15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教案

 

教学过程

一、情境导入（5分钟）

【教师活动】同学们，上节课我们学习了等边三角形的性质和判定。今天，我们继续探讨一种特殊的三角形——含30°角的直角三角形。请同学们拿出含30°角的直角三角板，量一量它的短直角边和斜边的长度。

【学生活动】短直角边约6.9 cm，斜边约13.8 cm。短直角边的长大约是斜边长的一半！

【教师活动】很好！这只是我们测量的结果。接下来，我们把两个全等的含30°角的直角三角尺摆在一起，看看能得到什么结论。

【教师活动】观察这个图形，你能找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

【学生活动】BC = AB的一半！因为△ABD是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC轴对称。

【教师活动】非常精彩！从拼图中我们猜测：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。这个猜测是否普遍成立？我们一起来探究。

【设计意图】通过动手测量和图形拼摆两种方式，让学生从直观感知出发，形成猜想，为后续严谨证明做好铺垫。

二、探究新知（12分钟）

1. 猜想与验证

【过渡语】我们的猜想是否普遍成立？让我们再画几个含30°角的直角三角形来验证。

【教师活动】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，结论还成立吗？

【学生活动】仍然成立！BC始终等于AB的一半。

2. 严格证明——方法①（延长法）

【教师活动】猜想需要证明才能成为定理。已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。求证：BC = 。

【教师活动】分析思路：要证明BC = ，即2BC = AB。我们可以在BC的延长线上构造长为2BC的线段，再证明它与AB相等。

【教师活动】

具体做法：延长BC到D，使CD = BC，连接AD。

解析：证明：延长BC到D，使CD = BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线。

解析：∴AB = AD。

解析：又∵∠B = 90° – ∠BAC = 90° – 30° = 60°，

解析：∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。

解析：∴BD = AB。

解析：又∵BC = CD = ，∴BC = 。

【设计意图】方法①的核心是构造等边三角形，将"证明BC是AB的一半"转化为"证明AB等于2BC"。培养学生转化问题的能力。

3. 严格证明——方法②（截取法）