💡 判断技巧： 时优先考虑直接开平方法 时优先考虑因式分解法（提取公因式） 二次三项式可分解时优先考虑因式分解法（十字相乘） 其他情况用公式法 题型01解一元二次方程——直接开平方法 【典例】阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： (1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． (2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． （1）直接利用直接开平方法解方程即可； （2）先用完全平方公式将方程左边因式分解，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：开方得：或 解得：或； （2）解： 或 解得：或． 【变式】爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 题型02解一元二次方程——配方法 【典例】若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 【变式】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 题型03配方法的应用 【典例】把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 【变式】【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 题型04公式法解一元二次方程 【典例】用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 【变式】【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 题型05根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例】下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 【变式】已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 题型06根据一元二次方程根的情况求参数 【典例】现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 【变式】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 题型07因式分解法解一元二次方程 【典例】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （2）令，依照材料提供的方法解答即可； （3）令，根据完全平方公式变形后进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：令，则 原式 ． （3）解：令，则原式， 当，即时原式取得最小值， 可得， 解得：，． 【变式】小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题可以仿照题干，先利用平方差公式转化，然后将两式相加后再除以2求解，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， ∵ ∴； （2）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． （3）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 整理得， 解得，． ， ∴舍去 ． 题型08换元法解一元二次方程 【典例】已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 【变式】阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 题型09解分式方程（化为一元二次） 【典例】解分式方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 【变式】已知关于的方程无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题先分解分式分母，将分式方程去分母转化为整式方程，分式方程无解分两种情况：一是整式方程无实根，原方程无解；二是整式方程的所有实根都是原分式方程的增根，原方程无解，分别计算得到m的取值范围． 【详解】解：对分母因式分解得 ， 原分式方程若有增根，则满足， 即增根为或 方程化为整式方程得： 即 分情况讨论原方程无解： 情况1：整式方程无实根，原分式方程无解， 计算判别式得， 令，得， 解得 ； 情况2：整式方程有实根，且所有实根都是增根，原分式方程无解， 将代入整式方程得， 解得 此时整式方程另一根为，不是增根，原方程有解，不符合要求； 将代入整式方程得 ， 解得 此时整式方程为，根为，为增根，原方程无解，符合要求 综上，的取值范围是． 【巩固训练】 1．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 2．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 3．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 4．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 5．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 6．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 7．计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上、、三个光点的坐标，如图，光点在直线上运动，当光点与光点之间的距离为时，光点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，在坐标系中描出已知点、、，光点在直线上运动，所以的横坐标为，设点的纵坐标为，过点作于，在直角三角形中利用勾股定理得到关于方程，解出的值即可得到光点的坐标． 【详解】 解 ：， 轴， 的横坐标为， 设点的纵坐标为， 根据题意建立如图所示的坐标系， 过点作于， 则，， 由勾股定理得， ， 或， 光点的坐标为或． 8．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 9．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根 该方程为一元二次方程，且根的判别式 可得 解不等式， 移项得，， 系数化为得，， 综上可得：的取值范围是且． 11．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 13．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 14．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 【详解】解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 15．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得，， 移项并合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解； （2）解：， ， ， ， 解得，． 17．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解： ， ， ， ， ，． 18．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 19．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 20．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 21．已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：设一元二次方程的两根为、， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ，即， ， ∴，， 即， ∴， ，， 即， ， 设，则, ，即为直角三角形． 【分析】（1）由可得，即可得出， （2）根据周长的定义得出，根据线段的和差关系得出，即可得出； （3）设一元二次方程的两根为、，因式分解法解方程得，，根据方程有两个相等的实数根得出，结合得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：与的周长相等， ， ∴， ∵为边上一点， ∴， ∴， ． （3）解：略 22．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 【强化训练】 1．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 2．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 3．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 4．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 5．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 6．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 7．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 8．已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 【答案】 【分析】对两个问题分别按条件列举所有可能的系数组合，结合二次整式恒正的判别式条件逐一判断，统计满足条件的个数即可． 【详解】解：先计算第一个空： 当，时，，满足，，为整数． 满足条件的组合为： ，符合条件； ，符合条件； 时，，不满足，因此共个满足条件的整式； 再计算第二个空： 当，时，，满足，，为整数，且对任意实数，． ， 对任意成立等价于判别式． 按分类讨论： 1. 当时，，，，不满足条件，共0个； 2. 当时，，，得，故； 其中满足的共4个； 3. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共4个； 4. 当时，，，得，故； 所有组合都满足，共3个； 5. 当时，，，仅，满足，共1个； 6. 当时，最小系数和为，无满足条件的组合； 综上，满足条件的整式共个． 9．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时 ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 10．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ）； (2)若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2) (3)或 【分析】（1）根据定义逐一验证数对； （2）根据定义列方程求解； （3）先根据定义得到与的关系，代入目标方程化简后，结合整数解的限制条件求出整数． 【详解】（1）解：①对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； ②对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴是“友好数对”； ③对于数对，，， ∴分式方程为， 解得， 根据定义得， ∵， ∴不是“友好数对”； （2）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 解得，即； （3）∵数对是“友好数对”， ∴，， 根据定义得， 将代入分式方程，得 ， 整理得， 即， 将代入方程，得， 两边同乘得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵方程有整数解，为整数， ∴为整数，即是2的整数约数， ∴或， 解得，，，， ∵，且时，不符合的条件， ∴或． 【点睛】本题为新定义题型，解题核心是紧扣“友好数对”的定义，结合分式方程的求解、整式化简以及整数的性质进行计算． 11．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 【答案】当时，，原式的值为；当时，，原式的值为 【分析】先对原式因式分解化简，根据二次根式的性质，开方后需要保留绝对值，结合的不同取值去掉绝对值，再解一元二次方程得到的两个根，分别代入化简后的式子计算得到结果 【详解】解： 解一元二次方程得： 当时，，则 ∴ 原式 代入，得： 原式； 当时，，则， 原式 代入，， 原式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的解法 1、熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，理清各类方法适用题型。 2、理解求根公式推导过程，能够灵活选择简便方法求解一元二次方程，提升运算效率。 3、掌握配方法的通用步骤，理解配方思想，为后续二次函数学习铺垫基础。 4、规范解方程书写步骤，准确检验运算结果，规避漏解、符号运算等常见计算错误。 1. 解一元二次方程的基本思想——降次：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解 四种基本解法： 解法 地位说明 直接开平方法 最基础的方法，适用范围最小 配方法 公式法的基础，求根公式通过配方法推导得来 公式法 通用方法，适用于任意一元二次方程 因式分解法 适用范围较大，计算简便，是首选方法 2. 直接开平方法：根据平方根的定义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 适用类型: 形如以下两类方程可用直接开平方法： 或 解题步骤: 1) 将方程化为 或 的形式； 2) 直接开平方，化为两个一元一次方程； 3) 解两个一元一次方程，得到原方程的解。 解的情况: 若 ，方程有两个不相等的实数根： 若 ，方程有两个相等的实数根： 若 ，方程无实数根 3. 配方法: 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 1) 理论依据:完全平方公式：。 2) 解题步骤（以 为例）: 步骤 操作 ①移项 把常数项移到等号的右边 ②化系数为1 二次项系数化为1（若不为1） ③配方 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 ④开平方 左边配成完全平方式，右边合并后开平方 ⑤求解 解两个一元一次方程 3) 配方法的应用: 解一元二次方程; 用于比较大小 4. 公式法: 求根公式: 对于一元二次方程 （）， 公式法的地位: 公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于任意一个一元二次方程 公式法是配方法的一般化和程式化 求根公式是通过配方法推导出来的 解题步骤: 把一元二次方程化为一般形式 ； 确定 、、 的值（要注意符号）； 求出 的值； 若 ，代入求根公式求出解；若 ，则方程无实数根。 一元二次方程根的判别式: 的取值 根的情况 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 💡 判别式的重要用途：不解方程，直接判断方程根的情况。 5. 因式分解法: 1. 定义:当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解方程转化为解两个一元一次方程，这种解法叫做因式分解法。 2. 理论依据:两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0。 3. 解题步骤: 将方程右边化为0； 将方程左边分解为两个一次式的积； 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 4. 常用因式分解方法:提取公因式法 ;公式法（平方差公式、完全平方公式）;十字相乘法 5. 因式分解法的优势:因式分解法适用范围较大，且计算简便，是解一元二次方程的首选方法。 6. 解法的选择策略: 选择顺序 在没有规定方法的前提下，应按以下顺序选择： "直接开平方法"→"因式分解法"→"公式法" 配方法在没有特别说明时，一般不用。 各方法适用情况对比 方法 适用范围 特点 直接开平方法 形如 或 最简单，但适用范围小 因式分解法 方程右边为0，左边可分解因式 计算简便，首选 公式法 所有一元二次方程 通用，但计算较繁 配方法 所有一元二次方程 使用较少，但思想重要 💡 判断技巧： 时优先考虑直接开平方法 时优先考虑因式分解法（提取公因式） 二次三项式可分解时优先考虑因式分解法（十字相乘） 其他情况用公式法 题型01解一元二次方程——直接开平方法 【典例】阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： (1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． (2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 【变式】爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 题型02解一元二次方程——配方法 【典例】若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 题型03配方法的应用 【典例】把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【变式】【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 题型04公式法解一元二次方程 【典例】用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【变式】【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 (1)正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 (2)若，求的值； (3)在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 题型05根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例】下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式】已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 题型06根据一元二次方程根的情况求参数 【典例】现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【变式】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 题型07因式分解法解一元二次方程 【典例】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使问题易于解决． 例：把因式分解． 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式． (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为 ； (2)请利用“换元法”将多项式因式分解； (3)当式子取得最小值时，求的值． 【变式】小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 题型08换元法解一元二次方程 【典例】已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【变式】阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 题型09解分式方程（化为一元二次） 【典例】解分式方程：． 【变式】已知关于的方程无解，求的取值范围． 【巩固训练】 1．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 4．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 5．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 7．计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上、、三个光点的坐标，如图，光点在直线上运动，当光点与光点之间的距离为时，光点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 8．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 11．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 12．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 13．方程的解为________． 14．判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 15．定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 16．解方程： (1)； (2)． 17．解方程 (1)； (2)（用配方法）． 18．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 19．【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 20．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 21．已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 22．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【强化训练】 1．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 3．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 5．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 6．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 7．已知，则方程的解集是_______； 8．已知整式，其中…，…且，，，，…，均为整数，n为正整数．若，，则满足条件的整式A共有__________个；若，，且当x为任意实数时，整式A的值都是正数，则满足条件的整式A共有__________个． 9．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 10．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）；②（ ）；③（ ）； (2)若数对是关于的分式方程的“友好数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“友好数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 11．先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $