江苏扬中市第二高级中学2026年高二暑假数学（等差数列与等比数列）复习自测练习 -

**基本信息** 聚焦等差数列与等比数列综合应用，以题构建“概念-公式-性质-交汇”逻辑链，覆盖基础计算到创新迁移，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|单选1-5、填空12-13|基本量计算、前n项和公式应用|从定义出发，推导通项与求和公式，强化方程思想| |性质辨析|多选9-11|等差中项、等比前n项和性质、单调性判断|通过对比辨析，构建等差与等比性质的内在联系| |实际情境迁移|单选8|百零八塔塔数数列模型|将现实问题抽象为数列问题，体现数学眼光| |交汇创新|解答15-19|证明等差/等比、新数列构造与求和|综合数列与函数、不等式，发展逻辑推理与数学表达|

2026年暑假高中数学（等差数列与等比数列）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知等比数列满足，，则数列前6项的和 （ ） A. 510 B. 126 C. 256 D. 512 2．等比数列的前项和为，若，则 （ ） A. B. 8 C. 1或 D. 或 3．数列是等差数列，数列是等比数列，若 （ ） A． B． C． D． 4．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且，则 （ ） A．24 B．16 C．8 D．无法确定 6．已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（     ） A．0 B．2 C．-3 D．3 7．已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 8．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是 （       ） A．第3层的塔数为3 B．第4层与第5层的塔数相等 C．第6层的塔数为9 D．等差数列的公差为2 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则 （ ） A. ，，成等差数列 B. ，，成等差数列 C. D. 10．已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则 （  ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 等差数列 D. 是等比数列 11．设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有 （ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知数列为等比数列，其前n项和为，前三项和为13，前三项积为27，则 ． 13．若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为______. 14．已知数列的通项，当前项和取得最小值时，的值为__ ___. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知 （1）证明数列是等差数列；（2）求的通项公式. 16．已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， （1）证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; （2）已知数列满足，求的前2n项和 17．已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列 ①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列； ②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列; 在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和. 18．已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， （1）求数列，的通项公式： （2）记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 19．若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（等差数列与等比数列）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知等比数列满足，，则数列前6项的和 （ B ） A. 510 B. 126 C. 256 D. 512 2．等比数列的前项和为，若，则 （ C ） A. B. 8 C. 1或 D. 或 3．数列是等差数列，数列是等比数列，若 （ D ） A． B． C． D． 4．设等差数列，的前n项和分别为，，若，则为 （ C ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且，则 （ B ） A．24 B．16 C．8 D．无法确定 6．已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（  B  ） A．0 B．2 C．-3 D．3 【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故， 因为，解得，又因为，解得，即，所以.故选：B. 7．已知等比数列的前n项和为，数列的前n项和为，，若，则（ C ） A. B. 2 C. D. 【详解】由是等比数列，得也是等比数列，而当公比时，，此时， 则，不满足，故，所以当公比时，有， 则，由，则，即， 又由，得，故选：C． 8．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔.已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是 （   C   ） A．第3层的塔数为3 B．第4层与第5层的塔数相等 C．第6层的塔数为9 D．等差数列的公差为2 【详解】设等差数列的公差为， 若，则这10层的塔数之和为，则最多有座塔，不符合题意； 若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意； 所以，这10层的塔数之和为，塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 依题意剩下2层的塔数为3与5，所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19， 因此A，B，D正确，C错误．故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则 （ABD）. A. ，，成等差数列 B. ，，成等差数列 C. D. 10．已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则 （ ACD ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 等差数列 D. 是等比数列 【详解】A，由题意得，所以是常数列，故是首项为2，公差为0的等差数列，故A正确； B，由，所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误； C，由，所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C正确；D，由，所以是首项为2，公比为4的等比数列，故D正确.故选：ACD 11．设等比数列的前项积为 并满足，，则下列结论正确的有 （BCD） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时， 【详解】，所以，即. 所以.因为，所以，即等比数列为递减数列. 对选项A，因为为递减数列，所以，故A错误. 对选项B，因为， 因为，所以，即，故B正确. 对选项C，因为等比数列为递减数列，， 所以，，即当时，取最大值，故C正确. 对选项D，，又因为，， 所以当时，，当时，，故D正确.故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知数列为等比数列，其前n项和为，前三项和为13，前三项积为27，则 121或 ． 【详解】设数列的公比为q，∵前三项积为27，∴，解得， ∵前三项和为13，∴，解得或， ∴或．故答案为：121或. 13．若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为______. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得， 故，所以， 所以数列的前10项的和为.故答案为：. 14．已知数列的通项，当前项和取得最小值时，的值为__ 6 ___. 【详解】令，解得或，，当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以取得最小值时的值为6.故答案为：6. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知 （1）证明数列是等差数列；（2）求的通项公式. 15．（1）证明：为的前项积， 所以，代入 可得整理得 又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可知， ， 当， 当， 故. 16．已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， （1）证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; （2）已知数列满足，求的前2n项和 16．解：（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以 所以，所以， 又因，所以， 故数列是首项为2，公比为2等比数列， 所以，所以． （2）由（1）知，，可得 所以 = = 17．已知等差数列的前和为，数列是公比为2的等比数列，且，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）现由数列与按照下列方式构造成新的数列 ①将数列中的项去掉数列中的项，按原来的顺序构成新数列； ②数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列; 在以上两个条件中任选一个做为已知条件，求数列的前30项和. 17．解：（1）因为数列为等比数列，且， 所以. 又因，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. （2）因为，， 所以， 而 若选① 因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.， 则数列前30项和为：=1632. 若选② 因为在数列前30项内，不在在数列前30项内.， 则数列前30项和为：=1203. 18．已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， （1）求数列，的通项公式： （2）记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 18．解：（1）由题意，是等差数列，设公差为d， 是正项等比数列，设公比为q，， 由，，，， 可得，， 解得， 则，. （2）（i）由（1）可得，， 则， 则数列的前2n项和； （ii）， 则数列的前n项和 19．若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 19．解：（1）设等差数列的公差为，由，得，即， 由，得，则，即， 联立解得，所以等差数列是“T数列”. （2）（）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而， 因此数列构成公比和首项均为的等比数列，所以 （）假设存在“T数列”满足存在正整数m，对于任意， 当时，恒有，数列的公差为， 当时，， 当时，若， 则，即，而，因此， 此时，任意，当时，恒有， 即，于是对恒成立， 设，则， 由，得，数列递增， 而， 则当，此时均成立， 即，所以，存在m的最大值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $