3.1.1 函数的概念(第1课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念，通过初中变量依赖关系（如正方形周长与正比例函数的区别）导入，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生用集合语言理解函数定义及三要素。 其亮点在于以列车路程、工资计算等实例归纳函数特征，培养数学抽象素养，通过图像判断、构建实际模型等题型提升数学思维与建模能力，帮助学生深化理解，为教师提供丰富教学资源。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章函数的概念与性质 3.1.1　函数的概念 第1课时 3.1　函数的概念及其表示 学 习 目 标 1 2 3 理解函数的概念与表示;掌握函数的定义域､对应关系和值域.了解函数的实际背景。 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，提升数学抽象的核心素养 了解构成函数的要素，能求简单函数的函数值，提升数学运算的核心素养。 新课引入 同学们,初中我们就初步认识了函数,知道它是用来描述两个变量之间对应关系的数学工具 现在抛出个小问题考考大家:正方形周长和边长满足 l=4x ,它和正比例函数 y=4x 一样吗? 还有 y=x 和 y= 看着形式很接近,它们是同一个函数吗? 靠初中的认知很难把这些问题说清楚,今天我们就升级对函数的认知,深入学习函数的概念及其表示. 目标一：函数的概念 互动探究 实例1 函数的概念 某“复兴号”高速列车加速到350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程 (单位:km)与运行时间 (单位: h)的关系可以表示为 s=350t 这里, t 和 s 是两个变量, 而且对于 t 的每一个确定的值, s 都有唯一确定的值与之对应, 所以 s 是 t 的函数. 思考 有人说:“根据对应关系 s=350t ,这趟列车加速到350 km/h 后,运行1h 就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗? 没有关注到 的变化范围 互动探究 实例2 函数的概念 下面用更精确的语言表示问题1 中 s 与 t 的对应关系. 列车行进的路程与运行时间的对应关系是 s=350t ①. 其中, t 的变化范围是数集 ={t∣0≤t≤0.5} , s 的变化范围是数集 ={s∣0≤s≤175} 某电气维修公司要求工人每周工作至少1 天,至多6 天.如果公司确定的工资标准是每人每天350 元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资 w (单位: 元)是他工作天数 d 的函数吗? 显然,工资 w 是一周工作天数 d 的函数,其对应关系是 w=350d ② d 的变化范围是数集 ={1,2,3,4,5,6} , w 的变化范围是数集 ,={350,700,1050,1400,1750,2100}. 对于数集 中的任一个工作天数 d ,按照对应关系②,在数集 中都有唯一确定的工资 w 与它对应. 互动探究 实例3 函数的概念 问题1 和问题2 中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个函数吗?为什么? 思考 不是,自变量的取值范围不同. 如图是某市某日的空气质量指数(AirQualityIndex,简称 AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻 t 的空气质量指数(AQI)的值 ?你认为这里的 I 是 t 的函数吗? 从图中的曲线可知, t 的变化范围是数集 ={t∣0≤t≤24} ,AQI 的值都在数集 ={I∣0<I<150} 中 对于数集 中的任一时刻 t ,按照图中曲线所给定的对应关系,在数集 中都有唯一确定的AQI，I 是 t 的函数. 互动探究 函数的概念 实例4 国际上常用恩格尔系数 ×100%) 反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国城镇居民恩格尔系数变化情况 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数 （%） 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 你认为按表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份 t 的函数吗? 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? 这里, t 的取值范围是数集 ={2012,2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021};根据恩格尔系数的定义可知, r 的取值范围是数集 ={r∣0<r≤1} .对于数集 中的任意一个年份 t ,根据表中所给定的对应关系,在数集 中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以, r 是 t 的函数. 互动探究 函数的概念 归纳共同特征 上述问题1~问题4 中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗? 序号 核心特征文字描述 1 都包含两个非空数集，用 来表示 2 都存在一个确定的对应关系 3 对集合 内任意一个数 ，按对应关系，在集合 中有唯一确定的数 与之对应（对应关系可分为解析式、图像、表格三种形式） 函数的对应关系 事实上,除解析式､图象､表格外,还有其他表示对应关系的方法.为了表示方便,我们引进符号 f 统一表示对应关系. 互动探究 函数的概念 函数的概念 一般地,设 A , B 是非空的实数集,如果对于集合 A 中的任意一个数 x ,按照某种确定的对应关系 f ,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 记作 y=f(x) , x∈A 1. 集合 B 中可以存在多余“元素”. 2. f(x) 表示“ x 对应的函数值”, 而不是 “f 乘 x 定义域和值域 其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)∣x∈A} 叫做函数的值域 注意:值域是集合 B 的子集 互动探究 函数的概念 函数概念的理解 函数的传统定义与现代定义的异同点 对比类型 对比维度 传统定义 现代定义 核心不同点 定义视角与刻画逻辑 从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系 从集合间的对应关系角度，刻画两个非空数集间的对应关系 核心相同点 核心对应规则 对于变量的每一个值，都有唯一一个值与之对应 对于集合中的每一个数，都有唯一一个值与之对应 函数的四个特征 序号 特征名称 核心说明 1 非空性 构成函数的两个集合A、B必须为非空数集，空集无法构建有效的函数对应关系 2 任意性 定义域（集合A）中的每一个元素，都必须有对应的函数值，不存在无对应输出的自变量 3 唯一性 定义域内的每一个自变量，有且仅有唯一的函数值与之对应，一个自变量不能对应多个不同的函数值 4 方向性 函数是从定义域（集合A）到值域（集合B的子集）的单向对应关系，反向对应不一定成立 互动探究 函数的概念 对初中学过的函数再理解 一次函数 y=ax+b(a≠0) 的定义域是 R ,值域也是 R .对应关系把 R 中的任意一个数 x ,对应到 R 中唯一确定的数 ax+b(a≠0) . 二次函数 y=a+bx+c(a≠0) 的定义域是 R ,值域是 B . 当 a>0 时, B={y∣y≥} ; 当 a<0 时, B={y∣y≤} . 对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x ,对应到 B 中唯一确定的数 +bx+c(a≠0) 反比例函数 y=(k≠0) 的定义域为 {x∣x≠0}，值域为 {y∣y≠0}。 典例分析 题型一函数的概念 AB 例1 C (多选)已知下列集合 M,N 与对应关系 f，则 f:M→N 为从 M 到 N 的函数的是 ( ) [A] M={1,2,3},N={2,4,6}，f：M中的数乘以2 [B] M={1,2,3},N={2,4,6,8}，f：M中的数乘以2 [C]M={1,4},N={-2,-1,1,2}，f：M中的数开平方 [D] M={-2,-1,1,2},N={1,4}，f：M中的数平方 (1)判断一个对应关系是不是函数的方法 前提：非空实数集A,B；满足一对一或多对一；A中不能有剩余元素 D 对于A,B，1×2=2∈N，2×2=4∈N，3×2=6∈N，符合题意，故A,B正确； 对于C，集合 M 中的1开平方后有±1两个值与其对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于 D，∈N， ∈N，符合题意，故D正确。故选ABD。 典例分析 题型一函数的概念 ① 例2 ②③ 设集合 M={x∣0≤x≤2}，N={y∣0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有( ) [A]①②③④ [B]②③ [C]①②③ [D]② 判断图形是不是函数关系的步骤 ①任取一条垂直于 x 轴的直线 l； ②在定义域内平行移动直线 l； ③若直线 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数。 ④ 对于①，M 中有些元素在 N 中没有对应元素，例如 x=1.5，不符合函数关系； ②③符合集合 M 到集合N 的函数关系； 对于④，任取 x=1 有两个 y 值与之对应，不符合函数定义。故选B。 典例分析 题型二 函数的定义域和值域的理解 例3 已知集合 A={1,2}，B={3,4}，f:A→B 为集合 A 到 B 的一个函数，写出所有符合条件的函数，并指出其定义域和值域。 (1)函数 f:A→B 三要素：定义域、对应关系与值域；集合 B 不一定是函数的值域，值域是 B 的子集；定义域、对应关系确定，函数就确定，值域随之确定。 (2)当集合 A 与 B 都是有限元素集合时，构建函数 f:A→B 需分类讨论。 【解】满足题意的函数共有4个： (1)，定义域{1,2}，值域{3}； (2) ，定义域{1,2}，值域{4}； (3) ，定义域{1,2}，值域{3,4}； (4) ，定义域{1,2}，值域{3,4}。 典例分析 题型二 函数的定义域和值域的理解 例4 下列四种说法中，正确的是____。(填序号) ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。 答案：①③④ 【解析】①正确；如y=0定义域为R，值域{0}，②错误；③正确；由唯一性可知④正确。 典例分析 题型三题型三 求函数值 第一题 例5 第二题 已知定义域为R的函数 f(x)=x+1 和 g(x)=，计算下列各式： (1)f(2)+g(3)；(2) f( )-g(a)；(3)f(f(f(0))) 求函数值的方法 (1)已知f(x)表达式，用对应数值替换式中x即得函数值； (2)复合函数f(g(a))遵循由里往外逐层计算。 解（1）f(2)+g(3)=(2+1)+=3+9=12。 第三题 （2）f( )-g(a)=(+1)-=1。 （3）因为 f(0)=0+1=1， 所以 f(f(0))=f(1)=1+1=2， 从而 f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3。 典例分析 题型三题型三 求函数值 求参 例6 求值 已知函数 f(x)=，若 f(x)+f()=3，则 f(x)+f(2-x)=____。 (3)代入法不仅适用常量，同样适用于变量。 f(x)+f()= 解得 a=3，所以 f(x)=。 f(x)+f(2-x)=6 典例分析 题型四构建函数关系的问题情境 解析函数 例7 构建情境 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数 y=kx(k≠0) 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式 y=x(10-x) 来描述. 解:把 y=x(10-x) 看成二次函数,那么它的定义域是 R ,值域是 B={y∣y≤25} .对应关系把 R 中的任意一个数 x ,对应到 B 中唯一确定的数 x(10-x) . 如果对 x 的取值范围作出限制,例如 x∈{x∣0<x<10} 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为 x ,面积为 y 那么 y=x(10-x) .其中, x 的取值范围是 A={x∣0<x<10} , y 的取值范围是 B={y∣0<y≤25} .对应关系把每一个长方形的边长 x ,对应到唯一确定的面积 x(10-x) . 典例分析 题型四构建函数关系的问题情境 解析函数 例8 构建情境 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 来描述 【解】限制 x∈{x∣0<x<1}， 情境：某地“桃花节”观赏人数逐年增加，2025年约有10万人次，设年平均增长率为 x，2027年观赏人数为y万，则 。 定义域：{x∣0<x<1}，值域：{y∣10<y<40}；对应关系f把每一个增长率x对应唯一确定的观赏人数。 由函数解析式构建问题情境的策略 (1)分析解析式，确定函数类型、定义域、值域、对应关系； (2)结合现实生活构建情境，按需限制x取值范围； (3)完整描述情境、定义域、值域与对应关系。 举一反三 1.已知集合 A={0,1,2} . B={-1,1,3} ,下列对应关系中,从 A 到 B 的函数为( ). A. f:x→y=x B. f:x→y= C. f:x→y=2x D. f:x→y=2x-1 答案:D 解析:由 2×0-1=-1 , 2×1-1=1 , 2×2-1=3 ,得D 符合. 2.下列图象中,可以表示函数的为( ) 选项A、C、D图像存在一个x对应多个y，B符合要求 答案:B 解析:选项A, C, D 的函数图象中存在 x ,对应多个不同的函数值, 故不可以表示函数,故B 正确.故选:B. 举一反三 3.判断下列对应是否为从 A 到 B 的函数: (1) A={1,2,3,4,5} , B={0,2,4,6,8} ,对任意的 x∈A , x→2x ; (2) A={1,2,3,4} , B={x∣x<10,x∈N} ,对任意的 x∈A , x→2x+1 ; (3) ,对任意的 x∈A , x→x-1 ; (4) A 为正实数集, B=R ,对任意的 x∈A , x→x 的算术平方根. 答案: (1)不是;(2)是;(3)不是;(4)是 解析: (1)集合 A 中的数5 所对应的数为10,但集合 B 中没有 10,所以不是 A 到 B 的函数; (2)集合 B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A 中的数1,2,3,4 对应的数为3,5,7,9,都属于集合 B ,所以是 A 到 B 的函数; (3)集合 A 中的数取1 时,对应的数应为0,不属于所以不是 A 到 B 的函数; (4)任何正实数的算术平方根都是实数,所以是 A 到 B 的函数. 举一反三 4.如图,在1 张边长为20 cm 的正方形铁皮的4 个角上,各剪去1 个边长是 x cm 的小正方形,折成1 个容积是 的无盖长方体铁盒.试写出用 x 表示 y 的函数关系式,并指出它的定义域. 答案:函数关系式为 ,定义域为 {x∣0<x<10} 解析: ,其中 即 0<x<10 则 y 与 x 之间的函数关系式为 ,定义域为 {x∣0<x<10} . 5.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 y=√ 来描述。 【解】设面积为 x 的正方形的边长为 y，则 y=。 定义域为 {x∣x>0}，值域为 {y∣y>0}。 学海拾贝 （一）课堂小结 1. 函数现代定义：两个非空数集+任意x+唯一y； 2. 函数三要素：定义域、对应关系、值域；两个函数相同必须三要素全部一致； 3. 函数三种表达形式：解析式、函数图像、数据表格； 4. 判定函数核心依据：任意性、唯一性。 学海拾贝 （二）高频易错注意事项 区分f(x)与f⋅x，f(x)是整体，表示x对应的函数值； 值域只是集合B的子集，B中元素不一定都能取到； 图像判断函数用竖线检验法，水平线对应多个x是允许的； 实际问题求定义域，除解析式限制外，必须结合现实意义（长度、天数、时间大于0等）； 判断同一函数不能只看解析式，定义域不同一定不是同一函数； 对应关系中，若存在一个x对应两个及以上y，一定不是函数。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $