1.4正方形的性质与判定 同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027北师大版九年级数学上册1.4正方形性质与判定同步训练，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一性质到综合推理的知识进阶，适配课时教学目标，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形性质（对角线、与矩形菱形区别）|选择1-3直接考查定义与性质，强化概念理解| |中档|性质应用（面积计算、角度证明）|填空9-10结合图形计算，培养几何直观| |提升|综合推理（动态问题、判定证明）|解答15-16需判定与性质综合，发展推理能力|

2026-2027年北师大版九年级数学上册1.4正方形的性质与判定同步训练 一、选择题 1．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（　　） A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．2cm2 2．正方形具有而矩形不一定有的性质是(　　). A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角互补 3．下列说法错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 4．如图，在Rt△ABC中， AB=4，点D是斜边BC的中点，以AD为边作正方形ADEF .若正方形ADEF的面积为16，则△ABC的周长为(　　) A． B． C．12 D．24 5．如图，是正方形内一点，四边形与也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则长为（　　） A． B． C．10 D．20 6．如图，在中，下列结论中错误的是（　　） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当平分时，是菱形 D．当时，是正方形 7．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　） A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2 8．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为　 　． 10．如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别为CD、AD边上的点，且AQ=DP，连接BQ、AP.则∠BEP为　 　度． 11．我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了　 　． 12． 如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE 于点 F，CG⊥DE 于点 G.若AD=5，CG=4，GF=　 　. 三、解答题 13． 如图 （1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.为什么? （2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢? 14．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若，求的值． 15．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 16．在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点。 （1）如图1， 若BE平分∠OBC。 ①求证： AB=AE。 ②若EC=2，求OE的长。 （2）如图2，延长BE交DC于点 F，连接OF。当BF=2OF时，探究CF与AB 的数量关系，并说明理由。 答案解析 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】17 10．【答案】90 11．【答案】200 12．【答案】1 13．【答案】（1）解：如图 由折叠可得，AB=AD，∠B=∠ADC=90° ∵∠BAD=90° ∴四边形ABCD是矩形 ∵AB=AD ∴四边形ABCD为正方形 （2）解：在矩形木板中，以矩形的较短边为正方形的边长，在矩形的一个角上，按照(1)中的折叠方式，使矩形的短边与邻边重合，沿折痕裁剪，得到的正方形就是面积最大的正方形。 理由：设矩形的长为a，宽为b(a>b)，若正方形边长大于b，则正方形无法在矩形内部完整存在，而边长为b的正方形是能在矩形中裁出的最大正方形，此时正方形面积为b2，是可裁出的最大面积。 14．【答案】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ， ∴． 15．【答案】（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：且， 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 16．【答案】（1）解：①证明：四边形是正方形， ， 平分， ， ，， ， ； ②过点作于点， ，， ， ， ， ， 平分，，， ； （2）解： ， 理由：取的中点，连接，， 四边形是正方形， ，， 为的中点， 为的中位线， ，， 在中，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $