2.3.1 两条直线的交点坐标 课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“两条直线的交点坐标”新授课同步练，以基础题为核心，通过阶梯式题型设计实现从单一知识点到综合应用的巩固，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|交点坐标计算、直线垂直判定|选择题1-3直接考查交点求解，强化概念理解| |综合应用|对称点、直线位置关系|填空题12-13结合垂直与线段相交，提升推理能力| |拓展深化|恒过定点、最值问题|解答题15-16综合恒过定点与对称变换，发展模型意识|

2.3.1 两条直线的交点坐标 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南邵阳高二上期中）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（） A. B. C. D. 2.若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ） A. (－∞，2) B. C. (－∞，－3) D. 3.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0 4.已知直线l1，l2的方程分别是y＝x－1，y＝kx－1，则当直线l1与l2的夹角θ满足0°<θ<15°时，实数k的取值范围是(　　) A. B.∪(1，) C.(1，) D.(1,2) 5.已知两定点A(－3,5)，B(2,8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A.5 B. C.5 D.2 6.点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A.(－2,1) B.(－2,5) C.(2，－5) D.(4，－3) 7.已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A. B. C. D. 8.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的角平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为(　　) A.y＝2x＋4 B.y＝x－3 C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0 二、多选题（共3小题） 9.若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A.0 B. C. D. 10.（2024-2025·宁夏石嘴山高二下期末）以下四个命题表述错误的是（ ） A.恒过定点 B.若直线与互相垂直，则实数 C.已知直线与平行，则或 D.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 11.已知直线l过点P(－1，1)，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是(　　) A.直线l与直线l1的斜率互为相反数 B.所围成的等腰三角形面积为1 C.直线l关于原点对称的直线方程为2x＋y－1＝0 D.原点到直线l的距离为 三、填空题（共3小题） 12.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为                  ． 13.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则实数a的取值范围为                  ． 14.已知点A(3，－1)，B(5，－2)，且点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是                  . 四、解答题（共2小题） 15.(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0，l2:3x-2y+2=0交点的直线方程; (2)无论实数a取何值，方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点，试求该定点. 16.已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)对称的直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 两条直线的交点坐标 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南邵阳高二上期中）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，两式相加消， 得，则，代入，得， 所以. ，由得， 代入，得， 即，，则，所以. 设直线的方程为，把，代入， ，，解得， 所以方程为，即. 答案：C. 2.若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ） A. (－∞，2) B. C. (－∞，－3) D. 【答案】D 【解析】联立，由②得，代入①得， 所以， 所以，因为交点在第四象限， 所以，解得，即， 故选：D. 3.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0 C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0 【答案】A 【解析】联立解得∴交点坐标为(1,6)．由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0. 4.已知直线l1，l2的方程分别是y＝x－1，y＝kx－1，则当直线l1与l2的夹角θ满足0°<θ<15°时，实数k的取值范围是(　　) A. B.∪(1，) C.(1，) D.(1,2) 【答案】B 【解析】由题意，知直线l1，l2都过定点(0，－1)，直线l1的斜率为1，倾斜角为45°. ∵直线l1，l2的夹角θ满足0°<θ<15°， ∴直线l2的倾斜角α满足45°－15°<α<45°或45°<α<45°＋15°，即30°<α<45°或45°<α<60°， ∴k＝tan α∈∪(1，)．故选B. 5.已知两定点A(－3,5)，B(2,8)，动点P在直线x－y＋1＝0上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A.5 B. C.5 D.2 【答案】D 【解析】因为两定点A(－3,5)，B(2,8)， 动点P在直线x－y＋1＝0上， 所以点A(－3,5)，B(2,8)在直线x－y＋1＝0同侧， 设点A关于直线x－y＋1＝0的对称点为C(a，b)， 则 解得a＝4，b＝－2， 所以C(4，－2)， 所以|PA|＋|PB|的最小值为|BC|＝＝2. 6.点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A.(－2,1) B.(－2,5) C.(2，－5) D.(4，－3) 【答案】B 【解析】设对称点坐标为(a，b)， 解得即Q(－2,5)． 7.已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 8.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的角平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为(　　) A.y＝2x＋4 B.y＝x－3 C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0 【答案】C 【解析】设B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)， 则 即 解得即B′(1,0)． 又B′在直线AC上， 则直线AC的方程为＝， 即x－2y－1＝0. 二、多选题（共3小题） 9.若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A.0 B. C. D. 【答案】AC 【解析】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 10.（2024-2025·宁夏石嘴山高二下期末）以下四个命题表述错误的是（ ） A.恒过定点 B.若直线与互相垂直，则实数 C.已知直线与平行，则或 D.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】选项A：直线， 可化为，恒过定点，故A正确. 选项B：当时，斜率为，斜率不存在， 两直线垂直；当时，，， 由得，所以或，故B错误. 选项C：当时，斜率为，斜率不存在， 两直线垂直，舍去；当时，，， 由得，时两直线重合，舍去， 所以，故C错误. 选项D：直线斜率， 因为，所以， 倾斜角范围是，故D错误. 故答案选：BCD. 11.已知直线l过点P(－1，1)，且与直线l1：2x－y＋3＝0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是(　　) A.直线l与直线l1的斜率互为相反数 B.所围成的等腰三角形面积为1 C.直线l关于原点对称的直线方程为2x＋y－1＝0 D.原点到直线l的距离为 【答案】ACD 【解析】由题意可知，直线l与直线l1：2x－y＋3＝0的倾斜角互补， 所以直线l的斜率为－2，故A正确； 直线l过点P(－1，1)且斜率为－2，则直线l的方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0，故C正确； 易知两直线交点坐标为(－1，1)，与x轴交点分别为，， 所以所围成的等腰三角形的面积为××1＝，故B错误； 原点到直线l的距离为＝，故D正确. 故选ACD. 三、填空题（共3小题） 12.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为                  ． 【答案】(3,3) 【解析】∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2， ∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1， 联立方程解得 ∴点P的坐标为(3,3)． 13.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则实数a的取值范围为                  ． 【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞) 【解析】如图所示， 直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率， 设线段AB与y轴交于点C， 由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时， a大于或等于DB的斜率，即a≥＝1，即a≥1. 当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率， 即a≤＝－3，即a≤－3. 综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 14.已知点A(3，－1)，B(5，－2)，且点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则点P的坐标是                  . 【答案】 【解析】点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点. 直线A′B的方程为＝， 即y＝x－，与x＋y＝0联立解得x＝，y＝－， ∴点P. 四、解答题（共2小题） 15.(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0，l2:3x-2y+2=0交点的直线方程; (2)无论实数a取何值，方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点，试求该定点. 【答案】解　(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0， ∵点P(1,0)在直线上，∴1-2+λ(3+2)=0，∴λ=， ∴所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0，即x+y-1=0； (2)由(a-1)x-y+2a-1=0，得-x-y-1+a(x+2)=0. ∴已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点， 解方程组，得 ， ∴方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1). 16.已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标； (2)直线y＝x－2关于直线l对称的直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)对称的直线的方程． 【答案】解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即解得 ∴点P′的坐标为(－2,7)． (2)解方程组得 则点在所求直线上．在直线y＝x－2上取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，则 解得 ∴点M′也在所求直线上． 由两点式得直线方程为＝， 化简得直线方程为7x＋y＋22＝0． (3)在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点为E′(6,1)，F′(7,4)．∵点E′，F′在所求直线上，∴由两点式得直线方程为＝，即3x－y－17＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $