1.3矩形的性质与判定 同步训练 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过基础辨析、性质应用到综合探究的三阶分层设计，强化从单一知识点到多情境综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形性质（对角线、角）、判定条件|单选1-2直接对比菱形与矩形性质，填空11-12结合勾股定理计算面积，夯实概念理解| |进阶层|性质与判定综合应用|单选3-4通过折叠问题融合矩形性质与勾股定理，填空13-14涉及角平分线与矩形判定条件，强化知识迁移| |提高层|多知识点综合与动态探究|单选7-10结合中心对称、动点问题，综合题20-24融合菱形、平行四边形性质，通过全等证明、动态分析培养推理能力与创新意识|

1.3矩形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．菱形、矩形同时具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（　　） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 3．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若顺次连接四边各边中点所得四边形是矩形，则原四边形一定是（　　） A．等腰梯形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 6．如图， 、 、 分别是 各边中点，则以下说法中错误的是（　　） A． 和 的面积相等 B．四边形 是平行四边形 C．若 ，则四边形 是矩形 D．若 ，则四边形 是菱形 7．如图， 是一个中心对称图形的一部分，O点是对称中心，点A和点B是一对对应点， ，那么将这个图形补成一个完整的图形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝BC＝4，D为边BC上一动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 9． ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（　　） A．AB⊥BC B．AC=BD C．∠A=∠B D．BC= CD 10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F.下列结论： ①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF. 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　. 12．若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是　 　． 13．如图，在矩形ABCD中，AD＝13，AB＝5，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为　 　． 14．M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足　 　时，四边形PEMF为矩形. 15．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 　使平行四边形ABCD是矩形。 16．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8.则图中阴影部分的面积为　 　. 三、解答题 17．在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4，求矩形ABCD的面积. 18．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 19．在三角形 中， ，请用尺规作图的方法，以 为对角线作一个矩形（保留作图痕迹，不写作法）. 四、综合题 20．如图，已知▱ABCD，E为BC边上的垂直平分线，BF=BC=2AB，且∠ABD＝90°． （1）求证：△ABD≌△CEF； （2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由． 21．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，点 、 在 上， ， ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若 ， ，求 和 的长． 22．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F.我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”. （1）若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是　 　，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：　 　（在横线上填特殊平行四边形的名称） （2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由. 23．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）OE　 　AE（填＜、＝、＞）； （2）求证：四边形OEFG是矩形； （3）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF. （1）求证：△AOE≌△DFE； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】菱形的性质；矩形的性质 【解析】【解答】解：A、菱形对角线互相垂直，矩形对角线不相互垂直，不符合题意； B、矩形对角线相等，菱形对角线不相等，不符合题意； C、矩形和菱形的对角线互相平分，符合题意； D、矩形的四个角都为90°，菱形的对角相等，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】菱形的性质：①对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角；②对边平行，四条边都相等；③对角相等，邻角互补；④菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形的性质：①对角线相等且互相平分；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对边平行且相等；④矩形形是轴对称图形，也是中心对称图形，据此一一判断得出答案. 2．【答案】D 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴选项A不符合题意； B、∵两组对边分别相等是平行四边形， ∴选项B不符合题意； C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形， ∴选项C不符合题意； D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形， ∴选项D符合题意. 故答案为：D. 【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断. 3．【答案】B 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：连接AF， 根据折叠的性知AF=CF，AC⊥EF，OA=OC，由AD=2，CD=4，根据勾股定理可求得AC=，所以OC=，然后根据矩形的性质可得△COF∽△CDA，因此根据相似的性质可得，代入数值可得，可求得OF=，所以EF=2OF=． 故答案为：B． 【分析】利用勾股定理先求出AC的值，再求出△COF∽△CDA，最后利用相似三角形的性质求解即可。 4．【答案】C 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠C=∠A=90° 由折叠的性质可得：C'D=CD=AB；∠C'=∠C=∠A 在△ABE与△C'ED中 ∴△ABE≌△C'ED（AAS） ∴DE=BE 设DE=BE=x，则AE=8-x，AB=4，在直角三角形ABE中， 解得x=5 故答案为：C. 【分析】由矩形性质得AB=CD，∠C=∠A=90°，利用折叠的性质得C'D=CD=AB，∠C'=∠C=∠A；再利用AAS证明△ABE≌△C'ED，利用全等三角形的对应边相等，可证得DE=BE，设DE=BE=x，可表示出AE的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值. 5．【答案】D 【知识点】平行线的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°， 又∵点E、F、分别是AD、AB各边的中点， ∴EF是三角形ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠FEH=∠OMH=90°， 又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点， ∴EH是三角形ACD的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠OMH=∠COB=90°， 即AC⊥BD. 故答案为：D. 【分析】根据矩形的性质可得∠FEH=90°，易得EF是三角形ABD的中位线，EH是三角形ACD的中位线，则EF∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质可得∠FEH=∠OMH=90°，∠OMH=∠COB=90°，据此判断. 6．【答案】D 【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定 【解析】【解答】如图，连接EF ∵ 、 、 分别是 各边中点 ∴EF∥BC，DF∥AB ∴四边形BEFD是平行四边形 同理：四边形EFCD、四边形AEDF都是平行四边形 ∴ ， ∴ 从而选项A、B均不符合题意； ∵四边形AEDF是平行四边形 当∠A=90°时，则四边形AEDF是矩形，C不符合题意； 若四边形 是菱形，则AE=AF ∴AB=AC ∵AB=BC 则△ABC是等边三角形，D符合题意 故答案为：D． 【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判定即可。 7．【答案】A 【知识点】矩形的判定；中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】解：如图， ∵O点是对称中心，△A′B′C′是△ABC关于点O的对称图形， ∴AC′=BC，BC′=AC， ∴四边形ACBC′是平行四边形， ∵∠C=90°， ∴平行四边形ACBC′是矩形． 故答案为：A． 【分析】根据中心对称的性质得出AC′=BC，BC′=AC，利用两组对边分别相等可证四边形ACBC′是平行四边形，由∠C=90°，可证平行四边形ACBC′是矩形． 8．【答案】D 【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：如图， ∵四边形ADBE为平行四边形， ∴AE∥BC， ∴当DE⊥BC时，DE有最小值， 过点A作AF⊥BC于点F， ∵∠AFD＝∠EDF＝∠AED＝90°， ∴四边形AFDE为矩形， ∴DE＝AF， 在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝BC＝4， ∴AF＝ ＝2 ， ∴DE的最小值为2 . 故答案为：D. 【分析】由平行四边形的性质可得AE∥BC，故当DE⊥BC时，DE有最小值，过点A作AF⊥BC于点F，则四边形AFDE为矩形，由矩形的性质可得DE＝AF，求出AF的值，据此可得DE的最小值. 9．【答案】D 【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB⊥BC， ∴平行四边形ABCD为矩形，A正确； ∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD为矩形，B正确； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠A+∠B=180° ∵∠A=∠B ∴∠A=∠B=90° ∴平行四边形ABCD为矩形，C正确； ∵四边形ABCD为平行四边形，BC=CD， ∴平行四边形ABCD为菱形，D错误。 故答案为：D. 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理，计算得到答案即可。 10．【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA） 【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O， 根据作图可得MN⊥AC，且平分AC， ， 四边形ABCD是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形AECF是平行四边形， ∵MN垂直平分AC， ， 四边形AECF是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形ABCD是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF.故④正确； 故答案为：B. 【分析】设AC与MN的交点为O，由作图可得MN⊥AC且平分AC，则AO=OC，根据矩形以及平行线的性质可得∠EAO=∠OCF，证明△AOE≌△COF，得到AE=FC，推出四边形AECF是平行四边形，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，然后结合菱形的判定定理可判断①；根据等腰三角形的性质可得∠ACB=∠FAC，结合外角的性质可判断②；根据菱形的面积公式可判断③；根据矩形的性质可得∠ABC=90°，根据角平分线的性质可得BF=FO，由等腰三角形的性质可得∠BAF=∠FAC，结合∠BAF+∠FAC+∠FCA=90°，则∠ACB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得FO=FC，据此判断④. 11．【答案】48 【知识点】勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，， ∴在中，(cm)， ∴. 故答案为：48. 【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算. 12．【答案】20cm² 【知识点】矩形的性质 【解析】【解答】解：设AB=x cm，BC=y cm， ∵矩形周长为26cm， ∴2x+2y=26， ∴x+y=13， ∵对角线的长是cm， ∴x2+y2=129， ∴（x+y）2-2xy=129， ∴132-2xy=129， ∴xy=20（cm2）， ∴矩形面积为20cm2． 故答案为：20cm2． 【分析】先求出x+y=13，再求出xy=20（cm2），最后求矩形的面积即可。 13．【答案】1 【知识点】勾股定理；矩形的性质 【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，， ∴， ∵DE平分∠AEC， ∴ ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：1 【分析】先证明，再利用勾股定理求出，最后利用计算即可。 14．【答案】 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．故答案为AB= BC. 【分析】利用矩形的性质和判定方法求解即可。 15．【答案】AC=BD或∠ABC=90° 【知识点】矩形的判定 【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴当∠ABC=90° 时， 平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 【分析】根据矩形的判定方法求解即可。 16．【答案】16 【知识点】矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N. 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN， ∴S△DFP=S△PBE= ×2×8=8， ∴S阴=8+8=16. 故答案为：16. 【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，则四边形AEPM、DFPM、CFPN、BEPN都是矩形，推出S△DFP=S△PBE，据此求解. 17．【答案】解：∵在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BD=4， ∴∠ABC=90°，AC=BD=4， ∴AB= AC=2， ∴BC= =2 ， ∴S矩形ABCD=AB•BC=4 . 【知识点】勾股定理；矩形的性质 【解析】【分析】利用矩形的性质可求出AC的长，∠ABC=90°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长；再利用勾股定理求出BC的长；然后利用矩形的面积公式可求出矩形ABCD的面积. 18．【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及矩形的判定定理即可得出结论。 19．【答案】解：作矩形ABCD，知对角线互相平分且相等， 为此作AB的中垂线，取点O，连结CO，并延长，使DO=CO， 连结AD，BD，则，四边形ADBC是矩形， 下面给出证明在△BOC和△AOD中， ∵CO=DO，BO=AO，∠BOC=∠AOD ， ∴△BOC≌△AOD (SAS)，BC=AD，∠CBO=∠DAO， ∴BC∥AD，∴四边形ADBC是平行四边形， 又∵∠C=90º，∴四边形ADBC为矩形 如图，四边形 就是要求作的矩形. 【知识点】矩形的判定；作图-线段垂直平分线 【解析】【分析】由矩形的性质知对角线互相平分且相等，以AB为对角线，为此先确定AB的中点O，连结CO并延长，中线加倍便可找到点D即可，. 20．【答案】（1）证明： E为BC边上的垂直平分线， ， ∠ABD＝90° BF=BC 是等边三角形 ， BC=2AB， 四边形是平行四边形 在与中 （2）解：如图，连接 四边形是平行四边形 是等边三角形 ， 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形． 【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【分析】（1）先证出 是等边三角形，根据四边形是平行四边形，即可得出结论； （2） 连接 ，根据 四边形是平行四边形 ，得出 ，根据 是等边三角形 ，得出 四边形是平行四边形 ，再证出 ，即可得出结论。 21．【答案】（1）证明： 四边形 为菱形 点 为 的中点 点 为 的中点 为 的中位线 ∵OG∥EF 四边形 为平行四边形 又 四边形 为矩形 （2） 点 为 的中点， ，四边形 是菱形 ，∠DOA=90°，AB=AD=10 ∴ ， 四边形 是矩形 ∴ 【知识点】菱形的性质；矩形的判定 【解析】【分析】（1）根据已知 点 为 的中点，点 为 的中点 ，得出 为 的中位线，得出，再根据 OG∥EF ，求证 四边形 为平行四边形 ，因为 ，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，得出 ，利用勾股定理得出AF的值，根据 四边形 是矩形，得出 ， ，即可得出答案。 22．【答案】（1）矩形；菱形 （2）解：∵ME∥AC，MF∥BD， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∴OE＝MF， ∴OB+MF＝OB+OE＝BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵ME∥AC， ∴∠EMB＝∠OCB， ∴∠EBM＝∠EMB， ∴EB＝EM， ∴EM＝OB+MF. 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：（1）如图1，∵ME∥AC，MF∥BD， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OEMF是矩形； 如图2， ∵ME∥AC，MF∥BD， ∴四边形OEMF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OC， ∵M是BC边的中点， ∴ME＝ OC，MF＝ OB， ∴ME＝MF， ∴四边形OEMF是菱 形； 故答案为矩形；菱形. 【分析】(1)根据 “伴随四边形”的定义，结合矩形与菱形的性质和判定定理分别解答即可； (2)根据平行四边形的性质得到OE=MF，根据线段间的和差关系得到OB+MF=BE，再根据平行线的性质，结合等腰三角形的性质得出EB=EM，根据等量代换即可得出结论. 23．【答案】（1）= （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG=90°， ∴平行四边形OEFG是矩形 （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB=AD=10， ∴∠AOD=90°， ∵E是AD的中点， ∴OE=AE= AD=5； 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴FG=OE=5， ∵AE=5，EF=4， ∴AF= ， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵E是AD的中点， ∴OE= AD=AE， 故答案为：=； 【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，再根据直角三角形斜边中线的性质可得OE=AE； （2）由菱形的性质可得OB=OD， 可得OE是△ABD的中位线， 求出OE∥FG， 由OG∥EF，可证四边形OEFG是平行四边形，根据EF⊥AB，可证平行四边形OEFG是矩形； （3）根据菱形的性质可得BD⊥AC，AB=AD=10， 根据直角三角形斜边中线的性质可得 OE=AE= AD=5， 由矩形的性质可得FG=OE=5，利用勾股定理求出AF=3，根据BG=AB-AF-FG即可求解. 24．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD＝∠ADF， ∵∠AEO＝∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）. （2）解：四边形AODF为矩形. 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO＝DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD＝90°， ∴平行四边形AODF为矩形. 【知识点】平行线的性质；菱形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定（ASA） 【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得AE＝DE，根据平行线的性质可得∠OAD＝∠ADF，根据对顶角的性质可得∠AEO＝∠DEF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明； （2）根据全等三角形的性质可得AO＝DF，推出四边形AODF为平行四边形，根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用矩形的判定定理进行解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $