3.2双曲线专题学习任务单（二）2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学双曲线专题学习任务单以双曲线的定义、方程、性质为核心，通过“基础理解—性质深化—综合应用”的递进式任务设计，将渐近线、离心率、对称性等关键考点融入母题体系，构建连贯的知识学习路径。 亮点在于“母题引领+举一反三”的分层设计，如母题五中直线与双曲线联立求面积、证明定值的探究任务，培养学生数学思维的推理能力与运算能力，通过几何条件代数化提升数学语言表达能力。为教师单元复习提供系统框架，助力学生深度学习与能力进阶。

3.2双曲线专题学习任务单（二） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C B C C ABD ABC 题号 11 12 答案 ACD ACD 1．C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求双曲线的焦点坐标 【详解】由题可知，所以. 2．D 【难度】0.85 【知识点】求共焦点的双曲线方程、求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ. 【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为， ∴λ<0且，得λ＝－24. 故选：D. 3．C 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的焦距 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 4．D 【难度】0.72 【知识点】求点到直线的距离、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦点坐标 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 5．C 【难度】0.85 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】利用离心率的定义可求出. 【详解】由的离心率为，可得，解得. 6．B 【难度】0.55 【知识点】数量积的运算律、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、双曲线定义的理解 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 7．C 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在中分别利用勾股定理可求得，结合双曲线中的数量关系求得，从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】如图， 设，则，，， 在中，由勾股定理：，即， 在中，由勾股定理：，即， 即，解得，∴， 则，所以渐近线方程：. 故选：C. 8．C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 9．ABD 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解. 【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故， 实半轴长为1，实轴长为，A正确； 因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确； 由于可能在的不同分支上，则有，C错误； 焦距为正确. 故选：ABD. 10．ABC 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、点与曲线的位置关系、由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． 11．ACD 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 12．ACD 【难度】0.42 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】对于A，联立与双曲线方程，求解后即可判断；对于B，设双曲线的右焦点为，连接,由题意可得为等腰直角三角形，从而得，整理可得，即可判断；对于C，结合B可求得，求出离心率即可判断；对于D，求得，即可判断. 【详解】对于A，由，得或， 所以，故A正确； 对于B，设双曲线的右焦点为，连接， 因为关于原点对称，也关于原点对称， 所以四边形为平行四边形， 且， 所以为等腰直角三角形， 所以， 即，， 所以， 整理得， 所以， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由B可知， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率，故C正确； 对于D，因为， 即直线的斜率为，故D正确. 13． 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线中x、y的范围求范围或最值、双曲线的对称性 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：.    14．/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、双曲线的对称性 【分析】延长与双曲线交于另一点，利用对称性、双曲线的定义及余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接， 由，得，由对称性知四边形为平行四边形， 设，则，， ，在中，， 即，解得， 设双曲线的焦距为，在中，，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 15．20 【难度】0.65 【知识点】双曲线的对称性 【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解. 【详解】解：双曲线和圆都关于轴对称， 不妨设，， 所以. 联立，得， 则， 故. 故答案为：20 16．/ 【难度】0.75 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、圆的弦长与中点弦 【详解】由题可知，所以， 又，所以，所以双曲线方程为， 设双曲线的右顶点为，则，双曲线的渐近线方程为， 圆与双曲线都具有对称性，不妨取直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 又，所以，即以为直径的圆半径为，圆心为， 则到直线的距离为，所以. 17．(1) (2) 对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为， 焦距为，离心率为， 渐近线方程为，顶点为. 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】（1）利用给定条件结合双曲线中基本量的性质得到基本量的值，再写出方程即可. （2）利用双曲线的性质求解目标元素即可. 【详解】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线的两个焦点分别为，， 所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6， 故，由双曲线的定义得，解得， 得到，故双曲线的标准方程为. （2）略 18．(1) (2)①② 【难度】0.62 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求直线与双曲线的交点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解方程组求出即可得出答案； （2）①由求得点坐标，并结合圆的有关性质求得的外接圆的圆心坐标、半径，即可得出答案； ②设直线的斜率分别为，先求及直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立求出点的坐标，通过计算得到即可求出的大小. 【详解】（1）由已知，得，解得， 故的方程为. （2）①由已知，. 由知，点在线段的中垂线上. 又点在：上，联立,解得，所以.     易知的外接圆圆心也在线段的中垂线上. 设，连接并延长交的外接圆于，连接. 在中，，且. 由射影定理有. 即. 解得，故.     所以的外接圆的标准方程为.     ②设直线的斜率分别为，则，故其方程为.     联立，得，解得（舍去）.     故，所以. 故.     因为，所以.    19．(1) (2) (3)详见解析 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题意，由，求解； （2）直线方程为，与双曲线方程联立，求得弦长和左焦点到直线的距离d，由求解； （3）当直线的斜率不存在时，易得点A，B的坐标，从而得到点P，Q的坐标求解；当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立，设，求得点P的坐标，同理求得点Q的坐标，利用平面向量数量积运算结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，， 所以双曲线的方程为：； （2）由（1）知，则直线方程为， 与双曲线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 则弦长， ， 左焦点到直线的距离为， 所以； （3）如图所示： 当直线的斜率不存在时，，则， 所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立，，消去y得， 由韦达定理得， 设，令，得则， 同理， 所以， 则， ， ， ， . 综上：为定值0. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2双曲线专题学习任务单（二） 【母题一】例题+举一反三 【题型】单选题 1．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（    ） A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 3．已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 母题一 双曲线渐近线 与📌 必备考点 ▸ 椭圆、双曲线焦点坐标 ▸ 共焦点条件 ▸ 渐近线斜率与夹⻆ ▸ 点到直线距离 🧠 关键能⼒ ▸ ⽅程与图形互化 ▸ 参数关系运算 ▸ ⼏何条件代数化 💡 思维策略 ▸ 渐近线斜率 ▸ 距离公式的应⽤ 【母题二】例题+举一反三 【题型】单选题 5．已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 6．设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 母题二离心率 📌 必备考点 ▸ 离⼼率 ▸ 渐近线⽅程 ▸ 双曲线定义与焦点三⻆形 ▸ 弦⻓与距离 🧠 关键能⼒ ▸ 定义与性质结合 ▸ 代数运算与⼏何直观 💡 思维策略 ▸ 由离⼼率或渐近线列⽅程 ▸ 焦点三⻆形边⻆关系 ▸ 弦⻓转化为圆⼼到直线距离 【母题三】例题+举一反三 【题型】多选题 9．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ） A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的一条渐近线方程为 C． D．双曲线的焦距为4 10．已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 11．如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 12．设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（    ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率为 D．直线的斜率为 【母题四】例题+举一反三 【题型】填空题 13．已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 14．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，如图所示，点，分别在双曲线的左、右支上，且，若，则双曲线的离心率为______. 15．已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则__________. 16．双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 母题四对称性 📌 必备考点 ▸ 双曲线定义、离⼼率、渐近线 ▸ 焦点三⻆形、弦⻓ ▸ 点与曲线位置关系 ▸ 对称性、最值 🧠 关键能⼒ ▸ 综合运⽤定义与性质 ▸ ⼏何图形分析 ▸ 参数范围求解 💡 思维策略▸ 利⽤对称性简化 ▸ 焦点三⻆形边⻆关系 ▸ 弦⻓与离⼼率互化 【母题五】例题+举一反三 【题型】解答题 17．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6. (1)求双曲线的标准方程； (2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率. 18．已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，点在上，且. ①求的外接圆的标准方程； ②设直线与交于另一点，求的大小. 19．已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 母题五圆锥曲线综合 📌 必备考点 ▸ 双曲线标准⽅程与基本量 ▸ 直线与双曲线联⽴ ▸ 弦⻓、⾯积、定值 ▸ 外接圆、垂直条件 🧠 关键能⼒ ▸ 代数运算与⼏何转化 ▸ 设⽽不求、整体代换 ▸ 定值证明的消参技巧 💡 思维策略 ▸ 利⽤定义求基本量 ▸ 联⽴⽅程，⻙达定理 ▸ 定值问题化简消参 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $