第1章 3 第2课时 矩形的判定（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第2课时 基础过关 ◆◆◆逐点击破 知识点1矩形的判定 1.如图，已知☐ABCD,添加下列条件后仍不能 判定口ABCD是矩形的是 ( A.AC-BD B.AB⊥BC C.∠1=∠2 D.∠ABC=∠BCD 】 2 (第1题图) (第2题图) 2.生产生活情境化如图，矩形农田规划能减少 边角闲置，且对边平行方便农机直线作业， 直角利于转弯，提高作业效率，还便于构建 规则灌排系统等.农业技术人员在检测一农 田是否是矩形时，只需用到一个直角尺，则 他的判定依据是 3.如图，在□ABCD中，延长AD至点E,使 AD=DE,连接BD,BE,CE.若AB=BE.求 证：四边形BCED是矩形 知识点2矩形的性质与判定的综合 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OAB 9第一章特殊平行四边形 矩形的判定 的度数为 A.35 B.40° C.45° D.509 D R (第4题图) (第5题图) 5.如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个 角两边的距离之和为6cm,则图中四边形的 周长为 cm. 6.半开放性题新趋势如图，四边形ABCD的对 角线AC与BD相交于点O,AD∥BC, ∠ABC=90°.有下列条件：①AB∥CD; ②AD=BC. (1)请从①②两个条件中任选一个，求证：四 边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四 边形ABCD的面积， ?易错点因混淆矩形的判定方法的前提 是“平行四边形”还是“四边形”而致错 7.下列说法正确的是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 口能力提升 ~>>整合运用 8.如图，在□ABCD中，M,N是BD上两点， BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一 个条件，使四边形AMCV是矩形，这个条 件是 A.MB=MO B.OM-TAC C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 】 (第8题图) (第9题图) 9.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥ AC,CE∥BD,连接OE.若AC=12,BD= 16,则OE的长为 10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,AO=CO=10,BO=DO,且 AB=12,BC=16. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC于 点E,求∠BDF的度数. 【思维拓展 ◆··强化素养 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB 至点D,使得BD=BC,过点A,D分别作 AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E. 下面是两名同学的对话： 小星：由题目的 小红：由题目的 已知条件，若连 已知条件，若连 接BE,则可证 接CE,则可证 明BE⊥CD. 明CE=DE. (1)请你选择一名同学的说法进行证明； （2连接AD若A05号求X的张 提示 请完成阶段微测试（一）[1.1~1.3] 数学九年级上册配BSD版10参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.D5.128°6.证明：.四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,AB∥CD...∠C=180°-∠B=90°=∠B..∠BAE=∠CDF .△ABE≌△DCF(ASA).7.证明：四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AD∥ BC...∠BCD=∠A=180°-∠B=90°，∠ADC=180°-∠BCD=90°=∠EDF ∴，∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.:AD=CD,.△ADE≌ △CDF(ASA)..DE=DF 能力提升 8.D9,A10.(4,3)11.解：(1)，四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=1O. (2):四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD..∠C=180° ∠B=90°.∴.CE=DE-CD=8.BE=BC-CE=2. 思维拓展 12.解：(1)如答图①所示. 弥 帐 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 柏 答图② 答图③ 封 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.B2.B3.84.证明：四边形ABCD是菱形，.OA=OC,AC⊥BD..△AOE和 0 △C0F都是直角三角形.在R△A0E和R△C0F巾，合货-E:R△A0E≌ Rt△COF(HL)..∠EAO=∠FCO.5.156.D7.解：(1)：四边形ABCD是菱 形，0A=4,0B=3,AC=20A=8,BD=20B=6.S0wm=合AC·BD=24. (2)四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴∠AOB=90°.∴AB=√OA+OB=5. :CELAB.:.S=ABCE=24.CE-琴8.4V5或2万 能力提升 9.D10.111.9.612.(1)证明：四边形ABCD为菱形，.AD∥BC,AC⊥BD 线 ·DE⊥BD,.DE∥AC..四边形ACED为平行四边形.(2)解：·四边形ABCD为 菱形，OD=号BD=4.:四边形ACED为平行四边形，DE=AC=6,:DELBD, .∠ODE=90°..OE=√OD+DE=213.13.(1)证明：连接BD.:四边形 ABCD是菱形，.BD⊥AC.E,F分别是边AB,AD的中点，，.EF是△ABD的中位 线.∴.EF∥BD.∴.EF⊥AC.(2)解：∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴∠DAB= 60°，AD=AB.∴△ABD是等边三角形..BD=AB=2.EF是△ABD的中位线， ∴EF=号BD=1. 思维拓展 14.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 基础过关 1.C2.AD∥BC(答案不唯一)3.证明：AB=AF,O为BF的中点，.AO⊥BF ∠BAO=∠FAO..AE垂直平分BF.,.BE=EF.四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD∥BC.∠FAO=∠BEA.∠BAO=∠BEA.∴.AB=BE.∴.AB=BE=EF= AF..四边形ABEF是菱形.4.B5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AE∥CD,AB=CD.:DE∥AC,.四边形ACDE是平行四边形.又：AB=AC, .CD=AC..四边形ACDE是菱形.(2)解：四边形ACDE是菱形，.AD⊥CE,AE 49 =AC=3..∠AHE=90°.四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD.,.∠BCE= ∠AHE=90°.AB=AC=3,.BE=AB十AE=6..CE=√/BE-BC=4√2.6.C 能力提升 7.B8.D9.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF.BE =DF,.BE十OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又'AC EF,即AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形， ·∠ADB=7∠ADC=∠ABC=30,AD=AB=6√3.：AE⊥AD,∴.∠EAD月 90°..DE=2AE.在Rt△AED中，AE十AD=DE2,即AE十(6√3)2=(2AE)2, .AE=6.∴.菱形AECF的周长为4AE=24. 思维拓展 10.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF.,两张矩形纸条的宽 都为1cm,∴.AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,.CD=BC.∴.四边形ABCD 是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm..AD∥BC,.∠ABF=∠BAD=30°..AB= 2AF=2cm.,四边形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC· AF=2 cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.A2.C3.84.证明：(1)四边形ABCD为矩形，·∠ABC=∠DCB=90°，AB= (AB=DC, DC.∴·∠ABE=∠DCF=90°.在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌ BE=CF, △DCF(SAS).(2).△ABE≌△DCF,.∠BAE=∠CDF..四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADC=90°.，，∠BAD+∠BAE=∠ADC+∠CDF..∠EAD=∠FDA. 5.0.96.50°7.证明：.BD∥CM,CD∥AB,∴.四边形BMCD是平行四边形. ”∠ACB=90,M是AB边的中点，CM=AB=BM.“四边形BMCD是菱形. 8.D 能力提升 9.C10.A11.5.512.313.(1)证明：.DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是 平行四边形.：四边形ABCD为矩形，.OA=OC=OD=OB.∴.四边形OCED为菱 形.(2)解：四边形ABCD为矩形，∠ABC=90,OA=AC-6,AF垂直平分线 段OB,∴.AB=OA=6.∴.BC=√AC-AB=63. 思维拓展 14.解：.四边形ACBD是矩形，∴.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°一∠DAC =90,:在R△AEF中，G是EF的中点，AG=FG=号ER.∠GAF=∠R.:EF =2AB,.AB=AG..,∠ABG=∠AGB=∠F十∠GAF=2∠F..AD∥BC,..∠F= ∠CBF..∠ABG=2∠CBF..∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC..DE∥BC.AD=DE,.CB=DE..四边形BCED 是平行四边形.，AB=BE,.CD=BE..四边形BCED是矩形.4.A5.12 6.(1)答案不唯一，如：选择①.证明：'AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四 边形.：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形.(2)解：在Rt△ABC中，AB=3,AC= 5,∴BC=V√AC一AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩形，∴.S矩形Acn=AB·BC=12. 7.C 能力提升 8.B9.1010.(1)证明：AO=CO=10,BO=DO,.四边形ABCD是平行四边形， AC=AO+CO=20..AB=12,BC=16,,.AB2+BC=122+162=202=AC ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：四边形 ABCD是矩形，∴∠ADC=90°.：∠ADF:∠FDC=3:2,∠ADF+∠FDC=∠ADC =90,∠FDC=名∠ADC=36.DF⊥AC,.∠DC0=90°-∠FDC=54.四边 形ABCD是矩形，.CO=DO...∠ODC=∠DCO=54°..∠BDF=∠ODC-∠FDC =18°. 思维拓展 11.解：(I)选小星的说法，连接BE.:AE∥BD,DE∥BA,.四边形ABDE是平行四 边形.∴.AE=BD.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边 形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形.∠EBC=90°.∴.BE⊥CD.选小红的说 法，连接BE,CE.:AE∥BD,DE∥BA,∴.四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD, AB=DE.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. '∠ACB=90°，∴.四边形AEBC是矩形..AB=CE..CE=DE.（任选一个即可) 2)C=号，设BC=2k,则AC=3k.CD=4k,在R△ACD中，“AC+CD定 AD,.(3k)2十(4k)2=(5√2)2，解得k=√2（负值已舍去）.，.AC=3√2. 50 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.B2.D3.24.√2-15.67.5°6.30°7.证明：：四边形ABCD是正方形， /B=/D, .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，AB=AD, ,.△ABE ∠BAE=∠DAF, ≌△ADF(ASA)..BE=DF.∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF.8.解：：四边形 ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2..∠COB=90°..BC=√/OB十OC=2. :BF⊥CE,∴∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,∠CBF=∠EBF.∴∠BCE =∠BEC..BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.9.15°或75 能力提升 10.C11.C12.4913.证明：(1).四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE= (AB=CB, ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，J∠ABE=∠CBE,.△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2).四边形ABCD为正方形，.∠BDC=45°.·△EAB≌△ECB,∠AEC=45°， ·∠CED=∠AED=2∠AEC=22.5°，∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5, .∠CED=∠DCE..DC=DE.14.(1)证明：.四边形ABCD和四边形CEFG是正 方形，.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD十∠GCF=90°..H是AF的中点， ∴CH=2AF.(2)解：·四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AB=BC=1,EF =CE=3,∠B=∠E=90°.∴.AC=W√AB+BC=√2，CF=√EF+CE=3√2. :∠ACF=90,.AF=AC+CF=25.CH=号AF=5, 思维拓展 15.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明 △NMP≌△EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN, 得EF=MH,再求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.证明：四边形ABCD是矩形，，.∠A=∠ADC=90°.由折 叠的性质，得AE=EF,∠A=∠DFE=90°，.四边形ADFE是矩形.，AE=EF,.四 边形ADFE是正方形.4.证明：CE∥BD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四 边形.四边形ABCD是正方形，.OD=OC,AC⊥BD..四边形CODE是菱形， ∠DOC=90°..四边形CODE是正方形.5.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边 形AFDE是平行四边形.∠BAC=90°，∴.四边形AFDE是矩形.AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.'DF∥AC,.∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD..AF=DF. ∴.四边形AFDE是正方形.(2)解：四边形AFDE是正方形，.∠AFD=90°，∴.AF 十DF=AD.:AF=DF,AD=2W2,.2DF2=(2V2)2..S四边形AFDE=DF2=4. 能力提升 6.C7.22.5°8.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.：PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°..∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°..四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,∴.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，∴∠APM=∠APN=45.:∠EPA=15°， ·∠EPM=∠APM-∠EPA=30°.∴.EM=- EP-1.PM-EP-EMF-3. .S正方形PMAV=(W5)2=3. 思维拓展 9.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,.∠EMC=∠ENC= ∠END=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA.∴.∠MEN =360°-∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN...∠FEM十∠FEN=90°..EF ⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN+∠FEN=90°..∠FEM=∠DEN.∴.△FEM≌ △DEN(ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由 (1)知矩形DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°..四边形ABCD是正 方形，∴.AD=CD=AB=4√E,∠ADE+∠EDC=90°.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌ △CDG(SAS).∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 专题一中点四边形问题【回归教材】 1.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线 ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=号BD,FG∥BD.∴.EH=FG,EH∥FG..四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.E,F分别是AB,BC的中点，.EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=AC.同理，得HG∥AC,HG=2AC.∴EF∥HG,EF=HG..四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD. :E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线..EH∥BD.:EF∥AC, ∴EF⊥EH,即∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.【变式题C【拓展练】 51