15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“含30°角的直角三角形的性质”，通过测量直角三角板短直角边与斜边长度、拼摆全等直角三角尺，引导学生直观感知“30°角所对直角边是斜边一半”的猜想，衔接上节课等边三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 以“测量→猜想→证明→应用”为主线，采用延长法和截取法两种方式构造等边三角形证明性质，培养学生推理能力与转化思维，结合屋架设计、航海触礁等实际问题强化应用意识。助力学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供清晰教学流程与多样化证明思路，提升课堂效率。

15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 教案 课题 15.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课型 新授课 备课人 授课班级 八年级 教材分析 本节是第十五章"轴对称"中等边三角形的第2课时，在第1课时学习了等边三角形的性质和判定之后，进一步探究含30°角的直角三角形的特殊性质。该性质是直角三角形中重要的边角关系，在后续几何计算和证明中应用广泛。 学情分析 学生已经学习了等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识，具备一定的几何推理能力。但将30°角与等边三角形联系起来进行证明，需要一定的转化思维，部分学生可能感到困难。 核心素养目标 1. 掌握含30°角的直角三角形的性质，能运用该性质进行简单的计算和证明。 2. 经历观察、猜想、证明的探究过程，提升逻辑推理能力。 3. 合理应用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题，强化应用意识。 教学重点 1. 含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2. 性质的证明方法及简单应用。 教学难点 1. 含30°角的直角三角形性质的证明思路——构造等边三角形。 2. 性质的灵活运用，特别是逆向应用。 教学过程 一、情境导入（5分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了等边三角形的性质和判定。今天，我们继续探讨一种特殊的三角形——含30°角的直角三角形。请同学们拿出含30°角的直角三角板，量一量它的短直角边和斜边的长度。 【学生活动】短直角边约6.9 cm，斜边约13.8 cm。短直角边的长大约是斜边长的一半！ 【教师活动】很好！这只是我们测量的结果。接下来，我们把两个全等的含30°角的直角三角尺摆在一起，看看能得到什么结论。 【教师活动】观察这个图形，你能找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 【学生活动】BC = AB的一半！因为△ABD是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC轴对称。 【教师活动】非常精彩！从拼图中我们猜测：在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。这个猜测是否普遍成立？我们一起来探究。 【设计意图】通过动手测量和图形拼摆两种方式，让学生从直观感知出发，形成猜想，为后续严谨证明做好铺垫。 二、探究新知（12分钟） 1. 猜想与验证 【过渡语】我们的猜想是否普遍成立？让我们再画几个含30°角的直角三角形来验证。 【教师活动】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，结论还成立吗？ 【学生活动】仍然成立！BC始终等于AB的一半。 【知识点】猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 严格证明——方法①（延长法） 【教师活动】猜想需要证明才能成为定理。已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。求证：BC = 。 【教师活动】分析思路：要证明BC = ，即2BC = AB。我们可以在BC的延长线上构造长为2BC的线段，再证明它与AB相等。 【教师活动】 具体做法：延长BC到D，使CD = BC，连接AD。 解析：证明：延长BC到D，使CD = BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线。 解析：∴AB = AD。 解析：又∵∠B = 90° – ∠BAC = 90° – 30° = 60°， 解析：∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）。 解析：∴BD = AB。 解析：又∵BC = CD = ，∴BC = 。 【设计意图】方法①的核心是构造等边三角形，将"证明BC是AB的一半"转化为"证明AB等于2BC"。培养学生转化问题的能力。 3. 严格证明——方法②（截取法） 【教师活动】除了延长法，我们还可以在AB边上截取一段等于BC，同样可以证明。 解析：证明：在AB边上截取BD = BC，连接CD。 解析：在Rt△ABC中，∠B = 90° – 30° = 60°。 解析：又BD = BC，所以△BCD是等边三角形。 解析：∴BD = CD = BC，∠BCD = 60°。 解析：∵∠ACB = 90°，所以∠ACD = 90° – 60° = 30°。 解析：又∠A = 30°，∴∠A = ∠ACD，AD = CD = BC = BD。 解析：∴AB = AD + BD = 2BC，即BC = 。 【设计意图】方法②采用截取法，与延长法互为"逆操作"。两种方法对比展示，帮助学生理解证明的多样性，拓宽解题思路。 4. 性质总结 【教师活动】经过严格证明，我们的猜想成为定理。请同学们齐读： 【知识点】含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在Rt△ABC中， ∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴BC = AB/2。 【教师活动】注意：这个性质的前提是"在直角三角形中"，且"30°角所对的直角边"。如果30°角所对的是斜边，那就不适用了。性质中的"一半"关系是30°角所对的直角边与斜边之间的关系。 【设计意图】明确性质的前提条件和适用范围，避免学生"套用公式"时出现错误。 三、例题精讲（8分钟） 针对训练（教材P84练习） 练习1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 解析：解：∵∠C=90°，∠B=2∠A，∠A+∠B+∠C=180°， 解析：∴∠A+2∠A+90°=180°，∴∠A=30°，∠B=2∠A=60°。 解析：∴AB=2BC。 练习2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度？ 解析：解：延长BC至点D，使CD=BC，连接AD，则BD=2BC。 解析：∵AB=2BC，∴AB=BD。 解析：∵∠ACB=90°，CD=BC，∴AC是BD的垂直平分线。 解析：∴AD=AB=BD。∴△ABD是等边三角形。 解析：∴∠B=60°。∴∠A=90°–∠B=30°。 【教师活动】练习2告诉我们：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角就是30°。这是性质的逆命题，也是成立的。 例5（教材P83） 图中是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°。求立柱BC，DE的长。 解析：解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°， ∴BC = = = 3.7 (m)。 又∵D是AB的中点，∴AD = = 3.7 (m)。 ∴DE = = = 1.85 (m)。 答案：立柱BC长3.7 m，DE长1.85 m。 【教师活动】例5是性质在实际问题中的应用。解题时要注意：先确定哪个三角形是含30°角的直角三角形，再应用性质。 四、课堂练习（15分钟） 随堂演练1 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2，则等腰三角形的顶角为（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°或150° 答案：D 解析：分析：当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部，高与腰长之比为1:2，则顶角为30°；当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在三角形外部，此时顶角为150°。故答案为D。 随堂演练2 如图，∠AOB=30°，点C在射线OB上，若OC=6，则点C到OA的距离等于____。 答案：3 解析：点C到OA的距离即过C作OA的垂线段，在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以距离 = OC/2 = 3。 随堂演练3 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E。点D为AB上一点，且AD=AC，CD，BE交于点M。 （1）求∠DMB的度数； （2）若CH⊥BE于点H，求证：AB=4MH。 解析：（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°。 解析：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE=30°。 解析：∵∠A=30°，AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=75°。 解析：∴∠DMB=∠ADC–∠ABE=75°–30°=45°。 解析：（2）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC。 解析：∵CH⊥BE，∠CBE=30°，∴BC=2CH，∴AB=4CH。 解析：在Rt△CHM中，∠CMH=∠DMB=45°，∴∠MCH=45°，∴CH=MH。 解析：∴AB=4MH。 随堂演练4 图16：随堂演练4——航海问题 如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向。 （1）求B处到灯塔C的距离； 解析：（1）解：根据题意，∠BAC=90°–75°=15°，∠CBE=90°–60°=30°，AB=15×2=30 (n mile)。 解析：∴∠ACB=30°–15°=15°。 解析：∴∠BAC=∠ACB，∴BC=AB=30 n mile。 答案：B处到灯塔C的距离为30 n mile。 （2）已知在以灯塔C为中心，周围16 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由。 解析：（2）解：过C作CD⊥AB于D。 解析：在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30， ∴CD = BC· = 15√3 ≈ 25.98 (n mile)。 也可以利用30°角性质：∠BCD=30°，∴BD = = 15， CD = √() = √(900 – 225) = 15√3 ≈ 25.98。 解析：∵25.98>16，∴船继续航行没有触礁危险。 答案：无触礁危险。 五、课堂小结（5分钟） 【教师活动】我们来回顾一下本节课的核心内容： 【知识点】1. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 性质的证明方法： 方法①——延长法（构造等边三角形）； 方法②——截取法（构造等边三角形）。 3. 逆向应用： 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 4. 应用：计算线段长度、证明线段关系、解决实际问题。 【设计意图】小结突出性质、证明方法和逆向应用三个维度，帮助学生形成完整的知识结构。 板书设计 【知识点】15.3.2 含30°角的直角三角形的性质 一、性质： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30° → BC=AB/2 二、证明方法： 方法①：延长BC到D，使CD=BC → 等边△ABD 方法②：在AB上截BD=BC → 等边△BCD 三、逆向应用： 在Rt△中，AC=AB/2 → ∠B=30° 四、应用：例5（屋架问题） 教学反思 本节课以"测量→猜想→证明→应用"为主线，通过动手操作和图形拼摆引出猜想，再通过两种证明方法（延长法和截取法）严格论证，最后通过例题和随堂演练巩固应用。教学过程中，两种证明方法的对比展示有助于学生理解"构造等边三角形"这一核心思路。需要注意的是：部分学生对性质的逆向应用（由边的关系推角）可能不够熟练，应通过练习2和随堂演练1加以强化。 学科网（北京）股份有限公司 $