暑假预习：共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成 专项训练-2026-2027学年高一升高二暑假物理（人教版必修第三册）

**基本信息** 聚焦共线电荷平衡与多电荷库仑力合成，通过典例与变式系统覆盖静电场核心题型，强化相互作用观念与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |共线的自由电荷的平衡问题|例3+变式3|含固定/自由电荷的平衡，涉及重力、拉力、库仑力的受力分析及几何关系|库仑定律与平衡条件结合，从二力平衡到多力平衡的推理递进| |多个点电荷间库仑力合成|例3+变式3|三角形/多边形电荷分布，需判断力的方向与合成，含电性判断|库仑力矢量叠加，结合对称性与几何知识构建合力计算模型|

暑假预习：共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 暑假预习：共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 考点目录 共线的自由电荷的平衡问题 多个点电荷间库仑力合成 考点一 共线的自由电荷的平衡问题 例1．（25-26高一下·河南洛阳·期末）如图所示，两带电小球A、B质量均为，可看作质点。小球A电荷量为-q，用一端固定在天花板上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，两球间距为，轻绳与水平方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度为，静电力常量为。求： (1)A球静止时，轻绳上拉力的大小； (2)小球B电荷量。 例2．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）如图所示，带正电的小球B用绝缘棒固定，系在轻质绝缘丝线上重为G、带电荷量为（q>0）的小球在静电力的作用下发生偏离，当两个带电小球在同一高度相距保持静止时，丝线与竖直方向成角，小球可视为点电荷，静电力常量为。 (1)求A球受到绝缘丝线拉力的大小； (2)求B球带电荷量。 例3．（25-26高一下·江西九江·期末）如图为绝缘、光滑的“V”形结构，、分别为竖直、倾斜杆上的两点且距点的高度均为，。点固定一带电小球，绝缘轻弹簧一端固定在点，另一端和套在杆上、质量为的带电小球S相连，小球S恰好静止在的中点且对杆无压力。让该结构绕以一定的角速度（未知）转动，稳定后小球S位于点，弹簧恢复原长，重力加速度大小为，两小球均视为质点，，，求： (1)该结构未转动时，小球受到的库仑力的大小； (2)角速度的大小。 变式1．（25-26高二上·河北·期中）如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将、两带电小球悬挂于点，电荷量分别为、，质量分别记为和，静止时、两球处于同一水平线上，其中点到球的距离，，，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为，重力加速度为。求： (1)、间的库仑力大小； (2)、两球的质量和之比； (3)、连线上且在点的正下方点的电场强度大小。 变式2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，把质量为0.0002kg的带电小球A用轻丝线吊起，若将带电荷量为的小球B靠近它，当两小球在同一高度相距3cm时A球静止，此时丝线与竖直方向的夹角为45°（重力加速度g取，），求： (1)绳的张力多大？ (2)此时A、B间的库仑力大小； (3)判断A球的电性并求出所带的电荷量。 变式3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，把质量为m的带负电的小球A用绝缘细绳悬挂起来，再将带电荷量＋q的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距r时，A球静止，绳与竖直方向的夹角为α。已知静电力常量为k，重力加速度为g，求： (1)A球受到的库仑力F的大小； (2)绳子上的拉力大小； (3)A球所带电荷量。 考点二 多个点电荷间库仑力合成 例1．（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）有A、B、C三个完全相同的金属小球，最开始只有A球带电，现将三个小球按图a放在绝缘水平面上靠在一起，然后将它们分开放在一个四周绝缘且光滑的容器中，结果三个小球恰好能静止在一个边长为d的、处在竖直平面的一个等边三角形的三个顶点（如图b所示），已知每个小球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，每个小球都可以看成点电荷。问： (1)A球最开始带电量大小； (2)容器底对B球弹力大小。 例2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，在三角形的三个顶点a、b、c处分别固定三个点电荷，a、b两处的点电荷都带正电，c处点电荷所受库仑力的合力的方向垂直于a、b的连线向下，已知a处点电荷所带的电荷量为，，。 (1)试判断c处点电荷的电性； (2)求b处点电荷的带电荷量。 例3．（25-26高二上·四川凉山·开学考试）如图所示，分别在A、B两点放置两个点电荷，带电荷量分别为Q1＝+2×10－14C和Q2＝-2×10－14C。在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2m。如果有一电子静止放在C点处，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求电子所受的静电力的大小和方向。 变式1．（24-25高一下·江西抚州·期中）竖直面内有三个点电荷、、固定于一个等边三角形的三个顶点上，已知三角形的边长为。为负点电荷，、为正点电荷，、、所带电荷量相等。某质量的小球（可视为质点）恰好能在等边三角形几何中心静止不动，小球所带电荷量为（未知），静电力常量，取重力加速度大小。 (1)判断小球带正电还是负电； (2)求小球所带电荷量的大小。 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为L＝0.3m的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q＝1×10－6C，静电力常量k＝9×109 N/m2·C2。求它们各自所受的静电力大小。 变式3．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）如图，三角形ABC为等边三角形，边长，将三个点电荷分别固定在A、B、C点，，，，已知静电力常量。求： （1）对的库仑力大小； （2）受到的库仑力。 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 暑假预习：共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 考点目录 共线的自由电荷的平衡问题 多个点电荷间库仑力合成 考点一 共线的自由电荷的平衡问题 例1．（25-26高一下·河南洛阳·期末）如图所示，两带电小球A、B质量均为，可看作质点。小球A电荷量为-q，用一端固定在天花板上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时，两球间距为，轻绳与水平方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度为，静电力常量为。求： (1)A球静止时，轻绳上拉力的大小； (2)小球B电荷量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意A球静止时，对A球受力分析，如图所示 由平行四边形定则及几何关系，轻绳上拉力为 解得 （2）A球与B球间的库仑力 解得 例2．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）如图所示，带正电的小球B用绝缘棒固定，系在轻质绝缘丝线上重为G、带电荷量为（q>0）的小球在静电力的作用下发生偏离，当两个带电小球在同一高度相距保持静止时，丝线与竖直方向成角，小球可视为点电荷，静电力常量为。 (1)求A球受到绝缘丝线拉力的大小； (2)求B球带电荷量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）带负电的小球A处于平衡状态，竖直方向： 水平方向： 解得球受到绝缘丝线的拉力： （2）根据库仑定律受到库仑力的大小： 又： 解得B球带电荷量： 例3．（25-26高一下·江西九江·期末）如图为绝缘、光滑的“V”形结构，、分别为竖直、倾斜杆上的两点且距点的高度均为，。点固定一带电小球，绝缘轻弹簧一端固定在点，另一端和套在杆上、质量为的带电小球S相连，小球S恰好静止在的中点且对杆无压力。让该结构绕以一定的角速度（未知）转动，稳定后小球S位于点，弹簧恢复原长，重力加速度大小为，两小球均视为质点，，，求： (1)该结构未转动时，小球受到的库仑力的大小； (2)角速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）未转动时，小球受到弹簧弹力、库仑力、重力而平衡，如图甲。 由几何关系 由平衡条件 解得 （2）转动稳定后小球S位于点，弹簧恢复原长，弹簧弹力 由图乙所示几何关系 水平方向 竖直方向 联立解得 变式1．（25-26高二上·河北·期中）如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将、两带电小球悬挂于点，电荷量分别为、，质量分别记为和，静止时、两球处于同一水平线上，其中点到球的距离，，，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为，重力加速度为。求： (1)、间的库仑力大小； (2)、两球的质量和之比； (3)、连线上且在点的正下方点的电场强度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由几何关系可知，、间距为 根据库仑定律，、之间的库仑力大小为 （2）对、受力分析如图所示： 对球有 对球有 解得 （3）由几何关系，两个带电小球、在点产生的电场强度大小分别为 ， 二者方向相反，因此点的合场强为 变式2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，把质量为0.0002kg的带电小球A用轻丝线吊起，若将带电荷量为的小球B靠近它，当两小球在同一高度相距3cm时A球静止，此时丝线与竖直方向的夹角为45°（重力加速度g取，），求： (1)绳的张力多大？ (2)此时A、B间的库仑力大小； (3)判断A球的电性并求出所带的电荷量。 【答案】(1) (2) (3)A球带负电荷， 【详解】（1）对小球受力分析，如图所示 竖直方向由平衡条件有 解得绳中张力 （2）小球A受水平向左的库仑力、重力、绳子的拉力而平衡，根据平衡条件有 （3）两个小球相互吸引，故带异种电荷，故A球带负电荷，根据库仑力公式 解得 变式3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，把质量为m的带负电的小球A用绝缘细绳悬挂起来，再将带电荷量＋q的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距r时，A球静止，绳与竖直方向的夹角为α。已知静电力常量为k，重力加速度为g，求： (1)A球受到的库仑力F的大小； (2)绳子上的拉力大小； (3)A球所带电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对A球受力分析可得， 解得A球受到的库仑力的大小 （2）绳子上的拉力大小 （3）根据库仑定律 解得 考点二 多个点电荷间库仑力合成 例1．（25-26高二上·重庆渝中·阶段检测）有A、B、C三个完全相同的金属小球，最开始只有A球带电，现将三个小球按图a放在绝缘水平面上靠在一起，然后将它们分开放在一个四周绝缘且光滑的容器中，结果三个小球恰好能静止在一个边长为d的、处在竖直平面的一个等边三角形的三个顶点（如图b所示），已知每个小球质量为m，静电力常量为k，重力加速度为g，每个小球都可以看成点电荷。问： (1)A球最开始带电量大小； (2)容器底对B球弹力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设A球最开始带电量大小为Q，三个小球接触后，每个小球带电量为 对A球，竖直方向由平衡条件可得 解得 （2）对 B 球，由平衡条件可得 解得 例2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，在三角形的三个顶点a、b、c处分别固定三个点电荷，a、b两处的点电荷都带正电，c处点电荷所受库仑力的合力的方向垂直于a、b的连线向下，已知a处点电荷所带的电荷量为，，。 (1)试判断c处点电荷的电性； (2)求b处点电荷的带电荷量。 【答案】(1)带负电 (2) 【详解】（1）c处点电荷所受库仑力的合力的方向垂直于a、b的连线向下，可知c处点电荷受力如图所示 可知c处点电荷受到a、b处点电荷的库仑引力，由于a、b处点电荷带正电，所以c处点电荷带负电。 （2）由题图可得 又，， 联立解得b处点电荷的带电荷量为 例3．（25-26高二上·四川凉山·开学考试）如图所示，分别在A、B两点放置两个点电荷，带电荷量分别为Q1＝+2×10－14C和Q2＝-2×10－14C。在AB的垂直平分线上有一点C，且AB＝AC＝BC＝6×10－2m。如果有一电子静止放在C点处，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求电子所受的静电力的大小和方向。 【答案】8.0×10－21 N，平行于AB连线向左 【详解】电子带负电荷，在C点同时受A、B两点电荷的静电力FA、FB，方向如图所示。由库仑定律得 同理可得FB＝8.0×10－21 N 由平行四边形定则和几何知识得静止放在C点的电子受到的静电力大小为F＝FA＝FB＝8.0×10－21 N 方向平行于AB连线向左。 变式1．（24-25高一下·江西抚州·期中）竖直面内有三个点电荷、、固定于一个等边三角形的三个顶点上，已知三角形的边长为。为负点电荷，、为正点电荷，、、所带电荷量相等。某质量的小球（可视为质点）恰好能在等边三角形几何中心静止不动，小球所带电荷量为（未知），静电力常量，取重力加速度大小。 (1)判断小球带正电还是负电； (2)求小球所带电荷量的大小。 【答案】(1)正电 (2) 【详解】（1）由题意可得小球带正电。 （2）根据平衡条件 根据几何关系 代入数据可得 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为L＝0.3m的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q＝1×10－6C，静电力常量k＝9×109 N/m2·C2。求它们各自所受的静电力大小。 【答案】0.17N 【详解】三个点电荷带电荷量均为q，它们的分布如图所示 点电荷受到对它的静电力和对它的静电力两个力的作用，每两个点电荷之间的距离L都相同，所以 根据平行四边形定则可得 每个点电荷所受的静电力的大小相等，数值均为0.17N。 变式3．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）如图，三角形ABC为等边三角形，边长，将三个点电荷分别固定在A、B、C点，，，，已知静电力常量。求： （1）对的库仑力大小； （2）受到的库仑力。 【答案】（1）0.9N；（2），方向垂直AB指向C 【详解】（1）根据库仑定律，B受A的库仑力为 带入数据得 （2）根据库仑定律，A对C的库仑力为      带入数据得 方向由A指向C；B对C的库仑力与A对C的库仑力大小相等，方向由B指向C。所以C受A、B的合力为 得 方向垂直AB指向C。 2 学科网（北京）股份有限公司 $