3.专题02：圆锥曲线中的定值问题 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选修一例题精讲及课时精练

该高中数学讲义通过题型分类框架系统梳理圆锥曲线定值问题知识体系，涵盖距离、向量、斜率、角度、面积、系数六类定值题型，每类按基础回顾、例题精讲、变式训练、强化练习递进呈现，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如距离为定值问题中证明原点到直线距离为定值的例题，结合变式训练培养数学思维与推理能力，强化练习提升运算能力。基础薄弱学生可通过例题掌握通法，优秀学生能深入探究综合问题，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

3.专题02:圆锥曲线中的定值问题 题型一 距离为定值问题 1 题型二 向量关系为定值问题 3 题型三 斜率关系为定值问题 5 题型四 角度关系为定值问题 6 题型五 面积关系为定值问题 8 题型六 系数关系为定值问题 10 【基础回顾】 题型一 距离为定值问题 【例题精讲】 【例1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【例2】已知双曲线： 的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【变式训练1】已知椭圆的右顶点为，上顶点为，，的面积为4（为坐标原点）.以为中心,焦点在轴上的椭圆在的内部，且与的离心率相等.分别过作的切线，设的斜率分别为. (1)求的方程； (2)求的值； (3)若的长轴长为4，是否存在定点，当过的动直线与交于两点，与交于点时，都有？若存在，写出的坐标并证明：若不存在，说明理由. 【变式训练2】已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【变式训练3】已知双曲线的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； (3)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【强化练习】 1．已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 2．已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，右焦点F到渐近线的距离为1. (1)求C的方程. (2)设A为C上一动点，C在点A处的切线为l，过点F作l的垂线，垂足为P. （i）证明：点P到原点O的距离为定值； （ii）当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B，直线AB与两坐标轴的交点分别为M，N，求的最小值. 3．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 4．已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 5．已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在．求该定值；若不存在，请说明理由． 题型二 向量关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 【例2】已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练3】已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【强化练习】 1．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 2．已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍． (1)求的方程； (2)若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点． （ⅰ）求； （ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：． 3．设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足． (1)求的标准方程； (2)记四边形的面积为． ①若点恰好在上，求的值； ②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三 斜率关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【例2】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【变式训练1】已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【变式训练2】已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 【变式训练3】将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【强化练习】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 2．已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. (1)若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； (2)若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 4．某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． (1)求曲线和的方程； (2)直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； (3)作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 5．已知双曲线上有两点，． (1)求E的方程； (2)过点的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若，求的外接圆方程，并判断点A是否在该圆上． 题型四 角度关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】设为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)求面积的最大值； (3)证明：. 【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． (1)求椭圆E的方程． (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 【变式训练1】椭圆W：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆上一点，面积的最大值为2. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于M、N两点，与y轴交于T点，线段的垂直平分线与交于点G，与y轴交于点H，O为坐标原点，如果是的2倍，求k的值. 【变式训练2】．已知椭圆：的左焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 【变式训练3】设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． (1)证明：； (2)证明：． 【强化练习】 1．已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 2．已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． (1)当时，求的值； (2)若点满足且，求的大小． 3．已知椭圆的短轴长为，且离心率为． (1)求的方程； (2)若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知抛物线，焦点为，动直线与抛物线交于两点，分别作，处的切线，交于点.    (1)证明：动点的轨迹为定直线，并求出轨迹方程； (2)证明：恒成立； (3)证明：恒成立. 5．在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为. (1)求的轨迹的方程； (2)若，经过点的直线与交于点，求证：. 题型五 面积关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【例2】已知椭圆过，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【变式训练1】已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 【变式训练2】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 【变式训练3】有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立平面直角坐标系.记折痕与的交点Q的轨迹为曲线C.    (1)求曲线C的方程； (2)过曲线C外一点作该曲线的两条切线，切点分别为A，B，记，的斜率分别为，，且. ①求P点轨迹方程； ②求证：的面积为定值. 【强化练习】 1．已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点. (1)求的方程； (2)若直线OM，ON的斜率之积为，求的值； (3)若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 2．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 3．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 4．已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过作垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 5．已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 题型六 系数关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 【例2】在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练1】已知椭圆的下、上焦点分别为，，点，，四边形的面积为4，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，椭圆E上有一动点M，连接MP并延长与椭圆E交于点R，连接MQ并延长与椭圆E交于点S（与R不重合），记，． (1)求椭圆E的方程； (2)求面积的最大值； (3)试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【变式训练2】．已知椭圆：的焦距为，分别为椭圆的左右焦点，点在上，且的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点． （i）求的取值范围； （ii）已知上一点，且不在轴上，直线与的另一个交点分别为，若，，求的值． 【变式训练3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 【强化练习】 1．已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为． ①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值． 2．已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 3．已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点． (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； (3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点和点的直线与此椭圆交于，两点，求的长. (3)若是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接，设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 5．已知平行四边形内接于椭圆，且平行四边形的面积为．直线的方程分别为． (1)若，求直线的方程； (2)证明：为定值； (3)求的最小值． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.专题02:圆锥曲线中的定值问题 题型一 距离为定值问题 1 题型二 向量关系为定值问题 18 题型三 斜率关系为定值问题 31 题型四 角度关系为定值问题 42 题型五 面积关系为定值问题 52 题型六 系数关系为定值问题 64 【基础回顾】 题型一 距离为定值问题 【例题精讲】 【例1】在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在定点 ，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求得椭圆的标准方程； （2）设直线 的方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理及的条件，建立直线参数间的关系，再使用点到直线的距离公式即可证明. （3）设直线 的方程为 ，并与椭圆联立方程组，求出 的值，结合三点共线则即可求解. 【详解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . （2）证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 【例2】已知双曲线： 的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的方程； (3)是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)为定值，证明见解析 【分析】（1）根据离心率及焦点到渐近线的距离求解即可. （2）设出直线方程及，，与双曲线方程联立，求出和，求出直线、方程，联立求出，同理求得，即可得到直线的方程. （3）结合（2）求出、及点，分别求出、，结合韦达定理化简求解即可. 【详解】（1）由双曲线的离心率为2，得，即. 渐近线方程为， 则右焦点到其中一条渐近线的距离为，则. 又，即，解得，. 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，，，. 设过的直线方程为，，. 联立，整理得， 则，. 直线方程为，直线方程为， 联立解得 ， 即点的横坐标为. 同理可得，点的横坐标为. 所以直线的方程为. （3）为定值. 证明：由（2）知，，，则. 将代入直线方程中，可得， 同理可得， 所以 ，即. . ， 所以. 而， 所以. 故为定值，该定值为2. 【变式训练1】已知椭圆的右顶点为，上顶点为，，的面积为4（为坐标原点）.以为中心,焦点在轴上的椭圆在的内部，且与的离心率相等.分别过作的切线，设的斜率分别为. (1)求的方程； (2)求的值； (3)若的长轴长为4，是否存在定点，当过的动直线与交于两点，与交于点时，都有？若存在，写出的坐标并证明：若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)当为时，存在定点满足条件；当为时，存在定点满足条件 【分析】（1）根据条件列出的方程求解即可； （2）设的方程可设为，由与相切，联立方程得到，化简得到，同理可得，即可得到. （3）先求出过点 的椭圆的切线​，方程为，题目中的本质是 按相同比例分割线段 ，结合在椭圆上的方程，消去比例参数后可得到过点的恒成立直线，由于始终在切线​上，因此这条直线与为同一条直线，通过系数成比例即可解得定点 为. 【详解】（1）设，，则， ， 联立解得， 则的方程. （2）因为两椭圆的离心率相同，故的方程可设为， 设切线的方程为，切线的方程为， 由，得， 由，即， 整理得， 同理可得， 所以，所以. （3）易得的方程为，设的方程为， 由，得， 由，得， 当的方程为时，假设存在满足条件的点，设. 由题意知不能在椭圆上， 若在椭圆内且，则，显然条件不成立; 若在椭圆内且，则，显然条件不成立; 所以若存在，则其必然在椭圆外， 设，则且，由题知四点共线， 则，设， 由向量的共线关系可得: ①，     ②， ③，      ④, 由①②，③④得到，， 因为在上，所以它们的坐标满足 ⑤， ⑥， 由⑤⑥得到， 整体代入得到：恒成立， 因为在直线上， 当，是同一条直线时，即时满足题意， 所以存在定点符合题意. 当的方程为时，由图形的对称性可知，点为所求定点. 综上，当为时，存在定点满足条件； 当为时，存在定点满足条件. 【变式训练2】已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）为定值. 【分析】（1）应用两点间距离及点到直线距离化简计算求解轨迹方程； （2）（i）方法1：当直线斜率不存在求出点，再代入计算得出定值，当直线斜率存在时，设直线方程联立得出韦达定理结合得出，计算得出定值； 方法2：设，则，联立得出韦达定理应用为同理得出，代入计算求解；（ii）应用面积法计算求解即可. 【详解】（1）设动点，则， 点到直线的距离，由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）（i）方法1： 证明：若直线的斜率不存在，可设其方程为， 若设，则，代入曲线的方程中，得，则此时， 若直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程，得，整理得， 则，且， 所以， 所以， 因为，则有，所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值． 综上可知，始终为定值 方法2： 当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线不相交，所以不符合题意． 设，则， 联立方程解得，则． 用替换上式中的即得． 因此， 即为定值． 综上可知，始终为定值． （ii）原点到直线的距离为定值，证明如下： 设原点到直线的距离为 由三角形面积公式可知： 化简可得，从而， 由（i）知，则，即： 综上可知，原点到直线的距离为定值； 【变式训练3】已知双曲线的离心率为2，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点（不与重合），线段的中垂线交x轴于点．若，求k的值； (3)过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用双曲线的基本性质求解； （2）设直线方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点坐标，从而得到线段的中垂线方程.令，得到点坐标，再根据列方程求解； （3）假设直线方程，分别与双曲线方程、渐近线方程联立，再结合两点间的距离公式化简求解. 【详解】（1）由题意可得，解得 所以双曲线的标准方程： （2） 设直线方程 与双曲线方程联立可得 ，，则， 则中点，直线， 所以直线的中垂线斜率为，中垂线方程为： 令，得 又有，则，解得 所以的值为. （3） 由（1）知右焦点，渐近线方程： 设直线: 联立可得： 联立得；联立得 所以 所以为定值. 【强化练习】 1．已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的方程，再求渐近线方程即可； （2）当直线轴时，根据等面积法求得到直线的距离；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得，利用等面积法求得到直线的距离，结合点到直线的距离为定值求出． 【详解】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 由点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 2．已知双曲线（，）的两条渐近线互相垂直，右焦点F到渐近线的距离为1. (1)求C的方程. (2)设A为C上一动点，C在点A处的切线为l，过点F作l的垂线，垂足为P. （i）证明：点P到原点O的距离为定值； （ii）当点P与A不重合时，过点P作C的另一条切线，切点为B，直线AB与两坐标轴的交点分别为M，N，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2 【分析】（1）求出C的两条渐近线,根据条件，可求得，根据点到直线距离公式，可求出a值，即可得答案. （2）（i）若点A的坐标为时，分析可得点P到原点距离为1，若点A的坐标为（）时，设出l的方程，与双曲线联立，根据判别式，可得直线l的方程，进而可得l的垂线FP的方程，联立可得P点坐标，化简整理，即可得答案. （ii）求出PA、PB的方程，整理可得直线AB的方程，求出M、N点坐标，可得的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由题意C的两条渐近线分别为，， 则，可得，所以，即. 由右焦点到渐近线的距离为1，得， 解得，则，故C的方程为. （2）（i）若点A的坐标为时，则点P与A重合，坐标也为，到原点的距离为1. 若点A的坐标为（），则， 设l的方程为，与C的方程联立， 消去y，得， 由，结合，得，则l的方程为. 由题得，则l的垂线FP的方程为. 设点，将l和垂线FP的方程联立，得 ，解得，即， 则. 综上，点P到原点O的距离为定值1. （ii）记，.由（i）知，，. 由于点P在这两条直线上，所以， 因此直线AB的方程为. 不妨设点M在x轴上，点N在y轴上，则，. 故， 当且仅当时取等号，因此的最小值为2. 3．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）． ①求直线、的斜率之和； ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且点. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式可求得直线、的斜率之和； ②设的外接圆方程为，分析可知方程与方程为同解方程，可得出关于、、的方程组，解出、，可得出点的坐标，求出直线的方程，当时，求出直线的方程，取点为直线与轴的交点，结合勾股定理可得出结论. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到一条渐近线的距离为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）①设点、，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立，可得， 则，解得或， 由题意可得，所以且， 所以 ， 即直线、的斜率之和为. ②设的外接圆方程为， 则， 由代入， 可得， 可得， 同理可得， 所以、为关于的方程的两根， 又因为、为关于的方程的两根， 所以方程与方程为同解方程， 所以，解得， 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 直线与轴的交点为，不妨取点，此时， 则， 故在轴上存在定点，使得为定值. 4．已知椭圆的右顶点为，点为椭圆上的一点．设椭圆的左、右焦点分别为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点（异于椭圆的左、右顶点）． （i）求面积的最大值； （ii）设直线分别交轴于两点，求证：以为直径的圆与轴相交的弦长为定值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为，离心率为 (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由题可得，求得的值，得到椭圆方程，利用离心率公式即可求解； （2）（i）由（1）知道点坐标，设直线方程，联立方程组，由韦达定理结合焦点弦长公式求得，点到直线的距离为高，从而求得三角形的面积表达式，结合函数单调性求解即可； （ii）当直线轴时，通过相似证明点在以MN为直径的圆上，从而得到以MN为直径的圆被x轴截得的弦是，得到弦长为2；当直线斜率存在时，设直线方程，然后联立方程组，整理得一元二次方程，由韦达定理得到两点坐标与斜率的关系式；然后用两点式写出直线直线方程，求得点坐标，证明向量，证得点在以MN为直径的圆上，从而得到以MN为直径的圆被x轴截得的弦是，得到弦长为2，从而证明以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值． 【详解】（1）由题意可知， 由，解得， ∴椭圆的方程：. 离心率为 （2）（i），，由于直线斜率不为，则设直线， 联立方程组，得： 所以 焦点弦长， 点到直线的距离， ∴， 令，所以在上单调递增，所以， 所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 即面积的最大值为 （ii）， 当轴时，交点，关于轴对称，∴点关于原点对称，∴以为直径的圆圆心为，半径为 ∵，∴，则，∴， 又∵，∴圆与轴的截得的弦为， 当直线斜率存在时，设直线， 设， 联立方程组，整理得， 则，， ， 直线，令，则， 直线，令，则..， 则，， 则 即 即，同理可证， 即点在以MN为直径的圆上，又∵在轴上， ∴以MN为直径的圆被x轴截得的弦为，， 综上所述：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值2. 5．已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在．求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 题型二 向量关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）设过点的直线方程，与抛物线联立后由韦达定理得到交点横纵坐标的关系，将坐标化后代入该关系，即可证明其为定值； （2）利用原点到直线的距离和弦长公式得到面积关于直线斜率的表达式，再通过均值不等式求最值即可得到面积的最小值. 【详解】（1）设过点的直线方程为，设， 联立直线与抛物线方程： 消去得一元二次方程：， 由韦达定理得： ， 所以， 因此， 故为定值，得证. （2）因为，，，故， 所以， 由韦达定理， ，当（即）时，取得最小值， 即面积的最小值是.    【例2】已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在定点 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时， 取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 【变式训练1】已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值. 【答案】(1) (2)是， (3)24 【分析】（1）由直线垂直于轴时知椭圆经过点，结合离心率列出关于的方程组，解得即得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入并根据韦达定理求得，再求出，将代入即得答案； （3）由（2）中韦达定理可得到，分别求出直线、并联立得到，解得，设点的坐标为，根据点在和上，求出直线和的方程，进而求出点的坐标，即可求得. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，① 因为过点的直线垂直于轴时截得弦长， 所以椭圆经过点. 所以，② 由①②解得， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可知，设直线的方程为， 联立，可得， 可得， 直线的斜率分别为， ， 所以， 因为在直线：上，所以， 所以 ， 代入式子可得； （3）由（2）知，可得，所以， 直线的方程为，直线的方程为， 两条直线联立可得 则， 解得，所以设点的坐标为， 因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上， 则， 故该直线的方程为， 点在上，则， 故直线的方程为. 联立 ，解得， 所以点的坐标为， 所以. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点. （i）证明：为定值； （ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【分析】（1）设，将题设中的几何性质代数化后可求的方程； （2）（i）设，联立直线方程后可用的坐标表示，再设的直线方程，并联立双曲线方程，消元后结合韦达定理化简可得定值；（ii）根据四点共圆可得对角互补，从而，结合（2）中结果化简前者可求. 【详解】（1）设，由题意可知， 化简整理得：， 故的方程为. （2）（i）由题意可知，设， 则直线，直线， 因为在直线上，所以，代入直线方程，可知， 故点的坐标为，同理可得点的坐标为. 当直线斜率不存在时，显然不符合题意， 故设直线，代入双曲线方程中， 可得， 所以， 又 ， 所以. （ii）由四点共圆可知，， 又，即， 故， 即，所以. 所以，又，由， 则，整理可得， 所以， 故，即，所以点坐标为. 【变式训练3】已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点，定值为 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）根据题意设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，化简的表达式，根据为定值可得出关于的等式，解出的值，即可得出结果. 【详解】（1）由的渐近线方程为，得①， 由，根据双曲线的对称性，不妨设，则②， 由①②得，，所以双曲线的方程为． （2）根据题意设直线的方程为， 将的方程代入双曲线方程，得， 且， 设点、，由韦达定理得，， 假设存在满足题意， 则 要使为定值，则上式需与无关，则，解得，此时． 所以存在点使得为定值，定值为． 【强化练习】 1．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； （3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值. 【详解】（1）因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3）由双曲线的对称性不妨设，， 故，， 故 ，其中， 设，则， 故， 而，故， 注意到，故的最大值为. 2．已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，并且上的点到的最大距离是最小距离的3倍． (1)求的方程； (2)若点是上异于的任意一点，直线与分别交直线于两点． （ⅰ）求； （ⅱ）若直线交于另一点，设点的纵坐标分别为，求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用上的点到的最大距离为，最短距离为，结合焦点坐标计算即可得； （2）（ⅰ）设，则可表示出直线与，从而可得，，再借助向量数量积公式计算即可得；（ⅱ）设，，联立直线与椭圆方程，消去可得与横坐标有关韦达定理，则可表示出，结合（ⅰ）中所得，，计算可得，即可得证. 【详解】（1）上的点到的最大距离为，最短距离为，又，则， 则，解得，故， 故的方程为； （2）（ⅰ）设，则，又、， 则，， 分别令，可得，， 又，则，， 故 ； （ⅱ）设，， 联立，消去得， 则，，则， 由（ⅰ）知，， 则， 故. 3．设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于两点． (1)若都在双曲线的左支上，求面积的最小值； (2)是否存在轴上一点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点 【分析】（1）根据题意可设，，，联立直线方程与双曲线方程可得韦达定理，从而得出，然后根据题意得出的范围，从而解出面积的最小值； （2）假设存在满足题意，求出，由其为定值，可得，从而解出定点． 【详解】（1）如图所示，，易知直线的斜率不为零， 所以设，，． 联立方程组，化简得，， 则有，，则，． 又因为M、N都在双曲线的左支上， 所以，解得． 又， 令，所以， 即，易知函数在上单调递减， 所以，即面积的最小值为． （2）设存在满足题意，于是，， 故 ， 若为定值，则，即， 此时，所以存在点使得为定值． 4．双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时，是等边三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线性质和等边三角形特点，结合勾股定理求出和，从而求出标准方程 （2）分斜率存在和不存在两种情况，分别计算，并验证是否为定值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得， 又， 解得， 由是等边三角形可得， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）得，即，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时的方程为，代入双曲线得， 即过，则， ② 当直线斜率存在时，设直线，不妨设， 联立直线和双曲线方程，消去得． 由韦达定理：， 计算可得， 代入韦达定理，结果化简得：， ， 综上，无论直线斜率是否存在，为定值-1. 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．动直线交于两点，点满足． (1)求的标准方程； (2)记四边形的面积为． ①若点恰好在上，求的值； ②若，问：在轴上是否存在两个定点，使得直线与轴分别交于两点，且为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，，或， 【分析】（1）根据题意，列出方程求解即可； （2）①联立椭圆与直线方程，由韦达定理可得，，结合弦长公式得到，原点到直线的距离为，由知四边形是平行四边形，所以面积，根据坐标运算可得，代入椭圆方程求出即可求解. ②根据面积关系化简可得，由向量关系可得，，从而得到，且，设存在两个定点，，（定值），表示出直线的方程，求出点，化简即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 所以，，所以的方程为． （2）①设，，， 由得，即， 所以，所以， 且，， 所以， 又因为原点到直线的距离为， 由知四边形是平行四边形， 所以面积． 由，所以， 因为在椭圆上，所以，解得， 所以． ②因为， 所以，即， 所以，， 所以，即，且． 设存在两个定点，，（定值）， 所以直线的方程为，令，得， 同理可得， 所以， 化简得， 所以得，， 所以在轴上存在两个定点，或，使得为定值． 题型三 斜率关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）由点在抛物线上且到焦点的距离为2，联立方程组解出即可；（2）设，，联立方程消元，韦达定理，用斜率公式写出，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得，解得. 从而得到抛物线的方程为， 准线方程为； （2）设，， 由 得， ∴，， ， ∴   所以的值为. 【例2】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 【变式训练1】已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【详解】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 【变式训练2】已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设点，直线，联立解出，再利用抛物线的定义，即可求解. （2）根据题意设点，直线，表示出后，利用韦达定理进行化简，即可求解. 【详解】（1）因为点在第一象限，，则， 焦点，准线，， 所以设点，直线， 联立，得，解得，， 由，得. （2）因为点在第一象限，则，焦点，点， 设点，直线， 联立，得， 所以，， 则 ， 综上，的值为0. 【变式训练3】将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线为. (1)求曲线的方程； (2)若曲线上存在一定点和两动点（异于），且关于原点对称，试判断直线与直线斜率乘积是否为定值？ 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）利用相关点法求曲线的方程. （2）列出，化简即可. 【详解】（1）设为曲线上的任意一点， 由题意，点为圆上的点， 所以 . 即曲线的方程为：. （2）如图：    设，则，且，， 所以 . 所以直线与直线斜率乘积为定值. 【强化练习】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值 【分析】（1）由题意计算可得，结合椭圆的性质可求离心率； （2）由题意求得椭圆C的方程，设直线MN的方程为：，，，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，求得，，利用，计算求解即可. 【详解】（1）将代入椭圆可得，， 又为正三角形，，即，则可得， 又，． 离心率，，（舍去）. （2）由题意可知：，结合（1）可得，，则椭圆。 由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在， 设直线MN的方程为：，，， 联立椭圆和直线方程：，消去y可得， 直线和椭圆必有交点，则， ，， ，ND的斜率是互为相反数，． 又，， ， 化简可得， 即 因式分解，则可得或， 当时，所以， 所以直线MN经过点，故不符合题意. 则直线MN的斜率为定值． 2．已知点，圆：，为圆上的一个动点，线段的中垂线与交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若过定点且斜率存在的直线与曲线交于两点，试探究：在轴上是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，坐标为或. 【分析】（1）根据已知结合椭圆定义计算得出进而得出椭圆方程. （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，再利用斜率公式计算即可得定值. 【详解】（1）圆：的圆心，半径， 由线段的中垂线与交于点，得， 则， 因此点Q的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以曲线的方程为. （2）设直线l的方程为，点， 由消去并整理得， 则，， ， 直线的斜率分别为，因此 ， 由，得，当时，为定值， 当时，为定值， 所以在轴上存在定点，使得直线的斜率之积为定值，坐标为或. 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. (1)若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； (2)若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的定义求出，再在中由余弦定理即可求出； （2）方法一：设，与双曲线方程联立，将代入方程中化简即可；方法二：求出点坐标，再化简直线的斜率即可. 【详解】（1）点在双曲线右支上，， 由，得. 又直线与双曲线的左半支交于点，所以，得， 在中由余弦定理得 ， 整理得，解得或（舍去）. 实数的值为. （2）方法一：设直线的斜率为，则直线， 联立，整理得. 因为点的横坐标为，所以恰是该方程的解， ， 整理得，即. 又，所以， 直线过点且与双曲线交于第一象限的点， ，即直线的斜率为定值. 方法二：点的横坐标为，在第一象限，且在双曲线上， ，解得，故， 因为直线过点，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值. 4．某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． (1)求曲线和的方程； (2)直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； (3)作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)为定值． 【分析】（1）设点，由题意可得，化简可得曲线的方程，由与相切，可得，根据椭圆的定义可得曲线方程； （2）由可得，求得直线的方程为，与椭圆联立方程可得，再由三角形面积公式计算求解即可； （3）设直线，直线与椭圆联立方程组可得，由垂径定理知，计算可得为定值. 【详解】（1）设点， 由得的轨迹方程为， 即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆． 因为与相切，所以， 所以， 则， 得， 所以曲线方程为； （2）由（1）知，， 所以轴，则， 直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得， ； （3）设直线， 将直线与椭圆联立得 则 所以， 又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知， 所以，则， 所以， 即为定值． 5．已知双曲线上有两点，． (1)求E的方程； (2)过点的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若，求的外接圆方程，并判断点A是否在该圆上． 【答案】(1) (2)，在圆内. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式计算得证；（ⅱ）求出直线的方程，由（ⅰ）中信息求出交点坐标，进而求出圆的方程并判断. 【详解】（1）由双曲线过点，，得，解得， 所以双曲线E的方程为. （2）（ⅰ）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，点， 由消去得，， ，直线的斜率，直线的斜率， 因此， 所以直线与的斜率之积为定值. （ⅱ）直线的斜率，由及（ⅰ），得，直线方程为， 由，得，点， 显然点关于轴对称，即的外接圆圆心在轴上，而弦中点为， 弦中垂线方程为，令，得， 因此的外接圆圆心为，半径， 所以的外接圆的方程为，由，得点在该圆内. 题型四 角度关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】设为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)求面积的最大值； (3)证明：. 【答案】(1)或 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据l与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）由题可知直线l斜率不为零，设直线l的方程为，，，联立得到，再根据结合基本不等式求最值即可； （3）当直线l与x轴重合时，显然有，当l与x轴不重合时，设点A关于x轴的对称点，再证明直线过即可． 【详解】（1）由已知得，的方程为,代入椭圆， 可得,即得点的坐标为或. 所以的方程为或； （2）由题可知直线l斜率不为零，设直线l的方程为，，， 由消去,可得． 显然,则，又， 又，当且仅当时取等， ， 即面积的最大值为； （3）当直线l与x轴重合时，显然有； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为，，， 由（2）知． 点A关于x轴的对称点， 则直线的方程为． 令，， 则直线过点M，故． 【例2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． (1)求椭圆E的方程． (2)过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆上一点处的切线方程为． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据题意解出即可求解； （2）①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论; ②根据等腰三角形、勾股定理求得. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以， 所以， 所以椭圆E的方程为； （2）①不妨令点在第一象限，设， 所以切线的方程为：，又， 令，解得，所以， 又因为， ， 所以，所以， 又， 所以； ②因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，. 【变式训练1】椭圆W：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆上一点，面积的最大值为2. (1)求椭圆W的方程； (2)直线与椭圆W交于M、N两点，与y轴交于T点，线段的垂直平分线与交于点G，与y轴交于点H，O为坐标原点，如果是的2倍，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当点P为椭圆上顶点或下顶点时，面积的最大为2，根据条件列出关于 的方程求解即可； （2）设，联立方程得到.设，由题可得，，再利用二倍角公式求解即可. 【详解】（1）由题可得，即 因为，化简得到， 当点P为椭圆上顶点或下顶点时，面积的最大值为2， 则，解得， 所以椭圆方程为. （2）设，联立方程得到， 即， 由，得, 则，故 G 的横坐标； 则，所以. 设， 由题可得， 因为，所以，得到 所以. 【变式训练2】．已知椭圆：的左焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，.求证：的值为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据左焦点坐标和及的关系，求出的值，进而求出椭圆的方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆与直线方程，根据韦达定理求出求出为定值，进而证明. 【详解】（1）因为椭圆：的左焦点，所以， 又，所以，所以， 所以椭圆的方程为； （2）证明：设直线的方程为， 联立，消去并化简得， 又，其中， 且 设，则有， 所以 ， 即， 又，所以， 所以的值为定值. 【变式训练3】设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意设出直线方程，联立抛物线方程，并消元整理一元二次方程，写出韦达定理，结合向量的坐标运算，可得答案. （2）由题意设出直线方程，利用斜率的计算公式，研究两直线的斜率的数量关系，可得答案. 【详解】（1）设的方程为，由，得. 设，由题意可知，则， ，，. （2）由（1）得， ∴， ∴，∴. 【强化练习】 1．已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由的面积为，得，解得， 由点在椭圆上，得，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，， 由，消去并整理得， ，又直线与线段交于点，则， ，，于是， 直线的斜率分别为， ，则，而， 所以. 2．已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． (1)当时，求的值； (2)若点满足且，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，将直线的方程与椭圆方程联立，求出交点的坐标，再利用弦长公式可求得的值； （2）设点、，设线段的中点为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出、，利用勾股定理求出，可求出的值，可得出的值，进而可得出的值. 【详解】（1）设点、，当时，直线的方程为， 联立可得或， 所以. （2）设点、，设线段的中点为， 因为，则，且， 联立，可得， 则， 由韦达定理可得，， 则，故点， 所以，， ， ， 又因为，， 因为，则，故. 3．已知椭圆的短轴长为，且离心率为． (1)求的方程； (2)若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）由题意得即可求解； （2）假设存在点，使得，则，设，则，直线BQ的方程为． 由即可求解． 【详解】（1）由题意得，，解得椭圆的方程为． （2）假设存在点，使得，则． 设，则， ，直线BQ的方程为． 点在直线BQ上，， 点是直线上不同于点的一点，，解得 点在椭圆上，，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 存在点，使得，点的坐标为或． 4．已知抛物线，焦点为，动直线与抛物线交于两点，分别作，处的切线，交于点.    (1)证明：动点的轨迹为定直线，并求出轨迹方程； (2)证明：恒成立； (3)证明：恒成立. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用导数求出切线，并联立求交点，可得答案； （2）由抛物线方程可得焦点坐标，利用两点之间距离公式以及抛物线的定义，表示线段长，代入（1）的韦达定理，可得答案； （3）根据相似三角形的判定与性质，等价转化问题，根据向量的坐标表示，可得答案. 【详解】（1）设，，， ，可得，，则 ，求导， 可得，则的方程为：，化简得， 同理可得的方程为：， 两直线方程联立可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由题可知，由（1）可知，易得， 由抛物线定义可知 ，代入（1）问结论， 可得，证完. （3）由（2）可得，要证，只需证明， 而要证，只需证， 即只需要证明， 即只需要证明， 即只需要证明， 易知，， 可得，而， 所以，同理， 故只需证明， 只需证明， 展开化简，且代入， 故只需证明，故只需证明，由（1）知，显然成立. 所以.证完 5．在直角坐标系中，已知为一个动点，且直线，的斜率之积为. (1)求的轨迹的方程； (2)若，经过点的直线与交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，结合直线的斜率之积为可得，化简即可求解； （2）设的方程为， 联立直线与椭圆方程，设直线的斜率分别为，利用韦达定理求得，进而求证. 【详解】（1）设，因为，直线的斜率之积为. 所以，化简得， 即的方程为. （2）由题知直线的斜率不为零， 设的方程为，联立与， 得，显然判别式，设， 所以， 设直线的斜率分别为， 所以 ， 即，即，所以. 题型五 面积关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知椭圆：的短轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【详解】（1）因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． （2）由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 【例2】已知椭圆过，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据条件求，再得椭圆方程和离心率； （2）（i）首先求直线的方程，再根据直线与椭圆方程联立，求点的坐标，最后代入两点间距离公式求解；（ii）利用点的坐标求解直线的直线方程，再求解点的坐标，最后表示四边形的面积，即可证明. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以椭圆的方程为，， 所以椭圆的离心率； （2）（i），， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， ，即，，所以，即且， 所以 （ii）设，，，，， 直线，令，得，即 直线 ，令，得，即， ，， 所以四边形的面积为， 所以四边形的面积为定值. 【变式训练1】已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与轴交于点，点在直线上，且.求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据椭圆上下顶点的距离得出短半轴的长度，再利用离心率与长半轴、短半轴的关系求出长半轴，从而得到椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程，与椭圆方程联立求得交点的坐标；求出直线与轴的交点，进而写出直线的方程，点在上，由垂直条件得出的纵坐标为常数，由此得到的面积为定值. 【详解】（1）由题意，上、下顶点 ，故，得， 离心率，且 ， 代入 ，得 ，解得 ，故 ，所以椭圆方程为 . （2）依题意，，，过斜率为的直线（）， 与椭圆方程联立： 解得（对应）或，则. 得， 直线与轴交于点，令得，故. 点，直线的斜率，所以直线方程为， 点在上，可设 ，由 ，即， ， 所以垂直条件等价于 ，即 ，解得， 于是，因此点的纵坐标为定值， 而 ，所以的面积 所以的面积为定值. 【变式训练2】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件求得，，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得、两点的坐标，进而计算出直线和直线的斜率之积为定值. （3）结合（2），求得与面积之和的表达式，利用基本不等式或二次函数的性质来求得其最小值. 【详解】（1）依题意可得：，求解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：，，，， 则，化简得：， 即， 由于在椭圆内，所以直线与椭圆必有个交点， 所以，， 方程，得出， 同理可得：，， 所以，， 所以 为定值. （3）由题意可得：， ， ， ， 当且仅当时取“， 所以“. 【变式训练3】有一个半径为4的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点F，E所在的直线为x轴，以线段的中点O为原点建立平面直角坐标系.记折痕与的交点Q的轨迹为曲线C.    (1)求曲线C的方程； (2)过曲线C外一点作该曲线的两条切线，切点分别为A，B，记，的斜率分别为，，且. ①求P点轨迹方程； ②求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由圆的性质，根据椭圆的概念，可得答案； （2）设出直线方程，联立消元写出一元二次方程，结合切线性质，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可知，， ∴Q点轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴曲线C的方程为. （2）①设，过点P直线方程设为. 由，消元得：， 由直线与椭圆相切， 化简得：， ∴， 点轨迹方程为； ②设，，则：，：， 因为，过点，∴， ∴方程为. 由， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为定值. 【强化练习】 1．已知椭圆的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，直线与交于A，B两点，直线与交于M，N两点，为坐标原点. (1)求的方程； (2)若直线OM，ON的斜率之积为，求的值； (3)若，判断梯形的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）根据所给条件列方程求出，即可写出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理写出、，进而求出，由两直线斜率之积为列方程求解k； （3）联立直线AB的方程与椭圆方程求出直线AB与椭圆交点的横坐标，利用两点间的距离公式分别表示出、，由可用k表示出t，最后代入梯形的面积公式进行化简即可求得定值. 【详解】（1）设的半焦距为， 由题意得，解得 所以的方程为. （2）设，，联立直线与椭圆的方程 可得， ，可得， 由韦达定理可得， 所以 ， 因为直线OM，ON的斜率之积为， 所以 ，解得.    （3）设，， 联立直线与椭圆的方程得得， 则，， 直线到直线的距离为， ， 因为，所以， 解得， 所以 所以梯形的面积为定值. 2．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，根据题意可得，再根据离心率及的关系可求得，，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 3．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值1 【分析】（1）根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）求得，根据弦长公式和平行四边形的面积公式化简计算可得，结合即可证明. 【详解】（1）由已知可得，所以， 又因为，得①； 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． （2）由（1）得双曲线渐近线方程为，， 设，则，， 联立和，解得交点， 则平行线和之间的距离， 则平行四边形的面积， 由于在双曲线上，则，所以， 所以平行四边形的面积为定值1.    4．已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过作垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值9. 【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程； （2）设直线 ，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用直线的直线方程求出点的坐标，结合图形表示出，化简并代入韦达定理计算即得定值. 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆C左焦点到直线的距离为，解得 则，故椭圆的方程是. （2）设直线 ，且 联立 则，即得，且， 则，过做垂直于长轴的直线为 令，得，同理可得； 又，， 则 ， 为定值9.    5．已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组即可求出的方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、三角形面积公式及数量积的坐标表示计算得证. （3）在时，利用斜率坐标表示求出截距的表达式，结合韦达定理求出最小值，再求出的情况即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，联立解得， 所以的方程为. （2）设，则， 由消去并整理得， ，， ， 所以的面积为定值. （3）由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为， 当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，， 当时，由共线，得，即， 整理得，而 ，当且仅当时取等号，， 所以直线在轴上的截距的最小值为. 题型六 系数关系为定值问题 【例题精讲】 【例1】已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为． (1)求的方程． (2)过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆的定义及直角三角形的性质，列出关于的方程组，求解可得； （2）设直线的方程为，设，直线的方程与椭圆方程联立，得；与直线联立，得点的坐标；根据向量的坐标运算，得，化简可得为定值． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则， 解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由题可知，，直线的斜率存在. 设直线的方程为，， 由，得， 所以. 由，得. 由，， 得， 所以，即， 所以 ， 即为定值，定值为. 【例2】在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点． （i）当点到直线的距离取得最大值时，求； （ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）8；（ii）为定值2. 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）（i）根据C的方程，可得点P的坐标，分析可得当时，点到直线的距离取得最大值，求出的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案. （ii）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）（i）因为点是上的一点，所以，解得，即， 当点到直线的距离取得最大值时，有， 又，所以直线的斜率为，则直线的方程为， 设，由，得，所以， 所以． （ii）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 由，得， 此时即即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得． 所以 ．即为定值2. 【变式训练1】已知椭圆的下、上焦点分别为，，点，，四边形的面积为4，椭圆E的长轴长是短轴长的倍，椭圆E上有一动点M，连接MP并延长与椭圆E交于点R，连接MQ并延长与椭圆E交于点S（与R不重合），记，． (1)求椭圆E的方程； (2)求面积的最大值； (3)试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设，根据得出，，再将，作差得，即可求出，求出的最大值即可； （3）同（2）得出即可求出. 【详解】（1）因为四边形的面积为4，所以，则， 因为椭圆E的长轴长是短轴长的倍，所以， 由得， 故椭圆E的方程为； （2）设，则，， 因为，，则， 则，，则， 因为，，所以， 故， 则， 若，则，则重合，显然不成立； 若，则重合，显然不成立，故且， 则， 联立，解得， 则， 则 ， 因为，所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以， 令，则， 则当时有最大值， 故面积的最大值为； （3）设，则，， 因为，，则， 则，，则， 因为，，所以， 故， 则， 同（2）可知且，则， 联立，解得，则， 故，是定值. 【变式训练2】．已知椭圆：的焦距为，分别为椭圆的左右焦点，点在上，且的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点． （i）求的取值范围； （ii）已知上一点，且不在轴上，直线与的另一个交点分别为，若，，求的值． 【答案】(1)的方程为． (2)（i）的取值范围为；（ii）． 【分析】（1）由焦距得，结合的面积求出点的纵坐标，代入椭圆方程，结合即可； （2）（i）设过的直线方程并联立椭圆，由判别式得到参数的取值范围，利用韦达定理表示根的关系，结合弦长公式将转化为关于的函数，换元后求函数的值域； （ii）由向量共线关系用的坐标表示的坐标，将代入椭圆方程并结合在椭圆上的条件，化简得到关于的方程，联立消去​，求出的值． 【详解】（1）由椭圆的焦距为，得，即， 又，所以， 因为点在椭圆上，所以， 解得，， 所以的方程为． （2） （i）当直线的斜率为时，点的坐标分别为，则； 当直线的斜率不为时，设过点的直线方程为（斜率不存在时直线为，与椭圆无交点，不满足题意）， 由，得， ，解得， 设，，则，， 由弦长公式得，同理， 依题意，同号，则， 令，则， 所以， 因为，所以，， 所以，即． 综上可得，的取值范围为． （ii）设，，，，， 由，得，解得，， 因为在椭圆上，所以，化简得①， 又在椭圆上，所以，即②， 将②代入①得，化简得③， 由，得，解得，， 因为在椭圆上，所以，化简得④， 将②代入④得，化简得⑤， 由③⑤得，化简得． 【变式训练3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上. (1)求的方程； (2)已知上一点，且不在轴上，直线，与的另一个交点分别为，. （ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程； （ⅱ）若，，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件，直接建立方程组，解出，即可求解； （2）（i）根据条件直接求出点坐标和直线的方程，联立椭圆方程，求出点坐标，即可求解；（ii）设，根据条件用和表示出点的坐标，再利用在椭圆上，可得，，即可求解. 【详解】（1）由题知，解得， 所以的方程为. （2）（i）因为，又 ，由对称性知， 又，所以， 由，消并整理得到，解得或， 当时，，所以， 则，所以直线的方程为，即. （ii）设，，则， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，则， 又因为， 又，则，解得，， 因为在椭圆上，则，即， 又，则， 易知，化简得，得到， 故. 【强化练习】 1．已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)点为直线上的一点，过点作的切线，切点分别为． ①问：直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点在抛物线的准线上，切点在第一象限内，存在过点的直线与相交于两点，过点作平行于的直线，分别与直线和直线交于点，若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式计算即可求解； （2）①求得切线方程，由题意在切线方程上可得直线的方程为，由此计算可解；②直线的方程为，联立，可得，设，直线的方程为，可得，设直线的方程为，联立可得，设直线的方程为，联立可得，由此可计算，计算可解. 【详解】（1）由题意可得， 故焦点到直线的距离， 所以，解得或（舍去）； 所以抛物线的方程为； （2）设抛物线在点的切线方程为， 切线与抛物线联立方程组，得， 则， 化简可得，所以， 因为点在抛物线上，则，所以， 所以切线方程为，即， 将代入化简可得， 所以抛物线在点的切线方程为； ①设，因为抛物线， 所以点处的切线方程为，点处的切线为， 设点，由题意可得，点在直线和直线上， 所以， 所以直线过点， 所以直线的方程为，故， 令，解得， 所以直线过定点； ②由题意可得，直线的方程为，联立，解得，所以， 设，直线的方程为， 联立方程，解得， 设直线的方程为， 所以， 所以直线的方程为， 联立方程，解得， 设直线的方程为， 联立方程，消去可得， 由韦达定理可得，， 整理可得， 所以 ， 所以，即. 2．已知椭圆的长轴长为4，直线与椭圆交于，两点（点在第一象限）．当时，，在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点． (1)求的标准方程； (2)若轴于点，连接并延长交于点，记直线的斜率为． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）设椭圆焦距为，则椭圆过点，代入椭圆方程，结合及，求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）设各点的坐标，利用点差法，用表示，即可证为定值；（ⅱ）根据直线的斜率与倾斜角的关系，利用两角差的正切公式，并结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】（1）由题意有，所以. 设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以. 又，所以. 所以，即，解得. 所以，，故的标准方程为． （2）（ⅰ）设，，，则，由题意有． 直线的斜率即的斜率为，所以直线的方程. 所以，又，在椭圆上， ∴，∴. ∴， ∴. （ⅱ）∵， 而，， 由（ⅰ）知， ∴，又， ∴， ∴. 当且仅当，即时等号成立. 所以．的最小值为． 3．已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，该抛物线与双曲线在轴上有共同的焦点，且都经过点． (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； (3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3)存在， 【分析】(1)先设抛物线方程，代入点求出，得到抛物线方程与焦点；再利用双曲线与抛物线共焦点得到，通过双曲线定义或代入点求出，从而得到双曲线方程； (2)设，写出以为直径的圆的圆心与半径，设直线，利用勾股定理表示弦长平方，消去后令系数为，求出，得到弦长为定值； (3)先通过特殊点推测，再利用正切二倍角公式，代入双曲线方程化简，证明，从而得到. 【详解】（1）设抛物线的方程为， 将点代入抛物线方程，得，所以抛物线的方程为； 设双曲线的标准方程为， 因为抛物线的焦点坐标为，双曲线与抛物线在轴上有共同的焦点， 则双曲线的右焦点坐标为，则另一个焦点坐标，故， 又在双曲线上， 根据双曲线的定义知 ， 所以， 故双曲线的标准方程为． （2）由题意得的中点为，设的方程为， 以线段为直径的圆交于两点，的中点为，则； 设，则，且， 则， 因为为直角三角形，且， 所以， 所以， 显然当时，， 所以弦长为定值， 故存在垂直于轴的直线（即直线），被圆截得的弦长为定值，直线的方程为． （3）已知双曲线方程为，其左顶点为，右焦点为，设 为第一象限内双曲线上任意一点（），满足，即； 当轴时，，代入双曲线方程：，此时点的坐标为； ，，故为等腰直角三角形，，，因此，推测； 由点的坐标关系，可得：，， 当时，，，为锐角， 当时，，，为钝角， ，将代入，得， 将代入分母化简：， 因此：，故， 因为在第一象限，所以，故， 当时，，，两角同属正切函数的单调递增区间， 当 时：由，可知，故 ，由渐近线斜率约束，可知， 综上，，与同属正切函数的单调递增区间， 在正切函数的同一单调区间内，若，则必有，因此：， 故存在常数，使得对第一象限内双曲线上任意一点恒成立. 4．如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点和点的直线与此椭圆交于，两点，求的长. (3)若是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接，设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点坐标，并结合点到直线的距离公式与题意建立方程组，求解出基本量，最后求出椭圆方程即可. （2）先求出直线方程，再结合韦达定理与弦长公式求解即可. （3）首先确定直线的方程，设直线的方程为，联立椭圆方程，再利用韦达定理求坐标，进而写出直线，最后求出，应用斜率的两点式得到关系式，得到参数即可. 【详解】（1）已知椭圆过点，代入方程得， 又由题意得， 则的方程为，化简得， 设原点到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为原点到直线的距离为，所以， 化简得，联立方程组，解得， 故椭圆的方程为. （2）由斜率公式得过点和点的直线斜率为， 则直线方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得. （3）由已知得，故直线的方程为， 直线的斜率为，点，则直线的方程为， 联立，得， 又点在椭圆上，故有， 则，， 故直线的方程为，即， 又点为直线与轴交点，令，解得，得到， 将直线与直线联立，得到， 解得，则， 故直线的斜率为， 则，此时． 5．已知平行四边形内接于椭圆，且平行四边形的面积为．直线的方程分别为． (1)若，求直线的方程； (2)证明：为定值； (3)求的最小值． 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由对称性，得的面积，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出，结合点到直线的距离公式求出高，最后利用三角形面积公式列出方程，即可得解； （2）设出点，根据点两点均在椭圆上，运用点差法，得到，再结合，即可得解； （3）联立与得，解得或，不妨设，再根据，可得，再运用基本不等式，即可得解. 【详解】（1）由椭圆的对称性可得，故的面积. 设， 联立与得， 则有，， 点到直线的距离， 则弦长， 故， 整理得，得或，解得或， 故直线的方程为或. （2）由关于原点对称可设， 由直线的斜率存在，易知， 由点都在椭圆上，故有， 两式相减，得，得， 因此，. （3）联立与得， 故， 令，得， 两边平方后，整理得，再令， 方程可化为，解得或， 即或，即或， 得或， 不妨设， 则，， 又由题（2）可知，故，则， 则，， 可得， 因此有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． ( 1 / 80 ) 学科网（北京）股份有限公司 $