15.3 等腰三角形 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册等腰三角形同步练习，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，覆盖从性质到动态问题的知识路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形性质、内角和|单选1-5直接考查三线合一、底角计算，强化概念理解| |中档|格点图形、折叠问题|单选6格点等腰直角三角形，填空13等边三角形中点性质，衔接课堂例题| |提高|动态几何、最短路径|解答题20动态等腰三角形探究，填空15最短路径问题，培养模型意识与创新思维|

15.3 等腰三角形 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的底角为，则它的顶角是（　　） A． B．65° C．70° D．80° 3．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（     ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 4．如图，等腰的顶角为度，则它的底角为（    ）度． A． B． C． D． 5．小明的骑行路线如图所示，他从O地出发，0.5小时后到达A地，若他骑行的速度保持不变，则他从A地骑行至B地所需时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时 6．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 7．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 8．已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（    ）个 A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是9，，则周长为（   ） A．9 B．15 C．21 D．24 10．如图，中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，与前面的弧交于点；④作射线交于点、若，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，是的三条边，若满足，则的形状为______． 12．在中，已知，，则的取值范围是_____． 13．如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为_______． 14．如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为______． 15．如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是________． 三、解答题 16．已知：如图，，、相交于点O，求证：． 17．如图，已知坐标系内点P（4，3），在坐标轴上找一点A，使△AOP是等腰三角形． (1)所有满足条件的点A有几种情况？ (2)若借助尺规作图来找满足条件的点A，请简单说明你的找法． 18．如图，在小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，点． (1)作关于y轴对称的； (2)在y轴上找一点C，使得的值最小，并直接写出点C的坐标． 19．在中，，平分，平分，过O点作，使，且． (1)图中有几个等边三角形？ (2)若，你能求出的周长吗？ (3)你还能求出的周长吗？ 20．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB． (1)如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB； (2)当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长； (3)当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由； (4)作点A关于直线 CD的对称点A′，连结 CA′当CA′∥AB时，求CA′＝______（请直接写出答案）． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A B B C C B D 1．【答案】C 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握这些基本知识是解题关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理计算顶角． 【详解】解：∵ 等腰三角形的两个底角相等，且底角为， ∴ 两个底角之和为， 又∵ 三角形内角和为， ∴ 顶角， 故选：D． 3．【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再依据等腰三角形的判定定理判断三角形类型． 【详解】解：第三个内角的度数为， ∵有两个内角相等， ∴这个三角形是等腰三角形． 4．【答案】A 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可得答案． 【详解】解：∵等腰的顶角为度， ∴度． 5．【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质． 根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意可得， ∴， ∵从O地出发，0.5小时后到达A地， ∴保持速度不变，从A到B行驶的时间为1小时， 故选：B． 6．【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①为等腰直角底边；②为等腰直角其中的一条腰；画出图形，即可解决问题． 【详解】解：如图，分两种情况讨论： ①为等腰直角底边时，符合条件的格点C有0个； ②为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个； 综上所述，满足条件的格点C的个数是3个． 故选：B． 7．【答案】C 【知识点】找出图中的等腰三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆， 以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆， 以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆， 再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P， 则满足条件的所有点的个数为8， 故选：C．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 9．【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边， 根据角平分线定义和平行线的性质得，再根据“等角对等边”得，然后根据周长得出答案． 【详解】解：∵的平分线交于点E， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵周长． ∵， ∴的周长为． 故选：B． 10．【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，作一个角等于已知角．先证，进而根据三角形内角和为180度得出，根据等角对等边，可得，由作图方式得出，进而得出，，再次应用三角形内角和定理，得出，推出，可得． 【详解】解： 中，， ， ， ， 由作图知，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 11．【答案】等边三角形 【知识点】等边三角形的判定、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据绝对值的非负性，偶次方的非负性，得到，，继而得到，推出是等边三角形，即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ，，是的三条边， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形 ． 12．【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．【答案】9 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 14．【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查折叠问题，含有角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明为等边三角形，即可得，则可得． 【详解】解：是长方形， ， 根据折叠可得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】6 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、等边三角形的性质 【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接， 由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形， ∴， ，当点、P、E共线，且时取等号， 的最小值为， ，， ， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 16．【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 17．【答案】(1)8种 (2)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】先以原点为圆心，为半径画圆交坐标轴于点、、、，再以P点位圆心，为半径画圆交坐标轴于点、，最后作OP的垂直平分线交坐标于点、，所以所有满足条件的点A有8种情况． 【详解】（1）所有满足条件的点A有8种情况； （2）如图，以O点为圆心，为半径画圆交坐标轴于点、、、， 以P点为圆心，为半径画圆交坐标轴于点、， 作的垂直平分线交坐标于点、． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18．【答案】(1)见解析， (2)图见解析，点C坐标为 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变． （1）根据轴对称性质得到对应点的位置，进而顺次连接即可； （2）连接交y轴于点C，则点C为所求，根据图形可得点C坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点C即为所求，点C坐标为． 19．【答案】(1)图中有2个等边三角形 (2)能，的周长为30 (3)能，的周长为45 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据“等角对等边”得到，即可证明是等边三角形．同理证明，可得出是等边三角形； （2）由，，得到．根据角平分线的定义及平行线的性质得到，得出，同理可得，即可得到．再根据是等边三角形，即可根据等边三角形的性质求出周长； （3）根据是等边三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 综上所述，图中共有2个等边三角形． （2）解：根据（1）可得，， ∴， 即． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． ∴． 根据（1）可得是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由（1）可知是等边三角形， ∴． 20．【答案】(1)证明见解析 (2)BC的值为或 (3)BC=或6 (4)5 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可； （2）分两种情形：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．如图1−1中，当AB＞AD时，BC＝BD设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，根据AD＝5，构建方程求出k，即可解决问题； （3）分两种情形：如图3−1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，如图3−2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，分别构建方程求解即可； （4）证明AC＝AD，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图2中， ∵AB＝10，AD＝5， ∴AD＝DB， ∵CA＝CB，AD＝DB， ∴CD⊥AB． （2）解：如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD． 设AB＝10k，则AC＝BC＝6k， ∵AD＝5， ∴10k＋6k＝5， ∴k＝， ∴BC＝6k＝； 如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD， 同法可得10k﹣6k＝5， 解得k＝， ∴BC＝6k＝， 综上所述，BC的值为或． （3）解：如图3−1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC， 由（2）可知，BC＝； 如图3−2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合， 此时AB＝10k＝10， ∴k＝1，BC＝6k＝6． 综上所述，BC的值为或6． （4）解：如图3中，当CA′∥AB时， ∵CA′∥AB， ∴∠ADC＝∠A′CD， 由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴AC＝AD＝5， ∴CA′＝CA＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $