2.3.1 两条直线的交点坐标 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，强化运算能力与推理意识，适配新授课“基础+提升”教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|交点坐标计算、平行垂直判定、定点问题|单一知识点直接应用，如第1题求两直线交点，培养运算能力| |综合运用|参数直线定点、平行直线应用、交点位置判断|参数变化与多知识点结合，如第12题用2a+b=1探究直线过定点，发展推理意识| |拓展提高|平面分割、四边形面积最值|几何情境与数学建模，如第16题含参直线围四边形面积最小化，提升创新意识与模型观念|

2.3.1　两条直线的交点坐标 一、基础巩固 1.直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 2.已知方程kx-y-1=3k,当实数k变化时,方程表示的所有直线都通过的定点坐标为(　　) A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(3,-1) 3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线的方程为(　　) A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y=0 D.3x+19y=0 4.下列直线中与直线2x-y-3=0相交的是(　　) A.2ax-ay+6=0(a≠0) B.y=2x C.2x-y+5=0 D.2x+y-3=0 5.(多选)直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值可以为(　　) A.-1 B.0 C.2 D.3 6.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直,垂足为(2,p),则p-m-n的值为(　　) A.-6 B.6 C.4 D.10 7.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于(　　) A. B.1+ C.1+ D.2- 8.若三条直线y=2x,x+y=3,mx-2y-5=0相交于同一点,则实数m=　　　　.  9.若一条直线经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且该直线的一个方向向量为v=(2,4),则该直线的方程为　　　　.  10.已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点在第四象限,则m的取值范围为　　　　.  11.求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线的方程: (1)与直线2x+y+5=0平行; (2)与直线2x+y+5=0垂直. 二、综合运用 12.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　) A. B. C. D. 13.已知直线l1:kx+y-1=0,l2:x+ky+1=0,若l1∥l2,则k=　　　　;若曲线y=|x|与直线l1有两个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.  14.已知直线l:6x-y+1=0. (1)若平行于l的直线m经过点A(-1,-4),求m的方程; (2)若l与直线y=4x+b的交点在第二象限,求b的取值范围. 三、拓展提高 15.平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0.若这三条直线将平面分为六部分,则实数k的取值集合是　　　　.  16.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,求使得这个四边形的面积最小的k值. 2.3.1　两条直线的交点坐标 一、基础巩固 1.直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0的交点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由得 故交点坐标为. 2.已知方程kx-y-1=3k,当实数k变化时,方程表示的所有直线都通过的定点坐标为(　　) A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(3,-1) 答案　D 解析　法一　将点的坐标依次代入,只有选项D符合; 法二　将直线方程化为y+1=k(x-3)可得定点(3,-1),选D. 3.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线的方程为(　　) A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y=0 D.3x+19y=0 答案　D 解析　由题意知 解得 所以直线l1与l2的交点为P, 所以过点P与原点的直线斜率为-,直线方程为y=-x,即3x+19y=0. 4.下列直线中与直线2x-y-3=0相交的是(　　) A.2ax-ay+6=0(a≠0) B.y=2x C.2x-y+5=0 D.2x+y-3=0 答案　D 解析　选项B,C中的直线与直线2x-y-3=0平行;当a≠0时,选项A中的直线的斜率为2,与直线2x-y-3=0平行或重合,只有选项D中直线与2x-y-3=0相交. 5.(多选)直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值可以为(　　) A.-1 B.0 C.2 D.3 答案　AB 解析　两直线无公共点,即两直线平行. 当a=0时,这两条直线分别为x+6=0和x=0,无公共点. 当a≠0时,=≠,解得a=-1. 综上,a=0或a=-1. 6.已知直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直,垂足为(2,p),则p-m-n的值为(　　) A.-6 B.6 C.4 D.10 答案　C 解析　∵直线2x+my-1=0与直线3x-2y+n=0垂直, ∴2×3-2m=0,解得m=3, 由垂足在两直线上可得 解得 ∴p-m-n=4. 7.△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于(　　) A. B.1+ C.1+ D.2- 答案　A 解析　lAC:+=1,即3x+2y-6=0. 由得 因为S△ABC=, 所以×a×=, 得a=或a=-(舍去). 8.若三条直线y=2x,x+y=3,mx-2y-5=0相交于同一点,则实数m=　　　　.  答案　9 解析　联立解得 即(1,2)为三条直线的交点坐标,把(1,2)代入直线方程mx-2y-5=0, 得m-2×2-5=0,即m=9. 9.若一条直线经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且该直线的一个方向向量为v=(2,4),则该直线的方程为　　　　.  答案　2x-y-1=0 解析　联立方程解得 所以直线l1与l2的交点为(1,1), 因为所求直线的一个方向向量为v=(2,4), 所以该直线的斜率为2, 故该直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 10.已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点在第四象限,则m的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由得 ∴交点坐标为. ∵交点在第四象限, ∴解得-1<m<, ∴m的取值范围是. 11.求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线的方程: (1)与直线2x+y+5=0平行; (2)与直线2x+y+5=0垂直. 解　法一　由 解得 所以交点M的坐标为(-1,2). (1)斜率k=-2,由点斜式得所求直线方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0. (2)斜率k=,由点斜式得所求直线方程为y-2=(x+1),即x-2y+5=0. 法二　设直线方程为(3x+4y-5)+λ(2x-3y+8)=0, 即(3+2λ)x+(4-3λ)y+(-5+8λ)=0.(❋) (1)因为与直线2x+y+5=0平行, 所以(3+2λ)×1-(4-3λ)×2=0,解得λ=. 经检验λ=符合题意. 代入(❋)式化简得2x+y=0. (2)因为与直线2x+y+5=0垂直, 所以2×(3+2λ)+1×(4-3λ)=0,解得λ=-10. 代入(❋)式化简得x-2y+5=0. 二、综合运用 12.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由2a+b=1,得b=1-2a, 代入直线方程ax+3y+b=0中, 得ax+3y+1-2a=0, 即a(x-2)+3y+1=0, 令 解得 所以该直线必过定点. 13.已知直线l1:kx+y-1=0,l2:x+ky+1=0,若l1∥l2,则k=　　　　;若曲线y=|x|与直线l1有两个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.  答案　1　(-1,1) 解析　因为l1∥l2, 所以k2-1=0,即k=±1,经检验k=1. y=|x|= 直线l1化为y=-kx+1,恒过(0,1), 画出函数图象,如图,因为曲线y=|x|与直线l1有两个公共点, 所以-k=0或0<-k<1或-1<-k<0, 即-1<k<1. 14.已知直线l:6x-y+1=0. (1)若平行于l的直线m经过点A(-1,-4),求m的方程; (2)若l与直线y=4x+b的交点在第二象限,求b的取值范围. 解　(1)因为直线m平行于l, 可设直线m的方程为6x-y+c=0(c≠1), 又因为直线m经过点A(-1,-4), 所以-6+4+c=0, 解得c=2,可知直线m的方程为6x-y+2=0. (2)联立方程组 解得 因为它们的交点在第二象限, 所以解得<b<1, 即b的取值范围为. 三、拓展提高 15.平面上三条直线x-2y+1=0,x-1=0,x+ky=0.若这三条直线将平面分为六部分,则实数k的取值集合是　　　　.  答案　{0,-1,-2} 解析　因为平面上三条直线x-2y+1=0, x-1=0,x+ky=0将平面分为六部分, 所以包含以下情况: ①直线x-2y+1=0和直线x-1=0的交点是(1,1),直线x+ky=0过这两条直线的交点,所以k=-1; ②直线x+ky=0与直线x-1=0平行或与直线x-2y+1=0平行,所以k=0或-2. 综上,实数k的取值集合是{0,-1,-2}. 16.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,求使得这个四边形的面积最小的k值. 解　由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,如图,所以四边形的面积S=×(2k2+2-2)×4+(4-k+4)×2×=4k2-k+8(0<k<4), 故四边形面积最小时,k=. 学科网（北京）股份有限公司 $