精品解析：2022年江苏省海门市万年初级中学九年级中考数学考前适应性练习 (5)

九年级中考考前适应性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，央视新闻网抖音号进行全程直播，共吸引多万网友观看，数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. 菱形 B. 矩形 C. 圆 D. 等边三角形 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 检测某城市的空气质量 D. 了解全国中小学生课外阅读情况 6. 如图，在中，，BD为的角平分线，，则（ ） A. 30° B. 40° C. 70° D. 75° 7. 如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图，的直径为10cm，△ABC内接于，，则下列量中不能确定的是（ ） A. ∠A的度数 B. 弦BC的长 C. 弦AC的长 D. 的长 9. 如图1，点P从正方形ABCD的顶点A出发，沿折线移动到点C停止．设点P移动的路径长为x（cm），PD与PB的差为y（cm）．若y与x的对应关系如图2所示，则图2中的值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（ ） A. 四边形APRQ的周长 B. 四边形PQCR的周长 C. △BPR的周长 D. △APQ的周长 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：______． 12. 若一个正多边形的一个外角等于45°，则这个多边形的边数为______． 13. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________． 15. 如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为______． 16. （定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为 [2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论： ①当m＝－3时,函数图象的顶点坐标是（,）; ②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于; ③当m<0时,函数在时,y随x的增大而减小; ④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点． 其中正确的结论有______________．（只需填写序号） 17. 如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，与分别交于点M，N．已知，则的长为_____． 18. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写书文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中，． 20. 解不等式组，并写出它的所有负整数解． 21. 为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，并进行党史知识竞赛．现从参赛的八，九年级学生中，各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息： a．表1 九年级抽取的20名学生的成绩（百分制）统计表 82 80 97 91 94 72 71 91 85 70 94 73 92 75 97 92 91 92 83 98 b．表2 九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 a 86.3 c．随机抽取八年级20名学生成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）在表2中，a的值等于______； （2）求八年级这20名学生成绩的平均数； （3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明判断的合理性． 22. 如图，中，，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：； （2）若，，求BF的长． 23. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件． （1）设该商品每件定价为x元，每星期可卖出y件，分别求出当和时，y与x的函数关系式； （2）若该商品的进价为每件30元，如何定价才能使得每星期的利润最大？请说明理由． 24. 已知在矩形ABCD中，，． （1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设，求∠BCF的大小（用含的式子表示）； （2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积； （3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，求tan∠BCE的值． 25. 定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值． （1）当时，下列函数有界的是______（只要填序号）； ①；②；③． （2）当时，一次函数的界值不大于2，求k的取值范围； （3）当时，二次函数的界值为，求a的值． 26. 如图平面直角坐标系，已知二次函数（m＞0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）点B的坐标为　 　，点D的坐标为　 　；（用含有m的代数式表示） （2）连接CD，BC． ①若，求二次函数的表达式； ②若把∆ABC沿着直线BC翻折，点A恰好在直线CD上，求二次函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考考前适应性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】按照有理数减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数减法，解题关键是熟练运用有理数减法法则进行准确计算． 2. 年月日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，央视新闻网抖音号进行全程直播，共吸引多万网友观看，数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. 菱形 B. 矩形 C. 圆 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则逐项排查即可． 【详解】解：A. 计算正确，故A选项符合题意； B. 和a不是同类项，不能合并，故B不选项符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. ，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方、单项式乘多项式的运算法则，灵活应用相关运算法则成为解答本题的关键． 5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 检测某城市的空气质量 D. 了解全国中小学生课外阅读情况 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用抽样调查和全面调查的特点进行判断即可． 【详解】解：A选项检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况事关重大，需要进行全面调查； B选项的调查具有破坏性，适合抽样调查； C选项的调查不适合全面调查，因此应进行抽样调查； D选项的调查不适合全面调查，因此应进行抽样调查； 故选：A． 【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查，解题的关键是掌握不同调查所适应的情况，全面调查的调查结果更准确，但面对的对象较多，范围较广，因此要消耗更多时间、人力和物力；因此具有破坏性的、难以实施全面调查的情况则应使用抽样调查． 6. 如图，在中，，BD为的角平分线，，则（ ） A. 30° B. 40° C. 70° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据角平分线的性质求出∠DBC的度数，再最后根据三角形内角和定理求出∠BDC的度数． 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠C=70°， ∴∠ABC=70°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=35°， ∴∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°35°-70°=75°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键． 7. 如图，AB为⊙O的弦，C，D为⊙O上的两点，，垂足为E，．若，则AB的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由垂径定理证得AB=2AE，△BEO是等腰直角三角形；然后利用勾股定理求得BE的长，进而求得AB的长即可． 【详解】∵OC⊥AB， ∴=，AB=2BE，∠BEO=90°， ∵∠ADC=22.5°， ∴∠COB=45°， ∴OE=BE， 在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2， ∵OC=2， ∴OE=BE= ∴AB=2BE= 故选：B 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用的题目，熟记垂径定理是解题的关键． 8. 如图，的直径为10cm，△ABC内接于，，则下列量中不能确定的是（ ） A. ∠A的度数 B. 弦BC的长 C. 弦AC的长 D. 的长 【答案】C 【解析】 【分析】连接CO并延长交于点D，连接BD，OB．由可知的度数是确定的，由圆周角定理可知，，，通过解可知弦BC的长是确定的，通过弧长公式可以推出的长是确定的，的度数不确定导致弦AC的长不能确定． 【详解】解：如图所示，连接CO并延长交于点D，连接BD，OB， ∵， ∴的度数是确定的； ∵是的直径， ∴， ∵， ∴的值是确定的， ∴是定值，即弦BC的长是确定的； ∵， ∴是确定的， ∴的长， ∴的长是确定的； ∵的度数不确定， ∴弦AC的长不能确定， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，弧长的计算，解直角三角形等，根据题目的已知条件添加适当的辅助线是解题的关键． 9. 如图1，点P从正方形ABCD的顶点A出发，沿折线移动到点C停止．设点P移动的路径长为x（cm），PD与PB的差为y（cm）．若y与x的对应关系如图2所示，则图2中的值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，当与点重合时候取得最大值4，当到达点时，，根据正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵当与点重合时候取得最大值4，当到达点时，，连接，如图， ∴，设正方形的边长为， 则， 解得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，根据函数图象获取信息是解题的关键． 10. 如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（ ） A. 四边形APRQ的周长 B. 四边形PQCR的周长 C. △BPR的周长 D. △APQ的周长 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点，根据等边三角形的性质与判定可知是等边三角形，进而证明是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，，根据三角形中位线的性质可得，根据平行四边形的性质可得，计算的周长为，即可求解． 【详解】如图，取的中点，连接，过点作交于点，过点作，交于点， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ， 则， 即， 是的中点，则， 中，是斜边上的中线， ， ，， ，即为的中点， ， ， ， 又， ， 三点共线， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． △BPR的周长等于，等边三角形的周长等于． 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若一个正多边形的一个外角等于45°，则这个多边形的边数为______． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，即可计算得到边数. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为， 又∵正多边形的所有外角都相等，该正多边形一个外角为， ∴这个多边形的边数为. 13. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 14. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：9×人数－11=6×人数+16，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设有人共同买鸡，根据题意得： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 15. 如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长． 【详解】连接、，交于，如图， ∵， ， 设⊙的半径为，则，， 在中，，解得， ∵， ，， 在中，，① 在中，，② 解由①②组成的方程组得到， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 16. （定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为 [2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论： ①当m＝－3时,函数图象的顶点坐标是（,）; ②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于; ③当m<0时,函数在时,y随x的增大而减小; ④当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点． 其中正确的结论有______________．（只需填写序号） 【答案】①②④． 【解析】 【详解】试题分析：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m]; ①当m=﹣3时,y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+,顶点坐标是（,）;此结论正确; ②当m＞0时,令y=0,有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0,解得x=,x1=1,x2=, |x2﹣x1|=＞,所以当m＞0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于,此结论正确; ③当m＜0时,y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线,其对称轴是：,在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时,=＞,即对称轴在x=右边,因此函数在x=右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误; ④当x=1时,y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）="0" 即对任意m,函数图象都经过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x轴上一个定点此结论正确． 根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的． 故答案是①②④． 考点：二次函数综合题． 17. 如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，与分别交于点M，N．已知，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于Q，延长和，交于W，根据勾股定理求出，根据矩形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出比例式，求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图1，四边形是矩形，，延长交于Q， ∴， ∵F为中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 如图2，延长和，交于W， 同理， ∵， ∴， ∴ ∴ 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意）， ∴． 18. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________. 【答案】x=0或x=4-4 或4＜x<4 【解析】 【详解】以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ，且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ，当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2； 只有3个点P； ②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= ． ③因为MN=4，所以当x>0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3，P3不能与M,N构成三角形，故舍去，所以x=4不满足题意； 当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4≤x＜． 与OB有两个交点P2和P3，故答案为x=0或x=或4＜x＜． 考点：相交两圆的性质；分类讨论；综合题． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写书文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）；20 【解析】 【分析】（1）先去分母化为整式方程，然后解方程，再验根即可； （2）利用多项式除以单项式法则和平方差公式计算，然后合并同类项，代入字母的值计算即可． 【详解】解：（1）去分母，两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，． ∴方程的解为． （2） ； 当，时， 原式． 【点睛】本题考查可化为一元一次方程的分式方程的解法，整式的混合运算，代数式的值，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，整式的混合运算法则，准确求代数式的值是解题关键． 20. 解不等式组，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为、、 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有负整数解为、、． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21. 为让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，并进行党史知识竞赛．现从参赛的八，九年级学生中，各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，得到如下信息： a．表1 九年级抽取的20名学生的成绩（百分制）统计表 82 80 97 91 94 72 71 91 85 70 94 73 92 75 97 92 91 92 83 98 b．表2 九年级抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差统计表 年级 平均数 中位数 方差 九年级 86 a 86.3 c．随机抽取八年级20名学生成绩的中位数为88，方差为83.2，且八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的平均数是84.5． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）在表2中，a的值等于______； （2）求八年级这20名学生成绩的平均数； （3）你认为哪个年级的成绩较好？试从两个不同的角度说明判断的合理性． 【答案】（1）91； （2）83； （3） 解：九年级的成绩较好，理由如下： 从平均数上看，九年级平均数为八年级平均数为83； 从中位数上看，九年级成绩的中位数八年级成绩的中位数88， 综上所述，九年级成绩较好． 【解析】 【分析】（1）中的表格的数从小到大排序，第10个数和第11个数的平均数即为中位数； （2）八、九两个年级抽取的这40名学生成绩的总数减去九年级抽取的20名学生成绩的总数，可得八年级抽取的20名学生成绩的总数，即可求值； （3）从中位数和平均数上分析即可． 【小问1详解】 解：九年级抽取的20名学生成绩的中位数， 故答案为：91； 【小问2详解】 解：， 答：八年级这20名学生成绩的平均数为83； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查平均数，中位数，方差，统计表，解本题关键要掌握平均数定义，中位数定义等． 22. 如图，中，，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F． （1）求证：； （2）若，，求BF的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】(1) 连接OD，得到，利用余角的性质得到，得出结果； (2) 连接OF，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：连接OD，如图， ∵半圆O的切线DF， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：连接OF． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键． 23. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件． （1）设该商品每件定价为x元，每星期可卖出y件，分别求出当和时，y与x的函数关系式； （2）若该商品的进价为每件30元，如何定价才能使得每星期的利润最大？请说明理由． 【答案】（1）； （2）44元，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分别求出当和时，y与x的函数关系式； （2）设该商品每件定价为x元，每星期的利润为W元．分别求出当和时，W与x的函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 【小问2详解】 设该商品每件定价为x元，每星期的利润为W元． 当时，； ∴当时，． 当时，； ∴当时，； 当时，． ∵， ∴该商品每件定价为44元时，每星期的利润最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 24. 已知在矩形ABCD中，，． （1）如图1，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接CF，设，求∠BCF的大小（用含的式子表示）； （2）在（1）的条件下，延长CF交AD于点G，求△AFG的面积； （3）如图2，点E是边AB上的一个动点，将△BEC沿CE折叠，点B落在点F处，连接AF，DF，当△ADF是等腰三角形时，求tan∠BCE的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可知，，由折叠的性质可知，，，可得，，根据计算求解即可； （2）如图1，过点F作于M，MF的延长线交BC于点N，则，，则四边形AECG是平行四边形，，则，在中，，设，，则，，中，由勾股定理得即，计算求出满足要求的的值，根据，求出的值，根据计算求解即可； （3）由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G，则，，在中，由勾股定理得求出的值，根据求出的值，证明，则，根据求解即可；②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N，，在中，，，计算求解即可；③若，由，可判断该情况不成立；进而可得所有可能情况的正切值． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【小问2详解】 解：如图1，过点F作于M，MF的延长线交BC于点N，则， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴四边形AECG是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 设，，则，， 在中，由勾股定理得即， 解得（舍去），， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G， ∵矩形ABCD中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴ ③若， ∵点E是边AB上的一个动点，， ∴， ∴不合题意，舍去； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和，正切，正弦，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值． （1）当时，下列函数有界的是______（只要填序号）； ①；②；③． （2）当时，一次函数的界值不大于2，求k的取值范围； （3）当时，二次函数的界值为，求a的值． 【答案】（1）①③ （2）或，函数 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用函数有意义时自变量x的取值范围结合有界函数的定义判定； （2）分情况讨论，①k＞0时；②k＜0时，然后求出x=m和x=m+2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k的取值，最后得到一次函数的解析式； （3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a≤x≤a+2时的最大值与最小值，再结合界值为求得a的值． 【小问1详解】 解：函数， ∵2＞0， ∴y随x的增大而增大，； ∵， ∴， ∴①有界； 函数，-2＜0， ∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 或 ∴②无界 如图， 函数的称轴为， ∵-1＜0， ∴当时，y随x增大而增大， ， 如图， ③有界； 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：当时，；当时，． ①当时，即时，y随x的增大而增大，由题意得 ，解得，． ∴． ②当时，即时，y随x的增大而减小，由题意得 ，解得，． ∴． ∴k的取值范围为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 令，得；令，得；令，得． ①当，即时，由题意得，，解得（舍去）； ②当，即时，由题意得，，解得，（舍去）； ③当，即时，由题意得，，解得，（舍去）； ④当，即时，由题意得，，解得（舍去）． 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论． 26. 如图平面直角坐标系，已知二次函数（m＞0）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）点B的坐标为　 　，点D的坐标为　 　；（用含有m的代数式表示） （2）连接CD，BC． ①若，求二次函数的表达式； ②若把∆ABC沿着直线BC翻折，点A恰好在直线CD上，求二次函数的表达式． 【答案】（1），；（2）； 【解析】 【分析】（1）令 解方程求出的值，结合点B的位置可得答案，由顶点的横坐标公式求得顶点横坐标，再代入解析式求解纵坐标即可． （2）①过点D作DH⊥AB，过点C作CG⊥DH，得到AB//CG，利用平行线的性质，锐角三角函数得，从而可求解函数解析式， ②过点B作BM⊥AC，BN⊥CD，由翻折得到角平分线，利用角平分线的性质，利用三角形面积关系得到，利用两点间距离公式列方程求解即可． 【详解】解：（1）令 点A在点B的左侧， ， 抛物线的顶点横坐标为 顶点纵坐标为： 顶点． 故答案为： ，． （2）①过点D作DH⊥AB，过点C作CG⊥DH， 由题可知，， ∴，， ∵AB//CG ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ②过点B作BM⊥AC，BN⊥CD， ∵∆ABC沿着直线BC翻折， ∴， ∵BM⊥AC，BN⊥CD， ∴ 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查二次函数与轴的交点坐标，顶点坐标，平行线的性质，锐角三角函数的应用，翻折即轴对称变换的性质，等高的两个三角形的底边之间关系，掌握以上知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $