1. 4.2 正方形的判定 课时同步训练 2026-2027学年北师大数学九年级上册

**基本信息** 聚焦正方形判定的三阶能力培养，以“概念辨析-推理证明-综合应用”为路径，通过分层设计强化几何直观与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|判定思路及三种方法|选择/填空题辨析判定条件，如命题真假判断，夯实概念理解| |提升层|证明过程及逆向运用|解答题规范证明步骤，如补全证明过程、结合性质求线段长，培养推理能力| |综合层|与特殊平行四边形综合辨析|探究题融合平移/旋转情境，如“垂美四边形”判定、动态几何问题，发展综合应用能力|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 4正方形的性质与判定 第2课时正方形的判定 课时目标 理解正方形的三种判定路径，明确正方形与矩形、菱形的从属关系，能根据已知条件 灵活选择恰当的判定方法。 2. 掌握正方形三种判定方法的证明思路和几何语言，能规范书写正方形判定的证明过程， 体会“一般到特殊”的几何研究思路。 3. 能综合运用正方形的判定和性质解决几何证明与计算问题，辨析正方形与矩形、菱形 判定条件的区别与联系，避免概念混淆。 课时目录 知识点01：正方形的判定思路 知识点02：正方形的判定方法一：有一组邻边相等的矩形 知识点03：正方形的判定方法二：有一个角是直角的菱形 知识点04：正方形的判定方法三：对角线互相垂直且相等的平行四边形 1/19 知识点05：正方形判定的证明过程 知识点06：正方形判定与性质的逆向运用 知识点07：正方形判定与其他特殊平行四边形判定的综合辨析 知识点01：正方形的判定思路 正方形是矩形和菱形的交集，判定可从三条路径切入： 先判定四边形是矩形，再叠加菱形的特征（一组邻边相等或对角线互相垂直）： 先判定四边形是菱形，再叠加矩形的特征（一个角是直角或对角线相等）： 直接判定四边形是平行四边形，同时叠加菱形和矩形的特征（对角线互相垂直且相等）。 所有判定最终都回归正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 1.(25-26八年级下·辽宁鞍山期末)下列命题中正确的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.有一组邻边相等的四边形是菱形 2.(25-26八年级下·重庆期末)下列说法正确的是（) A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B.对角线相等且互相平分的四边形是正方形 C.有一组对边相等的四边形是平行四边形 D,邻边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形 3.(25-26八年级下广东汕尾期末)下列命题中，是真命题的是() A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D,对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4.(25-26八年级下陕西咸阳期末)下列条件中能判定一个四边形是正方形的是（) A.三个角是直角的四边形 B.对角线互相垂直的矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形 D.有一个角是直角的平行四边形 2/19 知识点02：正方形的判定方法一：有一组邻边相等的矩形 前提是该四边形已为矩形（具备四个角为直角、对边平行且相等、对角线相等且平分的性 质)，只需补充“一组邻边相等”的条件即可判定为正方形。 几何语言：在矩形ABCD中，若AB=AD,则矩形ABCD是正方形。 适用场景：题目已明确给出矩形背景，或已通过矩形的判定条件（如三个角为直角、对角 线相等的平行四边形)证明该图形为矩形时，优先使用此方法。 5.(2425八年级下·云南红河期中)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且DE=AF, DE⊥AF于点G. (I)求证：矩形ABCD是正方形： (2)延长BC到点H,使得CH=DF,连接DH,判断△DEH的形状，并说明理由. 6.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE,过 点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 图① 图② (I)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形. (2)如图②，当点E在线段AC上时， 3/19 ①若4B=4,CE=25,求cG的长度： ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数： 7.(22-23八年级下山东济宁期中)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上， DE=AF,DE⊥AF于点G. D E H B 图1 (I)求证：四边形ABCD是正方形： 小明的部分证明过程如下，请你帮助小明把横线上部分补全； 证明：四边形ABCD是矩形， ∠DAB=∠B=90° DE⊥AF, ∴.∠BAF+∠DAF=90°∠ADE+∠DAF=90 .DE=AF, .△ADE≌△ (AAS) 四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形： (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状，并说明理由. (3)如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G,DE=AF, ∠AED=60°，AE=6,BF=2,请直接写出DE的长. 4/19 D G B F 图2 8.(2425八年级下·广西南宁期中)如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG,且 ∠CGD=∠AED D E B 备用图 (I)求证：矩形DEFG是正方形： (2)若AB=2,CE=2,求CG的长度： (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是37°时，求∠EFC的度数. 知识点03：正方形的判定方法二：有一个角是直角的菱形 前提是该四边形已为菱形（具备四边相等、对边平行、对角线互相垂直平分且平分每组对 角的性质)，只需补充“一个角为直角”的条件即可判定为正方形。 几何语言：在菱形ABCD中，若∠A=90°，则菱形ABCD是正方形。 适用场景：题目已明确给出菱形背景，或已通过菱形的判定条件（如四边相等、对角线互 相垂直的平行四边形)证明该图形为菱形时，优先使用此方法。 9.(2425八年级下·全国·单元测试)阅读理解菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与 正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”， 5/19 如图所示，设菱形相邻两个内角的度数分别为m,n, m n ①若我们将菱形的“接近度”定义为m-川，于是m-叫越小，菱形就越接近正方形.若菱形的一个内 角为70°，则“接近度”是多少？ (②若我们将姜形的“接近度”定义为m<),那么菱形的“接近度”为多少时，娄形就是正方形？ 10.(24-25八年级下河北张家口期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,分别延长 OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接点B,F,D,E B (I)求证：四边形BFDE是菱形： (2)已知∠ABC=50°， ①当∠ABE为度时，四边形BFDE是正方形，并将横线处作为条件，对结论加以证明； ②若四边形BFDE是正方形，且面积为50，CF=3,求OC的长， 11.(25-26八年级下·山东泰安·期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿AB的方向平移得到 △DEF,连接CD,FB,CF 备用图 (I)当点D移至什么位置时，四边形CDBF是菱形，并加以证明 2)在(1)的条件下，如果AB=13,AC=5,求四边形CDBF的面积： )在(I)的条件下，四边形CDBF能否为正方形？若能，请说明理由：若不能，请给△ABC添加一 个条件，使四边形CDBF为正方形，并写出推理过程. 6/19 12.(24-25八年级下湖北宜昌期末)如图1，菱形ADBC的对角线AB,CD相交于点O,AC=8, ∠D:C:60,过点C作CPI8,且CP-号48，连接AP D D 0 A B C C (图1) (图2) 1)在图1中，∠CAB的度数为；AO的长为 (②)请判断四边形APCO的形状并说明理由： 3)如图2，将△APC沿射线AB方向移动得到△A'P'C',直线AP与直线AC交于点E,直线A'C'与直 线CD交于点F,设AA'=x. ①当以A,P',C,O为顶点的四边形是正方形时，求x的值： ②当以A',E,C,F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出符合条件的x值. 知识点04：正方形的判定方法三：对角线互相垂直且相等的平行四边形 无需先判定为矩形或菱形，直接以平行四边形为前提，同时满足“对角线相等”（矩形特 征)和“对角线互相垂直”（菱形特征），即可判定为正方形。 几何语言：在~ABCD中，若AC=BD且AC⊥BD,则~ABCD是正方形。适用场景：题目 己给出平行四边形背景，且同时涉及对角线的长度相等和垂直关系时，优先使用此方法， 可减少证明步骤。 13.(25-26八年级下广东东莞期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F 在对角线BD上，且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE,CF,AF.求证：四边形AECF是正方 形 7/19 14.(25-26八年级下·北京课后作业)如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O,点D、 B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF,连接AD、AB、CD、CB,∠ADO=45°， E B (I)求证：四边形ABCD是正方形； (②)若正方形ABCD的面积为72，BF=4,求点F到线段AE的距离. 15.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交点于O,点E、 RG、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. G B 16.(2026山东青岛·二模)已知：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别过点C、D作 CF∥BD,DF∥AC,连接BF交AC于点E. D E (I)求证：△FCE≌aBOE: (②)当AD⊥CD时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由. 知识点05：正方形判定的证明过程 8/19 例1：求证“有一组邻边相等的矩形是正方形” 已知：矩形ABCD中，AB=AD。 求证：矩形ABCD是正方形。 证明：，四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD,AD=BC(矩形性质)。 又，AB=AD, ∴AB=BC=CD=DA(等量代换)， ∴，四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 又，∠A=90°， ∴，菱形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 例2：求证“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形” 己知：在ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,交于点O。 求证：ABCD是正方形。 证明：，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD, ∴.·ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 又，AC⊥BD, '.矩形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 ∴.·ABCD是正方形（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）。 注意：证明过程每一步都要注明依据，优先使用已学过的平行四边形、矩形、菱形的判定 和性质定理。 17.(25-26八年级下广东江门期中)如图所示，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，点 9/19 E、F、G、H分别是AD、BC、OB、OD的中点， E D (1)证明：四边形EGFH是平行四边形： 2)若AB⊥BD,DC:BD=1:2,证明：四边形EGFH是正方形. 18.(2026山东青岛·二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC, BF⊥AC,垂足分别为E、F,延长BF至点G,使FG=BF.连接DG. D E (I)求证：△ADE≌△CBF」 (2)当OF和BF满足什么数量关系时四边形DEFG是正方形？并说明理由. 19.(24-25八年级下甘肃陇南期末)如图，在oABCD中，对角线AC,BD交于点E,CF∥BE, BF∥CE, B (I)当BC平分∠EBF时，口ABCD是形；（填特殊平行四边形名称） ②证明：当BC=5BF=2BE时，ABCD为正方形. 20.(25-26九年级上·陕西咸阳阶段检测)如图，在ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB⊥BD ,且AB=BD,点M是AD边的中点，连接OM,过点M作MN⊥OM;交CD延长线于点N.请问 四边形ODWM是正方形吗？请说明理由， 10119 B 0 ☑M D 知识点06：正方形判定与性质的逆向运里 判定和性质互为逆命题，解题时可双向使用： 若题目给出正方形的判定条件，先证明该图形是正方形，再调用其所有性质（四边相等、 四角为直角、对角线垂直相等且平分对角等)求解未知量； 若题目需要先求某条线段相等或某个角为直角，可先利用正方形的性质得出结论，再反推 判定条件。 例如：己知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,先判定ABCD 是正方形，再利用“正方形四边相等”得出AB=BC=CD=DA,利用“对角线平分每组 对角”求出∠ABD=45°。 21.(24-25八年级下安徽蚌埠期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,P是OB 上的一个动点，连接CP,作PE⊥CP,交AB的延长线于点E,以PC和PE为邻边作口PEFC,对角 线CE,PF相交于点G 0 B E (1)连接OG,若OG=m,则AE=_一（用含的代数式表示）； (2)证明：AP=PE: BE B)若点P为OB的中点，求AB的值. 11/19 22.(24-25八年级下·安徽安庆期末)已知：正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点. D D E B C 图1 图2 图3 (I)如图1，若P在对角线BD上，连接PC,过点P作PO1CP交AB于点O.求证：PO=PC: ②如图2，在的条件下，若PD=22,B=6,求吧 的长； 3)如图3，若P在BD的延长线上，连接AP,过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E,连接DE,若 CE=8,△DPE的面积是20，求PE的长. 23.(24-25八年级下·云南昆明期中)如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作 C交C于点E,交1D于点F,造接 EF⊥AC BC F AE,CF (1)求证：四边形AECF是菱形； 2)若E是BC的中点，且AE平分∠BAC,当AE=8时，求四边形AECF的面积. 24.(25-26八年级下河南商丘期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点 E是对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF=BE,EF与CD交于点P,连接DE、CF, DF. B (I)求证：DF∥OE: 12119 (2)若AB=4,BF=8,点P恰好是CD的中点. ①求证：四边形CFDE是矩形； ②若四边形CFDE是正方形，求BC的长度. 知识点07：正方形判定与其他特殊平行四边形判定的综合辨析 图形 判定核心条件 易错点 平行四边形+一个直角/对角线 仅对角线相等不能判定为正方形，还需满 矩形 相等 足对角线互相垂直 平行四边形+一组邻边相等/对 仅对角线垂直不能判定为正方形，还需满 菱形 角线垂直 足对角线相等 平行四边形+对角线相等且垂直 无平行四边形前提时，仅对角线相等且垂 (或矩形+邻边相等/菱形十一 直不能判定为正方形（可能是筝形）： 正方形 个直角) 不能遗漏平行四边形前提，直接由边或角 的条件判定 25.(24-25八年级下·广西防城港期末)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形” 【问题探究】如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，AC⊥BD,垂足为O. (1)发现：由勾股定理得DO+AO= B02+C02= (2)猜想并证明：AB+CD2 AD+BC2;(填“>”或“<”或“=”) 【学以致用】如图2，在△ADE中，∠ADE=90°，分别以AE和ED为边向外作等腰直角△AEB和等腰 直角△EDC,∠AEB=∠DEC=90°，BD与AC相交于点O. (3)求证：△BED≌AAEC: (4)①判断四边形ABCD是不是垂美四边形？请说明理由： G法4E=55,D=45,直接5出8C的K 图1 图2 26.(25-26八年级下·湖南长沙期末)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点， 13119 BE=CF,连接AE、BF,AE⊥BF. DA R E 图1 图2 图3 I)求证：AB=BC; 2)如图2，对角线AC、BD交于点O,点G、H分别是线段AE、BF上的点，AG=BH,连接OG、 OH、GH.求证：∠GOH是直角： 3)在(2)的条件下： ①若点E是边BC的中点，且BC=6,求△OGH面积的最小值： ②如图3，连接AH、BG,AH交OG于点K,若AK=KH,设HG=P,BG=1,请用含有P,1 的式子表示边BC的长， 27.(25-26八年级下·贵州遵义·期末)综合探究 O G B E G B B 图1 图2 备用图 【教材呈现】 (I)如图1，正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点（不与B,C重合），连接AE,过点E作 EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F.求证：AE=EF, 小明的证明思路如下，请补全过程， 在BA上截取BP=BE,连接EP, ,在正方形ABCD中，AB=BC,∠B=∠BCD=90°， .AP=CE,∠PAE+∠AEB=90°， 又.CF平分∠DCG, ∴.∠DCF=45o ∴.∠APE=-, 14119 又EF⊥AE, .∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠PAE=- ∴.△APE≌aECF, .AE=EF: 【类比探究】如图2，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与A,C重合），连接DE,过点 E作EF⊥DE,交射线BC于点F,过点F作FG⊥EF交正方形的外角∠DCH的平分线于点G. (2)当点F在线段BC上时，求证：EF=FG: B)试探究线段CE,CG,AB之间的数量关系，并证明. 28.(25-26八年级下·河南鹤壁阶段检测)正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，过点E作 EF⊥AE交射线CD于点F,以AE,EF为邻边作矩形AEFG,连接DG A D E B (1)求证：矩形AEFG是正方形： DG= √2 (2)若 3,DE=2BE,求AB的长； 3)若点E为BD中点，连接EG,直接写出EG和AD的位置关系. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·河南信阳期末)如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是 18cm218cm232cm2 则图中两块阴影部分的面积和为（)cm 15119 18 32 18 A.12 B.16 C.18 D.20 2.(25-26八年级下·广西百色·期末)课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的 风筝（如图），其面积为800cm,则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）() B A.80cm 80v2cm C.402cm D 40cm 3.(25-26八年级下浙江丽水·期末)如图，在口ABCD中，连结AC,BD,相交于点O.从四个条件① AB=BC:②AC=BD:③AC⊥BD;④AB⊥BC中，选两个作为补充条件，则不能判定口ABCD为正 方形的是() D A.①② B.③④ C.①④ D.②④ 4.(25-26八年级下·天津河东阶段检测)数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为√2的 正方形4BCD与边长为5的正方形4G按图'位置放置，4D与4E在月一条直线上，4B与1C在 同一条直线上，如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时 BE的长为() 16119 G C D 图1 图2 A.1 B.3 c v D.32-4 二、填空题 5.(25-26八年级下·天津河东期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标 是4，O),P为边4B上一点，D、E分别是边BC和O1的中点，沿CP折叠正方形O1BC,折叠后点 B的对应点是B,且点B落在线段DE上，则点B的坐标是 ---1B B E A 6.(25-26八年级下陕西榆林期末)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,添加一个条件：可 使菱形ABCD变为正方形ABCD.(写一个即可) 7.(25-26八年级下·新疆克孜勒苏期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=9,点P是对角线AC 上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作PE⊥AD于点E,过点P作PF⊥CD于点F,连接 EF,则EF的最小值为一· 17119 8.(25-26八年级下·山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边BC所在的直线 ”=-2x+10与轴交于点，与直线'=交于点F,边48与'箱交于点D,直线"=+协经过点”、 y=X F-给出以下四个结论：@点D的坐标为05：②k=分：®pP:Br:@5am-m.共 中正确的是一·（只填序号） Y B D EVx Cy=kx+b y=-2x+10 三、解答题 9.(25-26八年级下·江西南昌期末)在正方形ABCD中，G为BC上的任意一点，BF⊥AG于点F. G 图1 图2 (I)如图1，作DE⊥AG于点E,请写出AF,BF与EF之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接DF,若∠BAG=30°，BF=4,求△ADF的面积. 10.(25-26八年级下·陕西榆林期末)【问题情境】 如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A,C重合），连接DE,过点 E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 18119 1 D F 【基础探究】 B B 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形DEFG是正方形： 【拓展迁移】 ②如图2，已知正方形1BCD的边长为 5+1,当∠1DE=30°时，求C6的长. 19/192026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 4正方形的性质与判定 第2课时正方形的判定 课时目标 理解正方形的三种判定路径，明确正方形与矩形、菱形的从属关系，能根据已知条件 灵活选择恰当的判定方法。 2. 掌握正方形三种判定方法的证明思路和几何语言，能规范书写正方形判定的证明过程， 体会“一般到特殊”的几何研究思路。 3. 能综合运用正方形的判定和性质解决几何证明与计算问题，辨析正方形与矩形、菱形 判定条件的区别与联系，避免概念混淆。 课时目录 知识点01：正方形的判定思路 知识点02：正方形的判定方法一：有一组邻边相等的矩形 知识点03：正方形的判定方法二：有一个角是直角的菱形 知识点04：正方形的判定方法三：对角线互相垂直且相等的平行四边形 1/70 知识点05：正方形判定的证明过程 知识点06：正方形判定与性质的逆向运用 知识点07：正方形判定与其他特殊平行四边形判定的综合辨析 知识点01：正方形的判定思路 正方形是矩形和菱形的交集，判定可从三条路径切入： 先判定四边形是矩形，再叠加菱形的特征（一组邻边相等或对角线互相垂直）： 先判定四边形是菱形，再叠加矩形的特征（一个角是直角或对角线相等）： 直接判定四边形是平行四边形，同时叠加菱形和矩形的特征（对角线互相垂直且相等）。 所有判定最终都回归正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 1.(25-26八年级下·辽宁鞍山期末)下列命题中正确的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D,有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，判断各选项进行 分析即可 【详解】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确。 B.有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误， D.有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误 2.(25-26八年级下·重庆期末)下列说法正确的是() A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B.对角线相等且互相平分的四边形是正方形 C.有一组对边相等的四边形是平行四边形 D.邻边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形 【答案】A 2/70 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形的判定定理，原说法正确，符合题意： B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等互相平分且垂直的四边形才是正方形，原说法 错误，不符合题意： C、两组对边分别相等的四边形才是平行四边形，仅一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，原说 法错误： D、邻边相等且有一个内角是直角的四边形，不满足矩形的判定条件，不一定是矩形，原说法错误，不 符合题意. 3.(25-26八年级下广东汕尾期末)下列命题中，是真命题的是() A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法即 可解题，根据判定定理逐一判断各选项即可， 【详解】解：，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形， A是假命题，不符合题意 ,对角线互相垂直且互相平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 B是假命题，不符合题意 ·根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， C是真命题，符合题意 ,“对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方 形， ∴D是假命题，不符合题意 故选：C 4.(25-26八年级下陕西咸阳·期末)下列条件中能判定一个四边形是正方形的是(） A,三个角是直角的四边形 B.对角线互相垂直的矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形 D.有一个角是直角的平行四边形 【答案】B 3/70 【分析】正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，以此验证各选项， 【详解】解：，三个角是直角的四边形是矩形，不一定是正方形，.A错误； ,矩形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴，对角线互相垂直的矩形既是矩形又是菱形，是正方形，B正确， ,对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，∴.C错误： ,有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形， 知识点02：正方形的判定方法一：有一组邻边相等的矩形 前提是该四边形已为矩形（具备四个角为直角、对边平行且相等、对角线相等且平分的性 质)，只需补充“一组邻边相等”的条件即可判定为正方形。 几何语言：在矩形ABCD中，若AB=AD,则矩形ABCD是正方形。 适用场景：题目己明确给出矩形背景，或已通过矩形的判定条件（如三个角为直角、对角 线相等的平行四边形)证明该图形为矩形时，优先使用此方法。 5.(2425八年级下·云南红河期中)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，且DE=AF, DE⊥AF于点G (I)求证：矩形ABCD是正方形： (2)延长BC到点H,使得CH=DF,连接DH,判断△DEH的形状，并说明理由. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .∠DCE=∠ADF=90° .∠CDE+∠ADG=90°， DE⊥AF, 4/70 .∠AGD=90°， .∠FAD+∠ADG=90°， ∠CDE=∠FAD, .DE=AF, △DCE≌△ADF(AAS) .'DC=AD ∴矩形ABCD是正方形： (2) 解：△DEH是等腰三角形 理由：，四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADF=∠DCH=90°， .DF=CH, △ADF≌△DCH(SAS) .AF DH, .DE=AF, .'DH=DE, :△DEH是等腰三角形. 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判 定。 (l)证明△DCE≌△ADF(AAS) 得到DC=AD,即可求证： (2)证明△1DF≌DCH (SAS) 可得AF=DH,进而得DH=DE,即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 6.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE,过 点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 5/70 E 图① 图② (I)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形. (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若AB=4.CE=2V5 ,求CG的长度： ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是4O°时，直接写出∠EFC的度数： 【答案】()见解析 02v2 130°.40° ,②1 或 【分析】(1)要证明矩形DEFG是正方形，核心是证明矩形的邻边相等，利用正方形ABCD的对角线 性质，构造辅助线EP⊥DC、EO⊥BC,得到正方形COEP;再通过角的互余关系证明∠QEF=∠PED 从而证得全等，推出EF=DE,矩形即可判定为正方形 (2)①先由正方形边长B=4,得对角线4C=45,结合CE=25,可知4E=4C-CE=25,即 E为AC中点，此时F与C重合，矩形DECG为正方形，故CG=CE, ②分两种情况讨论：当DE与AD夹角为40°时，利用正方形对角线的角性质和三角形内角和，计算得 ∠EFC=130°：当DE与DC夹角为40°时，利用矩形和正方形的角性质，得∠EFC=40°. 【详解】(l)证明：如图①，过点B作EP⊥DC,交DC的延长线于点P,EO⊥BC,交BC的延长 线于点O,则四边形CQEP为矩形， ∴.∠EPD=LEQF=∠PEQ=90 ∠ECQ=∠BCA=∠ECP=∠DCA=45°， .∠CEP=∠ECP=45°，CP=PE. ∴四边形CQEP为正方形，E0=EP。 6/70 ,EF⊥DE, ·∠DEF=∠PE0=90°， ·∠QEF=∠PED △EOF 在 和△EPD ： ∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∠EQF=∠EPD, △EQF≌△EPD(ASA) ∴.EF=ED, ∴矩形DEFG是正方形. D C p E 图① (2)解：①如图②，在Rt△1BC中，由勾股定理，得4C=√AB+BC=4W2 CE=2V2 .AE =CE, ∴点F与点C重合，此时△DCE是等腰直角三角形， ∴.矩形DEFG是正方形，CG=CE=2N2 D G C(F) 图② ②分以下两种情况讨论：①如图③，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC=45°+40°=85° :∠DEF=90°， 7/70 、.LCEF=5°. .∠ECF=45°， .∠EFC=130°： ②如图④，当DE与DC的夹角为40°时， ∠DEF=∠DCF=90°， ·.∠EFC=∠EDC=40° 综上所述，当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，∠EFC的度数为130°或40°. D B FC CA 图③ 图④ 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论思想，掌握正方形对 角线平分内角、构造辅助线证明全等、分情况讨论角的位置是解题的关键 7.(22-23八年级下山东济宁·期中)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上， DE=AF,DE⊥AF于点G. D E G H B F 图1 (I)求证：四边形ABCD是正方形： 小明的部分证明过程如下，请你帮助小明把横线上部分补全： 证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°， :DE⊥AF, ∴.∠BAF+∠DAF=90°∠ADE+∠DAF=90° 8/70 .DE=AF, .△ADE2△ (AAS) :四边形ABCD是矩形， 四边形ABCD是正方形： (2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状，并说明理由. (3)如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G,DE=AF, ∠AED=60°，AE=6,BF=2,请直接写出DE的长. D G B F 图2 【答案】（①）∠DAB=∠AGD=90°：ADE=∠BAF:△BAF;AD=AB (2)△AHF是等腰三角形，理由见解析 3)8 【分析】(I)根据矩形性质和DE⊥AF,得出∠DAB=∠B=9O°和∠ADE=∠BAF,结合DE=AF, 可证明△ADE≌△BAF,得到AD=AB,，即可证明四边形ABCD是正方形： (2)根据正方形性质可得到△DAB≌△ABH,进而得到AH=AF,得出△AHF是等腰三角形： (3)延长BC到点H,使BH=AE=6,连接AH,根据菱形性质可证△DAE≌△ABH,可得到 AH=DE,∠ABH=∠DEA=60°，得出△AHF为等边三角形，AH=HF=HB+BF=AE+BF,从而求 出DE的长. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠B=90°， DE⊥AF, ∴.∠DAB=∠AGD=90°， ∴，∠BAF+∠DAF=90°∠ADE+∠DAF=90° ∴∠ADE=∠BAF, .DE=AF, 9/70 ·.△ADE≌△BAF(AAS) :AD=AB, 四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形： (2)△AHF是等腰三角形， 理由：~四边形ABCD是正方形， .∠DAB=∠ABH=90°AB=DA, BH =AE, ∴△DAB≌△ABH(SAS) :AH DE, .DE=AF, :AH=AF, ∴△AHF是等腰三角形： (3)延长CB到点H,使BH=AE=6,连接AH, D G 四边形 为菱形， 图2 ABCD AD∥BC,AB=AD, ∠ABH=∠BAD, BH =AE, ,∴.△DAE≌△ABH(SAS) ∴.AH=DE,∠ABH=∠DEA=60°， .DE=AF, :AH AF, ∴△AHF为等边三角形， .AH HF HB+BF=AE+BF=6+2=8 10170 .DE=AH=8 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，菱形的性质，等 腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键。 8.(24-25八年级下广西南宁·期中)如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG,且 ∠CGD=∠AED E B 备用图 (I)求证：矩形DEFG是正方形： (2)若AB=2,CE=V2,求CG的长度； (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是37°时，求∠EFC的度数. 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD为正方形， AD=CD,∠ADC=90°， ,四边形DEFG为矩形， ·.∠EDG=90°， :LADE+∠EDC=∠GDC+∠EDC, ∴∠ADE=∠CDG. 又：∠AED=∠CGD. △AED≌ACGD(AAS) .ED=DG. ,四边形DEFG为矩形， ∴，四边形DEFG为正方形： 3岭 11/70 (3)127°或37 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理。 ☑)证明△MBD2,CGD(AAS),可得ED=DG,则矩形DEFG是正方形： (2)由已知得1C=V2AB=2V2 万，则4E=5,再根据△MED△cGD得CG=4亿=5 (3)分两种情况讨论：当DE与AD的夹角为37°时，点F在BC边上，∠ADE=37°，由四边形内角和 定理得：∠EFC=127°；②当DE与DC的夹角为37°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=37°，可得 ∠EFC=∠CDE=37° 【详解】(1)略： (2)解：在 R△ABC中，4C=2MB=22 ,CE=2, :E=v5 ,△AED≌△CGD, CG=AE=2 (3)解：分以下两种情况讨论： ①当DE与AD的夹角为37°时，点F在BC边上，∠ADE=37°， .∠CDE=90°-∠ADE=90°-37°=53°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得： ∠EFC=360°-90°-90°-53°=127°； ②当DE与DC的夹角为37°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=37°，如图3所示： A D H B 图3 :∠HCF=∠DEF=90°，∠CHF=∠EHD. ∴.∠EFC=∠CDE=37°」 12/70 综上所述，∠EFC的度数为127°或37° 知识点03：正方形的判定方法二：有一个角是直角的菱形 前提是该四边形已为菱形（具备四边相等、对边平行、对角线互相垂直平分且平分每组对 角的性质)，只需补充“一个角为直角”的条件即可判定为正方形。 几何语言：在菱形ABCD中，若∠A=90°，则菱形ABCD是正方形。 适用场景：题目已明确给出菱形背景，或已通过菱形的判定条件（如四边相等、对角线互 相垂直的平行四边形)证明该图形为菱形时，优先使用此方法。 9.(24-25八年级下·全国·单元测试)阅读理解菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与 正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”， 如图所示，设菱形相邻两个内角的度数分别为m,n. m 若我们将菱形的“接近度”定义为m-叫，于是m-从越小，麦形就越接近正方形。若麦形的一个内 角为70°，则“接近度”是多少？ （Q若我们将菱形的“接近度”定义为m<川，那么麦形的“接近度”为多少时，菱形就是正方形？ 【答案】(1)40° (2)1 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键， 1)利用菱形的“接近度”定义为m一川， ，进而代入求出即可： (2)根据当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，进而得出答案. 【详解】(1)解：若菱形的一个内角为70°， .该菱形的相邻的另一内角的度数为110°， 13170 110-70=40° ““接近度”等于 故答案为：40° (2)解：当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，则菱形是正方形 故答案为：1. 10.(24-25八年级下·河北张家口期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O,分别延长 OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接点B,F,D,E (I)求证：四边形BFDE是菱形： (2)已知∠ABC=50° ①当∠ABE为度时，四边形BFDE是正方形，并将横线处作为条件，对结论加以证明； ②若四边形BFDE是正方形，且面积为50，CF=3,求OC的长. 【答案】1) 证明：四边形ABCD是菱形， :OA=OC,OB=OD,且AC⊥BD AE=CF, ∴.OA+AE=OC+CF,即OE=OF, ∴四边形BFDE是菱形： (2) ①20： 证明：∠ABC=50°，四边形ABCD是菱形， 六∠ABD=∠CBD=1∠ABC=250 ∠ABE=20°， .·.∠EBD=∠ABE+∠ABD=45 四边形BFDE是菱形， 14170 .∠EBF=2∠EBD=90°， ∴四边形BFDE是正方形： ②2 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握菱形的判定与性 质是解决问题的关键。 (1)利用对角线互相平分且垂直，结合AE=CF,证得OE=OF,根据“对角线互相平分的四边形 是平行四边形”得四边形BFDE是平行四边形，再由对角线垂直（菱形对角线垂直，AC⊥BD), 根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，证得四边形BFDE是菱形 (2)①先由菱形性质得∠ABD=25°，结合∠ABE=20°算出∠EBD=45°，因四边形BFDE是菱形， 菱形对角线平分内角，故∠EBF=90°，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，证得四边形BFDE 是正方形.②由正方形面积求出DF,再用勾股定理得OD=OF=5,结合CF=3,通过 OC=OF-CF算出OC的长. 【详解】(1)略 (2)①略 ②：四边形BFDE是正方形，且面积为50， ..DF2=50 OD=OF :DF=52 在Rt△DOF中，由勾股定理得OD=OF=5, ∴.OC=OF-CF=2 11,(25-26八年级下·山东泰安期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿AB的方向平移得到 △DEF,连接CD,FB,CF B 备用图 (I)当点D移至什么位置时，四边形CDBF是菱形，并加以证明. 2)在(1)的条件下，如果AB=13,AC=5,求四边形CDBF的面积： 3)在(1)的条件下，四边形CDBF能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给△ABC添加一 15170 个条件，使四边形CDBF为正方形，并写出推理过程. 【答案】(I) 如图：当D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形.证明如下： F D B :将△ABC沿AB的方向平移得到△DEF,连接CD,FB,CF. .CF∥AB且CF=AD,DF=AC,DF∥AC, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点， ..CD-AB-AD-D8. .'CF =DB, 又：CF∥AB, ∴四边形CDBF是平行四边形 CD=BD. ∴.平行四边形CDBF是菱形. (2)30 3) 如图：四边形CDBF不能为正方形，添加条件：AC=BC时，四边形CDBF为正方形.推理如下： B :AC=BC,D是AB中点， ∴.CD⊥AB,即∠CDB=90°， ,四边形CDBF为菱形， .四边形CDBF是正方形. 【分析】(I)当D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形；由平移的性质可得CF∥AB且 CF=AD,DF=AC,DF∥AC,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知 16/70 CD=B=AD=DB,再证明四边形CD9F是平行四边形，结合CD-BD即可证明： (2)由勾股定理可得BC=12,由平移的性质可得DF=AC=5,再根据菱形的性质求面积即可： (3)不能为正方形，添加条件：AC=BC时，四边形CDBF为正方形.根据有一内角为直角的菱形 是正方形来添加条件即可解答. 【详解】(1)解：略： (2)解：，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,AC=5, :BC=VAB2-AC=V32-5=12 ,将△ABC沿AB的方向平移得到△DEF,连接CD,FB,CF. .DF=AC=5, :平行四边形CDBF是菱形， 四边形CD8F的面积为)BCDF=)×12×5=30 2 (3)解：略 12.(24-25八年级下湖北宜昌期末)如图1，菱形ADBC的对角线AB,CD相交于点O,AC=8, ZD4C=6O,过点C作CP‖B,且CP=)AB,连接p 2 D D C (图1) (图2)》 1)在图1中，∠CAB的度数为 ：AO的长为： (②)请判断四边形APCO的形状并说明理由； B)如图2，将△APC沿射线AB方向移动得到△AP'C',直线AP'与直线AC交于点E,直线AC'与直 线CD交于点F,设AA'=x ①当以A,P,C,O为顶点的四边形是正方形时，求x的值： ②当以A',E,C,F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出符合条件的x值。 【答案】030°，4W5 17170 (2) 解：四边形APCO为矩形， 理由：四边形ADBC是菱形， 1 六A0=24B, ∠A0C=90°， CPI∥AB,且CP= ..AOCP A0=CP ∴四边形APCO是平行四边形， :∠AOC=90° ∴平行四边形APCO是矩形： 85 3)0当x为4√3+4或4W5-4时，以4'，P,C,0为顶点的四边形是正方形；②当x为3或83 时，以A'、E、C、F为顶点的四边形是菱形 【分析】(1)根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论： (2)根据菱形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理即可得到结论： (3)①分点A在线段AO上和点A在线段AO的延长线上时，两种情况讨论，利用OA'=CO,列式 计算即可求解： ②分点A'在线段AO上和点A'在线段AO的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合 勾股定理求得AF和CF的长，再利用FA=CF,列式计算即可求解. 【详解】(1)解：：四边形ADBC是菱形， ∠CAB=)∠DaC=3x60=30,AB1CD 2 .∠A0C=90°， AC=8, ..OC=-AC=4 2 A0=VAC2-0C2=4V5 30°4V3 故答案为： 18170 (2)略 (3)解：①第一种情况：当点A在线段AO上时， AA'=x, .0A=45-x :四边形A'PCO是正方形， 0=0C,即W5-x=4 x=4V5-4 第二种情况：当点A在线段AO的延长线上时， 八AA=x, .0A=x-4V3 ~四边形AP'C0是正方形， 04=0C,即 x-4V3=4 .x=43+4 4V3+44V5-4 综上所述，当x为 或 -4时，以4，P,C,O为顶点的四边形是正方形： ②当点A'在线段AO上时， D (图2) AA'=x ..OA'=43-x 由平移的性质知∠FA'O=∠CAO=30°， ..A'F=20F A'F2=A'O2+OF2 19/70 or-5o945-49.r-0=8-29 3 3 .CF-4-oF=3 ~四边形A'ECF是菱形， 8- 23V3 FA=CF,即8-3x=3, 8v3 .X= 3； 当点A在线段AO的延长线上时， D F 0 C P' E .AA'=x ∴.OA'=x-4v5 ，由平移的性质知∠F10=∠C40=30° ∴AF=2OFAF2=A'O+OF2 0r-9a-9-4-9-4.4n=2or-2 3 3r-8 CF=4+oF= -x 3“, :四边形A'ECF是菱形， -x-8=V 2V3 FA=CF,即3 x 3 ∴x=8V3 20170 8v5 综上，当x为3或8V5时，以、E、C、F为顶点的四边形是菱形. 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性 质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题. 知识点04：正方形的判定方法三：对角线互相垂直目相等的平行四边形 无需先判定为矩形或菱形，直接以平行四边形为前提，同时满足“对角线相等”（矩形特 征)和“对角线互相垂直”（菱形特征），即可判定为正方形。 几何语言：在ABCD中，若AC=BD且AC⊥BD,则~ABCD是正方形。适用场景：题目 已给出平行四边形背景，且同时涉及对角线的长度相等和垂直关系时，优先使用此方法， 可减少证明步骤。 13.(25-26八年级下广东东莞期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F 在对角线BD上，且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE,CF,AF.求证：四边形AECF是正方 形 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,结合BE=DF,得出OE=OF,根据对 角线互相平分，可得四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形AECF是正 方形 【详解】证明：~四边形ABCD是菱形， .OA=OC.OB=OD.AC⊥BD 21170 ..BE =DF, ∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形， 又：AC=EF, 四边形AECF是矩形， 又AC⊥EF ·四边形AECF是正方形. 14.(25-26八年级下·北京课后作业)如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O,点D、 B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF,连接AD、AB、CD、CB,∠ADO=45° D (I)求证：四边形ABCD是正方形： ②)若正方形ABCD的面积为72，BF=4,求点F到线段AE的距离. 【答案】)见解析 6V10 (2)5 【分析】(1)根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，根据对角线相 等的菱形是正方形即可解决问题； (2)由正方形的面积公式求得BO=D0=C0=AO=6,进而得到OF=2,由四边形ABCD是菱形得 到EF=4,1C1EF,菱形4CF的面积=24，由勾股定理求得1B=2而， 根据菱形的面积公式即 可求得答案 【详解】(I)证明：菱形AECF的对角线AC和EF交于点O, .AC⊥EF,OA=OC,OE=OF, DE=BF, :BO=DO. :AC⊥BD 22170 四边形ABCD是菱形， ∠AD0=45°， ∠DA0=∠AD0=45°， ..AO=DO :AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形： (2)解：正方形ABCD的面积为72， 号c80=2 2×480=72, ∴.B0=D0=C0=A0=6 ∴.AC=12 BF=4, ∴OF=2, 四边形AECF是菱形， .EF=2EO=20F=4,AC L EF, 菱形CF的面积ACEF=2 在RtAOE中， AE=√A02+0E2=2V10 设点F到线段AE的距离为h, .AEh=24, 即2,106=24 6V 5. 610 即点F到线段AE的距离为5. 15.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC和BD相交点于O,点E、 R、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形. 23170 【答案】证明：：正方形ABCD, .AC⊥BD,OA=OB=OC=OD, .AE=BF=CG=DH ∴.OE=OF=OG=OH, ∴.四边形EFGH是矩形， 又：EG⊥FH, ∴四边形EFGH是正方形. 【分析】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 【详解】略 16.(2026山东青岛·二模)己知：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点0，分别过点C、D作 CF∥BD,DF∥AC,连接BF交AC于点E. (I)求证：△FCE≌aBOE; (②)当AD⊥CD时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由. 【答案】)见解析 ②)四边形OCFD的形状是正方形，理由见解析 【分析】(I)证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD=CF,证出OB=CF,即可得出 AFCE≌△BOE(AAS)； (2)先证明四边形ABCD为正方形，得到OD=OC,∠COD=90°，即可得出结论 【详解】(I)证明：CF∥BD,DF∥AC ∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE=∠CFE, 24170 :.OD=CF, ~四边形ABCD是菱形， ∴.OB=OD :.OB=CF, 在△FCE和△BOE中， ∠OBE=∠CFE ∠BEO=∠FEC OB=CF .AFCE≌ABOE(AAS). (2)解：四边形OCFD的形状是正方形，理由如下： 菱形ABCD,AD⊥CD .四边形ABCD为正方形， .OA=0B=0C=0D,∠C0D=90° 由(1)知：四边形OCFD是平行四边形， :∠C0D=90°， ∴四边形OCFD是矩形， 又，OC=OD :四边形OCFD是正方形 知识点05：正方形判定的证明过程 例1：求证“有一组邻边相等的矩形是正方形” 已知：矩形ABCD中，AB=AD。 求证：矩形ABCD是正方形。 证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD,AD=BC(矩形性质)。 25170 又，AB=AD, ∴.AB=BC=CD=DA(等量代换)， ∴.四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 又，∠A=90°， ,菱形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。 例2：求证“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形” 已知：在ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,交于点O。 求证：ABCD是正方形。 证明：，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD, ·.ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 又，AC⊥BD, ∴.矩形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 ∴.~ABCD是正方形（既是矩形又是菱形的四边形是正方形）。 注意：证明过程每一步都要注明依据，优先使用已学过的平行四边形、矩形、菱形的判定 和性质定理。 17.(25-26八年级下广东江门期中)如图所示，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，点 E、F、G、H分别是AD、BC、OB、OD的中点， E (I)证明：四边形EGFH是平行四边形： (2)若AB⊥BD,DC:BD=1:2,证明：四边形EGFH是正方形. 【答案】(I)证明见解析 (②)证明见解析 【分析】(1)由平行四边形的性质得OA=OC，进而由三角形中位线的性质可得，即可求证： 26/70 (2)连接EF,先证明四边形ABFE是平行四边形，再证明四边形EGFH是菱形，进而证明 EF=GH即可求证。 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .".OA=OC, 点E、H分别是AD、OD的中点， ..EH=O 2 ,EH∥AC: 同理可证GF=2OC,GF∥4C, 2 .EH=GF,EH∥GF. .四边形EGFH是平行四边形 (2)证明：如图，连接EF, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC,AB=DC, :点EF分别是AD、BC的中点， ∴，AE=BF, ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴.AB∥EF,AB=EF, ,AB⊥BD, EF⊥BD, 由(1)知，四边形EGFH是平行四边形， ∴，四边形EGFH是菱形， AB=DC,AB=EF, .EF DC. ,点G是OB的中点， 27170 GH-20G=8D, 2 DC:BD=1:2, ..GH=DC, ∴EF=GH, ∴.四边形EGFH是正方形. 18.(2026山东青岛二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC, BF⊥AC,垂足分别为E、F,延长BF至点G,使FG=BF.连接DG. D &O (I)求证：△ADE≌aCBF (2②)当OF和BF满足什么数量关系时四边形DEFG是正方形？并说明理由. 【答案】)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=CB,AD∥CB ∴.LDAC=∠BCA, :DE⊥AC,BF⊥AC, .∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF ∠AED=∠CFB AD=CB △ADE≌△CBF(AAS) ②当OF-BF时，四边形DEG是正方形：理由如下 证明：由(I)得△ADE≌aCBF, .DE =BF, .FG=BF, 28170 .FG=DE, :DE⊥AC,BF⊥AC, .DE∥FG, ,∴.四边形DEFG是平行四边形， DE⊥AC,即LDEF=90°， “.四边形DEFG是矩形， :'△ADE≌△CBF, .AE=CF, ,四边形ABCD是平行四边形， ..AO=CO. ..OE=OF, 侧当0加8Fb9P时，EE=Gp=20F .四边形DEFG是正方形 【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AD=CB,AD//CB,推出∠DAC=∠BCA,进而利用AAS 即可证得结论： (2)易证四边形DEFG是矩形，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质可得OE=OF,于是可 得当OF=)BP2GT时四边形DEFG是正方形 【详解】(1)略 (2)略 19.(24-25八年级下·甘肃陇南期末)如图，在ABCD中，对角线AC,BD交于点E,CF∥BE, BF∥CE. D H (I)当BC平分∠EBF时，口ABCD是形：（填特殊平行四边形名称） 29170 BC=2BF =2BE (2)证明：当 时， ABCD 为正方形 【答案】()矩形 (2) 证明：：CF∥BE,BF∥CE. .四边形BFCE是平行四边形， BC=2BF=BE .BF BE, .四边形BFCE是菱形， .BE CE. BC-BF=BE .BC2=2BF2, 则BE2+CE2=2BF2=BC2, 即∠BEC=90°， 故AC⊥BD ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.四边形ABCD是菱形， BE=CE. .AC=BD. .口ABCD为正方形 【分析】本题考查了勾股逆定理、平行四边形的性质及矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，熟 练掌握其判定及性质是解题的关键 (I)利用平行线的性质及角平分线的性质可得BE=CE,再根据平行四边形的性质可得AC=BD, 根据矩形的判定即可求证结论. (2)先证明四边形BFCE是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形是菱形，再结合勾股逆 定理得出∠BEC=9O°，最后运用对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，即可作答. 【详解】(I)证明：ABCD是矩形，过程如下： ·BF I CE 30/70 ∠ACB=LCBF, 又BC平分∠EBF, ∴∠DBC=∠CBF, ∴.BE=CE, 又：四边形ABCD是平行四边形， .AE=CE,BE=DE, ∴AC=BD ∴ABCD是矩形， (2)略 20.(25-26九年级上·陕西咸阳阶段检测)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB⊥BD ,且AB=BD,点M是AD边的中点，连接OM,过点M作MN⊥OM;交CD延长线于点N.请问 四边形ODWM是正方形吗？请说明理由， B ○ ☑M 【答案】四边形ODWM是正方形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练掌握正方形 的判定是解题关键.先根据平行四边形的性质可得AB1CD,OB=OD-2BD,则可得CD1BD:即 ∠ODN=90°，再根据三角形中位线定理可得OM∥AB,OM=2AB,则可得OM1BD,即 ∠DOM=90°，然后证出四边形ODWM是矩形，最后证出OD=OM,根据正方形的判定即可得。 【详解】解：四边形ODNM是正方形，理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， BCD:OR-OD-BD :AB⊥BD, CD⊥BD. .∠ODN=90°， 31170 :点M是AD边的中点，OB=OD, .OM是△ABD的中位线， oM∥4aoM=号4B ∴.OM⊥BD, ∴.∠D0M=90°. ,MN⊥OM, ∴.∠OMN=90°=∠ODN=∠DOM, ∴.四边形ODNM是矩形， 又0D=)BD.OM= 1 AB 21 2 AB=BD' ..OD=OM, ,∴四边形ODNM是正方形 知识点06：正方形判定与性质的逆向运里 判定和性质互为逆命题，解题时可双向使用： 若题目给出正方形的判定条件，先证明该图形是正方形，再调用其所有性质（四边相等、 四角为直角、对角线垂直相等且平分对角等)求解未知量： 若题目需要先求某条线段相等或某个角为直角，可先利用正方形的性质得出结论，再反推 判定条件。 例如：已知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,先判定ABCD 是正方形，再利用“正方形四边相等”得出AB=BC=CD=DA,利用“对角线平分每组 对角”求出∠ABD=45°。 21.(24-25八年级下·安徽蚌埠期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,P是OB 上的一个动点，连接CP,作PE⊥CP,交AB的延长线于点E,以PC和PE为邻边作口PEFC,对角 线CE,PF相交于点G 32170 D B (I)连接OG,若OG=m，,则AE=(用含m的代数式表示)： (2)证明：AP=PE: BE 3)若点p为OB的中点，求AB的值. 【答案】1)2m (2) 证明：如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N, .∠PNB=∠PME=∠PNC=90° :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，BD平分∠ABC,BD垂直平分AC, .∠PNB=∠PME=∠ABC=90°PC=PA .四边形PMBN是矩形， :BD平分∠ABC,PM⊥AB,PN⊥BC, .PM=PN, ∴，四边形PMBN是正方形， .∠MPN=90°， .∠MPE+∠EPN=90°， ,PE⊥CP .∠CPN+∠EPN=90°， .∠CPN=∠MPE. 在aCPN和△EPM中， 33170 ∠CPN=∠MPE PN=PM ∠CNP=∠EMP ,∴.△CPN≌△EPM(ASA) ∴PC=PE, ..PC=PA, .'AP=PE: 3)2 【分析】(1)先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为AC中点，G为CE中点，从而可得OG E中位线，根据中位线的性质可得OG三)AE=m,从而可得 故答案为： (2)先证明四边形PMBN是正方形，再利用ASA证明△CPN≌△EPM,根据全等三角形的性质可得 PC=PE,进面可得AP=PE: (3)先根据正方形的性质得出MB=BN=PM,∠PBM=∠MPB=45°，再设MB=BN=PM=x,从 BE 而可用x表示出PB:借助勾股定理可用x表示出AB,再用x表示出BE,即可求得AB, 【详解】(1)解：如图， ○ B :四边形ABCD是正方形， .OC=OA,即O为AC中点， ,四边形PEFC是矩形， .CG=EG,即G为CE中点， .OG是△ACE中位线， 0G=4E=m, 34170 .'AE=2m, 故答案为：2m: (2)略 (3)如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N, D B 由(2)得，四边形PMBN是正方形， .MB=BN=PM,∠PBM=∠MPB=45°， 设MB=BN=PM=x,则P PB=√2x :点P为OB的中点， PB=PO=2x OB=04=2x .AB=VOA2+OB2 =22x+(22x=4x. .'AM AB-MB=3x, AP=PE,PM⊥AB, .'ME AM =3x, .'BE=ME-MB=2x, BE 2x 1 AB4x2 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合( ASA),解题关键是掌握上述知识点求解， 22.(24-25八年级下·安徽安庆·期末)已知：正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点. 35170 C 图1 图2 图3 I)如图1，若P在对角线BD上，连接PC,过点P作PO⊥CP交AB于点O.求证：PO=PC: ②如图2，在山的条件下，若PD=25,4B=6,求0的K BO )如图3，若P在BD的延长线上，连接AP,过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E,连接DE,若 CE=8,△DPE的面积是20，求PE的长 【答案】) 证明：如图1，连接PA, 图1 ,四边形ABCD是正方形， ÷AB=CB=AD=CD,∠BAD=∠BCD=∠CBQ=90°， ,∠ABP=∠ADB=459,∠CBP=∠CDB=45°， .∠ABP=∠CBP=45°， .BP=BP, ∴.△ABP≌△CBP. ,PA=PC,∠PAQ=∠PCB PQ⊥CP, .∠CP0=∠CB0=90°， .∠PCB+∠PQB=180° ∠POA+∠PQB=180° 36170 ∠POA=∠PCB :∠PAQ=∠PQA ..PA=PO. .PO=PC 2)2 62vg 【分析】(I)连接PA,证明△ABP≌△CBP,可得PA=PC,∠PA0=∠PCB,进一步证明 ∠PAQ=∠POA PA=PQ ,可得 ,进一步可得结论。 (2)过点P作PE⊥AB,PH⊥DC,PF⊥BC,由正方形的性质可得∠BDC=45°，根据PH⊥DC, 可得∠BDC=∠HPC=45°，继而可证△PHD是等腰三角形，由勾股定理可得DH=PH=2,根据矩 形的判定可得四边形PFCH是矩形和四边形ADHE是矩形，继而得到FC=PH=AE=DH=2,继而 求出QE=FC=2,从而得到BO; (3)过点P作PH⊥AB,PF⊥BC,根据正方形的性质可得BD是∠ABC的角平分线，由角平分线的 性质可得PH=PF,，根据三角形的判定定理可证△HPA≌△FPE,继而可得HA=FE,再由正方形的 1 性质求出CF=EF=)CB=4,设小正方形的边长为a,则大正方形的边长为(a+4),根据 Sme=Scm+S,m一S。c列方程求出“，最后根据勾股定理进行计算. 【详解】(1)略 (2)解：过点P作PE⊥AB,PH⊥DC,PF⊥BC, E B 37170 :正方形ABCD中，BD是对角线， :∠BDC=45°=∠ABD=LCBD,PE=PF, PH⊥DC .∠BDC=∠HPD=45°， .DH=PH, ∴，△PHD是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：PH2+DH2=PD2, 即2PH-(22, 解得：PH=2, .DH PH=2, :∠FPH=∠PFC=∠PHC=90°， ∴四边形PFCH是矩形， .FC=PH=2, 同理可证：四边形ADHE是矩形， .AE=DH=2, PO⊥CP,PF⊥BC, .∠EPQ+∠QPF=90°，∠QPF+∠CPF=90°， .∠EPQ=∠CPF :PE=PF∠QEP=∠PFC :.△EPQ≌△FPC. ..OE=FC=2. .BQ=AB-AE-EQ=6-2-2=2 (3)过点P作PH1AB,PF⊥BC,如图， 38170 D B E :正方形ABCD中，BD是对角线，点P在∠ABC的平分线BD上，PH⊥AB,PF⊥BC, .PH=PF, ∠HPF=90°，∠APE=90° ∠HPA+∠APF=90°，∠APF+∠FPE=90° .∠HPA=∠FPE, 在△HPA和△FPE中 ∠PHA=∠PFE PH=PF ∠HPA=∠FPE .△HPA≌△FPE, .HA=FE, :四边形BHPF和ABCD均为正方形， .'.BH=BF,AB=BC. ..AH=CF, .CF=EF=ICE=4 2 设小正方形的边长为“，则大正方形的边长为 a+4) ,SAPDE=S梯形DCFm+SAPFE-SaDCE (a+a+4)x4x2+4(a+4)x *22×a×8=20 解得：a=2, 39170 ∴PF=6. PE-PP+EF52=23 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与 性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的 关键， 23.(24-25八年级下·云南昆明期中)如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作 交BC于点E,交1D于点F,连接 EF⊥AC、BCE F AE,CF ()求证：四边形AECF是菱形： (②)若E是BC的中点，且AE平分∠BAC,当AE=8时，求四边形AECF的面积 【答案】) 证明：：点O是AC中点，EF⊥AC, ·EF是AC的垂直平分线， .AF=CF,AE=CE,OA=OC. :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, ∴.∠CAF=∠ACE,∠AFE=∠CEF 在△AOF和△COE中， ∠AFO=∠CEO ∠OAF=∠OCE OA=OC ∴.△AOF≌△COE(AAS) .AF =CE, .AF=CF=CE=AE 40170 四边形AECF是菱形， (2)64 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，解题的关键是： (I)根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF,AE=CE,OA=OC,然后由四边形ABCD是矩 形，再证明△AOF≌△COE,则可得AF=CE,继而证得结论； (2)证明△ABE≌△ACE,并结合邻补角的性质可得出∠AEB=∠AEC=90°，则得出菱形AECF是 正方形，然后根据正方形的面积公式求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：四边形AECF是菱形， .AO=CO,AC⊥EF, 又E是BC的中点， .OE∥AC .∴∠BAC=∠EOC=90°. AE平分∠BAC, .∠BAE=∠CAE=45°， :四边形AECF是菱形， .∠EAF=2∠EAC=90°， ∴菱形AECF是正方形， 又AE=8, 正方形AECF的面积是82=64. 24.(25-26八年级下·河南商丘期末)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点 E是对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF=BE,EF与CD交于点P,连接DE、CF, DF. (1)求证：DF∥OE; 2)若AB=4,BF=8,点P恰好是CD的中点. 41170 ①求证：四边形CFDE是矩形： ②若四边形CFDE是正方形，求BC的长度 【答案】()，四边形ABCD为平行四边形， ..OB=OD. EF=BE, ∴.OE是△BDF的中位线， .DF OE (2)①在平行四边形ABCD中，AB=4, :AB=CD=4, .BF=8, BF=4, :.EF=BE= .EF =CD=4. .OE DF, ∴∠PCE=∠PDF,∠PEC=∠PFD ~点P恰好是CD的中点， :.CP=DP, ∴.aCPE≌△DPF(AAS), .DF=CE .DF CE, ∴.四边形CFDE是平行四边形， .EF=CD=4, :四边形CFDE是矩形： ②BC=2V10 【详解】证明：(1)略： (2)①略： ②：四边形CFDE是正方形，EF=CD=4, 42170 :DE=CE=CF=FD. 设DE=x, ,在RtACED中，CE2+DE2=CD2, x2+x2=42, x2=8, 解得5=2W2,与=-2V5 (不符合题意，舍去) ..DE CE=CF=FD=22 :OE是△BDF的中位线， 060=E :.0C=0E+CE=3√2 ·四边形ABCD为平行四边形， ..OA=OC=3V2,AD=BC ..AE=0A+OE=42 六在直角三角形ADE中，AD=VDE2+AE=2√10 .BC=2V10 知识点07：正方形判定与其他特殊平行四边形判定的综合辨逝 图形 判定核心条件 易错点 平行四边形十一个直角/对角线 仅对角线相等不能判定为正方形，还需满 矩形 相等 足对角线互相垂直 平行四边形+一组邻边相等/对 仅对角线垂直不能判定为正方形，还需满 菱形 角线垂直 足对角线相等 平行四边形十对角线相等且垂直 无平行四边形前提时，仅对角线相等且垂 正方形 (或矩形十邻边相等/菱形十 直不能判定为正方形（可能是筝形）： 个直角) 不能遗漏平行四边形前提，直接由边或角 43170 的条件判定 25,(24-25八年级下·广西防城港期末)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形” 【问题探究】如图1，己知四边形ABCD是垂美四边形，AC⊥BD,垂足为O, (1)发现：由勾股定理得D02+AO2=」 ,B02+C02= (2)猜想并证明：AB+CD AD2+BC2;(填“>”或“<”或“=”) 【学以致用】如图2，在△ADE中，∠ADE=90°，分别以AE和ED为边向外作等腰直角△AEB和等腰 直角△EDC,∠AEB=∠DEC=90°，BD与AC相交于点O. (3)求证：△BED≌△AEC: (4)①判断四边形ABCD是不是垂美四边形？请说明理由： ②老E=55,D=45,直接写出BC的长 B D 图1 图2 【答案】(1)AD2,BC: (2)=: (3)证明：△AEB和△EDC是等腰直角， .AE=BE,CE=DE, ,∠AEB=∠DEC=90° ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED. 即∠AEC=∠BED △BED≌△AEC(SAS) (4)①解：四边形ABCD是垂美四边形：理由如下： ,△BED≌△AEC, 44170 .∠EBF=∠EAC, ∠BFE=∠AFO ∠BFE+∠EBF+∠BEF=∠AFO+∠EAC+∠AOF=18O° ,:∠A0F=∠AEB=90°， .BD⊥AC, “.四边形ABCD是垂美四边形： B ②BC=V146 【分析】(1)根据勾股定理进行求解即可： (2)由勾股定理列出等式可求解： (3)根据“SAS”证明△BED≌△AEC即可： (4)①根据垂美四边形定义进行求解即可：②根据勾股定理，结合AB+CD2=BC2+AD2,进行求 解即可 【详解】解：(I)AC⊥BD, .∠AOD=∠BOC=90°. ,∴，Rt△AOD和Rt△BOC根据勾股定理得： DO2+A02=AD2 BO2+CO2=BC2 (2)在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得： A02+BO2=AB2 CO2+DO2=CD2 A02+B02+C02+D02=CD2+AB2, A02+D02+C02+B02=CB2+AD2, .'AB2+CD2=BC2+AD2: (3)略 45170 (4)①略 ②：E=55,ED=42∠ADE=90 :.AD=AE2-DE2=(52-(42=18 ':△AEB和△EDC是等腰直角， .AB2=2AE2=2×(5V2=100 CD2=2DE2=2×4V2)=64, 根据解析(2)可知：AB2+CD2=BC2+AD2, .BC2=AB2+CD2-AD2=100+64-18=146, BC=146 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、 全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理 是解题的关键， 26.(25-26八年级下湖南长沙期末)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点， BE=CF,连接AE、BF,AE⊥BF. D D B E 图1 图2 图3 (I)求证：AB=BC: 2)如图2，对角线AC、BD交于点O,点G、H分别是线段AE、BF上的点，AG=BH,连接OG、 OH、GH.求证：∠GOH是直角： 3)在(2)的条件下： ①若点E是边BC的中点，且BC=6,求△OGH面积的最小值； ②如图3，连接AH、BG,AH交OG于点K,若AK=KH,设HG=P,BG=t,请用含有P,t 46170 的式子表示边BC的长， 【答案】I)证明：四边形ABCD是矩形， .∠ABE=LC=90°， .∠BAE+∠BEA=90°， :AE⊥BF, ∴∠FBC+∠BEA=90°， ∠BAE=∠FBC, 在△ABE与△BCF中， ∠BAE=∠FBC ∠ABE=∠C BE=CF ∴.△ABE≌△BCF(AAS) .AB=BC (2)证明：由(1)可知，在矩形ABCD中，AB=BC, ·四边形ABCD是正方形， ~点O为正方形ABCD的对角线交点， ∴.OA=OB,∠BAO=∠CBO=45°，∠AOB=∠BOC=90° 由(1)知：△ABE≌aBCF AE=BF,∠BAE=∠CBF ·∠BAO-∠BAE=∠CBO-∠CBF, 即∠OAG=∠OBH, 在△OAG与△OBH中， OA=OB ∠OAG=∠OBH AG=BH .∴△OAG≌AOBH(SAS) ∴.∠AOG=∠BOH :∠AOG+∠BOG=∠AOB=90° 47170 ∴.∠BOH+∠BOG=90°，即∠GOH=90°， .∠GOH是直角 9 3)010:②BC=Vp2+22 【分析】(1)由题意得∠ABE=∠C=90°，然后可得∠BAE=∠FBC,进而可 △ABE≌△BCF(AAS) 最后问题可求解： (2)由题意得OA=OB,∠BA0=∠CB0=45°，∠AOB=∠BOC=90°，则有∠OAG=∠0BH,然后可 得△OAG≌.OBH (SAS) 进而可得∠B0H+∠B0G=90°，最后问题可求证： (0连孩OE,曲起意行S0G,当OG取得批小位时；S最小，即OG1AE市的股 定理求得4B-3N5,然后可得Se=0E,BE=)46-0G,进而问题可求解： ②连接HC,由三角形中位线可得∠O1C=∠G0H=90°，则 △ABG≌△BCH(SAS) 然后可得 0r-G-P,0c心=0m+Hc-p+r,进前间愿可求解 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①由(2)可知，△OAG≌aOBH, :.OG=OH, 由(2)可知，∠G0H是直角， 1 1 ÷5.am20G-0H=20G2, 小当0G取得最小值时， S.oGH最小， ∴当OG⊥AE时，OG最小， 如图，连接OE, :BC=6,点E是边BC的中点， .AB=6,BE=3 48170 D 在Rt△MBE中，AE=VAB+BE2=V6+32=35 ·点E、O分别是BCAC的中点， ∴EO是△ABC的中位线， 0E=54B=30E/4B, ·∠OEC=∠ABC=90°， ∴.OE⊥BC, ..OE.BE=AEOG .3x3=35.0G 063 , 35 即OG的最小值为5， S,oo最小值2 G2 1(359 25 0 ②如图，连接HC, D 点 是 的中点， ，即点是 的中点， 0 AC AK=KH K AH 49170 ∴OK是△AHC的中位线， ∴OK∥HC, .∴∠OHC=∠G0H=90° 由(1)知：△ABE≌△BCF, ∠BAE=∠CBF, 在△ABG与△BCH中， AB=BC ∠BAG=∠CBH AG=BH ∴，△ABG≌ABCH(SAS) ..HC=BG=t, 在等腰直角三角形△GOH中， 006+0H-20H,即0-号G-P, 在ROiC中，0c=0H+HC2-P2+f。 ~四边形ABCD是正方形， .OB=OC,OB⊥OC .BC2=20C2=p2+2t2 :.BC=p2+21 27.(25-26八年级下·贵州遵义·期末)综合探究 D G B F 图1 图2 备用图 【教材呈现】 50170 (I)如图1，正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点（不与B,C重合），连接AE,过点E作 EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F.求证：AE=EF, 小明的证明思路如下，请补全过程， 在BA上截取BP=BE,连接EP, ,在正方形ABCD中，AB=BC,∠B=∠BCD=90°， .AP=CE,∠PAE+∠AEB=90°. 又，CF平分∠DCG, .∠DCF=45° .∠APE=-, 又，EF⊥AE, .∠AEB+∠CEF=90°， .∠PAE=- .△APE≌△ECF, .'AE=EF: 【类比探究】如图2，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（不与A,C重合），连接DE,过点 E作EF⊥DE,交射线BC于点F,过点F作FG⊥EF交正方形的外角∠DCH的平分线于点G, (②)当点F在线段BC上时，求证：EF=FG: 3)试探究线段CE,CG,AB之间的数量关系，并证明. 【答案】)∠ECF,∠CEF: ②)证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,在ME上截取MP=MF,连接PF, B ∴∠MPF=∠MFP=45°， ∠EPF=135°， :四边形ABCD是正方形， .∠EMC=∠BCD=∠ENC=90° 51170 :四边形EMCN是矩形， :点E在正方形ABCD的对角线上， .EM =EN, ∴.四边形EMCN是正方形， .EM =CM, ∴EM-MP=CM-MF,即EP=CF, 又CG平分∠DCH, ∴∠DCG=45°， .∠FCG=90°+45°=135°， :LEPF=∠FCG, 又：FG⊥EF, .∠EFG=90°， ∴∠CFG+∠EFM=90°， 又∠EFM+LPEF=90°， ∴.∠PEF=LCFG, △PEF≌ACFG(ASA) .EF =FG: CE+CG=2AB (3)解： ,理由如下： 如图，当点F在边BC上时，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,连接DG, B ,∠EMF=∠EWD=90°. 由2知四边形EMCN是正方形. ∴.EM=EN,∠MEF+∠FEN=90°， 52170 :∠DEN+∠FEN=90°， ∴.∠MEF=∠DEW △EMF≌△END(ASA) ∴EF=ED, 由2)知F=rG, .'DE=FG 又：∠DEF+∠EFG=90°+90°=180°， .DE∥FG, “.四边形DEFG是平行四边形， 又，∠DEF=90°，DE=EF, ∴：四边形DEFG是正方形， .DE=DG,∠EDG=∠CDG+∠EDC=90°， 而∠ADE+∠EDC=90°， .∠ADE=∠CDG, 又，AD=CD △ADE≌ACDG(SAS) ..AF=CG ..CE+CG=CE+AE=AC :AC是正方形ABCD的对角线， 片4C=V2AB CE+CG-AB 如图，当点F在边BC延长线上时，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,连接DG, 53170 同理可证△ADE≌△CDG, .AE=CG. ∴.CE+CG=CE+AE=AC, :AC是正方形ABCD的对角线， .4C=4B CE+CG-AB CE+CG=2AB 综上所述： 【分析】（山）在BA上截取BP=BE,连接EP,证明△1PE≌aECF(ASA) 即可： (2)过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,在ME上截取MP=MF,连接PF,则有 ∠MPF=∠MFP=45°，由四边形ABCD是正方形，则有∠EMC=∠BCD=∠ENC=90°，所以四边形 EMCN是矩形，再证明四边形EMCV是正方形，则有EM=CM,所以EM-MP=CM-MF,即 EP=CF,再证明PEF,C(AS)),由全等三角形的性质可得F-RG, (3)分当点F在边BC上时和当点F在边BC延长线上时两种情况分析即可. 【详解】(1)解：在BA上截取BP=BE,连接EP, :在正方形ABCD中，AB=BC,∠B=∠BCD=90°， ∴AP=CE,∠PAE+LAEB=90°， 又：CF平分∠DCG, .∴∠DCF=45° .∠APE=∠ECF 又，EF⊥AE, ∴.∠AEB+∠CEF=90° 54170 ∴.∠PAE=∠CEF △APE≌△ECF(ASA) .AE=EF, 故答案为：∠ECF,∠CEF: (2)略： (3)略 28.(25-26八年级下河南鹤壁阶段检测)正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，过点E作 EF⊥AE交射线CD于点F,以AE,EF为邻边作矩形AEFG,连接DG D E B (I)求证：矩形AEFG是正方形： (2) DG② 3,DE=2BE,求AB的长； 3)若点E为BD中点，连接EG,直接写出EG和AD的位置关系. 【答案】I)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N,则∠AME=∠FNE=∠EMD=9O° M :四边形ABCD是正方形， LADC=90°，DE平分∠ADC, .∠MEN=360°-90°-90°-90°=90°，EM=EN ,四边形AEFG是矩形， ∴.∠AEF=90° 55170 ∴.∠AEM=∠FEN=90°-∠MEF :△AME≌aFNE(aSA) .AE=FE, .矩形AEFG是正方形： (2)AB=1 3)EG⊥AD 【分析】（过点E作EM上AD于点M,EN LCD于点V,然后证明△ME≌AFNE(4S)） 得到 AE=FE,即可证明： 2)证明△GAD≌aEAB(SAS）,得 BE=DG-2 3,求出 BD-BE+DE-22 33 ,然后利 用勾股定理求解； (3)证明点D,F重合，由四边形AEFG是正方形，得到EG⊥AD 【详解】(1)略 (2)解：：四边形ABCD和AEFG是正方形 ∴，AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90° ∴.∠GAD=∠EAB=90°-∠DAE .△GAD≌△EAB(SAS) .BE=DG= 3 DE-2BE=22 BD=BE+DE= 225-5 33 :∠BAD=90°，AB=AD AB2+AD=BD,即2AB=(V2) ∴，AB=1(负值舍去)： 56170 (3)解：EG⊥AD,理由如下： 如图， G A D(F) E :在正方形ABCD中，AB=AD, 又：点E为BD的中点， ,AE⊥BD,即∠AED=90°， :∠AEF=90°， ,点F在射线CD上， AE-EF-BD=DE 此时D,F重合， ,四边形AEFG是正方形， :EG⊥AD 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·河南信阳期末)如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是 18cm218cm232cm2 cm 则图中两块阴影部分的面积和为() 18 32 18 A.12 B.16 C.18 D.20 【答案】B 57170 【分析】先根据正方形面积求出两种正方形的边长，结合图形结构确定外围大长方形的长和宽，算出 大长方形的面积后，减去三个正方形的面积和，即可得到两块阴影部分的面积和 【详解】根据正方形面积公式计算边长：面积为8cm的正方形边长：4=V⑧8=32cm 面积为32cm 的正方形边长：0=V52=4V2cm 确定外围大长方形的长和宽：由图形结构可得。 大长方形的长小正方形边长十大正方形边长 3W2+4V2=7W2cm 3√2+3v2=6v2cm 大长方形的宽两个小正方形的边长和 计算阴影面积和：阴影面积和=大长方形面积·三个正方形面积和大长方形面积： 7√2×6√2=84cm2 三个正方形面积和为18+18+32=68cm, ∴.阴影面积和为84-68=16cm2」 2.(25-26八年级下·广西百色·期末)课外活动时，黄老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的 风筝（如图），其面积为800cm,则两条对角线所用的竹条长度为（不计损耗）() A 80cm B 80v2cm C.40v2cm D 40cm 【答案】A 【分析】先证明矩形ABCD是正方形，再利用面积公式列式计算即可求解. 【详解】解：，矩形ABCD对角线互相垂直， .矩形ABCD是正方形， 58170 .AC=BD. 1 ÷2×ACxBD=800,即BD2=160: .BD=40」 40×2=80(cm) ∴两条对角线所用的竹条长度为 3.(25-26八年级下浙江丽水期末)如图，在口ABCD中，连结AC,BD,相交于点O.从四个条件① AB=BC:②AC=BD:③AC⊥BD:④AB⊥BC中，选两个作为补充条件，则不能判定口ABCD为正 方形的是() A.①② B.③④ C.①④ D.②④ 【答案】D 【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答】 【详解】解：A.,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, .ABCD是菱形， AC=BD. ∴口ABCD是矩形， ,口ABCD为正方形，故A不符合题意： B.:四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, ABCD是菱形， AB⊥BC, ,ABCD是矩形， ∴.ABCD为正方形，故B不符合题意： C,,四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, ∴.口ABCD是菱形， :AB⊥BC, ∴，口ABCD是矩形， .口ABCD为正方形，故C不符合题意： D.,四边形ABCD是平行四边形，AC=BD 59/70 .口ABCD是矩形， AB⊥BC, .ABCD是矩形， ,∴，口ABCD不一定为正方形，故D符合题意. 4.(25-26八年级下·天津河东阶段检测)数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为V2的 正方形4BCD与边长为5的正方形4BFG按图'位置放置，D与4E在同条直线上，B与4 在 同一条直线上，如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，此时 BE的长为() G 图1 图2 A.1 B.3 D.32-4 【答案】B 【分析】连接AC,交BD于点O,由正方形性质得到相关线段长及角度，再由全等三角形的判定与 性质得到BE=DG,在Rt△AOG中，由勾股定理得到OG,数形结合表示出DG,代入线段长度计算 即可. 【详解】解：连接AC,交BD于点O,如图所示： 图2 在正方形 BCD中，4D=AB=5 ∠BAD=90° 则1C=BD=VAD2+AB=2 .OA=OD=1,AC⊥BD 60170 在正方形AEFG中，AG=AE,∠EAG=90°， ∠BAE=∠BAG+∠EAG=∠BAG+90°，∠DAG=∠BAG+∠BAD=∠BAG+90°， ∴.∠DAG=∠BAE. 在△DAG和△BAE中， AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE .∴△DAG≌△BAE(SAS) ∴.BE=DG 在i△40G中，01=l,4G=5,则由勾服定理可得0G=VAG-0F=2 ∴.BE=DG=OD+OG=3 二、填空题 5.(25-26八年级下·天津河东期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标 是（4,0)，P为边B上一点，D、E分别是边BC和O1的中点，沿CP折叠正方形O1BC,折叠后点 B的对应点是B',且点B落在线段DE上，则点B的坐标是 A 【答案】 (（2,4-2W5)2,-25+4) 【分折】血正方形的性质得出CB=01=4,B4).C(Q,),由线段中点的定义得出点D,B在直 线x=2上，CD=2,DE=C0=4,DE⊥BC,则可得出B的横坐标为2，由折叠的性质可知： CB=CB=4,由勾股定理得出DB',即可求出点B的纵坐标. 【详解】解：四边形OABC是正方形，点A的坐标是 (4,0) 61170 .CB=OA=4B(4,4)C(0,4) D、E分别是边BC和OA的中点， 点D,E在直线x=2上，CD=2,DE=CO=4,DE⊥BC, ~点B落在线段DE上， ∴B的横坐标为2， 由折叠的性质可知：CB=CB'=4, 在RtACDB'中 DB'=VCB2-CD2=V42-22=2V5 :EB=4-2V5 点B的纵坐标为 -25 六则点B'的坐标是(2,4-25) 6.(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,添加一个条件：可 使菱形ABCD变为正方形ABCD.(写一个即可) D 【答案】∠ABC=90°（或AC=BD,答案不唯一） 【详解】解：添加∠ABC=9O°可使菱形ABCD变为正方形ABCD(有一个角是直角的菱形是正方 形)： 或添加AC=BD,可使菱形ABCD变为正方形ABCD(对角线相等的菱形是正方形)， 7.(25-26八年级下新疆克孜勒苏期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=9,点P是对角线AC 上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作PE⊥AD于点E,过点P作PF⊥CD于点F,连接 EF,则EF的最小值为一 62170 6 【答案】5 【分析】利用勾股定理得出AC=I5,证明四边形DEPF是矩形，从而得到DP=EF,再根据垂线段 最短可得DP14C时，线段EP的值最小，最后根据Sm4D-CD-4C-DP,进行计算即可得 1 2 到答案。 【详解】解：如图，连接DP, 矩形 9 B· ABCD ∴.∠ADC=∠BCD=∠B=90°，CD=AB=12,AD=BC=9, .AC=AB2+BC2=15 PE⊥AD,PF⊥CD, ∴∠PED=∠ADC=∠PFD=90°， ∴四边形DEPF是矩形， ..EF DP, 由垂线段最短可得DP⊥AC时，线段EF的值最小， -D-CD-C:DP 2 .9×12=15DP, Dp=36 5 .EF=DP=36 5 63170 8.(25-26八年级下山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边BC所在的直线 ’=-2+10与”轴交于点，与直线"交于点厂，边B与'销交于点D,直线"=+力经过点D、 y=X F-给出以下四个结论：@点D的坐标为05：②k=分：®pP:Br:@5am-m.共 中正确的是一·（只填序号） B EV=x Cy-hx+b y=-2x+10 【答案】①②③ 【分析】先求出E点坐标，证明△1002，COE(4S0）,得到OD=0E=5,进而求出D点坐标，联立 y=-2x+10 y=x ,求出F点坐标，待定系数法求出k的值，证明△DOF≌aEOF(SAS),得到DF=EF, 根据全等三角形的面积相等，得到 oo=Som.5.amr=Sam,进而得到 2So三Sw<Sog,得cr方oc即丽 【详解】解：：直线y=-2x+10与x轴交于点E, .当y=-2x+10=0时，x=5, .E(5,0) 0E=5, ,正方形ABCO 64170 .OA=0C,∠OAD=∠0CE=90°，∠A0C=90°=∠D0E, ∴.∠DOA=∠EOC, △AOD≌ACOE(ASA) ..OD=OE=5, :D0,5) 故①正确： 〔10 x3 联立[y=-2x+10,解得 10, y=x 3 -1010 33 :直线y=x+b经过点D、F, [0k+b-10 1 k=- 3 ∴b=5 ，解得b=5，故②正确： :点F在直线y=x上，即点F在一三象限的角平分线上， .∠DOF=∠E0F=45°， 又：OD=OE,OF=OF, △DOF≌AEOF(SAS) ∴.DF=EF;故③正确： :△10D≌aC0E(AA) SAOD=S.COE SDOEB =SAOCB ·aD0F2aE0F(S4S) 65170 S.ODF=S.EOF 2S,DOF=S四边形DOEF<S四边形DOEB 1 '.S.ODF S正方形oABC, 2 故④错误 综上：正确的是①②③ 三、解答题 9.(25-26八年级下·江西南昌·期末)在正方形ABCD中，G为BC上的任意一点，BF⊥AG于点F. B G G 图1 图2 (I)如图1，作DE⊥AG于点E,请写出AF,BF与EF之间的数量关系，并说明理由： 2)如图2，连接DF,若∠BAG=30°，BF=4,求△ADF的面积. 【答案】(I) 解：AF-BF=EF, 理由如下：四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，AB=AD, ∠BAG+∠DAE=90°， 由条件可知∠AED=90°， .∠DAE+∠ADE=90°， .∠ADE=∠BAG BF⊥AG, ∴.∠AFB=∠DEA=90°， .△ADE≌△BAF(AAS) :BF=AE .AF-BF=AF-AE EF (2)24 66170 【分析】(I)结合正方形性质证明△ADE≌△BAF,得到BF=AE,进而即可推出AF,BF与EF之 间的数量关系： (2)作DE⊥AF于点E,根据直角三角形性质推出AB,再利用勾股定理求出AF,结合(1)中结 论推出AE=BF=4DE=AF=4V5 最后根据三角形面积公式求解，即可解题. 【详解】(1)略 (2)解：如图，作DE⊥AF于点E, A E 在Rt△ABF中，：∠BAG=30°，BF=4, .AB=2BF=8, .AF =AB2-BF2=82-42=43 由(1)得E=BF=4,DE=AF=4V5 .SAoF=4F.DE=x43x43=24 2 10.(25-26八年级下·陕西榆林期末)【问题情境】 如图，己知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点（不与点A,C重合），连接DE,过点 E作EF⊥DE,交BC于点P,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 1 【基础探究】 图1 图2 (I)如图1，求证：四边形DEFG是正方形： 67170 【拓展迁移】 (2)如图2，已知正方形 ABCD 的边长 为5+1，当DE=30 时，求CG的长 【答案】I)i证明：如图所示，过E作EM⊥BC于点M,过E作EN⊥CD于点N, D M B ∴.∠ENC=∠EMC=∠DNE=90°. :四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°，∠ECN=45°， .四边形EMCN为矩形， :∠CEN=90°-∠ECN=45°=∠ECN, ∴.WE=NC, :四边形EMCN为正方形， .EM=EN,∠MEN=90°， ,四边形DEFG是矩形， ,∴.∠DEN+∠NEF-∠MEF+∠NEF=90°， .∠DEN=∠MEF, 又'，∠DNE=∠FME=90°， △DEN≌AFEM(ASA) ∴ED=EF, “.四边形DEFG是正方形. Rv② 【分析】(I)过E作EM⊥BC于点M,过E作EN⊥CD于点N,得到 ∠ENC=∠EMC=∠DNE=9O°，推导出LECN=45°，四边形EMCN为正方形，得到EM=EN, ∠MEN=90° 进而推导出 DEN≌△FEM(ASA) ,得到ED=EF,则四边形DEFC是正方形，即可解 68170 答： 2)作GH1CD于点H,推导出 ADE≌ACDG(SAS) 得到∠DCG=∠DAE=450 ∠CDG=∠ADE=30°，进而推导出△CHG是等腰直角三角形，设GH=x,得到CH=x, DG=2GH=2x,根据勾股定理，求出DH=VDG-GF=V5x,得到5x+x=5+1,求出 CH=GH=1,再根据勾股定理进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，作GH⊥CD于点H, G D B ,四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形， AD=CD,DE=DG,LADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°， .∠ADE=∠CDG=90°-∠EDC, ÷△1D6≌CDG(SAS) .∠DCG=∠DAE=45°，∠CDG=∠ADE=30° ,aCHG是等腰直角三角形， 设GH=x, ..CH=x, .DG=2GH =2x, .DH -DG-GH -x V3x+x=V3+1 解得x=1, ∴.CH=GH=1, .CG-JCH+GH- 69170 0L/0L