第1章集合与逻辑单元测试卷2026-2027学年高一上学期数学湘教版必修第一册

**基本信息** 湘教版必修第一册《集合与逻辑》单元复习卷，整合基础与中档题型，精选各地期末及专题练习真题，覆盖集合运算、命题逻辑等核心知识，适配单元复习巩固，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补（题1-2）、命题否定（题3）、充分条件（题5）|基础巩固，真题情境真实| |多选题|3/18|集合关系图示（题9）、充要条件判断（题10）、新定义“闭集合”（题11）|能力提升，渗透创新意识| |填空题|3/15|集合含参问题（题12-14）|聚焦易错点，强化符号意识| |解答题|5/77|集合与参数范围（题15-17）、复合命题真假（题18）、集合创新应用（题19）|综合应用，突出逻辑推理与数学思维|

湘教版必修第一册《第1章 集合与逻辑》 基础、中档题型练习 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D A A A A ACD BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】集合，，则 2．A 【详解】集合， 则. 3．D 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 4．D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 5．A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 6．A 【详解】先判断命题的真假： 分式不等式等价于且，解得或， 恰好对应命题给出的取值范围， ∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题. 再判断命题的真假： 不等式化简得，即， ∵ ，∴ 不等式等价于，解得， 即当时，成立，例如取，，满足条件， ∴ ，成立，故为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题，A选项正确. 7．A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 8．A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 9．ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 10．BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11．ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 12． 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 13． 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 14．0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 16． 【分析】条件可转化为，分和分别列不等式求的范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 17．(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 18．“或”是真命题、“且”是假命题，“非”为假． 【详解】对于命题：已知，根据绝对值不等式的解法， 的解集为或，因此是真命题； 对于命题：中， 当时，无解，解集为空集，不是，因此是假命题， 根据“真假”： 或：只要一个命题为真，结果为真，因此或是真命题； 且：需要两个命题都为真才为真，因此且是假命题； 非：对真命题的否定为假，因此非是假命题. 19．(1) (2)证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积：      2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有      2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. (3)中相应的元素为和. 【分析】（1）根据定义对5进行拆解，再分析得到满足题意的情况即可； （2）首先分析得，再作差即可证明，再分和计算即可； （3）分5类情况进行讨论即可. 【详解】（1）的所有元素有． 理由：因为或或或或或， 而又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有． （2）略. （3）设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版必修第一册《第1章 集合与逻辑》基础、中档题型练习 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）（25-26高二下·吉林松原·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）（25-26高二下·江苏·阶段检测）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）（2026高三·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（本题5分）（25-26高二下·河北邢台·期末）已知命题p：，，命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 7．（本题5分）（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．（本题5分）（25-26高二下·重庆·期末）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 10．（本题6分）（23-24高一上·云南文山·阶段检测）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 11．（本题6分）（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 13．（本题5分）（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 14．（本题5分）（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 四、解答题（共77分） 15．（本题12分）（25-26高二下·安徽六安·期末）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 16．（本题12分）（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17．（本题17分）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 18．（本题17分）（2026高三·全国·专题练习）已知下列两个命题： 的解集是或； 的解集是． 分别判断“或”“且”“非”形式的复合命题的真假． 19．（本题19分）（25-26高一下·北京丰台·期末）设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 湘教版必修第一册《第1章 集合与逻辑》基础、中档题型练习 第1页，共2页 湘教版必修第一册《第1章 集合与逻辑》基础、中档题型练习 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $