15.3 等腰三角形&综合与实践-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

∠DBE..∠A-25,∠BCD-35∴.∠ACB-∠BCD-35”,∴.∠ABE-∠A+∠ACB3.解，如图.直线1，h即为所求作的对称轴 综合与实践最短路径问题 =25"+35"=60°..∠ABD=∠ABE+∠DBE=2∠ABE=2X60°=120 1.B2.103.解：如图，作点E关于BC的对称点E,连接FE,交BC于点M,连接 第4课时尺规作图 EM,EF,则点M即为所求作的点， 4.解：如图.①作点A关于的对 1.解：(1)要从模其片中度量出边BC的长度∠B及∠C的大小，就可以到店轴加工一 (1) (2) 块与原来的模具△AC的形软和大小完全相同的△AB'C模具.因为两角及夹边对应 相等的两个三角形全等，(2)如图。 2.(1)同位角相等，两直线平行 4.解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的 点，理由如下：由作图知PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP=BP,PA十PC= BP+PC=BC. 称点A1,再作点A关于1：的对称点4：：②连接A:A:,交1：于点D,交1：于点E,连接 AD,AE.此时AD十DE+EA最小 (2)沿点P所在直线折叠，使点B落在直线4上，折粮为CD把纸片限平，继续沿点P 所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折痕为EF把纸片展平，沿折痕画直线 15.2回轴对称的图形 EF在问一平面内，垂直于问一条直线的两条直线平行 第1课时画轴对称的图形 第十六章整式的乘法 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 1.解：如图 2.解：(1)如图，△DEF即为所求作的图形：(2)如 16.1幂的运算 1.D2.B3.①②③4.证明：”DE⊥AC,BF⊥AC,∠AFB-∠CED-90.在 AB=CD. 16.1.1同底数幂的乘法 Rt△ABF和R1△CDE中， BF=DE. .Rt△ABF2Rt△CDE(HL..∠BAF- 图，DM即为边EF上的商(3)△DEF的面积为号×3X2-3. 解：(1)原式=y·y1=y2+1=y+:(2)原式=3=3“；(3)原式 ∠DCE,,AB∥CD -(付)-（付）广-0原式-d(-4(-)=-6源 14.3角的平分线 式=3X3×33X3=341“=32:(6)原式=x+(-x2)-x2·(-x)=一x· 第1课时角的平分线的性质 1.C2.C3.5:34.证明：：D为BC的中点，BD=CD.在△ABD和△ACD中， 第2课时用坐标表示轴对称 x2+x2·=-x+2=0:(7)原式-(x-2y)·《x-2y·(x-2y)-(x- 2y)++4=(x-2yy:(8)原式--x·x·x2m+一+·x2-一x2+1++1一x2n++3 AB=AC, 1.A2.A3.-2<a<2 =-z3+-x+=-2x1+t BD-CD..△ABD2△ACD(SSS).∠BAD-∠CAD,.AD为∠BAC的平分线. 15.3等腰三角形 16.1.2幂的乘方与积的乘方 AD-AD. 15.3.1等腰三角形 1.解：(1)原式=-a=-a',(2)原式=y+y·y=y+y=2y,(3)原式=(m ,DE⊥AB,DF⊥AC,∴，DE=DF 第1课时等腰三角形的性质 n·(m一n)=(m一n)2.解：(1)原式=(-5)a=一125a6:(2)原式 第2课时角的平分线的判定 1.C2.A3.B4.90°1.55.36”6.证明：：AB=AC.BD=CD,AD的延长线交 (-1)xy=x产y“(3)原式=4r2+9x2-42=9x.3.解：(1)原式=[0,125× 1.A2125”3.404,证明：过点D作DE⊥AB,DF⊥C,DG⊥AC,垂足分别为 BC于点E,,AE垂直平分BC,即DE⊥BC又：BD=CD,∴DE平分∠BDC E,F,G,BD平分∠ABC,DE=DF,同理可得DF=DG,,DE=DG,·点D在 (一8订=（-=1：2原式-（高）×（号）-（倍×号）×号-m× ∠BAC的平分线上，∠BAD=∠CAD. 第2课时等腰三角形的判定 第十五章轴对称 1.D2.23.1404.证明：，AE∥BC,“.∠DAE=∠B,∠CAE=∠C,AE平分 号-1x号-号3)原式=3)×()-9×()广=9×[9x()] ∠DAC,∴∠DAE=∠CAE.∠B=∠C,.AB=AC,.△ABC是等援三角形. 9×(-1)=9×1=9 15.1图形的轴对称 5,解：△OEF是等腰三角形，理由如下：：BE=CF,,BE+EF=CF+EF,即BF= 16.2整式的乘法 15.1,1轴对称及其性质 ∠A=∠D, 1.D2.D3.A4.185.706 第1深时单项式与单项式相乘 CE在△ABF和△DCE中，∠B=∠C,.△ABF≌△DCE(AAS),∠AFB= 15.1.2线段的垂直平分线 解：(1)原式=一8ry:(2)原式=3m2·4m=12m:(3)原式=2B2·(-a∥) BF-CE, -a6e':(4)原式=8a2W-4a26w=4a2W. 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 ∠DEC,,OE=(OF..△OEF是等腰三角形 1.A2.63.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90,∠C=90°， 第2课时单顷式与多项式相乘 15.3.2等边三角形 .∠AED=∠C,AD平分∠BAC,∠EAD=∠CAD.在△AED和△ACD中， 解：(1)原式=一6aB十3c2∥4(2)原式-4mn2·(6mn一1)=24m'n一4m:(3)原 ∠AED=∠C, 第I课时等边三角形的性质与判定 式=-了a6+aW-7b:(4)原式=号ry·(2x-4ry+7y)=号ry-9ry ∠EAD=∠CAD,∴.△AED≌△ACD(AAS),,AE=AC,:AB=2AC,∴.AB= 1.D2.C3.C4.65,证明：△ABC是等边三角形..AB=BC=CA,∠A= AD=AD. ∠B=∠C=60°.：AD=BE=CE,AB-AD=BC-BE=CA-CF.即AF=BD= +4ry. 2AE.:AB=AE十BE,∴，AE+BE=2AE,∴，BE=AE又，DE⊥AB,DE是线段 CE.'∠A=∠B=∠C,∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),∴DF=ED=FE. 第3课时多项式与多项式相乘 AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上， .△DEF是等边三角形. 解：(1)原式=一12xy+16x3-9y+12xy2=16x-9y:(2)原式=20y-4y-5+y 第2课时线段垂直平分线的有关作图 第2课时含30°角的直角三角形的性质 =-4y十21y-5:(3)原式=62-4.-2x十3x-2x-1=6x--1r-1(40原式 1.A2.解：(2)(3)是轴对称图形，对称轴如图. 1.C2.B.3D4.85,证明：连接BE.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， =d十ab十a-db-ai一b=a'-, .∠ABC=90°一∠A=90-30=60.:DE是AB的而直平分线.÷AE=BE, 第4课时同底数幂的除法 ∠ABE=∠A=30,.∠CBE=∠ABC-∠ABE=60-30°=30°，.在R△BCE 解：(1)原式-：(2)原式=-(y-x)÷(y一x)=一(y一x):(3)原式-x:(4)原式 2) (3) 中，BE=2CE,.AE=2CE =x·r=x, 第55页（共60页） 第56页（共60页） 第57页（共60页）15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,下列结论不一定正确的是 A.∠B=∠C B.BD-CD C.AB-2BD D.AD平分∠BAC B DC D B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠B=70°，则∠C的度数为 ( A.35 B.40° C.45° D.50° 3.如图，a∥b,点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC.若∠1= 20°，则∠2的度数为 ( A.25° B.65 C.70 D.75 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BC=3cm,则∠ADB的度数为 ,BD的长是 cm. 5.如图，在锐角三角形纸片ABC中，AB=AC,将底边BC沿着过B点的折痕BE 折叠，使点C落在腰AB上的点D处，这时三角形ADE是等腰三角形，则∠A的 度数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E. 求证：DE平分∠BDC. ·19· 第2课时等腰三角形的判定 1.如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三 角形有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.在△ABC中，∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点，AE=2cm,且DE∥BC, 则AD的长为 cm. 北 3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向的M处，它以每 东 小时35 n mile的速度向正南方向航行，4h后到达位于灯塔P 的南偏东65°的N处，则M处与灯塔P的距离为 n mile. 4.如图，AE∥BC,AE平分∠DAC.求证：△ABC是等腰三角形. 师测 5.如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.试 判断△OEF的形状，并说明理由. ·20· 15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,交BC于点D,则∠BAD的度数为 ( A.60° B.50 C.40° D.30° B D B D (第1题图) (第2题图) (第4题图) 2.如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E,使CE= CD,则∠E的度数为 A.15° B.20° C.30° D.40° 3.下列说法正确的有 ( ①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边 三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰 三角形是等边三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE,AD与 CE交于点F,则∠DFC的度数为 5.如图，D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF. 求证：△DEF是等边三角形. ·21· 第2课时含30°角的直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm,则AB的长为 ( ) A.4 cm B.3 cm C.2.5 cm D.2 cm 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB等于 ( ) A.2:1 B.1:2 C.1:3 D.2:3 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=9cm,则AB的长为 ( A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 北 西O B →东 南 (第3题图) (第4题图) 4.如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离 16 n mile,l0点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距 n mile. 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E.求证：AE=2CE. D. ·22· 综合与实践最短路径问题 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P 为直线EF上任意一点，则AP十BP的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 BC N O (第1题图) (第2题图) 2.如图，∠AOB=40°，C为OB上的定点，M,N分别为OA,OB上的动点，当CM+ MN的值最小时，∠OCM的度数为 3.如图，E,F分别是△ABC的边AB,AC上的两个定点，在BC上找一点M,使 △EFM的周长最小. 名师沁 4.如图，点A是总局，想在公路11上建一分局D,在公路2上建一分局E,D,E修 建在何处能使AD十DE十EA最小？ ·23·