第1章 1 认识特殊的平行四边形（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章 特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 【基础过关 ··逐点击破 变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当 知识点1特殊的平行四边形的概念 ∠BAC=26时，∠ADC的度数为 1.已知四边形ABCD是平行四边形，若∠A= 6.如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，点E,F在 90°，则四边形ABCD是 边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF.求 A.梯形 B.菱形 证：△ABE≌△DCF. C.矩形 D.正方形 2.如图，在□ABCD中，AB<BC,将线段AB 1 沿BC向右平移得到线段EF. (1)若EF=CE,则四边形CEFD是菱形，即 相等的平行四边形是菱形； (2)若EF=CE,且ADI CD,则四边形 CEFD是 形 知识点2特殊的平行四边形的共性 7.如图，在正方形ABCD中，AD=CD,∠B 3.下列图形是中心对称图形但不一定是轴对 90°，点E在边AB上，点F在边BC的延长 称图形的是 ( 线上，且∠EDF=90°.求证：DE=DF A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 4.如图，在□ABCD中，AB=AD,下列说法错 误的是 A.∠A=∠C B.AB=BC C.□ABCD是菱形 D.☐ABCD没有对称轴 D 手柄 (第4题图) (第5题图) 5.千斤顶情境化汽车常备的一种千斤顶的示意 图如图所示，其基本形状是一个菱形ABCD, AB=BC,中间通过螺杆连接，转动手柄可改 1第一章特殊平行四边形 口能力提升 >》>整合运用 【思维拓展 ◆·强化素养 8.如图，在正方形ABCD中，AB=BC,∠B 12.动手操作新趋势（教材P4习题T4变式）有 90°，点E在AD的延长线上，连接CE.若 4张如图①所示的全等的直角三角形纸片. BC=3,CE=5,则DE的长为 小明用这4张直角三角形纸片拼成了如图 A.2 ②所示的弦图，易知该弦图是一个正方形 B.3 C.√34 D.4 9.如图，在菱形ABCD中，AB=BC,P是BD 图① 图② 上一点，PE⊥AB于点E,且PE=4,则点P (1)请用这4张直角三角形纸片拼一个不 到BC的距离为 ) 同于图②的正方形，画出示意图. A.4 B.6 (2)你能用这4张直角三角形纸片拼一个 C.8 D.10 矩形或菱形吗？若能，请画出示意图. (第9题图) (第10题图) 10.如图，在矩形ABCD中，∠D=90°.若 A(4,1),B(0,1),C(0,3),则点D的坐标为 11.如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD=10, AB=6,E为BC上一点，EA平分∠BED. (1)求DE的长； (2)求BE的长. 数学九年级上册配BSD版2参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.D5.128°6.证明：.四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,AB∥CD...∠C=180°-∠B=90°=∠B..∠BAE=∠CDF .△ABE≌△DCF(ASA).7.证明：四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AD∥ BC...∠BCD=∠A=180°-∠B=90°，∠ADC=180°-∠BCD=90°=∠EDF ∴，∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.:AD=CD,.△ADE≌ △CDF(ASA)..DE=DF 能力提升 8.D9,A10.(4,3)11.解：(1)，四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=1O. (2):四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD..∠C=180° ∠B=90°.∴.CE=DE-CD=8.BE=BC-CE=2. 思维拓展 12.解：(1)如答图①所示. 弥 帐 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 柏 答图② 答图③ 封 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.B2.B3.84.证明：四边形ABCD是菱形，.OA=OC,AC⊥BD..△AOE和 0 △C0F都是直角三角形.在R△A0E和R△C0F巾，合货-E:R△A0E≌ Rt△COF(HL)..∠EAO=∠FCO.5.156.D7.解：(1)：四边形ABCD是菱 形，0A=4,0B=3,AC=20A=8,BD=20B=6.S0wm=合AC·BD=24. (2)四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴∠AOB=90°.∴AB=√OA+OB=5. :CELAB.:.S=ABCE=24.CE-琴8.4V5或2万 能力提升 9.D10.111.9.612.(1)证明：四边形ABCD为菱形，.AD∥BC,AC⊥BD 线 ·DE⊥BD,.DE∥AC..四边形ACED为平行四边形.(2)解：·四边形ABCD为 菱形，OD=号BD=4.:四边形ACED为平行四边形，DE=AC=6,:DELBD, .∠ODE=90°..OE=√OD+DE=213.13.(1)证明：连接BD.:四边形 ABCD是菱形，.BD⊥AC.E,F分别是边AB,AD的中点，，.EF是△ABD的中位 线.∴.EF∥BD.∴.EF⊥AC.(2)解：∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴∠DAB= 60°，AD=AB.∴△ABD是等边三角形..BD=AB=2.EF是△ABD的中位线， ∴EF=号BD=1. 思维拓展 14.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 基础过关 1.C2.AD∥BC(答案不唯一)3.证明：AB=AF,O为BF的中点，.AO⊥BF ∠BAO=∠FAO..AE垂直平分BF.,.BE=EF.四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD∥BC.∠FAO=∠BEA.∠BAO=∠BEA.∴.AB=BE.∴.AB=BE=EF= AF..四边形ABEF是菱形.4.B5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AE∥CD,AB=CD.:DE∥AC,.四边形ACDE是平行四边形.又：AB=AC, .CD=AC..四边形ACDE是菱形.(2)解：四边形ACDE是菱形，.AD⊥CE,AE 49 =AC=3..∠AHE=90°.四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD.,.∠BCE= ∠AHE=90°.AB=AC=3,.BE=AB十AE=6..CE=√/BE-BC=4√2.6.C 能力提升 7.B8.D9.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF.BE =DF,.BE十OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又'AC EF,即AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形， ·∠ADB=7∠ADC=∠ABC=30,AD=AB=6√3.：AE⊥AD,∴.∠EAD月 90°..DE=2AE.在Rt△AED中，AE十AD=DE2,即AE十(6√3)2=(2AE)2, .AE=6.∴.菱形AECF的周长为4AE=24. 思维拓展 10.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF.,两张矩形纸条的宽 都为1cm,∴.AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,.CD=BC.∴.四边形ABCD 是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm..AD∥BC,.∠ABF=∠BAD=30°..AB= 2AF=2cm.,四边形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC· AF=2 cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.A2.C3.84.证明：(1)四边形ABCD为矩形，·∠ABC=∠DCB=90°，AB= (AB=DC, DC.∴·∠ABE=∠DCF=90°.在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌ BE=CF, △DCF(SAS).(2).△ABE≌△DCF,.∠BAE=∠CDF..四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADC=90°.，，∠BAD+∠BAE=∠ADC+∠CDF..∠EAD=∠FDA. 5.0.96.50°7.证明：.BD∥CM,CD∥AB,∴.四边形BMCD是平行四边形. ”∠ACB=90,M是AB边的中点，CM=AB=BM.“四边形BMCD是菱形. 8.D 能力提升 9.C10.A11.5.512.313.(1)证明：.DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是 平行四边形.：四边形ABCD为矩形，.OA=OC=OD=OB.∴.四边形OCED为菱 形.(2)解：四边形ABCD为矩形，∠ABC=90,OA=AC-6,AF垂直平分线 段OB,∴.AB=OA=6.∴.BC=√AC-AB=63. 思维拓展 14.解：.四边形ACBD是矩形，∴.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°一∠DAC =90,:在R△AEF中，G是EF的中点，AG=FG=号ER.∠GAF=∠R.:EF =2AB,.AB=AG..,∠ABG=∠AGB=∠F十∠GAF=2∠F..AD∥BC,..∠F= ∠CBF..∠ABG=2∠CBF..∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC..DE∥BC.AD=DE,.CB=DE..四边形BCED 是平行四边形.，AB=BE,.CD=BE..四边形BCED是矩形.4.A5.12 6.(1)答案不唯一，如：选择①.证明：'AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四 边形.：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形.(2)解：在Rt△ABC中，AB=3,AC= 5,∴BC=V√AC一AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩形，∴.S矩形Acn=AB·BC=12. 7.C 能力提升 8.B9.1010.(1)证明：AO=CO=10,BO=DO,.四边形ABCD是平行四边形， AC=AO+CO=20..AB=12,BC=16,,.AB2+BC=122+162=202=AC ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：四边形 ABCD是矩形，∴∠ADC=90°.：∠ADF:∠FDC=3:2,∠ADF+∠FDC=∠ADC =90,∠FDC=名∠ADC=36.DF⊥AC,.∠DC0=90°-∠FDC=54.四边 形ABCD是矩形，.CO=DO...∠ODC=∠DCO=54°..∠BDF=∠ODC-∠FDC =18°. 思维拓展 11.解：(I)选小星的说法，连接BE.:AE∥BD,DE∥BA,.四边形ABDE是平行四 边形.∴.AE=BD.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边 形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形.∠EBC=90°.∴.BE⊥CD.选小红的说 法，连接BE,CE.:AE∥BD,DE∥BA,∴.四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD, AB=DE.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. '∠ACB=90°，∴.四边形AEBC是矩形..AB=CE..CE=DE.（任选一个即可) 2)C=号，设BC=2k,则AC=3k.CD=4k,在R△ACD中，“AC+CD定 AD,.(3k)2十(4k)2=(5√2)2，解得k=√2（负值已舍去）.，.AC=3√2. 50 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.B2.D3.24.√2-15.67.5°6.30°7.证明：：四边形ABCD是正方形， /B=/D, .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，AB=AD, ,.△ABE ∠BAE=∠DAF, ≌△ADF(ASA)..BE=DF.∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF.8.解：：四边形 ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2..∠COB=90°..BC=√/OB十OC=2. :BF⊥CE,∴∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,∠CBF=∠EBF.∴∠BCE =∠BEC..BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.9.15°或75 能力提升 10.C11.C12.4913.证明：(1).四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE= (AB=CB, ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，J∠ABE=∠CBE,.△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2).四边形ABCD为正方形，.∠BDC=45°.·△EAB≌△ECB,∠AEC=45°， ·∠CED=∠AED=2∠AEC=22.5°，∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5, .∠CED=∠DCE..DC=DE.14.(1)证明：.四边形ABCD和四边形CEFG是正 方形，.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD十∠GCF=90°..H是AF的中点， ∴CH=2AF.(2)解：·四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AB=BC=1,EF =CE=3,∠B=∠E=90°.∴.AC=W√AB+BC=√2，CF=√EF+CE=3√2. :∠ACF=90,.AF=AC+CF=25.CH=号AF=5, 思维拓展 15.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明 △NMP≌△EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN, 得EF=MH,再求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.证明：四边形ABCD是矩形，，.∠A=∠ADC=90°.由折 叠的性质，得AE=EF,∠A=∠DFE=90°，.四边形ADFE是矩形.，AE=EF,.四 边形ADFE是正方形.4.证明：CE∥BD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四 边形.四边形ABCD是正方形，.OD=OC,AC⊥BD..四边形CODE是菱形， ∠DOC=90°..四边形CODE是正方形.5.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边 形AFDE是平行四边形.∠BAC=90°，∴.四边形AFDE是矩形.AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.'DF∥AC,.∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD..AF=DF. ∴.四边形AFDE是正方形.(2)解：四边形AFDE是正方形，.∠AFD=90°，∴.AF 十DF=AD.:AF=DF,AD=2W2,.2DF2=(2V2)2..S四边形AFDE=DF2=4. 能力提升 6.C7.22.5°8.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.：PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°..∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°..四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,∴.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，∴∠APM=∠APN=45.:∠EPA=15°， ·∠EPM=∠APM-∠EPA=30°.∴.EM=- EP-1.PM-EP-EMF-3. .S正方形PMAV=(W5)2=3. 思维拓展 9.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,.∠EMC=∠ENC= ∠END=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA.∴.∠MEN =360°-∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN...∠FEM十∠FEN=90°..EF ⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN+∠FEN=90°..∠FEM=∠DEN.∴.△FEM≌ △DEN(ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由 (1)知矩形DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°..四边形ABCD是正 方形，∴.AD=CD=AB=4√E,∠ADE+∠EDC=90°.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌ △CDG(SAS).∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 专题一中点四边形问题【回归教材】 1.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线 ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=号BD,FG∥BD.∴.EH=FG,EH∥FG..四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.E,F分别是AB,BC的中点，.EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=AC.同理，得HG∥AC,HG=2AC.∴EF∥HG,EF=HG..四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD. :E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线..EH∥BD.:EF∥AC, ∴EF⊥EH,即∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.【变式题C【拓展练】 51