26.4 实际问题与二次函数 第1课时 高度、面积最值问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决实际问题，核心知识点为高度与面积最值。通过知识回顾二次函数最值求法（配方法、公式法），结合跳水、抛小球等实际情境导入新课，搭建“数学知识—实际问题—二次函数模型”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“数学眼光”抽象实际问题中的变量关系，如矩形菜园面积问题用面积法建立函数；以“数学思维”训练配方法与公式法求解，如高尔夫球飞行高度计算；以“数学语言”总结“审设列解验答”六步法。通过当堂小练、对接中考等环节，提升学生建模能力与应用意识，为教师提供系统教学流程和丰富实例，助力高效教学。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第1课时 高度、面积最值问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 高度最值问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 面积最值问题 8. 对接中考 1. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系. 2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3. 能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 学习目标 知识回顾 ， ， ， 当，即 时，代数式 取得最大值，为35. . ， ∴ ， 当，即 时， 代数式 取得最小值，为2． 求代数式最小值 求代数式最大值 知识回顾 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1) y=x2-4x-5；(配方法) (2) y=-x2-3x+4.(公式法) 解：(1) y = x2-4x-5 = x2-4x+4-9 = (x-2)2-9. 开口方向：向上； 对称轴：x=2； 顶点坐标：(2，-9)； 最小值：-9. (2) y=-x2-3x+4 中 a=-1，b=-3，c=4， a=-1<0，开口方向：向下； 对称轴：x= ； 顶点坐标：(，)，即(，)； 最大值： . 新课导入 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质对其进行研究. 新课讲解 知识点1 高度最值问题 例 1. 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 解：对于二次函数h=﹣4.9t2+2.8t+11， 当 时，h有最大值. 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 新课讲解 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 思考 函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 新课讲解 用二次函数解决实际问题一般步骤 1. 审：仔细审题，厘清题意. 2. 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. 3. 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. 4. 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 5. 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 6. 答：写出答案. 归纳 新课讲解 例 t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 ？ ? 最高点(顶点) 2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之间的关系式是 h=30t-5t 2 (0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解法一：配方法 ∵ h=30t-5t 2=-5(t 2-6t)=-5(t -3)2+45， ∴ t=3时，hmax=45. 所以小球运动时间为3 s时，小球最高，小球运动中的最大高度为45 m. 解法二：公式法 ∵ h=30t-5t 2 ∴当时， 所以小球运动时间为3 s时，小球最高，小球运动中 的最大高度为45 m. 新课讲解 练一练 1. 如图，在一次高尔夫球训练中，小明打出的球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离 之间的关系式为 ，则球能达到的最大高度为_____ . 解：，其中， 当时，取最大值，最大值为， 球能达到的最大高度为 . 新课讲解 练一练 2. 若某飞机落地时，飞机在地面的滑行距离 （米）与滑行时间（秒）的关系近似满足： ，则该飞机从落地到停止，在地面滑行的时间为____秒. 15 解：二次函数的二次项系数小于0， 函数图象开口向下，有最大值. ， 当时， 取得最大值，飞机停止滑行. 新课讲解 知识点2 面积最值问题 例 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. (20-2x)m x m S=x(20-2x) . 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正数，即 x>0，且 20-2x>0， 于是自变量x的取值范围是 0<x<10. 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . 3. 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思考 自变量的取值范围怎么考虑呢？ 新课讲解 例 4. 如图，一个一面用墙、三面用篱笆围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 S m2，与墙垂直的 AB 边长为 x m. 花圃被其中间的一道篱笆隔成两个小矩形，若墙可利用的最大长度为 13 m，篱笆总长为24 m. (1)求 S 关于 x 的函数解析式 . (2)当围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 45 m2 时，求AB的长 . (3)当 x 为何值时，围成的花圃 ABCD 的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1) 依题意，得 S=x(24－3x) =－3x 2+24x. ∵ x>0，且 0<24－3x ≤ 13， ∴ ≤ x<8. ∴ S 关于 x 的函数解析式为 S=－3x 2+24x (≤ x<8) . (2) 当围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 45 m 2 时， 则45= － 3x 2+24x， 解得 x 1=5， x 2=3. 由 (1) 知 ≤ x<8，∴ x=5. 因此， 当围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 45 m 2 时， AB 的长为 5 m. 不要忘记检验 (3) 由(1)知S=-3x2+24x. ∵ -3<0， ∴当时， S有最大值. 故当x=4时，围成的矩形花圃ABCD的面积最大，最大面积是48 m2. 新课讲解 练一练 1. 现有 长的铝合金门窗材料，做成“日”字形窗框（不考虑材料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是_ __ .（忽略窗框本身的宽度） 解：设窗框的长为，则宽为 ，窗框的透光面积为， 由题意可得 . ， 当时，取最大值，最大值为， 做成的窗框的透光面积最大是 . 新课讲解 练一练 2. 如图，某公司准备在三角形绿地 上建造一个矩形的休闲书吧，其中 ， ， ，点，，分别在边，，上．当休闲书吧 的面积最大时，的长为___ . 解： ， ，， ， . 设，则， 在矩形中，， ， . 在中， ， ， 当时， 取最大值. 3 新课讲解 在几何图形问题中建立二次函数关系的常用方法： (1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系； (2)勾股定理法：利用勾股定理建立函数关系； (3)和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系 . 归纳 课堂小结 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤： 审、设、列、解、检、答. 当堂小练 1. 如图，某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是抛物线 （单位： ）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A A. B. C. D. 当堂小练 2. 某学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间 满足的函数解析式为 .若火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，则火箭点火后____降落伞将打开，这时火箭的高度是_____ . 13 170 当堂小练 3. 如图，某运动员站在点处推铅球时，铅球在点处出手，点在点 的正上方，以地面为 轴，运动员站立的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系. 已知铅球经过的路线满足抛物线 . (1) 铅球出手时的高度 是多少米？ (2) 在铅球运动过程中，最高点到地面 的距离是多少米？此时铅球距离运动员的水平距离为多少米？ 解：(1) 在中，令，则 ， ， . 答：铅球出手时的高度是 . (2) 抛物线的顶点坐标为 . 答：在铅球运动过程中，最高点到地面的距离是 ，此时铅球距离运动员的水平距离为 . 当堂小练 4. 如图是一个长、宽 的矩形花园，根据需要将它的长缩短，宽增加 ，要想使重修后的花园面积达到最大，则 应为 ( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 解：设重修后的花园面积为，由题意可得 ， 有最大值，即当时， 取得最大值. 当堂小练 5. 如图，在矩形中，，，点 从点出发沿边向点以的速度运动，同时点从点 出发沿边向点以 的速度运动，当其中一点运动至终点时，另一点也随之停止运动．设运动 后，五边形的面积为，写出与 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.为何值时， 最小?最小值是多少? 解：由题意知，， ，故 ， 设的面积为，矩形的面积为 ， 则， ， ． 自变量的取值范围为 . ， 当时， 取最小值，为63． 当堂小练 6. 某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示.已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为），其余用长为 的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为 的小门（小门不用篱笆）. (1) 设菜地的边为，则__________.（用含 的代数式表示） (2) 当 为何值时，围成的菜地面积最大？ 解：(1) 菜地的形状是矩形，， . 菜地的边，则 . (2) 设围成的菜地面积为 ， 根据题意，得 . 墙的最大可用长度为 ， ，解得 . ， 当时， 取最大值. 答：当 时，围成的菜地面积最大. 当堂小练 7. 某校物理兴趣小组对一款用电器的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器 消耗的电功率随电流 变化关系的图象，如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器消耗的电功率的最大值为_____ . 解：由抛物线经过原点，可设抛物线的解析式为 ， 根据题图，得抛物线过点，， 故解得 故抛物线的解析式为 ， 因为，所以当时，取得最大值，最大值为 . 220 当堂小练 8. 如图，在矩形中，，，点 ，，，分别在边，，， 上，且，，设四边形 的面积为，为 . (1) 求关于的函数解析式及自变量 的取值范围； (2) 求 的最小值. 解：(1) 四边形 是矩形， ，， . ，， ， ， , . ，， ， . 当堂小练 8. 如图，在矩形中，，，点 ，，，分别在边，，， 上，且，，设四边形 的面积为，为 . (1) 求关于的函数解析式及自变量 的取值范围； . (2) 求 的最小值. 解：(2) ， 函数图象的对称轴为直线 . ， 抛物线开口向上， 若，则当时，函数取最小值，为 . 对接中考 1. 如图，小明的父亲想用长为 60 m 的 栅 栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40 m，则可围成的菜园的最大面积是______ m 2． 450 对接中考 2. 一块梯形木板ABCD， AD∥BC，∠BCD=90°，AD=4，BC=10，CD= 6，按如图的方式设计一个矩形桌面EFCG(点E在边AB上). 当EF=_____ 时，矩形桌面面积最大. 5 解：如图，作AH⊥BC于点H. ∵AD∥BC，∠BCD=90°， ∴∠D=180°- ∠BCD=90°. ∵∠D= ∠BCD= ∠AHC=90°， ∴四边形AHCD是矩形. ∴HC=AD=4， AH=CD=6. ∴BH=BC-CH=10-4=6=AH. ∴△AHB是等腰直角三角形. ∴∠B=45°. ∵矩形EFCG中EF⊥CF， ∴△BFE是等腰直角三角形. ∴ 可设EF=BF=x(0<x<6)，则CF=BC-BF=10-x， ∴ 矩形桌面面积S=EF·CF=x(10-x)= -(x-5)2+25. ∴ 当x=5 时，S取最大值，即当EF=5 时，矩形桌面面积最大. 拓展与延伸 1. 某校准备在校园里利用围墙(墙可用的最大长度为)和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形农场.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (1) 方案一：如图①，利用全部的围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度为的矩形水池 ，且需保证总种植面积为，试确定 的长. 解：由题意得 ， 、Ⅱ两块矩形农场的面积之和为 ， 设水池的长为，则水池的面积为 ， ，解得 ， ， . 拓展与延伸 1. 某校准备在校园里利用围墙(墙可用的最大长度为)和 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形农场.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (2) 方案二：如图②，要使围成的两块矩形农场的总种植面积最大， 应设计为多长？最大面积为多少？ 解：设，则 ， 总种植面积为 ， ，且易知 ， 当时，总种植面积有最大值，最大值为 ， 即应设计为，最大面积为 . 拓展与延伸 1. 如图，在 中， ，，.动点从点 出发，以的速度沿边向终点运动；动点 从点同时出发，以的速度沿边向终点 运动.设出发的时间为.给出下列结论：①当时， ；②当时，的最大面积为 ； 有两个不同的值满足的面积为四边形面积的 .其中，正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B 拓展与延伸 解：由题意知，， ，. 当时， ，，，结论①错误. ，在的范围内， 当时， 取最大值，此时的最大面积为 ，结论②正确. ， .设，则， ，，即 ，， 无实数解， 不存在任何的值，使得的面积为四边形 面积的一半，结论③错误， 综上所述，正确的结论个数是1. $