第1章 1 认识特殊的平行四边形&2 菱形的性质与判定（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

课堂训练 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等，并且有一个角是直角两四 针对训练 1.D2.A3.C4.矩形5.75 6.解：，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=8,BC=AD=15.,∠ABC=90°，∴.AC= √AB+BC=17.:0是AC的中点，M是AD的中点.∴0C=2AC=8.5,DM= 之AD=7.5,OM是△ACD的中位线.0M=合CD=.:四边形0MDC的周长为 OM+DM+CD+OC=4+7.5+8+8.5=28. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 相等垂直 针对训练 1.C2.B3.B4.C5.35 6.解：(1)5030(2)四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BD=2OB.在Rt△AOB 中，AB=50,OA=30,∴.OB=√AB2-OA2=40.∴.BD=2OB=80. 第2课时菱形的判定 知识梳理 相等相等垂直 针对训练 1.D2.C3.OA=OC(答案不唯一)4.四边相等的四边形是菱形 5.证明：，AE⊥BC,CF⊥AB,∴.SOABCD=BC·AE=AB·CF.AE=CF,∴.BC= AB.,.□ABCD是菱形 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BD平 分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∠ABD=∠ADB..AB=AD.□ABCD是菱形. (2)口ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BO=DO.,EC=BC,.OC是△BDE的中位线. ∴.OC∥DE..DE⊥BD.∴∠BDE=90. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 直角相等一半 针对训练 1.C2.C3.D4.A5.56.35° 7.证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.，PB=PC, ∴.∠PBC=∠PCB.∴.∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP. ∴.△ABP≌△DCP(SAS).∴.PA=PD. 第2课时矩形的判定 知识梳理 平行四边形直角相等 针对训练 1.D2.C3.C4.有三个角是直角的四边形是矩形5.90° 6.(1)证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形..AC=2OA,BD= 2OD.,OA=OD,∴AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：由(1)可知四边形 ABCD是矩形，.∠BAD=90°.，OA=OD,∠AOD=60°，.△AOD是等边三角形 ∴.OD=AD=5.∴.BD=2OD=10.∴.AB=√BD2-AD=5W3. —43 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等相等垂直平分 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.(-2,2)6.2 7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°.∠ADE+∠CDF= 90°.AE⊥DP,CF⊥DP,.∠AED=∠DFC=90°..∠CDF+∠DCF=90°. ∠AED=∠DFC, ∴.∠ADE-∠DCF.在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF(AAS) AD-DC, 第2课时正方形的判定 知识梳理 邻边直角矩形垂直直角菱形 针对训练 1.D2.D3.正方形4.∠ABC=90(答案不唯一) 5.(1)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD为菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC ⊥BD.BE=DF,BO+BE=DO+DF,即EO=FO..四边形AECF是菱形.∴AE =AF...∠AFE=∠AEF=45°..∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF=90°..四边形 AECF为正方形.(2)解：20 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 一整式常数项二次项系数一次项系数 针对训练 1.A2.B3.C4.-115.-1(答案不唯一，k≠1即可) 6.解：(1)设其中一个数为x.根据题意，可列方程为x(5一x)=6.(2)设长方体铁盒底 面的宽为xcm.根据题意，可列方程为6x(x十5)=750. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 相等 针对训练 1.C2.A3.B4.-2<x<-15.2 6.解：(1)3-1120.36-0.011.61.7(2)x的值约为1.7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 完全平方式一半 针对训练 1.A2.A3.m≤14.534 5.解：(1)移项，得5x2=80.两边都除以5，得x2=16.两边开平方，得x=士4..x1=4, x2=一4.(2)两边都除以2，得(x一1)2=9.两边开平方，得x一1=士3..x1=4,x2= -2.(3)配方，得x2+6x十32=6+32，即(x+3)2=15.两边开平方，得x+3=士√15. ∴x1=-3十√15，x2=-3-√15.(4)移项，得x2-3x=一2.配方，得x2-3x十 (号)》”=-2+（号）广，即(x一号）广=子两边开平方，得x一多=土分=26=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 44 针对训练 1.D2.B3.x2-4x-2=02222262+√62-√6 4.解：1)两边都除以2，得x+受=子配方，得2+受+（什）°=合+（分），即 (红+号)°-6两边开平方，得x+子=士是.函=号函=-1.(2)两边都除以3， 得x-2x+号=0.移项，得2-2x=-子配方，得2-2x+1=-号+1，即(x 1少-导两边开平方，得一1=士9=1+号=1-怎（3)丙边都除以，得 2-号-是=0，移项得2-号x=是配方，得-是+(）°=是+()月， 即（一）广=器两边开平方，得x一是=士=3+，=3二区 4 4 (④)整理，得2：十7x=7.两边都乘2，得2十14x=14.配方，得x+14x+7-14+ 72,即(x+7)2=63.两边开平方，得x十7=士3√7..x1=一7+3V7,x2=-7-3V7. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 不相等相等一品设有 针对训练 1.B2.B3.B4.5二35-3255.8 2 2 6.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2一3x十3=0.这里a=1,b=一3，c=3.,b2- 4ac=(-3)2-4X1×3=-3<0.原方程没有实数根.(2)这里a=2,b=-√2，c= 1.0-4ac=(-②2-4X合×1=0，x--《②±0-，即西=4=E. 2x 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 00 针对训练 1.C2.C3.B4.0或2 5.解：1)原方程可变形为x(5x+3)-0.x-0,或5x十3-0.=0，=-号 (2)原方程可变形为x(x一2)一3(x一2)=0.'.(x一2)(x一3)=0.∴.x一2=0，或x一3 =0..x1=2,x2=3.(3)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2) =0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.∴.x1=1,x2=3.(4)原方程可变形 为3(x-5)2-(x十5)(x-5)=0..(x-5)(3.x-15-x-5)=0,即(x-5)(2x-20)= 0..x-5=0,或2x-20=0.∴x1=5,x2=10. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 -台 针对训练 1.D2.D3.A4.12 5.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2-√2x-3=0.这里a=1,b=一√2，c=-3.4 =b-4ac=(-√2)2-4×1×(-3)=14>0，.方程有两个实数根.∴.x1十x2=√2， x1x2=一3.(2)将原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=一1，c=-5. △=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根.∴.x+x2=1, x2=-5. 6.解：(1)：方程x2-3x+2m=0有两个不相等的实数根，△=（-3)2-4×2m>0, 45第一章 特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 √知识梳理 特殊的平行四边形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形 的平行四边形叫作菱形； 的平行四 矩形、菱形、正方形 边形叫作矩形； 的平行四边形叫作 的定义 正方形 菱形、矩形、正方形都具有一般平行四边形的所有性质； 矩形、菱形、正方形 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩形都有 条对称轴，正方形 的共性 有 条对称轴 针对训练 1.下列四边形中，对称轴最多的是( 5.如图，P是正方形ABCD内一点，∠ABC= A.平行四边形 B.矩形 90°，AB=BC,连接AP,BP,CP.若 C.菱形 D.正方形 △APB是等边三角形，则∠BPC的度 2.如图，在菱形ABCD中，AB=BC,E,F 数为 分别是AB,AC的中点.如果EF=1,那 6.如图，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，O 么CD的长为 是对角线AC的中点，M是AD的中点. A.2 B.4 C.6 D.8 若AB=8,AD=15,求四边形OMDC的 D 周长 E B E (第2题图) (第3题图) 3.如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，点E 在BC上，且AE平分∠BAC,AE=CE, 则∠BAC的度数为 A.30° B.45° C.60° D.75° 4.如图，在□ABCD中，BC⊥CD,则四边 形ABCD一定是 B (第4题图) (第5题图) 2菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 √知识梳理 四条边 ;对角线互相 菱形的性质 菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半 若菱形有一个内角为60°，则60°角的夹边与较短的对角线可构成等边三角形，两条对 解题策略 角线把菱形分成四个全等的直角三角形 针对训练 1.若菱形的一条边长为4cm,则这个菱形 的周长为 ( A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm (第4题图) (第5题图) 2.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于 5.如图，AC,BD是菱形ABCD的两条对 点O.若AC=6,BD=4,则AB的长是 角线.若∠BAC=55°，则∠ADB的度数 ( 是 A.10 B.√13 C.2√13 D.4√13 6.如图，菱形ABCD的周长为200，对角线 AC,BD相交于点O,AC=60. (1)AB的长为 ,OA的长为 (第2题图) (第3题图) (2)求对角线BD的长. 3.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相 交于点O.若OB=6,菱形ABCD的面 积为54，则OC的长为 ( ) A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,E是CD的中点，连接OE, 则下列结论不一定成立的是 A.OA-OC B.OE-TAD C.OE=OD D.AC⊥BD ·2· 第2课时 菱形的判定 √知识梳理 定义 有一组邻边 的平行四边形是菱形 菱形的判定 四边 的四边形是菱形 定理 对角线互相 的平行四边形是菱形 针对训练 1.如图，添加下列条件不能判定口ABCD 5.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E, 是菱形的是 CF⊥AB于点F,且AE=CF,求证： A.∠ABD=∠ADB □ABCD是菱形. B.AC⊥BD C.AB=BC D.AC=BD 2.依据所标识的数据，下列平行四边形一 定为菱形的是 65 7055 65° B D 3.如图，四边形ABCD的对角线互相垂 6.如图，在□ABCD中，BD平分∠ABC, 直，且OB=OD,请你添加一个适当的条 且交AC于点O, 件： ,使四边形ABCD是 (1)求证：口ABCD是菱形； 菱形. (2)延长BC至点E,使得EC=BC,连接 DE.求证：∠BDE=90° (第3题图) (第4题图) 4.如图，已知∠A,按以下步骤作图：①以 点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A 的两边分别交于点B,D;②分别以点B, D为圆心，AD的长为半径作弧，两弧相 交于点C;③分别连接BC,DC,则四边 形ABCD为菱形，其依据是 ·3