精品解析：2022年江苏省江阴市云亭中学九年级数学中考模拟试卷

初三数学中考模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x＞2 C. x≠0 D. x≠2 3. 一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 6. 下列四个几何体中，左视图与主视图不同的是（　　） A. B. C. D. 7. 将抛物线y＝x2＋4x＋3沿x轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. (5，7) B. (－1，7) C. (1，4) D. (5，4) 8. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 9. 在△ABC中，AB=3，AC=．当∠B最大时，BC的长是（   ） A. B. C. D. 2 10. 如图，扇形中，，将扇形绕点B逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在弧上的点D处，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k＞0）与一直线交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，点H是双曲线第三象限上的动点（在点A右侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a•HP，HB＝b•HQ，则a，b的关系式成立的是（　　） A. a+b＝2 B. a﹣b＝﹣2 C. a+2b＝3 D. a﹣2b＝﹣3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 12. 把代数式因式分解，第一步先___________，结果为_________． 13. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．则这两年的年利润平均增长率为______． 14. 若函数图像与x轴的两个交点坐标为和，则__________． 15. 有甲､乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲､乙两组数据的方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16. 若一个圆锥的侧面积是，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是______． 17. 在直角边为6、8的直角三角形中，重心G到斜边的距离为____． 18. 如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____． 19. 一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 20. 计算： （1）； （2） 21. （1）解不等式组：； （2）解方程：（x＋1）（x﹣3）＝1 22. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 23. （1）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两点，连接线段PA，PB交⊙O于点D、E，已知．求证：． （2）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两动点，请用无刻度的直尺和圆规作∠APB，使∠APB达到最大． 24. 如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号） （1）求出此时点A到军港C的距离； （2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离． 25. 如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作EC⊥AC，交AD的延长线于E，连接DB，且CD＝CE． （1）求证：DC与⊙O相切． （2）若AB＝10，tan∠BDC＝，求CE的长． 26. 为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机． （1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 27. 矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC． （1）若m=6，n=6； ①当点E与点B重合时，求线段DP的长； ②当EB=EP时，求线段BP的长； （2）若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为 (直接写出答案)． 28. 如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E． （1）求圆⊙的半径； （2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值． 29. 如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周． （1）当、分别在、边上，连结、，求的面积； （2）设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长； （3）连结，取中点M，连结，的取值范围为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学中考模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞0 B. x＞2 C. x≠0 D. x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分母不等于0，分式有意义，可得答案． 【详解】解：由题意，得x−2≠0， 解得x≠2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 3. 一组数据：3，4，4，4，5．若拿掉一个数据4，则发生变化的统计量是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的极差、方差、中位数、众数，由此即可求解． 【详解】原数据3，4，4，4，5的极差为5-3=2， 原数据3，4，4，4，5的中位数为4， 原数据3，4，4，4，5的众数为4， 原数据3，4，4，4，5的平均数为=4， 原数据3，4，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×3+（5-4）2]=0.4； 新数据的3，4，4，5的极差为5-3=2， 新数据的3，4，4，5的中位数为（4+4）÷2=4， 新数据的3，4，4，5的众数为4， 新数据的3，4，4，5的平均数为=4， 新数据的3，4，4，5的方差为×[（3-4）2+（4-4）2×2+（5-4）2]=0.5； ∴添加一个数据4，方差发生变化， 故选B． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、极差，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 4. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由关于的方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，由此即可解答． 【详解】∵a=1，b=p，c=q，关于的方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2 -4ac=p2 -4×1×q=p 2 -4q＞0， 即p2 -4q＞0． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式△的关系是解决问的关键． 5. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【详解】解：A、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B、是与的平方的差，能用平方差公式分解因式； C、是三项不能用平方差公式分解因式； D、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键． 6. 下列四个几何体中，左视图与主视图不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A、正方体左视图为正方形，主视图为正方形，两个正方形大小相同； B、球体左视图为圆，主视图为圆，两个圆大小相同； C、圆锥左视图为三角形，主视图为三角形，两个三角形大小相同； D、长方体左视图为长方形，主视图为长方形，两个长方形大小不一定相同， 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 7. 将抛物线y＝x2＋4x＋3沿x轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. (5，7) B. (－1，7) C. (1，4) D. (5，4) 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移规则进行平移，后配方为顶点式，即可得到答案 【详解】将y＝x2＋4x＋3沿轴向右平移3个单位，得：， 将向上平移５个单位，得： 化简得： 配方成顶点式得： ∴其顶点坐标为： 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的图象的平移规则，以及将二次函数一般式配方为顶点式取得顶点坐标的方法，熟知以上规则是解题的关键． 8. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴, ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键． 9. 在△ABC中，AB=3，AC=．当∠B最大时，BC的长是（   ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：以A为圆心，依据AC为半径作⊙A，当BC为⊙A的切线时，即BC⊥AC时，∠B最大，此时BC= = =．故选C． 点睛：本题考查了勾股定理，利用大边对大角判断出BC最长时的情况是解题的关键． 10. 如图，扇形中，，将扇形绕点B逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在弧上的点D处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连OD、AB、BC，延长AD交BC于H点，由旋转的性质可得BD=BO=OD=CD=OA，∠BDC=90，可证ABC是等边三角形，由线段垂直平分线的性质可得AH垂直平分BC，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得AC=2CH，AD=CH-CH=（-1）CH，即可求解． 【详解】解：如图，连OD、AB、BC，延长AD交BC于H点， ∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处， ∴BD=BO=OD=CD=OA，∠BDC=90， ∴∠OBD=60，即旋转角为60， ∴∠ABC=60，又可知AB=BC， ∴ABC是等边三角形， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AH垂直平分BC， ∴∠CAH=30， ∴AC=2CH，AH=CH， ∵BD=CD，∠BDC=90，DH⊥BC， ∴DH=CH， ∴AD=CH-CH=（-1）CH， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，利用CH表示AC和AD是本题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k＞0）与一直线交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，点H是双曲线第三象限上的动点（在点A右侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若HA＝a•HP，HB＝b•HQ，则a，b的关系式成立的是（　　） A. a+b＝2 B. a﹣b＝﹣2 C. a+2b＝3 D. a﹣2b＝﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】通过HA＝a•HP，HB＝b•HQ可联想构造“A”字模型，“8”字模型，从而通过线段比的关系得到a与b的关系． 【详解】解：分别过点B、A、H作BN⊥y轴于点N，AM⊥y轴于点M，HC⊥y轴于点C， 则AMHCBN， ∴∠AMP＝∠HCP，∠MAP＝∠CHP；∠BNQ＝∠HPQ，∠NBQ＝∠PHQ， ∴△AMP∽△HCP，△BNQ∽△HCQ， ∴， ∵HA＝a•HP，HB＝b•HQ即，， ∴，， ∵A（﹣2，m），B（1，n）， ∴AM＝2，BN＝1， ∴，， ∴， ∴a﹣2b＝﹣3． 故选：D． 【点睛】本题是反比例函数综合题，能够构造出“A”字模型，“8“字模型是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 12. 把代数式因式分解，第一步先___________，结果为_________． 【答案】 ①. 提公因式 ②. 【解析】 【分析】根据题意先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：提公因式， 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 13. 某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．则这两年的年利润平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设工厂年利润的平均增长率为x，根据题意即可列出方程求出即可． 【详解】解：这两年的年利润平均增长率为x，根据题意可列出方程为： ， 解得：（不合题意舍去），， 故答案为：30%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．熟练掌握平均增长率情况下下一阶段的值是解题关键． 14. 若函数图像与x轴的两个交点坐标为和，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得． 【详解】解：函数图像与x轴的两个交点坐标为和 由对称轴所在的直线为： 解得 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决本题的关键． 15. 有甲､乙两组数据，如表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲､乙两组数据的方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可． 【详解】解：由题意得： ，， ∴， ， ∴， ∴； 故答案为＞． 【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键． 16. 若一个圆锥的侧面积是，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是______． 【答案】3． 【解析】 【详解】试题解析：设圆锥的母线长为R， 解得：R=6， ∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π， ∴圆锥的底面圆半径是6π÷2π=3． 故答案为3. 17. 在直角边为6、8的直角三角形中，重心G到斜边的距离为____． 【答案】##1.6 【解析】 【分析】在 中， ， 为AB中点，可推出 ，取AC的中点H，连接BH、DH，结合点G 为的重心， 可证，即可得到 ，作GF ⊥AB于点F，CE⊥AB于点E，利用等面积法 求出CE 的长度，然后根据相似三角形的性质求出GF即可． 【详解】 如图，在 中， 由勾股定理得 为AB中点 取AC的中点H，连接BH、DH 点G 为的重心 作GF ⊥AB于点F，CE⊥AB于点E 所以，重心G到斜边的距离为为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定和性质，三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，证明重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，是解题的关键． 18. 如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，设正方形的边长为x，根据相似三角形的高之比等于相似比，列方程，即可求解． 【详解】解：过点A作，交BC于点F，交DE于点G，交MN于点P，如图， 由题可知，， ，， ，， 设正方形的边长为x，则，，，， ，， ， ， 化简得， 将代入，得， 解得． 正方形的边长为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，高之比等于相似比． 19. 一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，AC=CE=2，取AB中点O，连接OF.∠FCE在∠ACB内部绕点C任意转动(包括边界)，则CE在运动过程中扫过的面积为____；在旋转过程中，线段OF的长度最小时，两块三角板重叠部分的周长为____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：连接．在中， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在运动过程中扫过的面积， ， ， 当CF过O点时，如图，的最小值为． 过G点做， ∵，， ∴，，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 两块三角板重叠部分的周长为， 故答案为，． 【点睛】本题考查轨迹，扇形的面积、解三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．） 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出零指数幂，绝对值，特殊三角函数值，再计算加减法； （2）先通分，再进行减法运算，再约分． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了零指数幂，特殊三角函数值，以及分式的加减，熟练掌握实数的运算法则和分式的减法法则是解答本题的关键． 21. （1）解不等式组：； （2）解方程：（x＋1）（x﹣3）＝1 【答案】（1）2＜x＜3.5；（2）， 【解析】 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可； （2）先把方程化成一元二次方程的一般式，然后根据求根公式求解即可． 【详解】解：（1）解不等式4（x﹣1）＞x+2，得：x＞2， 解不等式，得：x＜3.5， ∴不等式组的解集为2＜x＜3.5； （2）将方程整理为一般式为x2﹣2x﹣4＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4， ∴ ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， 则x＝ ， ∴ ，． 【点睛】本题考查了不等式组的解法，一元二次方程的解法，灵活运用一元二次方程的解法求解是解第2题的关键． 22. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关． （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是　 ； （2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）用列表法或树状图列举所有可能，再利用概率公式解答即可． 【详解】（1）由题意得：王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为， 故答案为：； （2）画出树状图如下： 所有出现的等可能性结果有12种，其中满足条件的结果有2种，则两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是． 【点睛】本题考查了求概率，较复杂的可以用列表法或树状图法，关键是求得所有可能的结果数及事件发生的结果数，后者与前者的比便是所求的概率． 23. （1）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两点，连接线段PA，PB交⊙O于点D、E，已知．求证：． （2）如图，点P为⊙O外一点，点A，B为⊙O上两动点，请用无刻度的直尺和圆规作∠APB，使∠APB达到最大． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接AE、BD，如图（1），先根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA，再根据圆周角定理得到∠DAE＝∠EBD，所以∠BAE＝∠ABD，然后利用弧线段所对的弦相等得到结论； （2）先作PO的垂直平分线得到OP的中点，然后以OP为直径作⊙C交⊙O于A、B，则PA、PB为⊙O的切线，此时∠APB最大． 【详解】解：（1）证明：连接AE、BD，如图（1）， ∵AP＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA， ∵∠DAE＝∠EBD， ∴∠BAE＝∠ABD， ∴， ∴BE＝AD； （2）如图（2），∠APB为所作． 如图（3），PA切⊙O于A，A1为⊙O上异于A的另一点，OQ⊥PA1， ∴∠PAO＝90°，∠PQO＝90°， ∴sin∠APO＝，sin∠QPO＝， ∵在0~90°时，正弦值越大，角度越大，且OA＞OQ， ∴∠APO＞∠A1PO， ∴PA、PB与⊙O相切时，∠APB最大． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，三角函数的应用． 24. 如图，052D型驱逐舰“昆明舰”执行任务后正返回葫芦岛军港C，途经渤海海域A处时，葫芦岛军港C的中国海军发现点A在南偏东30°方向上，旅顺军港B的中国海军发现点A在正西方向上．已知军港C在军港B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里，（计算结果保留根号） （1）求出此时点A到军港C的距离； （2）若“昆明舰”从A处沿AC方向向军港C驶去，当到达A＇时，测得军港B在A＇的南偏东75°的方向上，求此时“昆明舰”的航行距离． 【答案】（1）海里；（2）海里． 【解析】 【分析】（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D，在中利用利用三角函数即可求解； （2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N，可证A＇B平分∠CBA，根据角平分线的性质、三角函数即可求解． 【详解】 解：（1）延长BA，过点C作CD⊥BA延长线于点D 由题意可得：∠CBD，BC=120 则DC=60 故 解得：AC= 答：此时点A到军港C的距离为海里； （2）过点A＇作A＇N⊥BC于点N 可得∠1=，∠BA＇A= 则∠2=，即A＇B平分∠CBA 设AA＇=x，则A＇E= 故CA＇=2A＇N= ∵ ∴ 答：此时“昆明舰”的航行距离为海里． 【点睛】此题主要考查方向角的应用，灵活运用三角函数是解题关键． 25. 如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作EC⊥AC，交AD的延长线于E，连接DB，且CD＝CE． （1）求证：DC与⊙O相切． （2）若AB＝10，tan∠BDC＝，求CE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得到，则，可得出结论； （2）证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出方程，解方程求得x即可. 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵CE⊥AC， ∴∠ACE＝90°， ∴∠A+∠E＝90°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∴∠A+∠CDE＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∴∠ADO+∠CDE＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥DC， ∴DC与⊙O相切； 【小问2详解】 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， 又∵∠BDC+∠ODB＝90°， ∴∠BDC＝∠A， ∵∠BCD＝∠ACD， ∴△BCD∽△DCA， ∴， ∵tan∠BDC＝tan∠A＝， 设CB＝x，则CD＝2x， ∴CD2＝CB•CA， ∴， ∴x＝， ∴CD＝CE＝． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 26. 为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，且用1200万元恰好能购买300套A型一体机和200套B型一体机． （1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨20%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【答案】（1）今年每套A型一体机的价格为2万元，每套B型一体机的价格为3万元 （2）该市明年至少需要投入1575万元才能完成采购计划 【解析】 【分析】（1）设今年每套A型一体机的价格是万元，则今年每套B型一体机的价格是万元，根据题意列方程即可求解； （2）设明年采购A型一体机m套，则采购B型一体机套，根据题意列不等式求出m范围，进而利用一次函数增减性得出答案． 【小问1详解】 解：设今年每套A型一体机的价格是万元，则今年每套B型一体机的价格是万元， 根据题意得：， 解得， ， 答：今年每套A型一体机的价格是2万元，每套B型一体机的价格是3万元； 【小问2详解】 解：设明年采购A型一体机m套，则采购B型一体机套， 根据题意得：， 解得， 设采购总费用为w万元， 则 ， 随m的增大而减小， 当时，w取最小值，此时（万元）， 答：该市明年至少需要投入万元才能完成采购计划． 27. 矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC． （1）若m=6，n=6； ①当点E与点B重合时，求线段DP的长； ②当EB=EP时，求线段BP的长； （2）若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为 (直接写出答案)． 【答案】（1）①9；②6； （2） 【解析】 【分析】（1）①当点E与点B重合时，AP⊥BD，证得△ADP∽△BDA，即可求解；②设AE交BP于点O，由EB=EP，可得到AE垂直平分BP，即可求解； （2）过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，可得四边形BFPG，四边形CFPH是矩形，然后设PF=x，PH=y，则BG=x，根据，可得，再证得△APG∽△EPF，可得，从而得到，继而得到△PEC面积为，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，当点E与点B重合时，AP⊥BD， 在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠BAP+∠DAP=90°，， ∵AP⊥BD， ∴∠APD=∠BAD=90°， ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DAP， ∴△ADP∽△BDA， ∴， ∴，解得：DP=9； ②如图，设AE交BP于点O， ∵EB=EP， ∴∠PBE=∠BPE， ∵∠APE=∠ABE=90°， ∴∠ABP=∠APB， ∴AB=AP， ∴AE垂直平分BP， 由（1）得：OD=9，BD=12， ∴OB=3， ∴BP=6， 【小问2详解】 如图，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD， ∴∠GBE=∠BFP=∠BGP=90°， ∴四边形BFPG是矩形， 同理四边形CFPH是矩形， ∴BG=PF=CH，PG=BF，PH=CF， ∴GH=BC， 设PF=x，PH=y，则BG=x， ∴AG=6-x，PG=8-y， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵∠APE=∠GPF=90°， ∴∠APG=∠EPF， ∴△APG∽△EPF， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴△PEC面积为， ∴当x=3时，△PEC面积的最大，最大值为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键． 28. 如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E． （1）求圆⊙的半径； （2）用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值． 【答案】（1）2.5 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，可得∠AEB=90°，从而得到四边形ADCE是矩形，进而得到AE=CD=4，CE=AD=2，设AB=x，则BC=x，BE=x-2，然后根据勾股定理可得AB=5，即可求解； （2）连接AM，可证得△ABM≌△CBM，从而得到AM=CM，∠BAM=∠BCM=90°，设AM= CM=m，则DM=CD-CM=4-m，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接AE， ∵AB圆O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵∠C=∠D=90°， ∴∠C=∠D=∠AEB=90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AE=CD=4，CE=AD=2， 设AB=x，则BC=x， ∴BE=x-2， ∵， ∴，解得：x=5， 即AB=5， ∴圆⊙的半径为2.5； 【小问2详解】 解：如图，连接AM， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM=∠CBM， ∵AB=BC，BM=BM， ∴△ABM≌△CBM， ∴AM=CM，∠BAM=∠BCM=90°， 设AM= CM=m，则DM=CD-CM=4-m， ∵， ∴，解得： 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 29. 如图，在等边边长为6，O是中心；在中，，，．将绕点A按顺时针方向旋转一周． （1）当、分别在、边上，连结、，求的面积； （2）设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长； （3）连结，取中点M，连结，的取值范围为_________． 【答案】（1） （2） （3）1≤DM≤5 【解析】 【分析】（1）由O是等边三角形的中心，可知OM=，进而得到，从而EO∥BM，所以可得OD=EN，即可求解； （2）易证△AEF∽△OBF，得到，设AF=x，OF=y，求解即可； （3）取AE的中点N，连接MN，DN，由D、N在⊙A上，可知即MN-DN ≤DM≤DN+MN，易知MN是△AEC的中位线，从而求得． 【小问1详解】 连接AO，并延长交BC于M，连接OB ∵O是等边△ABC的中心 ∴∠OBM=30°，BM=MC，AM⊥BC ∴OM== ∴ ∴EO∥BM 延长EO交AC于N，则△AEN为等边三角形 ∵EO∥BM ∴ ∴ON=OE，CN=DN=AD=2 ∴OD=EN=2 ∴ 【小问2详解】 连接OB，OA，如图， ∵O是等边△ABC的中心 ∴∠OBA=30°，OA=OB=2 ∴ ∵∠DAE=30° ∴AE=4，DE= 在△AEF和△OBF中 ∵∠ABO=∠AED=30°，∠AFE=∠BFO ∴△AEF∽△OBF(AA) ∴ 设AF=x，OF=y，则 解得，, 所以 【小问3详解】 取AE的中点N，连接MN，DN， ∵D,N在⊙A的圆上 ∴当D、M、N三点共线时，DM最大或最小， 即MN-DN ≤DM≤DN+MN， ∴MN-2≤DM≤MN+2 当D、M、N三点共线如图1时， △AND为等边三角形， ∴∠NDA=∠DAC=60°， ∴MN∥AC ∵M，N为中点 ∴MN= ∴DM≥1 当D、M、N三点共线如图2时， △AND为等边三角形， ∴∠NDA=∠BAC=∠CAE=60°， ∴MN∥AC ∵M，N为中点 ∴MN= ∴DM≤5 故答案为：1≤DM≤5 【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $