专题 2.2（1） 一元二次方程解法（配方法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦一元二次方程配方法，系统梳理从原理（完全平方公式）到基础规律（二次项系数为1的配方），再到完整步骤（分系数为1和不为1情形），涵盖注意事项与易错点及常见应用，构建递进式学习支架。 资料特色为题型分层设计，从基础配方填空（培养抽象能力）到二次项系数不为1的解方程（提升运算能力与推理意识），结合实际应用题型（发展模型意识与应用意识）。同步检测全面，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 2.2（1） 一元二次方程解法（配方法）（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】配方法的原理 1 【知识点二】基础配方规律（二次项系数为1） 2 【知识点三】配方法解方程完整步骤 2 【知识点四】配方法核心注意事项与易错点 2 【知识点五】配方法常见应用 2 二.题型精析 3 【题型 1】基础配方填空（入门基础） 3 【题型 2】直接开平方法（基础必考） 3 【题型 3】二次项系数为1的配方法解方程（基础必考） 4 【题型 4】二次项系数不为1的配方法解方程（中档核心） 4 【题型 5】配方法判定方程根的情况（能力提升） 5 【题型 5】配方法实际应用（拔高拓展·教材原题） 6 【题型 6】配方法证明代数式取值范围（压轴拓展） 7 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理解读 【知识点一】配方法的原理 配方法的核心依据是完全平方公式：。 通过恒等变形，将一元二次方程转化为完全平方式等于常数的标准形式：，再利用直接开平方法求解方程。 直接开平方法判定规则： 1. 当 时，方程有两个实数根：； 2. 当 时，平方数非负，方程无实数根。 【知识点二】基础配方规律（二次项系数为1） 对于二次二项式 ，只需加上一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式： 【知识点三】配方法解方程完整步骤 情形一：二次项系数为1（） 1. 移项：将常数项移至方程右侧，得 ； 2. 配方：方程两边同时加上 ，左侧化为完全平方式； 3. 整理：写成 的标准形式； 4. 开方求解：根据常数 的正负，判断根的情况并计算求值。 情形二：二次项系数不为1（） 1. 化系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数 ； 2. 后续步骤与二次项系数为1的方程一致：移项→配方→开方→求解。 【知识点四】配方法核心注意事项与易错点 1. 配方属于等式恒等变形，左右两边必须同时加同一个常数，严禁只单边配方； 2. 二次项系数不为1时，必须先整体化系数为1，再进行配方； 3. 开平方时必须添加 ，避免遗漏根； 4. 最终结果需化为最简二次根式，含无理数无需近似计算。 【知识点五】配方法常见应用 1. 解一元二次方程（基础应用）； 2. 判定一元二次方程根的情况； 3. 代数式配方求最值、证明代数式恒正/恒负； 4. 解决竖直上抛运动等北师大版教材实际应用题。 二.题型精析 【题型 1】基础配方填空（入门基础） 【例题1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）（1）____________； （2）____________． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）______________________． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【题型 2】直接开平方法（基础必考） 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程变形，得． ． 直接开平方，得我们称这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期中）方程的根是________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【题型 3】二次项系数为1的配方法解方程（基础必考） 【例题3】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）用配方法解方程：． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程：． 【题型 4】二次项系数不为1的配方法解方程（中档核心） 【例题4】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【变式3】（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 （1）任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ （2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【题型 5】配方法判定方程根的情况（能力提升） 【例题5】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． （3）已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） （1）求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 【题型 5】配方法实际应用（拔高拓展·教材原题） 【例题5】．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【变式1】（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题． 例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，有最小值1．同样，因为，所以有最大值6，只有在时，有最大值6． （1）当　　　　_时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． （2）当　　　　时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面用总长度是的栅栏围成，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【题型 6】配方法证明代数式取值范围（压轴拓展） 【例题6】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（ ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026九年级·吉林·专题练习）方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 6．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 7．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 8．（2024九年级上·湖南·专题练习）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 10．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 13．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）一元二次方程用配方法解可变形为______． 14．（24-25八年级下·山东滨州·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 15．（24-25八年级下·山东泰安·期末）方程配成的形式为_______________． 16．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）如果满足，，且 ，则的值为___． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）解下列方程： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）解下列方程： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·四川宜宾·阶段检测）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． （1）对进行配方， ） ； （2）已知，求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东韶关·期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： （1）计算． （2），求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2（1） 一元二次方程解法（配方法）（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】配方法的原理 1 【知识点二】基础配方规律（二次项系数为1） 2 【知识点三】配方法解方程完整步骤 2 【知识点四】配方法核心注意事项与易错点 2 【知识点五】配方法常见应用 2 二.题型精析 3 【题型 1】基础配方填空（入门基础） 3 【题型 2】直接开平方法（基础必考） 4 【题型 3】二次项系数为1的配方法解方程（基础必考） 6 【题型 4】二次项系数不为1的配方法解方程（中档核心） 8 【题型 5】配方法判定方程根的情况（能力提升） 11 【题型 5】配方法实际应用（拔高拓展·教材原题） 17 【题型 6】配方法证明代数式取值范围（压轴拓展） 20 三.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 一.知识梳理解读 【知识点一】配方法的原理 配方法的核心依据是完全平方公式：。 通过恒等变形，将一元二次方程转化为完全平方式等于常数的标准形式：，再利用直接开平方法求解方程。 直接开平方法判定规则： 1. 当 时，方程有两个实数根：； 2. 当 时，平方数非负，方程无实数根。 【知识点二】基础配方规律（二次项系数为1） 对于二次二项式 ，只需加上一次项系数一半的平方，即可凑成完全平方式： 【知识点三】配方法解方程完整步骤 情形一：二次项系数为1（） 1. 移项：将常数项移至方程右侧，得 ； 2. 配方：方程两边同时加上 ，左侧化为完全平方式； 3. 整理：写成 的标准形式； 4. 开方求解：根据常数 的正负，判断根的情况并计算求值。 情形二：二次项系数不为1（） 1. 化系数为1：方程左右两边同时除以二次项系数 ； 2. 后续步骤与二次项系数为1的方程一致：移项→配方→开方→求解。 【知识点四】配方法核心注意事项与易错点 1. 配方属于等式恒等变形，左右两边必须同时加同一个常数，严禁只单边配方； 2. 二次项系数不为1时，必须先整体化系数为1，再进行配方； 3. 开平方时必须添加 ，避免遗漏根； 4. 最终结果需化为最简二次根式，含无理数无需近似计算。 【知识点五】配方法常见应用 1. 解一元二次方程（基础应用）； 2. 判定一元二次方程根的情况； 3. 代数式配方求最值、证明代数式恒正/恒负； 4. 解决竖直上抛运动等北师大版教材实际应用题。 二.题型精析 【题型 1】基础配方填空（入门基础） 【例题1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 解：（1）， （2）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）______________________． 【答案】 25 5 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握添加的常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．根据完全平方公式求解． 解：． 故答案为：25，5． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【答案】 9 3 16 4 / / 【分析】本题考查了配方，根据完全平方公式配方即可． 解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式. 根据一元二次方程配方法的步骤解题. （1）移项：先化把常数项移到右边； （2）再化二次项系数为1； （3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案. 解：（1）对，移项得：， 方程两边同除3，得：， 配方，得：即. 故答案为：. （2）对，移项得：， 方程两边同除5，得：， 配方，得：即. 故答案为： ． 【题型 2】直接开平方法（基础必考） 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程变形，得． ． 直接开平方，得我们称这种解法为“平均数法”． 请用“平均数法”解方程：． 【答案】 【分析】根据题意利用平方差公式以及“平均数法”解方程． 解：原方程可变形，得， ， ， 直接开平方，得． 【变式1】（25-26九年级上·重庆大足·期末）方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期中）方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 【题型 3】二次项系数为1的配方法解方程（基础必考） 【例题3】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用配方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ，． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 解：对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 解：， ， ， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法是解本题的关键． 配方得，即，再利用直接开平方法求出方程的解即可． 解：配方，得，即． 两边开平方，得， 即或， 故答案为：，． 【题型 4】二次项系数不为1的配方法解方程（中档核心） 【例题4】（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，把二次项的系数化为，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，方程的左边配成完全平方的形式，右边是一个正数，再用直接开平方法求出方程的解． （1）移项、二次项系数化为得，再根据配方法的核心步骤配方，直接开平方求解即可； （2）移项、二次项系数化为得，再根据配方法的核心步骤配方，直接开平方求解即可； （3）移项、二次项系数化为得，再根据配方法的核心步骤配方，直接开平方求解即可． 解：（1）移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得，即， 解得． 故答案为： （2）移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得，即， 解得． 故答案为： （3）移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 即， 解得． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 【变式3】（2026·广东江门·一模）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，……第一步 移项，得，……第二步 配方，得，……第三步 ，……第四步 由此可得，……第五步 解得……第六步 （1）任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ （2）任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】（1）①方法是配方法，依据是完全平方公式；②第三步，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立；（2）， 【分析】（1）①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； （2）正确利用配方法进行求解即可． 解：（1）解：①根据题干信息，解此一元二次方程的方法是配方法， 配方法依据的数学公式是完全平方公式， ②第三步首先出现错误，配方时仅在方程左边加上一次项系数一半的平方，右边未同时加上该数，等式不成立． （2）解：二次项系数化为1，得， 移项，得， 配方，得， 即， 由此可得， 解得，． 【题型 5】配方法判定方程根的情况（能力提升） 【例题5】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）【阅读理解】 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根． 【推导验证】 对方程进行配方， 得， 因为，所以， …… （1）请你继续完成上述推导． 【尝试应用】 （2）若利用此图解法解方程，那么_____，_____，方程的正根_____． （3）已知关于的一元二次方程（），利用上述图解法求解时，有，求a的值． 【答案】（1）因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 取， 所以． （2）1，， （3） 【分析】（1）根据推导思路，将，，代入，得到，结合得出，即可求出； （2）仿照所给方法求解即可； （3）由，得到，根据得到，代入，求出a的值即可． 解：（1）略 （2）解：利用此图解法解方程，那么，，， ∴根据勾股定理，， 方程的正根． （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 由，得， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．若关于的一元二次方程，按照图1的图解法构造图2，在中，，连接，若，则的值是（     ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程系数确定直角三角形两直角边的长度，利用等高三角形面积比等于底边比，求出斜边与参数的关系，最后利用勾股定理列方程求解即可． 解：由题意可知，，， ． ，且与等高， ， ， ． ， 在中，， ，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， 的值是． 【变式2】（25-26八年级下·山东·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况讨论是否构成等腰三角形,然后求出周长即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 解：（1）解： ， ． 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，因，不满足两边之和大于第三边,此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）解：由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则 ， ②若2，4分别是的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 综上，的面积为4或． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） （1）求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）点B与点C之间的距离为千米；（2）此时甲无人机离B处千米 【分析】（1）易得为等边三角形，得到，进而得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可； （2）设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可. 解：（1）解：由图和题意，可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 过点作于点E，则， 在中，由勾股定理得， ∴； 答：点B与点C之间的距离为千米； （2）解：如图，设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则， ∵乙无人机的速度是甲的2倍， ∴， ∴， 作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 整理，得， ∴， ∴， 解得或； 当时，，不符合题意，舍去； 答：此时甲无人机离B处千米. 【题型 5】配方法实际应用（拔高拓展·教材原题） 【例题5】．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【答案】（1）该软件用户前三天的日平均增长率为；（2）①会员价应为34元/月或36元/月； ②公司每天的会员优享业务收入不能达到元，理由如下： 设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴公司每天的会员优享业务收入不能达到元． 【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据第一天用户量和第三天的用户量建立方程求解即可； （2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；②设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元，可求出，根据偶次方的非负性可推出，据此可得结论． 解：（1）解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该软件用户前三天的日平均增长率为； （2）解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， 答：会员价应为34元/月或36元/月； ②略 【变式1】（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可． 解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】依据题意，先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，即可求得答案． 解：， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题． 例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，有最小值1．同样，因为，所以有最大值6，只有在时，有最大值6． （1）当　　　　_时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． （2）当　　　　时，代数式有最_　　　　（填写大或小）值为　　　　． （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面用总长度是的栅栏围成，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）2，小，4；（2）2，大，8；（3）当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，可得，再根据阅读材料解答； （2）先将代数式配方成的形式，再根据阅读材料解答； （3）设花园与墙相邻的边长为，即为平行于墙的边长，利用矩形的面积等于长乘以宽表示出面积，然后整理后配方，利用完全平方式大于等于0，即可求出面积最大时x的值及此时的面积． 解：（1）解：∵， ∴当时，有最小值，且最小值为4； （2）解：∵， 又因为， ∴当x=2时，有最大值，且最大值为； （3）解：设花园与墙相邻的边长为，则花园平行于墙的边长为， 则花园的面积 ， ∵， 时，花园的面积最大，此时花园的面积． 【题型 6】配方法证明代数式取值范围（压轴拓展） 【例题6】（2026·上海静安·二模）当a是任意有理数时，下列代数式的值一定为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方数的非负性，通过举反例和配方变形，逐个判断各选项是否满足代数式的值一定为正数即可． 解：A、当时，，0不是正数，故A选项不符合题意； B、当时，，0不是正数，故B选项不符合题意； C、，当时，，故C选项不符合题意； D、，∵，∴，即代数式的值一定为正数，故D选项符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（ ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 解： ， ，即， ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的意义，配方法的应用，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件时分母能整理成的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只有这样不论未知数取何值，式子都不可能等于0． 解：分式不论取何值总有意义，则其分母必不等于0， 即把分母整理成的形式为 ， 不等于0， ，即， 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026九年级·吉林·专题练习）方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 解： ，． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】将方程通过配方法变形为的形式，确定和的值后求和． 解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 6．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 7．（24-25九年级上·福建莆田·阶段检测）已知x，y为实数，且满足，设，记的最大值为，最小值为，则（） A． B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法的应用，乘法公式；由已知条件变形得到，再通过配方法求出的取值范围，进而得到u的最值，计算即可． 解：， 由①得，，代入②中，得 ， 把①的两边同时加，得， 解得， 把①的两边同时减，得 解得， ∴， ， 即， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：C． 8．（2024九年级上·湖南·专题练习）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可． 解：， ， ，， 关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ， 解得， ∴，且a为正整数 观察四个选项，可以为， 故选：D． 9．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 10．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 解：， 方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确； 由等式的性质可得， 所以， ∴，故小红出错． 故选C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）方程的解是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 解：， 移项得， 两边除以3得， 开平方得， 解得或． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·河北张家口·期末）把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 解： ， ， ， ， ∴． 13．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）一元二次方程用配方法解可变形为______． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项，再两边配上，写成完全平方公式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解： ， ， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山东滨州·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·山东泰安·期末）方程配成的形式为_______________． 【答案】 【分析】根据配方法的一般步骤计算：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 解：∵3x2−8x−3=0， ∴3x2−8x=3， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 16．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______． 【答案】4或 【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果． 解：∵ ， ∴ 又， ∴， ∴ 开平方得， 解得或。 所以，x的值是4或． 17．（23-24九年级上·四川南充·期中）如果满足，，且 ，则的值为___． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、求代数式的值等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系的应用是解题的关键． 由题意可知是方程的两个不相等的实数根，则，，把变形后整体代入即可得到答案． 解：∵满足，，且， ∴是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； 解：（1）解：， ， 解得：， （2）解：， ， ， ， ， 解得：， 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；；（2）原方程无解. 【分析】（1）用配方法变形方程后开方求解； （2）去分母转化为整式方程求解，检验后舍去增根得到结论． 解：（1）解：移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． （2）解：， 方程变形为． 两边同乘得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得． 检验：当时，． 因此是增根． 所以原方程无解． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·四川宜宾·阶段检测）选取二次三项式中的两项，配成完全平方公式的过程叫配方．例如：． （1）对进行配方， ） ； （2）已知，求的值． 【答案】（1）4，5；（2） 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）利用配方法即可填空； （2）利用配方法把原式写成两个完全平方式的和的形式，再利用非负数的性质可求得的值，即可求出的值． 解：（1） ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广东韶关·期末）阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】B③，解题过程见分析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法是关键，运用配方法求解即可． 解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误， 正确的解析过程如下，： ， 移项得，， 等式两边同时除以2得，， 配方得，， 即， ∴或， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： （1）计算． （2），求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 解：（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $