第1章 2.1 菱形的性质 课时同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以菱形性质为核心，通过三级分层设计，实现从定义理解到综合应用的递进，强化几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|菱形定义、边/角/对角线性质、对称性|选择/填空题为主，如菱形边长与角度计算，夯实概念理解| |性质应用层|面积公式、性质简单应用|结合勾股定理的计算，如已知对角线求面积，培养运算能力| |综合拓展层|性质综合应用、动态问题|折叠与对称结合的证明题，如折叠后角度关系探究，发展逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 ▌课时目标 1. 理解菱形的定义，能根据定义判定一个图形是否为菱形，明确菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质。 2. 掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角等核心性质，能运用这些性质进行边、角、对角线的相关计算。 3. 掌握菱形面积的两种计算方法（底×高、对角线乘积的一半），能结合勾股定理解决菱形中的几何计算问题，提升逻辑推理和运算能力。 ▌课时目录 知识点01：菱形的定义 知识点02：菱形的边的性质 知识点03：菱形的角的性质 知识点04：菱形的对角线的性质 知识点05：菱形的对称性 知识点06：菱形的面积计算公式 知识点07：菱形性质在几何计算中的应用 ▌知识点01：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。几何语言：在▱ABCD中，若AB＝AD，则▱ABCD为菱形。菱形的定义包含两层含义： 1. 菱形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等）； 2. 菱形附加了“一组邻边相等”的特殊条件。判定一个图形是菱形时，通常先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，菱形的边长为，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证出是等边三角形即可． 【详解】解：∵菱形的边长为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 4．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在菱形中，，， ， ． ▌知识点02：菱形的边的性质 菱形的四条边都相等。即：若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC＝CD＝DA。 证明思路：由菱形定义知其为平行四边形，平行四边形对边相等（AB＝CD，BC＝DA），又AB＝AD（定义），故四条边均相等。 该性质是菱形区别于一般平行四边形的核心特征，也是菱形相关计算的基础。 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，则的长为（     ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，，所以，再根据勾股定理可求得，即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ． 6．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，点在坐标平面内，若以，，，四点为顶点的四边形为菱形，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】根据菱形的性质，分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况讨论，设出点的坐标，利用勾股定理列方程求解，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：，， 设，分两种情况讨论： 1、当为菱形的边时，此时，即 解得或 点在轴正半轴上， ，即 2、 当为菱形的对角线时 此时满足，即 ，如图 在中，， 又 ， 解得，满足， 综上，点的坐标为或． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，，运用勾股定理可得的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴， ， ． ▌知识点03：菱形的角的性质 菱形的两组对角分别相等，邻角互补。即：若四边形ABCD是菱形，则∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°。 该性质继承自平行四边形，菱形并未对角度增加额外限制（特殊角度条件是矩形的特征），因此菱形的角可以是任意满足“对角相等、邻角互补”的度数组合。 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质解题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得，根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点N，点M为垂足，连接，则的大小是_______． 【答案】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到是等腰三角形，根据角平分线的性质得到，进而证明，求出的度数，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， 、、， 的垂直平分线交于点N， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 12．（25-26八年级下·广东广州·期末）数学活动课上，同学们以菱形纸片开展“折纸”活动．已知． (1)如图，折叠后，使点落在对角线上的点处，得到折痕，连接．证明：； (2)如图，折叠后，使点落在边上的点处，折痕与对角线交于点处，连接，，． ①求的度数； ②若菱形的边长为，则的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：在菱形中，，平分，， ∴，， 又由翻折可知， 在四边形中， (2)①；②存在，理由如下： 由，， 得， 过点N作于点K， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 故当最小时，的周长最小， 即时，的周长最小， 此时，在中，， ， 【分析】（1）根据菱形性质求出，根据折叠性质得，再由四边形内角和即可求出； （2）①过点N作于点P，作于点Q，先根据角平分线性质得到，从而证明，得到，通过角的转化得到，再由四边形内角和即可求出；②过点N作于点K，得到是一个顶角为的等腰三角形，通过勾股定理求出，从而表示出，故时，最小，最小． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点N作于点P，作于点Q， ∴ 在菱形中，，平分 ， 又由翻折可知，， 在和中， 由， ， ， ， 即， 又∵在四边形中， ， 即． ②略 ▌知识点04：菱形的对角线的性质 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。即：在菱形ABCD中，若对角线AC、BD交于点O，则AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。证明思路：由AB＝AD，BO＝DO（平行四边形对角线互相平分），可证△ABO≌△ADO（SSS），得AO平分∠BAD且∠AOB＝∠AOD＝90°，即AC⊥BD。 该性质是菱形特有的，一般平行四边形不具备。 13．（25-26八年级下·广东阳江·期末）下列关于菱形性质的说法，正确的是（    ） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【答案】C 【详解】解：∵菱形对角线互相垂直平分，不一定相等，∴选项A错误，选项C正确． ∵菱形四个角不一定都是直角，四个角都是直角是矩形的性质，∴选项B错误． ∵菱形的两条对角线所在直线是它的对称轴，菱形是轴对称图形，∴选项D错误． 14．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 15．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【分析】根据菱形的性质求出，，可求出，然后证明，即，求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接． (1)求证：． (2)当，时，求菱形的边长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）由“”可证，即可得出结论； （2）先由菱形的性质可得，，，求出、的长，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， ， 菱形的边长为． ▌知识点05：菱形的对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线；同时菱形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点（即平行四边形的中心对称性）。 轴对称性可由“对角线平分一组对角”推出：沿对角线折叠，菱形两边完全重合。 17．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、B、C在坐标轴上，若点B的坐标为，点A的坐标为，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可得，进一步即可求解． 【详解】解：在菱形中，，， ∵点B的坐标为， ∴， ∵点A的坐标为 ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 18．（25-26八年级下·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，，，菱形关于轴、轴对称，点，分别是，的中点，若菱形内部一点关于直线的对称点在直线上，设点的横坐标为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据轴对称性质确定菱形各顶点坐标，再求出中点坐标得到直线的方程，利用轴对称性质得到点横纵坐标的关系，结合点在菱形内部列出不等式求解，得到的取值范围． 【详解】解：根据题意，菱形关于轴、轴对称，由，， ∴，，，． ∵，分别是，的中点， ∴由中点坐标公式得：，， ∴直线的方程为． 设，点关于的对称点为，由对称性质得，得且． ∵在直线上，代入得， ∴点坐标为． ∵菱形内部的点满足不等式， ∴将代入得：． 分情况解不等式： (1)当时，不等式化为，解得，得； (2)当时，不等式化为，解得，得； (3)当时，不等式化为，解得，无交集，无解． 综上，的取值范围是． 19．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，菱形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形；连接相交于点E，根据题意得到，得到，写出坐标即可． 【详解】解：连接相交于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴轴， ∴，轴， ∴，     ∴点D的坐标为：． 故答案为：． 20．（2026·宁夏银川·三模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形，理由如下： ∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌知识点06：菱形的面积计算公式 菱形面积有两种常用计算方法： 1. 底×高：沿用平行四边形面积公式，（a为底边长，h为这条底边上的高）。 2. 对角线乘积的一半：（分别为两条对角线的长）。推导思路：菱形被两条对角线分为4个全等的直角三角形，每个直角三角形面积为，4个合计得。该公式是菱形独有的，计算时优先选用。 21．（25-26八年级下·河北张家口·期末）菱形的周长为，它的一条对角线长为，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，先求出菱形的边长，再求出另一条对角线的长度，然后根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：如图，四边形是菱形，两条对角线交于点，且它的周长为， 设对角线， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积为． 22．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 23．（25-26八年级下·山西临汾·期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】14.4 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，则，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵是菱形的高， ∴， ∴． 24．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，推出，得到四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，，连接，交于M，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 连接，交于M， 由（1）知，四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴． ▌知识点07：菱形性质在几何计算中的应用 典型计算题型： 1. 已知菱形边长和一条对角线长，求另一条对角线长、面积或高。解题思路：利用“对角线互相垂直平分”构造直角三角形，结合勾股定理求解。 2. 已知菱形对角线长，求边长、面积或高。解题关键：紧扣“对角线垂直平分”构造直角三角形，灵活运用勾股定理和面积桥接不同量之间的关系。 25．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 26．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点，点为上一点，若，且，，则的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质得，再证明，故，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理得，，，再根据三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积． 27．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形的边长为10，连结，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的长为_____． 【答案】3 【分析】分别延长，交于点G．证明得到，取的中点H，连结，根据三角形中位线的性质得到，，从而，再由菱形的边相等得到，从而，得出，即可求出，再由线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，分别延长，交于点G． 因为的平分线交于点E， 所以， 因为过点E作的垂线交于点F， 所以， 又因为， 所以， 所以． 取的中点H，连结， 所以是的中位线， 所以，， 所以． 因为在菱形中，， 所以， 所以， 所以． 所以， 所以． 28．（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化，理由见详解 【分析】本题主要考查菱形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积不会发生变化，理由如下， 已知， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点G， ∴，， ∴， ∴点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，过点作，交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用对角线平分对角求出的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算边长． 【详解】解：令菱形的对角线交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴菱形的边长为． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点H，可求出，则可得到，，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ∴． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，若，则___________． 【答案】63 【分析】根据菱形的性质推出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：菱形， ，， ， ， ， ， ， ． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，E是的中点，连接，则的长为_________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，由菱形的性质可得，，利用勾股定理求出，判断是的中位线，得到，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，点E是的中点， ∴，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在菱形中，，分别为，的中点，若，，则菱形的面积为________． 【答案】48 【分析】根据中位线定理求得，则菱形面积即可求． 【详解】解：在菱形中，，分别为，的中点，若，， ∴, ∴． 8．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，菱形的周长为20，面积为24，P是对角线上一点，过点P作于点F，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，证明，推出，得到当共线，即时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线，即时，取得最小值，最小值为的长， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即的最小值为． 三、解答题 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在菱形中，于点，于点，与、分别相交于点、． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，≌，即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴≌， ∴． 又∵， ∴， ∴≌， ∴． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． (1)求证：①； ②四边形是平行四边形． (2)若四边形为菱形，，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：①， ， 在和中， ， ； ②由（1）知， ，， ， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）①利用平行线的性质得，即可证得； ②由①得，可得、，证得，即可得证四边形是平行四边形． （2）连接，交于点，根据菱形的性质得、、，利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，，， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和菱形的性质是解题关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 课时目标 理解菱形的定义，能根据定义判定一个图形是否为菱形，明确菱形是特殊的平行四边 形，具备平行四边形的所有性质。 2. 掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直且平分每组对角等核心性质，能运用这些性 质进行边、角、对角线的相关计算。 3. 掌握菱形面积的两种计算方法（底×高、对角线乘积的一半)，能结合勾股定理解决 菱形中的几何计算问题，提升逻辑推理和运算能力。 课时目逯 知识点01：菱形的定义 知识点02：菱形的边的性质 知识点03：菱形的角的性质 知识点04：菱形的对角线的性质 1/13 知识点05：菱形的对称性 知识点06：菱形的面积计算公式 知识点07：菱形性质在几何计算中的应用 知识点01：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。几何语言：在·ABCD中，若AB=AD,则 ABCD为菱形。菱形的定义包含两层含义： 菱形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质（对边平行且相等、对角相等、对角 线互相平分等)； 菱形附加了“一组邻边相等”的特殊条件。判定一个图形是菱形时，通常先证其为平行四 边形，再证一组邻边相等。 1.(25-26八年级下河南周口期末)如图，菱形ABCD的边长为2cm,∠ABC=120°，则BD的长度为 () D B A.1.5cm B.2cm C.2.5cm D.3cm 2.(25-26八年级下山东济南期末)如图，在菱形ABCD中，若∠ABD=30°，则∠CBD的度数是（) D A.20 B.30 C.45° D.120° 3.(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，菱形ABCD的周长为40cm,∠BAC=60°，则该菱形的面积 是() 2/13 A D B A 50cm2 B.50 3em2 C.100cm2 D.100W3cm2 4.(25-26八年级下·重庆九龙坡期末)如图，菱形ABCD中，∠ABD=30°，则∠BCD的度数为() A.120° B.140° C.60° D.30° 知识点02：菱形的边的性质 菱形的四条边都相等。即：若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA。 证明思路：由菱形定义知其为平行四边形，平行四边形对边相等(AB=CD,BC=DA), 又AB=AD(定义)，故四条边均相等。 该性质是菱形区别于一般平行四边形的核心特征，也是菱形相关计算的基础。 5.(25-26八年级下·福建福州期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠ABC=60°，AB=6,则BD的长为() O 435 B.3 C 6v3 D.6 3/13 3cm 6.(25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末)如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐 角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为() D人60° A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 7。(25.26八年级下浙江金华期末)在平面直角坐标系中，已知1(2,0)，B(Q1,点M在轴正半轴上， 点N在坐标平面内，若以A,B,M,N四点为顶点的四边形为菱形，则点M的坐标为 8.(25-26八年级下·安徽安庆期末)如图，四边形ABCD是菱形，CD=6,AC=8,AE⊥BC于点E, 则AE的长是 D 知识点03：菱形的角的性质 菱形的两组对角分别相等，邻角互补。即：若四边形ABCD是菱形，则∠A=∠C,∠B= ∠D,∠A+∠B=180°。 该性质继承自平行四边形，菱形并未对角度增加额外限制（特殊角度条件是矩形的特 征)，因此菱形的角可以是任意满足“对角相等、邻角互补”的度数组合。 9.(25-26八年级下·江苏泰州期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=70°，点E在BC上，将△ABE沿 4/13 着AE折叠，使点B的对应点F正好落在边CD上，对角线BD交折痕AE于点G,则∠AGD=() A.65 B.70° C.75 D.80° 10.(24-25八年级下广东汕头期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是AD上一点，将 △ABE沿BE折叠，点A落在BD上的点F处，连接CF,则∠BFC的度数是() A E A.30° B.45° C.60° D.75° 11,(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=105°，AB的垂直平分线交AC 于点N,点M为垂足，连接DN,则∠CDN的大小是 D M 12.(25-26八年级下·广东广州期末)数学活动课上，同学们以菱形ABCD纸片开展“折纸”活动.已知 ∠ABC=60°. D A M D E B 图1 图2 I)如图L,折叠后，使点C落在对角线BD上的点E处，得到折痕BF,连接EF.证明：∠EFC=9O°： (2)如图2，折叠后，使点C落在边AD上的点M处，折痕与对角线BD交于点N处，连接CM,CN, MN. 5/13 ①求∠MNC的度数： ②若菱形ABCD的边长为6，则△CMN的周长是否存在最小值？若存在，求最小值：若不存在，说明 理由. 几知识点04：菱形的对鱼线的性质 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。即：在菱形ABCD中，若对角线 AC、BD交于点O,则AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC。 证明思路：由AB=AD,BO=DO(平行四边形对角线互相平分)，可证△ABO≌△ADO (SSS),得AO平分∠BAD且∠AOB=∠AOD=90°，即AC⊥BD。 该性质是菱形特有的，一般平行四边形不具备。 13.(25-26八年级下·广东阳江·期末)下列关于菱形性质的说法，正确的是（) A.对角线相等 B.四个角都是直角 C.对角线互相垂直 D.不是轴对称图形 14.(25-26八年级下吉林长春期末)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.下列结论不一 定正确的是() A D A.AB=BC B.04=OC C.∠ABC=609 D.∠AOB=90 15.(25-26八年级下·河南洛阳期末)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB, CD分别相交于点E,F.若AC=8,BD=6,则△AOE与△DOF的面积之和为一 6/13 B 16.(25-26八年级下广东汕头期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点H,E为对角 线BD上一点，且AE=DE,连接CE D H B (I)求证：CE=DE. (2)当BE=4,CE=2时，求菱形的边长 知识点05：菱形的对称性 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线：同时菱形也是中心对 称图形，对称中心是对角线的交点（即平行四边形的中心对称性）。 轴对称性可由“对角线平分一组对角”推出：沿对角线折叠，菱形两边完全重合。 17.(25-26八年级下湖南衡阳期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B、C在坐标 （-1,0 轴上，若点B的坐标为 ,点4的坐标为0,2），则点D的坐标为() D A.(22) B.(2,5) c.(3,5) D.（5,2 18,(2526八年级下江苏镇江期末)在平面直角坠标系0y中，1L0),B(0,2),菱形4BCD关于轴， '轴对称，点M,N分别是AB,AD的中点，若菱形内部一点P关于直线MN的对称点在直线 7/13 y=x-2 上，设点的横坐标为，则的取值范围是 19.(25-26九年级上福建漳州期中)如图，菱形ABCD的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐 0,1) 标为6），点c的坐标为 ,则点D的坐标为 D 20.(2026宁夏银川三模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC与BD相交于点O.点B, 点D关于AC所在直线对称. B (I)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； 2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC长. 知识点06：菱形的面积计算公式 菱形面积有两种常用计算方法： 底×高：沿用平行四边形面积公式，S=ah(a为底边长，h为这条底边上的高)。 对角线乘积的一半： =244(4,4分别为两条对角线的长)。推导思路：菱形被两条 I d dz did2 对角线分为4个全等的直角三角形，每个直角三角形面积为2228,4个合计得 d,d。该公式是菱形独有的，计算时优先选用。 2 21.(25-26八年级下河北张家口·期末)菱形ABCD的周长为40cm,它的一条对角线长为10cm,则它的 8/13 面积为()cm A.25V5 B 50V5 C.75V5 D.100V5 22.(25-26八年级下~湖北武汉·期末)已知菱形ABCD的周长是16cm,∠ABC=120°，则该菱形的面积 是 cm2 23.(25-26八年级下·山西临汾·期末)中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着 人们对美好生活的祈盼.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AB=15,AC=18」 则菱形ABCD的高AE为. 24.(2022贵州贵阳模拟预测)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O, AC=2AB,BE∥AC,OE∥AB (I)求证：四边形ABEO是菱形： 2房4C=25,BD=4,求四边形4B0 的面积. 知识点07：菱形性质在几何计算中的应用 典型计算题型： 己知菱形边长和一条对角线长，求另一条对角线长、面积或高。解题思路：利用“对角线 互相垂直平分”构造直角三角形，结合勾股定理求解。 己知菱形对角线长，求边长、面积或高。解题关键：紧扣“对角线垂直平分”构造直角三 角形，灵活运用勾股定理和面积桥接不同量之间的关系。 25.(25-26八年级下陕西榆林期末)如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连接AE、DE,若 9/13 DE=DC,∠C=70°，则∠DAE的度数为() A.40° B.45° C.50° D.55 26.(25-26八年级下浙江宁波期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点P为OC 上一点，若∠BPD=0,且 0=6DP=4V2 则aDPC 的面积为() D A.2 B.4 C.6 D.8 27.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，菱形ABCD的边长为10，连结BD,∠ABD的平分线交AD 于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,若AE=6.5,则AF的长为一· B F D 28.(25-26九年级上山东菏泽阶段检测)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，△AEF为 正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与B、C、D重合. B C (I)证明：不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF: ②)当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？说明理由. 课时训练 10113 一、选择题 1.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在菱形ABCD中，过点C作CP⊥BC,交BD于点P,若 ∠BAD=124°，则∠CPB的度数是() A.58° B.62 C.68 D.74° 2.(25-26八年级下·云南曲靖期末)在菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,则菱形ABCD的边长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 3.(25-26八年级下河北秦皇岛期末)如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长 AB=30cm∠ABC=60° ABCD cm2 则菱形 的面积等于() B A.450 B.450V2 C.450V5 D.900 4.(25-26八年级下·河南南阳期末)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC=24,BD=10, 点P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N,则PM+PN的 值为() M B 120 240 60 4 A.13 B.13 C.13 D.13 二、填空题 11/13 5.(25-26八年级下·黑龙江七台河期末)如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点 E,若∠A=126°，则∠BEC= 6.(2026陕西西安·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB=10, BD=16,E是AB的中点，连接DE,则DE的长为 A O D 7.(25-26八年级下山东聊城期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，若 BD=12,EF=4,则菱形ABCD的面积为 D 8.(25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测)如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上 一点，过点P作PF⊥AD于点F,则PA+PF的最小值为 B 三、解答题 9.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,BD 与AE、AF分别相交于点G、H, 求证：AG=AH 12/13 A O F B E 10.(24-25八年级下·安徽合肥期中)如图，△ABC的边AC和△DEF的边DF在同一条直线上， ∠ABC=∠DEF=90,AB∥DE,AB=DE,连接BF,EC. B A E (I)求证：①△ABC≌△DEF: ②四边形BCEF是平行四边形， (2)若四边形BCEF为菱形，AB=4,BC=3,求线段AF的长. 13/13