专题 3.3 相似三角形判定定理的证明（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦相似三角形判定定理的证明，以平行线的基本事实为起点，通过“平行截三角形两边得对应线段成比例”“截得三角形与原三角形相似”两个推论构建知识支架，形成从基础事实到判定应用的递进脉络。 资料特色在于题型分层设计，夯实基础题型（如判断成比例线段、求线段比值）与巩固提升题型（如构造平行线证明、实际测量应用）结合，培养学生推理能力与应用意识。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题 3.3 相似三角形判定定理的证明（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】平行线的基本事实 1 【知识点二】平行线的基本事实的推论（1） 2 【知识点三】平行线的基本事实的推论（2） 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】由平行线的基本事实判断成比例的线段 2 【题型 2】由平行线的基本事实求相关线段的长或比值 3 【题型 3】利用平行判定相似 4 三.题型精析（巩固提升） 5 【题型 4】利用平行线的基本事实证明 6 【题型 5】构造平行线求值或证明 7 四.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.知识梳理解读 【知识点一】平行线的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 基本事实 图示 几何语言 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 , 【知识点二】平行线的基本事实的推论（1） 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 基本事实 图示 几何语言 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 【知识点三】平行线的基本事实的推论（2） 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。 基本事实 图示 几何语言 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】由平行线的基本事实判断成比例的线段 【例题1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【题型 2】由平行线的基本事实求相关线段的长或比值 【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知：如图，，，求的长． 【变式1】（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【变式3】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： （1）； （2）的长． 【题型 3】利用平行判定相似 【例题3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【变式3】（25-26九年级上·北京延庆·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】利用平行线的基本事实证明 【例题4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，． 求证：． 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【题型 5】构造平行线求值或证明 【例题5】（25-26九年级上·山东·期末）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为，与的距离为，求的值． 【变式1】（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【变式3】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 5．（2026·陕西汉中·二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 12．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 14．（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 15．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 16．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 17．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 18．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，，如果，求线段的长． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 22．（本小题满分10分）（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西吉安·期中）如图，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 相似三角形判定定理的证明（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】平行线的基本事实 1 【知识点二】平行线的基本事实的推论（1） 2 【知识点三】平行线的基本事实的推论（2） 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】由平行线的基本事实判断成比例的线段 2 【题型 2】由平行线的基本事实求相关线段的长或比值 4 【题型 3】利用平行判定相似 7 三.题型精析（巩固提升） 10 【题型 4】利用平行线的基本事实证明 10 【题型 5】构造平行线求值或证明 13 四.同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 一.知识梳理解读 【知识点一】平行线的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 基本事实 图示 几何语言 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 , 【知识点二】平行线的基本事实的推论（1） 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。 基本事实 图示 几何语言 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 【知识点三】平行线的基本事实的推论（2） 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。 基本事实 图示 几何语言 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】由平行线的基本事实判断成比例的线段 【例题1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 解：， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 解：∵， ∴， 故选：C． 【题型 2】由平行线的基本事实求相关线段的长或比值 【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知：如图，，，求的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式1】（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________． 【答案】4 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 【变式3】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： （1）； （2）的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． （1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 【题型 3】利用平行判定相似 【例题3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·北京延庆·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 解：略 三.题型精析（巩固提升） 【题型 4】利用平行线的基本事实证明 【例题4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 【变式2】（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． 【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 解：（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 【题型 5】构造平行线求值或证明 【例题5】（25-26九年级上·山东·期末）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为，与的距离为，求的值． 【答案】 【分析】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．过点作于点，过点作于点，根据题意可得，，，证明得到 ，，则，由勾股定理求出，由，得到，进而求 出 ，推出，即可求解． 解：如图，过点作于点，过点作于点， 与的距离为，与的距离为， ∴ ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 【变式2】（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 【变式3】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【答案】8 【分析】过点A作于点H，由，由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理求得，由，得到，则，由D是的中点，得到是的中位线，求得，进一步得到，求得，得到． 解：过点A作于点H， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答； 解： ∵， ∴， ∵，，， ∴ ， 解得：， ∴． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线间线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 解：∵， ∴，，故C正确， ∴，，故A，B，D错误． 故选C． 3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 解：∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 5．（2026·陕西汉中·二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可. 解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，则， ， 即， ， ∴. 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 解：∵， ∴， ∵，，，即， ∴． 7．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行截线求相关线段的长或比值． 由，可得，即可得的值． 解：∵，，， ∴． 故选：A． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，设，同理可得，设，则，则可求出，据此可得答案． 解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作的平行线，分别交，于点，，连接．证明四边形，四边形是矩形，进而证明是的中位线，得出，则，证明，进而证明得出是等腰直角三角形，即可求解． 解：如图，过点作的平行线，分别交，于点，，连接． 四边形是正方形， ， ，， 四边形，四边形是矩形， ，，， ∴ 是的中点， ∴ ， ， 由正方形性质可知， ，是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 故选：C． 10．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，，，，根据平行四边形的判定和性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出点是的中点，，根据三角形中位线的定义和性质得出，结合平行四边形的性质即可求解． 解：根据题意可得，，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即点是的中点，， ∴是的中位线。 ∴， ∴平行四边形的面积为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 解：由作法可知，， ， ， ， ． 12．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 【答案】9 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 解：如图， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 解得． 13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确找出对应成比例的线段，利用比例式求出未知线段长度，再通过线段和求出的长．先根据平行线分线段成比例得到与的比例关系，结合已知数据计算出的长度，最后将与相加得到的长． 解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴； 故答案为：． 14．（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________． 【答案】7.5 【知识点】此题考查了平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合． 【分析】过点D作，交于点M，根据平行线分线段定理得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，即可求解． 解：如图，过点D作，交于点M， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7.5． 16．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线平行可得，根据平行线分线段成比例可判定为的中点，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 解：如图， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ，， ，即， ， ∴， 为的中点， 在中，， ，为的中点， ． 17．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 【答案】1 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，从而求得，然后根据平行线分线段成比例可得，据此求得，进而根据线段的和差求得． 解：∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，且点为的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意作出，进而得到，然后利用平行线分线段成比例即可得到． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，，如果，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段的书写顺序是解答的关键．根据平行线分线段成比例进行解答即可． 解：， ， ∵， ， ∵， ∴， ． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 解：证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 22．（本小题满分10分）（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． （1）________； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 解：（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西吉安·期中）如图，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出即可． 解：（1）解：∵，    ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ， ∴ ， ∴， 解得： ． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 解：（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $