江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末复习数学全真模拟练习卷

**基本信息** 高二下学期期末数学模拟卷以现实情境为载体，融合集合、概率统计、函数导数等知识，通过智能安防、出游调查等问题设计，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、命题否定、相关系数、排列组合|第4题候鸟温度关系结合统计图表，第7题智能安防系统渗透条件概率| |填空题|3题/15分|二项式定理、条件概率、函数交点|第13题体育委员选裁判问题，将排列组合与条件概率综合| |解答题|5题/77分|独立性检验、分布列、函数单调性、导数零点|16题出游方式调查含列联表与数学期望，19题导数零点证明突出逻辑推理，体现高考命题趋势|

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C A B C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．3或8 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25.（4分） （2）当， 时， 项的系数为（8分） （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）补充列联表： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 40 100 跟团游 20 50 70 合计 80 90 170 ， 因此有的把握认为年龄与出游方式的选择有关；（6分） （2）用分层抽样从跟团游中抽取14个人，则从青壮年组中抽取人，从中老年组山抽取人， 从14个人中随机抽取7个人，若这7个人青壮年于中老年人数分别为， 则，相应的，则，（9分） 则，. 的分布列为的分布列为： 1 3 5 7 .（15分） 17．（15分） 【详解】（1），其中， 因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立， 又， 又，当且仅当时等号成立，故的最小值为， 所以，得到， 所以，即，所以a的最小值．（5分） （2）①当时，，其中 ， ， 所以， 故曲线为中心对称图形，函数的对称中心为．（9分） ②不等式可化为，即， 由第一问可知时，在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为；（6分） （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为；（10分） （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即，（4分） （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是.（9分） （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末全真模拟测试卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则. 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，命题“”的否定为“”. 故选：B 3．已知小明手中有两张卡牌，每张卡牌的编号均为中的一个数字，设甲：小明手中的两张卡牌的编号之和为；乙：小明手中的两张卡牌的编号均不超过2且编号之和为奇数，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意分析两张卡牌的编号的可能性情况，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由小明手中的两张卡牌的编号之和为3，可知小明手中的两张卡牌的编号分别为； 若小明手中的两张卡牌的编号均不超过2，则此时其手中的卡牌的编号有1，1和1，2及2，2三种可能， 但其编号之和为奇数，所以只能为1，2， 两者等价，故甲是乙的充要条件. 故选：C. 4．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 【答案】A 【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域， 所以y与x负相关，所以A正确，D错误； 当时，，所以约为， 所以B，C错误. 5．用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．652 B．648 C．504 D．562 【答案】B 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，…，9十个数字， 先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。 所以可以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：B. 6．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（   ） 附：，其中． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】设被调查的男性有人，则女性有人，列出列联表，根据独立性检验的基本思想可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出被调查的男性中不喜爱钓鱼的人数至少为. 【详解】设被调查的男性有人，则女性有人，根据题意，可得列联表如下： 钓鱼 性别 男性 女性 总计 喜爱钓鱼 不喜爱钓鱼 总计 则， 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为列联表中相关人数需为整数，则， 所以，被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有人． 7．某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 【答案】B 【分析】先求出三种模式的时间占比，再求出每种模式误报警的概率，再由全概率公式即可求解. 【详解】因为工作日、周末、法定节假日三种模式的时间占比分别为， 又由题知，工作日使用摄像头、红外传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以工作日误报警的概率为， 周末使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以周末误报警的概率为， 法定节假日使用摄像头、声音传感器的概率分别为和，且两者误报警的概率均为， 所以法定节假日误报警的概率为， 由全概率公式可知，系统发生误报警的概率为， 故选：B. 8．设函数，若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．e 【答案】A 【分析】根据恒成立得出条件等式，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 综上，，即. 所以，又，则， 令，则， 当时，，即单调递减；当时，，即单调递增； 所以，故的最小值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对选项A，利用作差法即可判断A错误.对选项B，构造函数再利用的单调性即可判断B正确，对选项C，构造函数再利用的单调性即可判断C正确，对选项D，构造函数再利用的单调性即可判断D错误. 【详解】对选项A，因为 所以，故A错误. 对选项B，设， ，所以在为减函数， 所以. 因为，所以. 又因为，所以，故B正确. 对选项C，设， 因为，所以在为增函数， 因为，所以，即，即，故C正确. 对选项D，设， 因为， 设，， ，所以在为增函数， 因为，所以 即， 所以在为增函数， 因为，所以，即，故D错误. 故选：BC 10．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】BC 【分析】构造，则根据有单调递增，再利用单调递增得到相应的不等式以判断各个选项即可. 【详解】设，则定义在上，且，所以单调递增. 由单调递增知，从而，A错误； 由单调递增知，从而，B正确； 由单调递增知，从而，C正确； 由单调递增知当时，则， 有，从而，即，D错误. 故选：BC. 11．已知三个密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 【答案】ACD 【分析】利用正态分布曲线的性质判断ABD，再根据已知求解概率即可判断C． 【详解】根据正态曲线关于直线对称，且越大曲线越靠右，则，故A正确； 又越小，数据越集中，正态曲线越瘦高，则，故B错误； ， 则， 所以，故C正确； 因为，取，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．若，则n的值为______． 【答案】3或8 【分析】根据组合数的性质化简已知条件，由此求得的值. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 13．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______． 【答案】 【分析】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果. 【详解】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判，注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法；再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法；最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为， 故答案为： 14．已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 【答案】 【分析】法一：分离参数，由，令函数，用导数法求解； 法二：构造差函数 由，取对数得方程在区间内有两个解，构造函数，用导数法求解； 法三：分离法：一曲一直取对数得，即，转化为与有且仅有两个交点求解； 法四：直接法 由曲线与直线有且仅有两个交点，利用导数法，由得，分和求解. 【详解】法一：分离参数 ，设函数， 则，令，得， 在内，单调递增； 在上，单调递减； ， 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点， 即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是， 这即是， 所以的取值范围是． 法二：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知， 即在区间内有两个解， 取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数， 求导数得． 当时，在区间内单调递增， 所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，； 当时，； 所以函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即， 由函数在内有两个零点知， 所以，即． 构造函数，则， 所以的递减区间为，递增区间为，所以， 当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． 法三：分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价于在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价于与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足： 时，与有且仅有两个交点． 记， 令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减； 时，最大值为， 所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． 法四：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即， 即，两边取对数，得， 即． 令，则，令，则， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以， 所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 【答案】(1)25 (2)30 (3)2.033 【分析】（1）根据组合数公式及二项式展开式的二项式系数计算求解； （2）应用二项式展开式及组合数计算求解； （3）应用二项式展开式结合近似值计算求解. 【详解】（1）根据二项式定理，x项的系数为 需要找到使得项系数最小的正整数m和n. 将代入， 得到 该二次函数的顶点位于 因此当或时取得最小值. 此时对应的或 计算得 故项的系数最小值为25. （2）当， 时， 项的系数为 （3）展开至三次项： 相加后得到： 计算各项： 考虑更高次项的影响，发现对小数点后第三位无影响，故近似值为2.033. 16．据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 跟团游 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； (2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】(1)列联表见解析，有关； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，根据独立性检验的基本思想，即可得结论； （2）由分层抽样确定14人的分布情况，若这7个人中老年与青壮年人数分别为，得，应用超几何分布概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）补充列联表： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 40 100 跟团游 20 50 70 合计 80 90 170 ， 因此有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； （2）用分层抽样从跟团游中抽取14个人，则从青壮年组中抽取人，从中老年组山抽取人， 从14个人中随机抽取7个人，若这7个人青壮年于中老年人数分别为， 则，相应的，则， 则，. 的分布列为的分布列为： 1 3 5 7 . 17．已知函数． (1)若在定义域上单调递增，求实数的最小值； (2)当时， ①判断曲线是否为中心对称图形，若是，求出函数的对称中心，若不是，说明理由； ②解不等式． 【答案】(1)． (2)①是，对称中心为；②． 【分析】（1）求导，分析可得在上恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解； （2）①根据题意计算的值，结合中心对称的定义分析证明；②结合函数的对称性整理可得，在结合单调性列式求解，注意函数的定义域. 【详解】（1），其中， 因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立， 又， 又，当且仅当时等号成立，故的最小值为， 所以，得到， 所以，即，所以a的最小值． （2）①当时，，其中 ， ， 所以， 故曲线为中心对称图形，函数的对称中心为． ②不等式可化为，即， 由第一问可知时，在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 18．某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求出的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案； （2）（i）由利用导数求出最大值可得答案；（ii）分析每名学生获得的奖金的期望，求和解不等式即可. 【详解】（1）由已知的取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 甲进入决赛的概率为； （2）（i）由题意得， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 可得的最大值为； （ii）由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量， 则的可能取值为， 所以，， ，， 所以 ， 可得，即， 整理得， 由， 得， 解得. 19．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末全真模拟测试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知小明手中有两张卡牌，每张卡牌的编号均为中的一个数字，设甲：小明手中的两张卡牌的编号之和为；乙：小明手中的两张卡牌的编号均不超过2且编号之和为奇数，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件 4．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（     ） A．与负相关 B．当时，一定为1359 C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系 5．用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．652 B．648 C．504 D．562 6．为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取男性人数与女性人数相同，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关，则被调查的男性中不喜爱钓鱼的至少有（   ） 附：，其中． A．人 B．人 C．人 D．人 7．某智能安防系统依据工作日、周末、法定节假日三种模式调整传感器使用策略．三种时段的时间占比为．在工作日，系统使用摄像头、红外传感器的概率分别为和：在周末，使用红外传感器、声音传感器的概率分别为和；在法定节假日，使用摄像头、声音传感器的概率分别为和．三种传感器在无入侵时误报警的概率分别为：摄像头，红外传感器，声音传感器．假设系统在任何时刻只使用一种传感器，则在随机时刻该系统发生误报警的概率为（   ） A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 8．设函数，若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 11．已知三个密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C．若，，则 D．若，，则，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则n的值为______． 13．学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为______． 14．已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知m， n是正整数， 的展开式中x的系数为11. (1)试求中的系数的最小值； (2)对于使用中的系数为最小的m， n， 求出此时的系数； (3)利用上述结果，求的近似值(精确到0.001). 16．据文化和旅游部发布的数据显示，近几年国内出游人次显著增加.人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游.为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于14岁，小于40岁）和中老年组（大于等于40岁）.现在市随机抽取170名成年市民进行调查，得到如下表的数据： 青壮年 中老年 合计 自由行 60 跟团游 50 合计 80 170 (1)请补充列联表，并判断能否有的把握认为年龄与出游方式的选择有关； (2)用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求的分布和数学期望. 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 17．已知函数． (1)若在定义域上单调递增，求实数的最小值； (2)当时， ①判断曲线是否为中心对称图形，若是，求出函数的对称中心，若不是，说明理由； ②解不等式． 18．某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰. (1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为，求的分布列并计算甲进入决赛的概率. (2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立. （i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为，求的最大值； （ii）某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时的取值范围. 19．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $