江苏省南京市2025-2026学年高二下学期期末复习数学全真模拟练习卷

**基本信息** 高二下学期期末数学模拟卷，涵盖集合、导数、概率等核心知识，通过生态保护、普法竞赛等真实情境设计问题，注重数学建模与逻辑推理，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、正态分布、充分条件、导数单调性、空间轨迹|第2题正态分布结合成绩分析，第5题条件概率融入排列组合，体现数学思维| |填空题|3题/15分|二项式定理、超几何分布、不等式恒成立|第13题重捕法估计动物数量，联系生态保护，培养数据观念| |解答题|5题/77分|二项式系数、概率期望、立体几何、函数极值、概率模型|19题单细胞生物分裂概率模型，构建递推关系，发展数学建模与创新意识|

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D B C A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．45 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且 ，解得 . 第4、5、6项系数、、，成等差数列得 .          由 ，，， 整理得 ，解得 或 . 故 ， 或 ；   （2）由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 .                        又 ，则                                           ， 故   被5除的余数为 .        （3）由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 展开式通项为 ，系数为 ，. 设第 项系数最大，则满足， 由 ，得 ，即 . 由组合数计算公式得 ，故 ，因为，所以. 由 得 ，即 . 故 ，因为，所以，所以. 综上 ，即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:，.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率： . （2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100 ， ， ， ， 先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100 ， ， ， ， 由， 所以， 解得：.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为平面，四边形为正方形，所以两两垂直， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以平面， 则，，，，，，，， 设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为平面，所以平面； （2）， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即， 所以当点为线段的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为（15分） 18．（17分） 【详解】（1）依题意，. 因为是的极小值点，所以，得. 此时，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点，所以. （2）（i）因为，是的两个极值点， 所以的判别式， 解得或，故的取值范围是. （ii）由（i）可得，， 依题意， ， 令，设函数， 此时，对称轴， 而，故， 又，， 故在存在两个不同的零点，且， 综上，存在，且， 使得曲线在和处的切线都与直线平行.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 P 的数学期望为 （ii）事件“”，即细胞在n个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第i个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件“”的概率为. （2）在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， 由，即m的最小值为， ， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，又，所以， 即（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末全真模拟测试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 2．高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（   ） A． B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 6．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下所示： y1 y2 合计 x1 a 20－a 20 x2 15－a 30＋a 45 合计 15 50 65 其中a，15－a均为大于5的整数，现有95%的把握认为x，y有关，则a的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（   ） A．点可以在点处 B．点在底面上的轨迹为线段 C．点的轨迹围成直角三角形 D．直线与点的轨迹所在平面相交 8．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（    ） A．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B．若随机变量，，则 C．若一组样本数据，，…，的所有点都在直线上，则这组数据的样本相关系数0.5 D．已知，，，则 10．某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（    ） A．顾客甲获得100元纪念品的概率为 B．顾客甲获得50元纪念品的概率为 C．已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为 D．已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为. 11．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（    ） A．当P为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________. 13．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 14．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，且，求被5除的余数； (3)若，求的展开式中系数最大的项. 16．某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 17．如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值的最大值． 18．已知，函数. (1)若是函数的极小值点，求； (2)若函数存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行. 19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡.新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下去.某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. (1)若， （i）求随机变量的分布列和期望； （ii）求事件“”的概率； (2)若，已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求使得条件期望时的最小正整数m，并求此时的期望 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末全真模拟测试卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，若，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】解方程得集合，根据集合的关系即可得结果. 【详解】集合， 因为，，所以的值为2， 故选：B. 2．高三某班共50人，某次数学单元测试成绩服从正态分布，已知成绩低于70分的同学有5人，则（   ） A． B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】由正态分布性质结合题设可得答案. 【详解】由题可知， 又，因此， 由正态分布性质可知. 故选：B. 3．设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误； 对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，即，故是的充要条件，故C错误； 对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D 4．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 5．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算教师不站在两端的总排列数，再计算该条件下甲乙相邻的符合条件排列数，两者作商得到所求概率. 【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件， 因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列， 所以； 将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师）， 要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ， 根据条件概率公式： . 6．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下所示： y1 y2 合计 x1 a 20－a 20 x2 15－a 30＋a 45 合计 15 50 65 其中a，15－a均为大于5的整数，现有95%的把握认为x，y有关，则a的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】先求得的值，再根据有95%的把握认为x，y有关建立不等式求解. 【详解】解：由题意可知， ＝， 又因为a>5且15－a>5，a∈Z， 所以当a＝8时满足题意． 故选：A 7．在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（   ） A．点可以在点处 B．点在底面上的轨迹为线段 C．点的轨迹围成直角三角形 D．直线与点的轨迹所在平面相交 【答案】D 【分析】 对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，令， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； 对于选项，当在时，，，故选项正确； 对于选项，当在底面时，，即，则，由于，故在底面上的轨迹是，与中点连线所在的线段，故选项正确； 对于选项，由前两项的分析可知，，在上符合题意，故，连接，，面，则三角形的三边就是的轨迹，由于，，，故，则三角形为直角三角形，故选项正确； 对于选项，三角形就是的轨迹，且面，则为面的法向量，由于，，故面，且直线上没有点在平面内，故面，故选项错误； 故选：. 8．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（    ） A．若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9 B．若随机变量，，则 C．若一组样本数据，，…，的所有点都在直线上，则这组数据的样本相关系数0.5 D．已知，，，则 【答案】BD 【分析】利用方差的性质、正态分布曲线的对称性、样本相关系数的含义以及全概率公式的应用逐一判断选项即可. 【详解】 对于A：根据方差性质，已知原数据方差为3，则新数据的方差为，不是9，A错误； 对于B：因，则， 又因与关于对称轴对称，故，B正确； 对于C：若所有样本点都在斜率为正的直线上，说明两个变量完全正相关，样本相关系数为1，不是0.5，C错误； 对于D：由全概率公式， 代入，，， 即得，D正确. 10．某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（    ） A．顾客甲获得100元纪念品的概率为 B．顾客甲获得50元纪念品的概率为 C．已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为 D．已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为. 【答案】ACD 【分析】设出事件，根据全概率和条件概率公式，结合古典概型和组合公式求解即可. 【详解】解析：设事件“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”，事件“丢掉的小球为红球”， 事件“丢掉的小球为白球”，事件“丢掉一个小球后任取两个小球为一红一白”， 则， ，由全概率公式可得 .故A对； ，故B错； ，故C对； ，故D对， 故选:ACD. 11．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点P满足，其中，，，则（    ） A．当P为底面的中心时， B．当时，长度的最小值为 C．当时，长度的最大值为6 D．当时，为定值 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】对于A，当为底面的中心时，由，则 故，故A错误； 对于B，当时， 当且仅当，取最小值为，故B正确; 对于C，当时，，则点在及内部， 而是以为球心，以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分， 当时，，当时，，可得最大值为，故C正确； 对于D，， ， 而，所以 ，则为定值，故D正确. 故答案选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知的展开式中的第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________. 【答案】 【分析】利用二项式系数相等的组合性质求出参数，写出展开式通项后令的次数为得到对应项数，最终计算得到常数项. 【详解】由已知可得，由组合数性质可知， 所以的展开式通项为， 由得，所以展开式中的常数项为. 13．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 【答案】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 14．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】设，易知，只需考虑的情形． 不等式化为． ①若，不符合题意． ②若，符合题意． ③若． 令． 令， ， 由. 在单调递增． 又． 当时，恒成立，在单调递增，，不符合题意． 当时，存在唯一的，使得． 单调递减． 单调递增． 在上的最大值只能在端点处取得． 要使恒成立，需满足，解得：． 综合可得：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. (1)求和的值； (2)若，且，求被5除的余数； (3)若，求的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)， 或 ； (2)1 (3)，； 【分析】（1）由二项式系数的性质，可得，根据等差数列的性质列出方程，可求得； （2）由（1）知，将写成，分析其展开式的特点，可得其被5除的余数； （3）根据项的系数最大，列出相应不等式，求出参数，即可求得相应的项. 【详解】（1）由二项式系数性质，仅第5项最大，则 为偶数且 ，解得 . 第4、5、6项系数、、，成等差数列得 .          由 ，，， 整理得 ，解得 或 . 故 ， 或 ；   （2）由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 .                        又 ，则                                           ， 故   被5除的余数为 .        （3）由 (1) 知 ， 或 .因为 ，所以 . 展开式通项为 ，系数为 ，. 设第 项系数最大，则满足， 由 ，得 ，即 . 由组合数计算公式得 ，故 ，因为，所以. 由 得 ，即 . 故 ，因为，所以，所以. 综上 ，即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:，； 16．某社区为推行普法宣传，举办社区“普法”知识竞赛.有A，B两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从该类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若回答正确则继续从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分.设选手李华能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，参赛选手能正确回答问题的概率与回答顺序无关. (1)当时，求李华先回答类问题累计得分为100分的概率； (2)若李华先回答类问题累计得分的期望大于先回答类问题累计得分的期望，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由相互独立事件的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别求得先回答类问题得分期望以及先回答类问题得分期望，列出不等式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题知：回答A类问题累计得分为100分的概率： . （2）先回答A类问题累计得分记为变量，的值为0，40，100 ， ， ， ， 先回答B类问题累计得分记为变量，的值为0，60，100 ， ， ， ， 由， 所以， 解得：. 17．如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建系，由直线方向向量与平面法向量垂直即可求证； （2）求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式，借助二次函数求最值即可求解. 【详解】（1）因为平面，四边形为正方形，所以两两垂直， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以平面， 则，，，，，，，， 设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为平面，所以平面； （2）， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即， 所以当点为线段的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为． 18．已知，函数. (1)若是函数的极小值点，求； (2)若函数存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）根据极值点可求的值，注意检验处两侧导数的符号； （2）先求出，并利用韦达定理化简前者得方程，结合根分布可证的存在性. 【详解】（1）依题意，. 因为是的极小值点，所以，得. 此时，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点，所以. （2）（i）因为，是的两个极值点， 所以的判别式， 解得或，故的取值范围是. （ii）由（i）可得，， 依题意， ， 令，设函数， 此时，对称轴， 而，故， 又，， 故在存在两个不同的零点，且， 综上，存在，且， 使得曲线在和处的切线都与直线平行. 19．一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡.新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立，如此繁衍下去.某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. (1)若， （i）求随机变量的分布列和期望； （ii）求事件“”的概率； (2)若，已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求使得条件期望时的最小正整数m，并求此时的期望. 【答案】(1)（i）分布列见解析，期望为（ii） (2)67， 【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解. （2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得. 【详解】（1）（i）依题意，的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 P 的数学期望为 （ii）事件“”，即细胞在n个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞，且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第i个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件“”的概率为. （2）在的条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， 由，即m的最小值为， ， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，又，所以， 即. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $