和差化积，积化和差、正切恒等式、万能公式的应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦和差化积、积化和差公式及正切恒等式、万能公式的应用，按公式梳理-题型分类-综合应用的逻辑架构整合考点，通过知识梳理明确公式内涵，题型精讲（含例题与跟踪训练）提炼解题方法，真题与模拟题训练强化应用，帮助学生系统构建三角恒等变换知识网络，突破高考高频难点。 讲义以“数学思维”和“数学语言”培养为核心，创新采用“公式推导-题型建模-变式训练”三步教学法，如在正切恒等式题型中，引导学生从条件中抽象角的关系，通过逻辑推理构建恒等变换路径。设置分层练习（基础到综合）并结合高考真题解析，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题4 .5和差化积，积化和差的应用 知识梳理 1.和差化积公式： ， ， ， 2.积化和差公式：， ， ， 3. 4.万能公式：. 【题型1 和差化积公式】 【例1】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则______． 2.（2025高三上·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 积化和差公式】 【例2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 跟踪训练 1.（2022·浙江·模拟预测）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【题型3 正切恒等式】 【例3】（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 . 跟踪训练 1.（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 【题型4 万能公式】 【例4】（25-26高一下·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 课后作业 1.（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 2.（2026·重庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 4.（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 5．（22-23高一下·全国·单元测试）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 6.（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 7.（多选 2026·辽宁·模拟预测）下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 8.（多选）（2025·湖北宜昌·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9.（2023·陕西安康·模拟预测）已知，若，则的最小值为______． 10.（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知的角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，则______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 .5和差化积，积化和差的应用 知识梳理 1.和差化积公式： ， ， ， 2.积化和差公式：， ， ， 3. 4.万能公式：. 【题型1 和差化积公式】 【例1】（2024·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、和差化积公式 【分析】首先利用和差化积公式化简，再利用二倍角的正切公式，建立方程，即可求解. 【详解】， 设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以，设， 整理为，得（舍）或， 则，，所以. 故选：B 跟踪训练 1.（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 2.（2025高三上·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、给值求值型问题、和差化积公式 【分析】根据和差化积公式化简，得到，再利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】由和差化积公式，得， ，所以． 所以． 故选：A． 3.（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 【题型2 积化和差公式】 【例2】（2023·江苏镇江·模拟预测）已知角，满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、积化和差公式 【分析】根据积化和差公式可得，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解. 【详解】由得， 进而， 则 所以， 则. 故选：A. 跟踪训练 1.（2022·浙江·模拟预测）已知，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、积化和差公式 【分析】由变形，利用积化和差得到，进而得到，然后展开，利用商数关系求解. 【详解】因为， 由积化和差公式可知， 则， 所以，即， 即，即， 解得， 所以的最大值为， 故选：C. 【题型3 正切恒等式】 【例3】（ 2025·吉林长春·模拟预测）已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由知，故， 于是，由，知. 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是. 故答案为： 跟踪训练 1.（2025高三·全国·专题练习）在 中， ，则 ______． 【答案】2 【分析】由两角和的正切公式变形得恒等公式：，将题中已知条件代入恒等公式并化简即可得，求得值，结合在 中，角的正切的范围即可从而得出结论. 【详解】解：由两角和的正切公式变形得： ， ∴ 将 代入恒等公式并化简：   解得 ，或 因为在中，故角的正切不为0，舍去； 有正切的负值最多有一个，否则角度和超过π，舍去．故 故答案为：2 【题型4 万能公式】 【例4】（25-26高一下·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】万能公式、二倍角的正切公式 【分析】根据已知可得，结合二倍角正切公式及万能公式求函数值. 【详解】由，则，故， 由. 跟踪训练 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】万能公式、二倍角的正切公式 【分析】由确定的范围，再令，利用二倍角正切公式把已知条件转化为关于的一元二次方程，结合的范围确定的值．最后利用齐次化即可得解． 【详解】因为，所以． 令，则．由二倍角正切公式得． 将其代入已知条件，得． 因为．所以，即，整理得，解得或． 又因为，所以，即． 因为，且， 所以． 2．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、万能公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 课后作业 1.（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 2.（2026·重庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】将分别用表示，结合二倍角、两角和差余弦公式可化简整理得到结果. 【详解】. 3.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 4.（2023·湖北·二模）已知，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、诱导公式五、六、万能公式、给值求值型问题 【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可. 【详解】由， 所以，则， 所以，则，故， 由. 故选：C 5．（22-23高一下·全国·单元测试）已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】万能公式、二倍角的余弦公式 【分析】由结合正切和角公式化简，求得，利用万能公式即可求解. 【详解】∵，∴， 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 6.（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由条件等式求正、余弦、二倍角的正切公式、和差化积公式、几何图形中的计算 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 7.（多选 2026·辽宁·模拟预测）下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.68 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、积化和差公式、和差化积公式 【分析】根据三角函数的诱导公式、和差化积、积化和差公式依次判断即可. 【详解】对于A，由三角函数的诱导公式得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，显然不恒成立，故D错误. 8.（多选）（2025·湖北宜昌·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由余弦的和差角公式可判断AB，由正切与正余弦关系可判断C，由和化积公式可判断D. 【详解】由，且， 则，故A正确； 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确. 故选：ACD. 9.（2023·陕西安康·模拟预测）已知，若，则的最小值为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、积化和差公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由两角和的正弦公式化简已知式，可得，从而得到，利用二次函数的性质可求最小值. 【详解】由题意知： ， 由题意知，因此． 所以，故， 因为，所以， 所以 ， 而，故，故的最小值为. 故答案为：. 10.（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知的角，，满足，其中符号表示不大于的最大整数，若，则______． 【答案】5 【分析】先证明，记，，，结合条件得，，必为整数，分为钝角三角形与锐角三角形讨论求得，，的值即可. 【详解】由， 得. 记，，， 由已知得，因为，所以，，必为整数． 如果为钝角三角形，则，即， 则、均为锐角，从而、为正整数， 因为正切函数在单调递增，且，所以， 于是，这时有，矛盾． 于是只能是锐角三角形， 因为正切函数在单调递增，且，所以， 又， 若，则，从而不能成立； 若，则，，由，得； 若，则，，由，得，与矛盾. 所以，，，即，，， 所以. 故答案为：5. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $