·2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册7《第2章一元二次方程第3节一元二次方程的根与系数的关系》预习讲义

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系，从一般形式及求根公式切入，通过表格观察猜想、推导验证得出韦达定理，梳理两种标准形式、高频代数式变形及四大应用场景，搭建从基础原理到综合应用的学习支架。 资料以“计算猜想—归纳总结—验证推导”引导探究，培养推理意识，结合菱形面积计算、等腰三角形边长等实例渗透模型意识，分层设计例题与练习，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升知识掌握与数学思维能力。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册7 《第2章一元二次方程第3节一元二次方程的根与系数的关系》预习讲义 一．学习目标 ( 1.熟练掌握一元二次方程的一般形式，自主探究并掌握有实数根的一元二次方程两根之和、两根之积与方程系数之间的关系（韦达定理），明确定理成立的前提条件。 2.能直接运用根与系数的关系，快速求解两根和、两根积、代数式的值；初步学会利用根与系数关系检验方程的根、简单构造一元二次方程，培养整体代入的数学思维。 3.经历 “ 计算猜想 — 归纳总结 — 验证推导 ” 的探究过程，提升观察、归纳、逻辑推理能力，体会数形结合与整体思想在一元二次方程中的应用。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.掌握一元二次方程根与系数的核心关系式； 2.熟练运用关系式进行基础计算与简单应用。 （二） 难点 1.理解根与系数关系的推导过程，牢记判别式 Δ≥ 0的适用前提； 2.灵活运用整体代入思想，求解含两根的复杂代数式的值； 3.区分二次项系数为1和不为1的方程，避免公式套用错误。 ) 三．知识梳理 （一）一元二次方程的根与系数关系推导（基于求根公式） 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1×x2 1 2 3 2 3 2 －1 －2 -3 2 -3 2 2 3 5 6 5 6 －2 －3 -5 6 -5 6 0 3 3 0 3 0 从上表发现，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2，那么x1+x2=，x1×x2=. 一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1.x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知： x1=, x2= =+== =×== 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为：x1+x2=， x1x2= 【归纳】： （1）根与系数关系：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 （2）一元二次方程根根与系数关系.前提： ①定理成立的条件 ②注意公式重的负号与b的符号的区别 （二）两种标准形式公式 1.一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)如果方程有两个实数根，那么 2.简化式（二次项系数为1）：x2+px+q=0，x1+x2=-p， x1x2=q。 （三）高频代数式变形（考试必考） 1. 2. 3. 4. （四）四大基础应用场景 1.不解方程，直接求两根之和、两根之积； 2.已知方程一根，求另一根与方程中字母参数； 3.已知两根数值，构造对应的一元二次方程； 4.结合判别式，根据根的正负、相等、不等限制参数范围。 （五）核心易错前提 韦达定理使用必须同时满足两点： ① a≠0（保证是一元二次方程）； ② △=b2-4ac≥0（保证方程存在实数根，无实根时不能用韦达定理）。 四．经典例题 1.（2025贵阳云岩区期末）已知x1、x2是方程x2-5x+6=0两根，则x1+x2=（ ） A.5 B.-5 C.6 D.-6 【答案】：A 【解析】：a=1，b=-5，x1+x2=-=5 2.（2026贵阳南明区一模）方程2x2+3x-1=0两根之积x1x2=（ ） A. B.- C. D.- 【答案】：D 【解析】：a=2，c=-1，x1x2==- 3.（2025贵阳观山湖区期中）若x1、x2是x2+2x-4=0两根，则x12+x22=（ ） A.12 B.-12 C.8 D.-8 【答案】：A 【解析】：x1+x2=-2，x1x2=-4；x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4+8=12 4.（2026贵阳花溪区二模）方程x2-4x+m=0一根为1，则另一根为（ ） A.3 B.-3 C.4 D.-4 【答案】：A 【解析】：两根和=4，另一根=4-1=3 5.（2025贵阳白云区期末）方程x2+7x-2=0，x1+x2=________。 【答案】：-7 【解析】：x1+x2=-=-7 6.（2026贵阳清镇市三模）3x2-6x=0两根和=________，两根积=________。 【答案】：2；0 【解析】：a=3，b=-6，c=0，x1+x2=-==2，x1×x2==0 例7.已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为 ． 【答案】 例8.关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【解析】设方程的另一个根为，根据题意得，，解得：，∴方程的另一个根为．故答案为：． 例9．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 解：（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴，解得：； （2）∵一元二次方程的两个实根是和，∴，，∵，∴，解得：． 例10．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 解：（1）当时，方程变为，即，∴或，，； （2）根据题意，解得； （3）根据题意得，，而，，， 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025贵阳云岩期中）x2-8x+7=0，x1+x2=（ ） A.-8 B.8 C.7 D.-7 【答案】：B 【解析】：韦达定理直接得和为8 2.（2026贵阳南明二模）3x2-2x-5=0，x1x2=（ ） A. B.- C. D.- 【答案】：D 3.（2026贵阳花溪三模）方程x2+mx-6=0一根为2，另一根=（ ） A.3 B.-3 C.6 D.-6 【答案】：B 【解析】：2×x2=-6，x2=-3 4.（2025贵阳白云期末）下列方程两根和为-3的是（ ） A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-1=0 C.2x2+3x-4=0 D.x2-3x-5=0 【答案】：B 【解析】：B选项x1+x2=-3 5.（2026贵阳清镇一模）方程x2-2kx+k2-1=0两根关系（ ） A.和为2k B.积为k2+1 C.无实根 D.一正一负 【答案】：A 【解析】：x1+x2=2k，△=4k2-4(k2-1)=4>0 6．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】∵，∴，，设，则方程变为，∵，∴设，方程同样变为：，因此，和是方程 的两个根，∴，故选：D． 7.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 【答案】B 【解析】∵a，b是方程x2-x-2028=0的两个实数根，，∴a+b=1，ab=-2028，= Ab+a+b+1=-2028+1+1=-2026. 8.若a满足不等式组则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 【答案】：C 【解析】：解不等式组得a＜－3，∵Δ＝(2a－1)2－4(a－2)(a＋)＝2a＋5，∵a＜－3，∴Δ＝2a＋5＜0，∴方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0没有实数根． （二）填空题 9.（2025贵阳观山湖期中）x1、x2是x2+2x-7=0，(x1+1)(x2+1)=________ 【答案】：-8 【解析】：(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-2-7+1=-8 10.（2026贵阳花溪一模）方程2x2+bx+1=0一根为1，b=________ 【答案】：-3 【解析】：2+b+1=0，b=-3 11.（2025贵阳白云期中）x1+x2=4，x1x2=-5，方程为________ 【答案】：x2-4x-5=0 【解析】：逆用韦达定理构造方程 12.（2025·盐城亭湖期末）方程3x2-6x=0，x1+x2=___，x1x2=___ 【答案】：2；0 【解析】：化为标准式3x2-6x+0=0，x1+x2=-=2，x1x2==0。 13.（2026·盐城滨海一模）x1、x2是x2-3x+1=0两根，则=___ 【答案】：3 【解析】：原式==3。 14．一元二次方程x2＝x－1的根的情况是__________________． 【答案】有两个相等的实数根　 【解析】将原方程化为一般形式得x2－x＋1＝0， 因为Δ＝(－)2－4××1＝0，所以原方程有两个相等的实数根． 15．若关于x的方程kx2－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】k≥－6　 【解析】k＝0时，－4x－＝0，解得x＝－，符合题意；当k≠0时，方程kx2－4x－＝0是一元二次方程，根据题意可得Δ＝16－4k×(－)≥0，解得k≥－6，k≠0，综上k≥－6. 16.直线y=x-a不经过第二象限，且关于x的方程ax2-2x+1=0有实数解，则a的取值范围是_____________________. 【答案】0≤a≤1 【解析】∵直线y=x-a不经过第二象限，∴-a≤0，即a≥0，①当a=0时，一元一次方程-2x+1=0有实数解x=，满足情况.②当a＞0时，一元二次方程ax2-2x+1=0有实数解，Δ=4-4a≥0，解得a≤1，综上可得，0≤a≤1 （三）解答题 17．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 解：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0∴m＝2，∴x2+2x＝0，∴x＝0或x＝﹣2， 即方程的另一根是﹣2； （2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，∴m＜3，∵m为正整数，∴m＝1，2． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 解：（1）①分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，解得：x＝4或x＝﹣3，∵4≠﹣3+1， ∴x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”； ②分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，∵5＝4+1， ∴x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”； （2）分解因式得：（x+m）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣m或x＝1，∵方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程，∴﹣m＝1+1或﹣m＝1﹣1，∴m＝0或﹣2． 19．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD． （1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长． 解：（1）平行四边形ABCD为菱形，理由如下：解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8， ∵AC＜BD，∴AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，CO＝3，∵32+42＝52，∴BO2+CO2＝BC2， ∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形： （2）∵四边形ABCD为菱形：∴AE•BC＝BD，∴5AE＝，∴AE＝， ∴BE＝＝＝1.4．故BE的长为1.4． 20.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值; (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长. 解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根, ∴Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=4(m+1)2-4(m2+5)=4m2+8m+4-4m2-20=8m-16≥0,解得m≥2. 根据根与系数的关系,得又∵(x1-1)(x2-1)=28, ∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=m2+5-2m-2+1=m2-2m+4=28, 即m2-2m-24=0,解得m1=-4(舍去),m2=6.∴m=6. (2)若7为一腰长,则x=7是原方程的一个根,∴72-2(m+1)×7+m2+5=0,整理,得m2-14m+40=0. 解得m1=4,m2=10,当m=4时,原方程为x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7.∵3+7>7,∴能组成三角形,此时三角形的周长为7+7+3=17.当m=10时,原方程x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15.∵7+7<15,∴不能组成三角形.若7为底边长,则x1=x2,∴Δ=8m-16=0,∴m=2,此时方程为x2-6x+9=0,∴x1=x2=3.∵3+3<7,∴不能组成三角形.综上,这个三角形的周长为17. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025贵阳云岩三模）x2-10x+21=0，x1+x2=（ ） A.10 B.-10 C.21 D.-21 【答案】：A 【解析】：x1+x2=-=10 2．若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（　 ） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【答案】：C 【解析】：∵α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，∴α+β＝﹣b，αβ＝﹣1，∴αβ﹣2α﹣2β＝αβ﹣2（α+β）＝﹣1+2b＝﹣11．∴b＝﹣5．故选：C． 3.（2025贵阳观山湖三模）x1、x2是x2-6x+4=0，x12+x22=（ ） A.28 B.36 C.44 D.32 【答案】：A 【解析】：x12+x22 =（x1+x2）2-2x1x2=36-8=28 4.（2026贵阳花溪期末）方程x2+5x+n=0一根为-2，另一根=（） A.-3 B.3 C.-7 D.7 【答案】：A 【解析】：-2+x2=-5→x2=-3 5．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 【答案】D 【解析】方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选：D． 6．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，∴ab＝3．∴＝+＝2＝2．故选：D． 7．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】：B 【解析】：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，解得：a＝﹣1．∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．故选：B． 8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ） A．16 B．14 C．10 D．6 【答案】：B 【解析】：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．故选：B． 9．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【答案】D 【解析】因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，所以m－2≠0且Δ≥0，即22－4×(m－2)×1≥0，解得m≤3，故m的取值范围是m≤3且m≠2. 10．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c.下列四个结论中，错误的是(　　) A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1 【答案】D 【解析】A选项，如果方程M有两个相等的实数根，那么Δ＝b2－4ac＝0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B选项，如果方程M的两根符号相同，那么Δ＝b2－4ac≥0，·>0，即＞0，所以a与c符号相同，＞0，又·＝，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C选项，如果5是方程M的一个根，那么25a＋5b＋c＝0，两边同时除以25，得c＋b＋a＝0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意； D选项，如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2＋bx＋c＝cx2＋bx＋a，(a－c)x2＝a－c，由a≠c，得x2＝1，x＝±1，结论错误，符合题意．故选D. （二）填空题 11.（2025贵阳云岩期末）x2-12x+5=0，x1+x2=________ 【答案】：12 【解析】：直接韦达定理求和 12.（2024·苏州姑苏期末）已知两根为2和-5，构造二次项系数为1的一元二次方程：___ 【答案】：x2+3x-10=0 【解析】：p=-(2-5)=3，q=2×(-5)=-10，方程x2+px+q=0，x2+3x-10=0。 13.（2025·扬州江都期末）x1、x2是x2-2x-4=0两根，则(x1-x2)2=___ 【答案】：20 【解析】：x1+x2=2，x1x2=-4，原式=22-4×(-4)=4+16=20。 14.（2024·常州新北期末）方程x2+ax-8=0一根为2，则a=___ 【答案】：2 【解析】：另一根-4，2+(-4)=-a ⇒ a=2。 15．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　． 【答案】 7 【解析】∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，∴|x1﹣x2|2＝ （x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x1﹣x2|＝7，故答案为：7． 16．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　． 【答案】 4 【解析】设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，∴a+b＝﹣，ab＝＝4，即矩形的面积是4，故答案为：4 17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　． 【答案】9 【解析】根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．故答案为：9． 18.已知三个实数a，b，c满足a+b-c=0，3a+b-c＞0，则关于x的方程ax2-cx+b=0的根的情况是_________________. 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】∵a+b-c=0，∴b-c=-a，c=a+b，∵3a+b-c＞0，∴3a-a＞0，即a＞0，∴方程ax2-cx+b=0是一元二次方程，Δ=c2-4ab=（a+b）2-4ab=（a-b）2≥0，∴方程有两个不相等的实数根. 19.若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根，则=________. 【答案】- 【解析】∵方程有实数根，∴Δ=4（1+a）2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，4+8a+4a2-12a2-16ab-16b2-8≥0，2a2-2a+4ab+4b2+1≤0，a2-2a+1+a2+4ab+4b2≤0，（a-1）2（a+2b）2≤0， ∴a=1，b=-，∴=-.故答案为：- 20.已知关于x的一元二次方程ax2-2x+c=0有两个相等的实数根，则-c+1的值等于__. 【答案】1 【解析】∵方程是一元二次方程，∴a≠0，∵方程又两个相等的实数根，∴Δ=4-4ac=0，∴ac=1，即c=，∴-c+1=c-c+1=1，故答案为：1 （三）解答题 21.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求 （1）a2+b2 （2）（a-b）2的值． 解：（1）∵方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b， ∴a+b=6，ab=4．a2+b2=（a+b）2﹣2ab=62﹣2×4=28． （2）（a-b）2=（a+b）2﹣4ab=62﹣4×4=20 22．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 解：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0∴m＝2，∴x2+2x＝0，∴x＝0或x＝﹣2， 即方程的另一根是﹣2； （2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，∴m＜3，∵m为正整数，∴m＝1，2． 23．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当m取何值时，方程有两个实数根？ (2)请你为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 解：(1)由题意知Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4m2＝[－2(m＋1)＋2m][－2(m＋1)－2m]＝－2(－4m－2)＝8m＋4≥0，解得m≥－.∴当m≥－时，方程有两个实数根． (2)答案不唯一，如选取m＝0， 方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2. 24.已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m-2）x+m+10=0的两实数根． （1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边BC=4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S△ABC=，其中p=，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 解：（1）∵方程是一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠-2Δ=4（m-2）2-4（m+2）（m+10）=-64（m+1）≥0解得，m≤-1 m的取值范围为m≤-1且m≠-2. （2）∵等腰△ABC的底边BC=4，∴x1，x2是△ABC的两腰，∴x1=x2∴Δ=0，解得m=-1， ∴x1=x2=3此时△ABC的周长为3+3+4=10. （3）过点I作三边的垂线，垂足分别是E，F，D.∵点I是△ABC的内角角平分线交点，∴DI=EI=FIp==5SABC== S△ABC=S△BCI+S△ACI+S△ABI∵BC=4，AB=AC=3，∴S△BCI=S△ABC= 25.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 解：（1）∵，∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：，∵是以为斜边的直角三角形，∴，∴ ，解得：或（不合题意，舍去）；∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：， ∴，∴方程为：，解得：，∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，∴，∴， ∴方程为：，解得：，∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13 26．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 解：（1）∵一元二次方程的两个根为，，∴，．故答案为：，； （2）∵一元二次方程的两根分别为m、n，∴，，∴； （3）∵实数s、t满足，∴s、t可以看作方程的两个根，∴，，∵ ，∴或，当时，， 当时，，综上分析可知，的值为或． （4）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得∵关于的一元二次方程 ∴，∵∴ ∴解得综上所述，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册7 《第2章一元二次方程第3节一元二次方程的根与系数的关系》预习讲义 一．学习目标 ( 1.熟练掌握一元二次方程的一般形式，自主探究并掌握有实数根的一元二次方程两根之和、两根之积与方程系数之间的关系（韦达定理），明确定理成立的前提条件。 2.能直接运用根与系数的关系，快速求解两根和、两根积、代数式的值；初步学会利用根与系数关系检验方程的根、简单构造一元二次方程，培养整体代入的数学思维。 3.经历 “ 计算猜想 — 归纳总结 — 验证推导 ” 的探究过程，提升观察、归纳、逻辑推理能力，体会数形结合与整体思想在一元二次方程中的应用。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.掌握一元二次方程根与系数的核心关系式； 2.熟练运用关系式进行基础计算与简单应用。 （二） 难点 1.理解根与系数关系的推导过程，牢记判别式 Δ≥ 0的适用前提； 2.灵活运用整体代入思想，求解含两根的复杂代数式的值； 3.区分二次项系数为1和不为1的方程，避免公式套用错误。 ) 三．知识梳理 （一）一元二次方程的根与系数关系推导（基于求根公式） 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1×x2 1 2 3 2 3 2 －1 －2 -3 2 -3 2 2 3 5 6 5 6 －2 －3 -5 6 -5 6 0 3 3 0 3 0 从上表发现，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2，那么x1+x2=，x1×x2=. 一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 用求根公式求出它的两个根x1.x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知： x1=, x2= =+== =×== 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为：x1+x2=， x1x2= 【归纳】： （1）根与系数关系：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么 （2）一元二次方程根根与系数关系.前提： ①定理成立的条件 ②注意公式重的负号与b的符号的区别 （二）两种标准形式公式 1.一般式：ax2+bx+c=0(a≠0)如果方程有两个实数根，那么 2.简化式（二次项系数为1）：x2+px+q=0，x1+x2=-p， x1x2=q。 （三）高频代数式变形（考试必考） 1. 2. 3. 4. （四）四大基础应用场景 1.不解方程，直接求两根之和、两根之积； 2.已知方程一根，求另一根与方程中字母参数； 3.已知两根数值，构造对应的一元二次方程； 4.结合判别式，根据根的正负、相等、不等限制参数范围。 （五）核心易错前提 韦达定理使用必须同时满足两点： ① a≠0（保证是一元二次方程）； ② △=b2-4ac≥0（保证方程存在实数根，无实根时不能用韦达定理）。 四．经典例题 1.（2025贵阳云岩区期末）已知x1、x2是方程x2-5x+6=0两根，则x1+x2=（ ） A.5 B.-5 C.6 D.-6 2.（2026贵阳南明区一模）方程2x2+3x-1=0两根之积x1x2=（ ） A. B.- C. D.- 3.（2025贵阳观山湖区期中）若x1、x2是x2+2x-4=0两根，则x12+x22=（ ） A.12 B.-12 C.8 D.-8 4.（2026贵阳花溪区二模）方程x2-4x+m=0一根为1，则另一根为（ ） A.3 B.-3 C.4 D.-4 5.（2025贵阳白云区期末）方程x2+7x-2=0，x1+x2=________。 6.（2026贵阳清镇市三模）3x2-6x=0两根和=________，两根积=________。 例7.已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为 ． 例8.关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 例9．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 例10．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025贵阳云岩期中）x2-8x+7=0，x1+x2=（ ） A.-8 B.8 C.7 D.-7 2.（2026贵阳南明二模）3x2-2x-5=0，x1x2=（ ） A. B.- C. D.- 3.（2026贵阳花溪三模）方程x2+mx-6=0一根为2，另一根=（ ） A.3 B.-3 C.6 D.-6 4.（2025贵阳白云期末）下列方程两根和为-3的是（ ） A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-1=0 C.2x2+3x-4=0 D.x2-3x-5=0 5.（2026贵阳清镇一模）方程x2-2kx+k2-1=0两根关系（ ） A.和为2k B.积为k2+1 C.无实根 D.一正一负 6．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 7.已知，是方程x2-x-2028=0的两个实数根，则的值是(     ) A．2026 B．-2026 C．-2027 D．2027 8.若a满足不等式组则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋＝0的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能 （二）填空题 9.（2025贵阳观山湖期中）x1、x2是x2+2x-7=0，(x1+1)(x2+1)=________ 10.（2026贵阳花溪一模）方程2x2+bx+1=0一根为1，b=________ 11.（2025贵阳白云期中）x1+x2=4，x1x2=-5，方程为________ 12.（2025·盐城亭湖期末）方程3x2-6x=0，x1+x2=___，x1x2=___ 13.（2026·盐城滨海一模）x1、x2是x2-3x+1=0两根，则=___ 14．一元二次方程x2＝x－1的根的情况是__________________． 15．若关于x的方程kx2－4x－＝0有实数根，则k的取值范围是________． 16.直线y=x-a不经过第二象限，且关于x的方程ax2-2x+1=0有实数解，则a的取值范围是_____________________. （三）解答题 17．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0； （2）已知关于x的方程x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 19．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD． （1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由； （2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长． 20.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值; (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长. 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025贵阳云岩三模）x2-10x+21=0，x1+x2=（ ） A.10 B.-10 C.21 D.-21 2．若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（　 ） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 3.（2025贵阳观山湖三模）x1、x2是x2-6x+4=0，x12+x22=（ ） A.28 B.36 C.44 D.32 4.（2026贵阳花溪期末）方程x2+5x+n=0一根为-2，另一根=（） A.-3 B.3 C.-7 D.7 5．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．3 6．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ） A．16 B．14 C．10 D．6 9．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 10．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c.下列四个结论中，错误的是(　　) A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1 （二）填空题 11.（2025贵阳云岩期末）x2-12x+5=0，x1+x2=________ 12.（2024·苏州姑苏期末）已知两根为2和-5，构造二次项系数为1的一元二次方程：___ 13.（2025·扬州江都期末）x1、x2是x2-2x-4=0两根，则(x1-x2)2=___ 14.（2024·常州新北期末）方程x2+ax-8=0一根为2，则a=___ 15．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　． 16．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　． 17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　． 18.已知三个实数a，b，c满足a+b-c=0，3a+b-c＞0，则关于x的方程ax2-cx+b=0的根的情况是_________________. 19.若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根，则=________. 20.已知关于x的一元二次方程ax2-2x+c=0有两个相等的实数根，则-c+1的值等于__. （三）解答题 21.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求 （1）a2+b2 （2）（a-b）2的值． 22．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值． 23．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0. (1)当m取何值时，方程有两个实数根？ (2)请你为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 24.已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m-2）x+m+10=0的两实数根． （1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边BC=4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：S△ABC=，其中p=，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积． 25.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 26．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $